Übungsblatt Zufallsvektoren. j.g. - Wiwi Uni

Übungsblatt 4, Statistik II: Stetige Zufallsvariablen, Zufallsvektoren.
1. Eine Zufallsvariable ist normalverteilt X ~ N(, 2 ) . Zeigen Sie, daß für die
X 
standardisierte Zufallsvariable Z 
gilt: FZ (z)  FX (x) .

2. Beschreiben Sie, was die (gemeinsame) Verteilungsfunktion für einen Zufallsvektor
X
X    aussagt.
Y
X
3. Betrachten Sie wiederum den Zufallsvektor X    , wobei X und Y diskrete
Y
Zufallsvariablen sind.
Was sagt die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion fXY (x, y) aus?
Was sagt die (gemeinsame) Verteilungsfunktion FXY (x, y) aus?
X
4. Zeigen Sie, daß im Falle eines Zufallsvektors X    die Wahrscheinlichkeit
Y
P  x1  X  x 2 , y1  Y  y2  berechnet werden kann mit
FXY  x 2 , x 2   FXY  x 2 , y1   FXY (x1, y2 )  FXY (x1, y1 ) .
Beschreiben Sie, in eigenen Worten, den Begriff der marginalen Verteilung und der
bedingten Verteilung. Argumentieren Sie im bivariaten Fall und für stetige und diskrete
Zufallsvariable.
5. Gegeben Sie ein Zufallsexperiment „Gleichzeitiger Münzwurf (Kopf oder Zahl) und
Würfelwurf (1-6)“. Die Zufallsvariable X bezeichnet „Anzahl Kopf“ und Y die
Augenzahl des Würfelwurfs.
5.1 Schreiben Sie, in Tabellenform, die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion von X
und Y, fXY (x, y)
5.2 Berechnen Sie die marginale Wahrscheinlichkeitsfunktion von X und Y.
5.3. Sind X und Y unabhängige Zufallsvariable? Begründen Sie.
5.3 Schreiben Sie die gemeinsame Verteilungsfunktion von X und Y in eine Tabelle.
5.4 Schreiben Sie, in Tabellenform, die Wahrscheinlichkeitsfunktion der
Zufallsvariablen X|Y=y und Y|X=x.
6.
X
Der Zufallsvektor X    sei gemeinsam normalverteilt,
Y
 X
X    ~ BVN( X ,  Y , 2x , Y2 , ) , d.h.
 Y
f XY (x, y) 
1
2X Y

Q 
exp  
2 
1  2
 2(1   ) 
 x  X 
 x   X  y   Y    y   Y 
Q
  2


X Y
 X 
 Y 
2
2
Zeigen Sie, daß Y ~ N(Y , Y2 ) .
.
7. Zeigen Sie, daß bei Unabhängigkeit der Zufallsvariablen X und Y gilt: FXY (x, y)  FX  FY
und fXY (x, y)  f X  f Y .
 X
8. Wenn X    ~ BVN( X ,  Y , 2x , Y2 , ) (s.o.) so ist
 Y
2



 

X

 y  Y   
 x   X  
Y
 1
1

 
f X|Y (x | Y  y) 
exp  
2
 
2
X (1   )
2   X 1   2 


 




 

[1]
Interpretieren Sie dieses Resultat.
9.
Zeigen Sie, daß EXY (X  Y)  EX (X)  EY (Y) .
10. Zeigen Sie, daß wenn X und Y unabhängig sind gilt: Var(X  Y)  Var(X)  Var(Y)
11.
Zeigen Sie, daß Cov(X, Y)  E([X  E(X)][Y  E(Y)])  E(XY)  E(X)E(Y) .
12. Zeigen Sie, daß Var(aX  bY)  a 2 Var(X)  b2Var(Y)  2abCov(X, Y) .
 X1 
 a1 
 
 
 X2 
 a2 
13. Für einen Zufallsvektor X   X 3  und einen Vektor von Konstanten A   a 3 
 
 
 
 
X 
a 
 n
 n
und
 Var(X1 )
Cov(X1 X 2 )

Cov(X1 X 2 )
Var(X 2 )



 Cov(X1 X n ) Cov(X 2 X n )
Cov(X1 X n ) 

Cov(X 2 X n ) 


Var(X n ) 
gilt: Var(A 'X)  A ' A . Multiplizieren Sie diese Gleichung aus für n = 3.