Schlagwörter

Analytische Geometrie im Zweidimensionalen
Maturavorbereitung (M)
Vektorrechnung 1
Schlagwörter
Vektoren, Ortsvektoren
Mittelpunkt von Strecken, Schwerpunkt von Dreiecken
Höhenschnittpunkt, Umkreismittelpunkt …. von Dreiecken
Addition und Subtraktion von Vektoren (rechnerisch und graphisch)
Spitze-Minus-Schaft-Regel
Vektorvervielfachung, Länge eines Vektors
Normalvektoren
Skalarprodukt von Vektoren
Parameterdarstellung von Geraden (vs. Hauptform)
Paralleliät und Orthogonalität
Gegenseitige Lage von Geraden (Schneiden von Geraden)
Winkel- und Flächenberechnungen
Übungsaufgaben
1. Von einem Parallelogramm ABCD kennt man die Eckpunkte A, B und den
Diagonalschnittpunkt M. Berechne die Eckpunkte C und D!
A(-6/-4) B(0/-2) M(-3/0) ( Lsg. C(0/4) D(-6/2))
2. Der Schwerpunkt eines Dreiecks teilt die Schwerlinien (Verbindungslinien der
Eckpunkte zum Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite) im Verhältnis 1:2!
Berechne den Schwerpunkt des Dreiecks ABC! A(-4/-1) B(5/-1) C(2/8)
(Lsg. S(1/2))
3. Von einem Dreieck ABC kennt man zwei Eckpunkte und den Schwerpunkt S.
Berechne den dritten Eckpunkt! B(4/-3) C(3/3) S(2/1)
(Lsg. A(-1/3))
4. A(-2/4) B(4/16)
Bestimme den Punkt T, der die Strecke AB im Verhältnis
a) 2:1
b) 1:2
c) 3:5
d) 7:2
e) 11:19 teilt!
(Lsg. a) T(2/12), b) T(0/8), c) T(0,25/8,5), d) T(2,667/13,334), e) T(0,2/8,4))
5. Gib eine Parameterdarstellung der Geraden h an, die zur Geraden g
parallel ist und durch den Punkt R geht.
  2  1
g: X     t  
R(5/6)
  2  1
6. Gib die Parameterdarstellung und die Hauptform der Symmetrale der
Strecke AB an.
  5  1 
(a)A(3/1), B(7/5)
(Lsg. X     t   ; y=-x+8)
 3    1
  1   8 
5
3
 ; y=  x  )
(b)A(-4/-6), B(6/2)
(Lsg. X     t 
4
4
  2    10 
Analytische Geometrie im Zweidimensionalen
Maturavorbereitung (M)
Vektorrechnung 1
7. Gib Hauptform und Parameterform einer zu g orthogonalen Geraden an,
die durch den Punkt A geht.
  2  1 
   2  1
(a) g: X     t   A(-2/4)
(Lsg. X     t   ; y=x+6)
 0    1
 4  1
  4    1
   4  0
(b) g: X     t   A(-4/-4)
(Lsg. X     t   ; y=-4)
9  0 
  4 1
8. Bestimme die gegenseitige Lage der Geraden g und h.
Bestimme gegebenenfalls den Schnittpunkt.
 1  3 
  7    3
(a) g: X     t  
h: X     u 
(Lsg. parallel, kein S)
 2   2
6  2 
 1   4 
  0  1
(b) g: X     t  
h: X     u 
(Lsg. allg. Lage, S(1/1))
1  1 
 0  1
9. Berechne den Schnittpunkt der Diagonalen des Vierecks ABCD.
A(-3/1), B(5/-1), C(6/4), D(-10/8)
(Lsg. S(0/2))
10. Gib die Punkte an, die auf der Geraden g liegen und von dem auf g
gelegenen Punkt P den Abstand 2 haben.
  0  3
(a) g: X     t  
P(6/y)
(Lsg. X1(7,2/10,6) X2(4,8/7,4))
1  4
   1   12 

(b) g: X     t 
P(x/5)
(Lsg. X1(-2,2/6,6) X2(0,2/3,4))
 5   16 
11. Im Deltoid ABCD mit A(1/1) und D(d/1) hat die Diagonale e die
Länge 6 5 . Der Diagonalenschnittpunkt E lautet (5/-1). Ermittle die
Koordinaten der Eckpunkte B, C und D.
(Lsg. B(4-3) C(13/-5) D(6/1))
12. Von einem Deltoid ABCD mit der Symmetriediagonalen AC kennt man
A(-5/2), B(3/-4) und C(7/-2).
Bestimme die Koordinaten von D. Welcher Punkt der Strecke BC hat von B
den Abstand 2?
(Lsg. D(5/2) X(4,8/-3,1))
13. Bestimme Parameterdarstellungen jener Geraden, die von der Geraden g
den Abstand s haben.
   1   3 
  0,6    3 
(a) g: X     t  
s=2
(Lsg. X     t   )
7  4 
 8,2   4 
   1  2 
 0  2 
(b) g: X     t  
s= 5
(Lsg. X     t   )
 7    1
 9    1
Analytische Geometrie im Zweidimensionalen
Maturavorbereitung (M)
Vektorrechnung 1
14. Gib die Parameterdarstellungen der drei Geraden an, auf denen die
Höhen des Dreiecks ABC liegen und ermittle die Koordinaten des
Höhenschnittpunkts.
(a) A(0/2), B(8/6), C(3/6)
(Lsg. H(0/12))
(b) A(-10/5), B(17/14), C(14/-17)
(Lsg. H(7,22/3,33))
15. Gib die Parameterdarstellungen der Seitensymmetralen des Dreiecks ABC
an und ermittle die Koordinaten des Umkreismittelpunkts.
(a) A(2/1), B(5/2), C(4/5)
(Lsg. U(3/3))
(b) A(1/0), B(4/1), C(3/4)
(Lsg. U(2/2))
16. Ermittle Parameterdarstellungen der Winkelsymmetralen des Dreiecks ABC
und die Koordinaten des Inkreismittelpunkts des Dreiecks.
(a) A(-4/-1), B(20/-1), C(8/8)
(Lsg. I(8/3))
(b) A(17/14), B(14/-17), C(-10/5)
(Lsg. I(6,9/1,5)
17. Von einem Parallelogramm kennt man die Eckpunkte A(-5/6), B(0/-6) und
C(3/-2). Berechne den 4. Eckpunkt D, den Schnittpunkt der Diagonalen
und deren Länge.
Der Punkt P liegt auf der Seite AD und teilt diese im Verhältnis 4:5.
Berechne die Koordinaten von P.
(Lsg. D(-2/10); S(-1/2); e=11,31; f=16,12;P(-3,7/7,8))
18. Gegeben ist das Dreieck A(-2/-3), B(13/2) und C(2/13).
Berechnen den Höhenschnittpunkt H, der Umkreismittelpunkt und den
Schwerpunkt.
Zeige dass H, U und S auf einer Geraden (Euler´sche Gerade) liegen.
  5    1
(Lsg. H(5/4); U(4/4); S(4,3/4); e: X     t   )
 4  0 
19. Von einem gleichschenkeligen Dreieck kennt man A(-2/1), B(4/-1) und die
Länge der Höhe hc mit 10 2 . Bestimme den Eckpunkt C und den
Flächeninhalt des Dreiecks. (Lsg. C(5,47/13,42); A=44,72)
20. Die Basis AB eines gleichschenkeligen Dreiecks mit der Spitze C(4/10) hat
die Länge 4 26 und liegt in der Geraden x+5y=2. Berechne A und B.
(Lsg. A(-8/2); B(12/-2))
21. Von einem Parallelogramm kennt man B(-2/2) und D(5/11). Die Seite a
liegt auf g: 2x-y=-6 und ist 3 5 lang. Berechne A und C.
(Lsg. A(1/8); C(2/5))