1.5 Harmonische Schwingungen, Federkraft, Reibung
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1 Vorlesung Experimentalphysik I am 26.10.1998 und 27.10.1998 J. Ihringer 1.4.2 Die Schwerkraft Die Schwerkraft auf der Erde erhält man aus der allgemeinen Formulierung des Gravitationsgesetzes, wenn man eine der beiden Massen durch die Erdmasse ersetzt. Formel F G Wert Einheit mE ms rE N 2 G 6,67259(85) 10 5,98 10 24 mE ms 6,360 10 6 rE 11 Anmerkung Die Schwerkraft ist die Anziehungskraft zwischen der Erde und einem Körper an ihrer Oberfläche Nm 2 kg 2 Gravitationskonstante kg Schwere Masse der Erde kg Schwere Masse des Körpers an der Erdoberfläche m Erdradius Tabelle 1 Schwerkraft an der Erdoberfläche als Spezialfall des Gravitationsgesetzes 1.4.2.1 Äquivalenz von schwerer und träger Masse Die auf einen Körper wirkende Gravitationskraft ist eine Funktion einer Maßzahl des Körpers, die man als „schwere Masse“ ms bezeichnet. Wird ein Körper durch eine Kraft beschleunigt, dann ist, nach dem 2. Newtonschen Gesetz, die Beschleunigung eine Funktion einer Maßzahl des Körpers die man als „träge Masse“ mt bezeichnet. Die Beziehung beider Maßzahlen zueinander erkennt man, wenn man die Gravitationskraft zur Beschleunigung heranzieht. Genau das geschieht im Fallversuch. Versuch 1 Fall in einem luftgefüllten und in einem evakuierten Rohr. Druck im Rohr Fallgeschwindigkeit 10 5 Pa v Feder v Kugel < 10 2 Pa v Feder v Kugel Erklärung Der Luftwiderstand bremstunabhängig von der Massedie Feder stärker als die Kugel Offensichtlich gilt ms const mt Der Fallversuch im evakuierten Rohr zeigt, daß Körper von beliebiger träger oder schwerer Masse gleich schnell fallen, wenn allein die Gravitationskraft auf sie wirkt. Offenbar werden im Gravitationsfeld alle Massen gleich beschleunigt. Weil beim Fall die Gravitationskraft gerade gleich der Trägheitskraft ist, ergibt sich daraus die folgende Beziehung zwischen schwerer und träger Masse: 2 Formel Erklärung Trägheitskraft, um die Masse mt mit a zu beschleunigen Schwerkraft, die als Folge der Gravitation auf F ms g die Masse ms wirkt Beim freien Fall sind beide Kräfte gleich, bei Gleichsetzung der Kräfte folgt: Die Beschleunigung im Erdfeld hängt von ms ms a g ab mt mt Das Experiment zeigt, daß die Beschleunigung im Erdfeld für alle Körper, unabhängig von ihrer trägen Masse mt , dieselbe ist: Bedingung für gleiche Beschleunigung a für a const g Körper mit beliebiger träger und schwerer Masse. ms Folglich: Schwere und träge Masse sind const proportional zueinander mt Man wählt für die Konstante „1“ und bezeichnet sowohl die träge als auch die ms mt m schwere Masse einfach als Masse mit dem Symbol m . F mt a Tabelle 2 Äquivalenz der trägen und schweren Masse und Erdbeschleunigung: „Alle Körper fallen gleich schnell“ Träge und schwere Masse sind unterschiedlich Begriffe, beide sind aber proportional zueinander. In Praxis unterscheidet man nicht zwischen ihnen und bezeichnet beide einfach m als „Masse“, was der Wahl s 1 entspricht. mt Es sei daran erinnert, daß man auch schon im Versuch mit der Luftkissenfahrbahn die Proportionalität von schwerer Masse des kleinen Körpers, der zur Beschleunigung diente (dessen träge Masse vernachlässigt wurde) und träger beschleunigter Masse M erkannte. Der Fallversuch zeigt die Proportionalität von schwerer und träger Masse besonders klar, weil sich schwere und träge Masse auf den gleichen Körper beziehen und nichts vernachlässigt wird. 1.4.2.2 Erdbeschleunigung, Bestimmung der Masse der Erde Die genaue Messung der Erdbeschleunigung zeigt für Orte unterschiedlicher geographischer Breite unterschiedliche Werte, was mit der Annahme einer geringen Abweichung der Erdgestalt (Geoid) von der Kugelgestalt übereinstimmt. 3 Erdbeschl eunigung Ort Wert Dimensio n Anmerkung g Pol 50 0 Äquator 9,83 9,81 9,78 m s2 Folge des unterschiedlichen Abstandes zum Erdmittelpunkt Tabelle 3 Erdbeschleunigung bei unterschiedlichen geographischen Breiten Aus dem Cavendish Versuch ist die Gravitationskonstante unabhängig von der Erdmasse bekannt. Der Erdradius kann aus Messungen an der Erdoberfläche über den Umfang bestimmt werden. Die genaue Messung der Erdbeschleunigung erlaubt dann die Bestimmung der in Tabelle 1 angegeben Erdmasse: Formel Erläuterung F m g m mE r2 Gravitationskraft g 2 rE G Folgt aus der Gleichsetzung von Schwer- und der Gravitationskraft (s.u.): Bestimmung der Erdmasse bei bekannter Gravitationskonstanten und bekanntem Erdradius F G mE Schwerkraft Tabelle 4 Bestimmung der Erdmasse aus der Erdbeschleunigung an der Erdoberfläche Versuch 2 Messung der Erdbeschleunigung. Aus dem Weg- Zeitgesetz beim freien Fall wird g ermittelt. g g 2s t2 Beschleunigung als Funktion von Weg- und Zeit 4s t t3 2 4s 2 g 3 t 2 s t t Versuch # s [m] 2 Fehlerfortpflanzung von der Zeitmessung auf die Gravitationskonstante mit Hilfe der Ableitung des Gravitationsgesetzes (vgl. Mathem. Begriffe....) Fehlerfortpflanzung von der Zeit- und der Wegmessung auf die Gravitationskonstante mit Hilfe der Ableitungen des Gravitationsgesetzes (vgl. Mathem. Begriffe....) t [s] m g 2 s 1 1 1 1 1 1 Mittelwert Sigma Tabelle 5 Bestimmung der Erdbeschleunigung aus der Fallzeit bei Fallhöhe 1m 1.4.2.3 Erdbeschleunigung als Funktion der Höhe über der Erde 4 Für große Entfernungen von der Erde muß die Abnahme der Gravitationskraft bzw. der Erdbeschleunigung mit dem Gravitationsgesetz berechnet werden: Aus der Gleichheit von Schwer- und Gravitationskraft folgt die Erdbeschleunigung als Funktion des Abstands F1 m g 2 s 8 mE r2 Y Axis Title g (r ) G 10 6 4 2 0 10000 15000 20000 25000 30000 35000 r km X Axis Title Tabelle 6 Erdbeschleunigung als Funktion des Abstandes von der Erde Bei kleinen Höhen über der Erde kann die Variation der Erdbeschleunigung mit Hilfe der Ableitung des Gravitationsgesetzes (vgl. Mathematische Begriffe und Hilfsmittel) abgeschätzt werden: m dg (r ) 2 G 3E dr r df x 0 x y dx g dg (rE ) r dr Ableitung der Erdbeschleunigung nach dem Abstand Mit Hilfe der Ableitung kann die Änderung y des Funktionswerts an der Stelle x 0 bei Änderung x des Arguments abgeschätzt werden (vgl. Mathe. Hilfsmittel....) Anwendung auf die Erdbeschleunigung m g 2 s Gerade mit Steigung m 2 G E3 rE 0,0 g 2 G mE rE 3 r Y Axis Title -0,5 F2 ### -1,0 -1,5 -2,0 100 200 300 400 500 600 rkm X Axis Title g r 2 g rE Relative Änderung: Die der Schwerkraft ist doppelt so groß und von entgegengesetztem Vorzeichen wie die des Abstands Tabelle 7 Variation der Erdbeschleunigung bei kleiner Variation des Erdradius 5 1.4.2.4 Die Fallgesetze Die Fallgesetze beinhalten das Weg Zeit Gesetz für beschleunigte geradlinige Bewegung unter dem Einfluß der Erdbeschleunigung. Letztere ist immer zum Erdmittelpunkt gerichtet. Eine eindimensionale Formulierung genügt immer dann, wenn die Bahn der Bewegung geradlinig in Richtung oder Gegenrichtung der Schwerkraft verläuft. Bei einem Wurf nach oben ändert zwar die Geschwindigkeit ihr Vorzeichen, die Bahn bleibt aber geradlinig. Die Formulierung in zwei oder drei Dimensionen ist nötig, wenn der Körper zu Beginn der Bewegung eine Geschwindigkeit in beliebige Richtung zeigt. Es überlagern sich dann zwei Bewegungen: Die beim Start durch den Vektor der Geschwindigkeit gegebene mit der durch die Erdbeschleunigung verursachte. Legt man das Koordinatensystem in die Ebene der Bahn, dann genügt eine 2-dimensionale Darstellung (vgl. die Kreisbewegung, 1.2.1.2). Funktionale Abhängigkeit Begriff Geradlinige Bahn in Richtung der Schwerkraft Beliebiger Wurf s(t ) f (t ) f (t ) f(t ) Weg Geschwindigkeit Beschleunigung v(t ) g t v0 ag v0x v (t ) y g t v 0 0 a g g 2 t v0 t s 0 2 v0x t s 0x s (t ) g 2 y y t v0 t s 0 2 Tabelle 8 Weg Zeit Gesetz für den Wurf in 1 und 2 Dimensionen. Anfangswerte zur Zeit t=0: v0 bzw. v0x , v0y Komponenten der Geschwindigkeit, s0 bzw. s 0x , s 0y Komponenten des Ortes. Im 2-dimensionalen Koordinatensystem zeige die y-Achse nach oben. Ist die „Wurfparabel“ als Funktion y f (x) erwünscht, dann wird im Ausdruck für die Bahnkurve der Parameter „Zeit“ eliminiert. Analog formuliert man die Geschwindigkeit: Funktionale Abhängigkeit Funktionen mit der Zeit als Parameter Weg Geschwindigkeit v0x t x g 2 y y 2 t v0 t v0x x y y g t v0 Substitution der Zeit Funktionen der xKomponente der Bahn t y v0y g 2 x x 2 (v0x ) 2 v0x x v0x y g x v 0y x v0 6 y m m y s F1 1,4 Scheitelpu nkt der Parabel 6 1,2 1,0 4 0,8 2 Y Axis Title Y Axis Title Bahn- und Geschwindigkeit als Funktion von x für m v 0x 10 s m v 0y 5 s 0,6 0,4 F1 0 -2 0,2 -4 0,0 -6 -0,2 0 2 4 6 8 X Axis Title 0 x m 10 2 4 6 X Axis Title 8 10 x m Tabelle 9 Die „Wurfparabel“: Höhe y und Geschwindigkeit in Richtung y als Funktion der xKoordinate des Weges Versuch 3 Geradlinige Bewegungen in zueinander senkrechte Richtungen überlagern sich ungestört. Aus einem mit konstanter Geschwindigkeit fahrenden Zug wird eine Kugel senkrecht nach oben geschossen, diese fällt auf ihren Startpunkt im Zug zurück, obwohl dieser an einer anderen Stelle angekommen ist. y m F1 1,4 1,2 m v 5 s y 0 1,0 Y Axis Title 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 -0,2 0 2 4 6 8 10 x m X Axis Title v0x 10 m s Versuch 4 Ein weiterer Versuch zeigt, daß sich geradlinige Bewegungen ungestört überlagern: Zeitgleich läßt man eine Kugel senkrecht nach unten fallen und beschleunigt eine m zweite waagrecht durch eine Feder auf 5 . Beide treffen gleichzeitig am Boden auf, obwohl s die zweite einen weiteren Weg zurückgelegt hat. Die Fallzeit aus Höhe y berechnet sich nach t 2 g y 7 y m F1 1,6 Senkrecht fallende Kugel 1,4 Kugel mit Anfangsgeschwin m digkeit v 0x 5 s 1,2 Y Axis Title 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 0,0 0,5 1,0 1,5 X Axis Title 2,0 2,5 x m Versuch 5 An einem Wasserstrahl wird die Parabelform für unterschiedliche Richtungen des „Wurfs“, d.h. der Anfangsgeschwindigkeit, gezeigt. 1.4.3 Die Keplerschen Gesetze Johannes Kepler fand zur Beschreibung der Planetenbewegung drei Gesetze, wobei erstmals keine Kreisform der Bahnen vorausgesetzt wurde: Erstes Keplersches Gesetz: „Jeder Planet bewegt sich in einer Ebene um die Sonne. Seine Bahn ist eine Ellipse, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.“ Perihel Aphel Abbildung 1 Ellipsenbahn der Planeten mit der Sonne in einem Brennpunkt. Sonnennächste und fernste Punkte werden als Perihel und Aphel bezeichnet. 8 Zweites Keplersches Gesetz: „Der Fahrstrahl überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.“ Vektor der Geschwindigkeit v Ortsvektor r Abbildung 2 Planetenbahn mit den in einer Zeiteinheit vom Fahrstrahl überstrichenen gleichen Flächen (schraffiert) für zwei Positionen. Mit der Definition des Vektorproduktes (vgl. Mathematische Hilfsmittel...) ist die vom Fahrstrahl, dem Ortsvektor, in einer Zeiteinheit überstrichene Fläche 1 A r v 2 Wird das in dieser Fläche enthaltene Vektorprodukt mit der Masse m des Körpers multipliziert, so erhält man den Drehimpuls des Körpers. Der Drehimpuls m r v ist, wie der Impuls und die Energie eines Systems, eine Erhaltungsgröße. Die Flächenkonstanz im zweiten Keplersche Gesetz zeigt also die allgemein gültige Drehimpulserhaltung für den Spezialfall der Bewegung auf Ellipsenbahnen. Genaueres zum Drehimpuls und den Erhaltungssätzen wird im weiteren Verlauf dieser Vorlesung erklärt. Drittes Keplersches Gesetz: „Die Quadrate der Umlaufzeiten T1 und T2 zweier Planeten verhalten sich wie die Kuben der großen Halbachsen r1 und r2 der Bahnellipsen.“ T1 2 T2 2 r1 3 r2 3 Auch dieses Gesetz folgt aus der allgemein gültigen Energie- und Impulserhaltung. Speziell für die Kreisbahn folgt dieses Gesetzes auch ohne die Energiebetrachtung, setzt man die Beschleunigung bei der Kreisbewegung gleich der Beschleunigung durch die Gravitation und beachtet, daß die Umlaufzeit T in der Kreisfrequenz enthalten ist: 9 Formel M a G 2s r a 2 r Ms 2 r r2 3 r1 22 2 3 r2 1 G r1 3 r2 3 T1 2 T2 2 Erläuterung Beschleunigung durch die Gravitation der Sonne Beschleunigung zum Zentrum der Kreisbahn (Zentrifugalbeschleunigung) Beide Beschleunigungen sind gleich Ergibt sich für zwei unterschiedliche Bahnen nach Division der Gleichungen 2 erhält man schließlich das T 3. Keplersche Gesetz Mit Tabelle 10 Drittes Keplersches Gesetz in Anwendung auf die Kreisbahn. Versuch 6 Modell zum Gravitationspotential. Eine Kugel bewegt sich im Potential des Modells auf Ellipsenbahnen. Aus der Gleichheit von Zentrifugal- und Gravitationsbeschleunigung folgt eine Beziehung zwischen der Masse M Z des Körpers im Zentrum und der Umlaufzeit T eines umlaufenden Körpers. Man erkennt, daß die Umlaufzeit nur vom Abstand und der Masse des Zentralgestirns, aber nicht von der Masse des umlaufenden Körpers abhängt. Formel M G 2z 2 r r G M z 4 2 2 r3 T r T 2 r GMz MZ 4 2 r 3 G T 2 Erläuterung Gravitationbeschleunigung=Zentrifugalb eschleunigung folgt mit 2 T Periode des Umlaufs eines Körpers als Funktion der Masse des Zentralgestirns und des Abstands Die Masse des Zentralkörpers kann aus Abstand und Umlaufszeit irgendeines seiner Satelliten bestimmt werden Tabelle 11 Für Kreisbahnen gilt: a) Periode T als Funktion des Abstands r vom Zentralkörper und der Masse M Z b) Masse des Zentralkörpers als Funktion der Periode und des Bahnradius. Für die Sonne folgt mit de rUmlaufszeit der Erde T=365*24*3600 s und dem Abstand r=1,496 1011 m die Masse der Sonne zu M Z 2 10 30 kg 10 Die folgende Abbildung zeigt die Umlaufszeit z.B. eines Satelliten um die Erde als Funktion seiner Höhe über der Erdoberfläche. Unmittelbar an der Oberfläche beträgt die Umlaufzeit 84 Minuten. „Geostationär“ nennt man Bahnen mit 24 h Umlaufszeit, diese erfordern eine Höhe von 35800 km . F1 T h Geostationäre Bahn mit 24 h Umlaufszeit in 35800 km Höhe 30 25 Y Axis Title 20 15 10 5 84 Min. 0 0 10000 20000 30000 40000 r km X Axis Title Abbildung 3 Umlaufszeit um die Erde für einen Körper, z.B. einen Satelliten, auf einer Kreisbahn als Funktion seiner Höhe über der Erdoberfläche in Kilometern 1.5 Harmonische Schwingungen, Federkraft, Reibung 1.5.1 Definition der harmonischen Schwingung Die harmonische Schwingung bezeichnet die Bewegungsform einer kartesischen Komponente eines Punktes, der sich auf einer Kreisbahn mit konstanter Winkelgeschwindigkeit bewegt. Die Zeit Verhalten der Komponenten in einem kartesischen Koordinatensystem wurde schon bei der Kreisbewegung (1.2.1.2) eingeführt. Neu ist hier lediglich, daß noch die Phase 0 berücksichtigt wird, die den Startwinkel zur Zeit t 0 vorgibt. Formel y(t ) a0 sin( t 0 ) Erläuterung Harmonische Schwingung t Zeit a0 Amplitude der Schwingung 2 T 0 Winkelgeschwindigkeit und Periode T Phase Tabelle 12 Die harmonische Schwingung und ihre Variablen 11 Die Verwandtschaft der harmonischen Schwingung mit der Bewegung eines Punktes auf der Kreisbahn ist in der folgenden Tabelle zusammengefaßt. Die Amplitude a 0 der oben definierten Schwingung entspricht dem Radius r der Kreisbahn. Kreisbahn, =const Weg Geschwindigkeit Beschleunigung cost s r sin t sin t v r cost cost a r 2 sin t Als harmonische Schwingung bezeichnet man das Zeit-Verhalten einer dieser Komponenten, z.B. das der y Komponente Weg Geschwindigkeit y r sin( t 0 ) Beschleunigung y r cos(t 0 ) y r 2 sin( t 0 ) t r sin t 0 1,0 r 0,5 Y Axis Title y Kompone nte F1 0 0,0 -0,5 t 0 -1,0 0 1 2 3 4 5 6 X Axis Title Tabelle 13 Bewegung eines Punktes auf der Kreisbahn und Zeit-Verhalten der kartesischen yKomponente, der „harmonischen Schwingung“ Versuch 7 Projektion der y-Komponente eines Punktes bei der Kreisbewegung und Bewegung der Projektion entlang der Zeit Achse mit Hilfe eines Drehspiegels Versuch 8 Projektion der Schwingung einer Stimmgabel, die durch eine Geige angeregt wird. Man erkennt die Grund- und Oberschwingung 12 1.5.2 Die Bewegungsgleichung der harmonischen Schwingung Besondere Bedeutung hat die harmonischen Schwingung als Lösung der Bewegungsgleichung, die man erhält, wenn eine physikalische Größe proportional zum negativen Wert ihrer zweiten zeitlichen Ableitung ist. Das ist in der Mechanik immer dann der Fall, wenn auf einen Körper eine zum Weg x(t ) proportionale Kraft beschleunigend wirkt. Die Trägheitskraft ist stets proportional zu x(t ) und entgegen der beschleunigenden Kraft gerichtet. Formel m x k x x(t ) a0 sin t Erläuterung Bewegungsgleichung des „harmonischen Oszillators“ Lösung der Gleichung: Die „harmonische Schwingung“ Mit diesem Lösungsansatz ergibt sich: x(t ) a0 2 sin t m 2 k Zweite Ableitung der Funktion x(t ) und x(t ) in die Bewegungsgleichung eingesetzt Es folgen die Koeffizienten der Lösung: 2 k T m a0 Winkelgeschwindigkeit der Schwingung, T ist deren Periode Amplitude, jeder Wert erfüllt die Bewegungsgleichung Tabelle 14 Die Bewegungsgleichung des harmonischen Oszillators und ihre Lösung, die harmonische Schwingung, ihre Winkelgeschwindigkeit und ihre Amplitude Die Winkelgeschwindigkeit ist nur durch die Größen der Bewegungsgleichung bestimmt, sie ist unabhängig von der Amplitude. Die Amplitude ist frei wählbar, sie ist konstant und behält deshalb ihren Wert der maximalen Auslenkung bei Beginn der Schwingung („Anfangswert“) bei. 13 1.5.2.1 Das Federpendel Ein mechanisches System, das die Anforderungen der Bewegungsgleichung des harmonischen Oszillators erfüllt, ist ein frei beweglicher Massepunkt an einer Feder. Die Koeffizienten der Bewegungsgleichung sind wie folgt den mechanischen Größen zugeordnet: Ruhelage Vektor der Auslenkung x(t ) Vektor der Beschleunigung F k x(t ) F m x(t ) Vektoren der Kräfte Abbildung 4 Schema des Federpendels Formel Erläuterung F m x Trägheitskraft F k x Die Federkraft erfülle das Hookesche Gesetz, sie ist der Trägheitskraft entgegengerichtet. k ist die Federkonstante. m x k x x(t ) a0 sin t Die Kräfte sind zu jeder Zeit gleich Lösung der Bewegungsgleichung: Die „harmonische Schwingung“ Koeffizienten der Lösung: 2 k T m T 2 m k Winkelgeschwindigkeit Periode der Schwingung: Lange Schwingungsdauer für schwere Körper und weiche Federn Tabelle 15 Harmonische Schwingung beim Federpendel Versuch 9 Überprüfung des Hookeschen Gesetztes an der Feder, die im nächsten Versuch zum Antrieb des Pendels dient. 14 Versuch 10 Schwingung eines Federpendels. Ein nahezu reibungsfrei gelagerter Wagen ersetzt die im Schema oben gezeichnete Kugel. Es wird die Wirkung unterschiedlicher Massen auf die Periode überprüft Versuch # m kg T s k 4 2 T 2 N m m 1 2 8 Tabelle 16 17 Schwingungsdauer bei unterschiedlichen Massen Versuch 11 Ein Federpendel wird mit unterschiedlichen Federkonstanten betrieben. Vier Federn hintereinander gehängt senkt die Federkonstante auf ¼ ihres Werts für eine Feder. Versuch # m kg N k m 1 1 1 ¼ T 2 m k s Aufbau: Tabelle 18 Schwingungsdauer bei unterschiedlichen Federkonstanten Versuch 12 Zwei parallel aufgehängte, identische Pendel werden mit unterschiedlichen Amplituden angeregt. Man erkennt, daß die Schwingungsdauer von der Amplitude unabhängig ist. 15 1.5.2.2 Das mathematische Pendel Für kleine Auslenkungen eines um eine Achse schwingenden Pendels erfüllt die Komponente der Schwerkraft senkrecht zur Aufhängung die Eigenschaften des Hookeschen Gesetzes. (t ) Vektor der Beschleunigung F m l (t ) Vektor der Auslenkung F m g (t ) Abbildung 5 Schema des mathematischen Pendels Das Hookesche Gesetz gilt allerdings nur, solange die Näherung für die Schwerkraftkomponente senkrecht zur Bahn m g sin (t ) m g (t ) gerechtfertigt erscheint. Unter dieser Voraussetzung erhält man analog zum Federpendel die Bewegungsgleichung des harmonischen Oszillators. Das Zeitverhalten der Auslenkung des Winkels des Pendels aus der Vertikalen folgt der harmonischen Schwingung. Bei der Würdigung dieses Pendels bedenke man, daß über viele Jahrhunderte die Periode dieser Schwingung den Takt der mechanischen Uhren bestimmte. Formel Erläuterung F m l F m g m l m g (t ) a0 sin t Trägheitskraft Die Schwerkraftkomponente senkrecht zur Aufhängung erfülle das Hookesche Gesetz, sie ist der Trägheitskraft entgegengerichtet. Die Kräfte sind zu jeder Zeit gleich Lösung der Bewegungsgleichung: Die „harmonische Schwingung“ Koeffizienten der Lösung: 2 T T 2 Tabelle 19 g l l g Winkelgeschwindigkeit Periode der Schwingung: Lange Schwingungsdauer für lange Pendel, sie ist, im Gegensatz zum Federpendel, unabhängig von der Masse 16 Abbildung 6 Pendeluhren. Quelle: Meyers Großes Konversationslexikon, 1908. In der Formel oben ist offenbar ein Druckfehler: Es muß e durch l ersetzt werden.
