Analysis 1

Analysis 1:
Aufgabe:
Σ
1
2
3
4
5
6
Z.A.
Σ

Hinweis: Es wurden bei jeder Aufgabe mehrere Zwischenschritte und Kommentare eingeführt.
9. HA Abgabe: 14.06.2011
Fr. 8–10 Uhr Namen: __________________ ___________________
Mat. Nr.: __________________ ___________________
Hinweise: Der Doppelstrich // steht für eine Kommentarzeile. Tipp- und Rechtschreibfehler können trotz mehrfacher Kontrolle
nicht hundertprozentig vermieden werden. Die selbst erstellten Lösungsansätze orientieren sich an die Syntax sowie
Konventionsvorgaben der Vorlesung.
Zur Bearbeitung wurde u.a. folgende Literatur verwendet: - T. Bröcker „Analysis 1“ - Morgan „Real Analysis“ - H. Junek
„Analysis“ - Fritsche „Analysis 1“ - Modler/Kreh „Tutorium Analysis 1 und Lineare Algebra 1“ - Walter „Analysis 1“ Königsberger „Analysis 1“ - Forster „Analysis 1“ „Übungsbuch zur Analysis 1“ - Behrends „Analysis Band 1“ - Rolf Walter
„Einführung in die Analysis 1“ - Varga „Mathematische Logik für Anfänger: Aussagenlogik“ - G. Fanghänel, H. Vockenberg
„Arbeiten mit Mengen“ -M. Wohlgemuth „Mathematisch für Anfänger“ - Hairer, Wanner „Analysis in historischer
Entwicklung“ - Schäfer, Georgi, Trippler „Mathematik Vorkurs“ - H. Neunzert „Analysis 1“ - Matthias Plaue und Mike
Scherfner „Mathematik für das Bachlorstudium I“ - Harald Scheid und Wolfgang Schwarz „Elemente der Linearen Algebra und
der Analysis“ - Mark Ryan „Analysis für Dummies“ – Heinz Partoll und Irmgard Wagner „Mathe macchiato Analysis“
- Martin Barner und Friedrich Flohr „Analysis 1“ - Harro Heuser „Lehrbuch der Analysis Teil 1“ - T.Arens, F. Hettlich, ch.
Karpfinger, U. Kockelkorn, K. Lichtenegger, H. Stachel „Mathematik“ (1496 S.) und „Arbeitsbuch Mathematik“ …
Kontakt: www.mathematikwelt.npage.de
Source: http://www.mathepedia.de/html/a_analysis/t_topologie/a_metrischeraeume/c_UmgMeng/BewUOffen.aspx?w=200&h=200
//Abb.1 Titelbild
Aufgabe 1.
a)
Es gibt Folgen in ℚ, welche aber gegen eine irrationale Zahl konvergieren, welche bekanntlich nicht in ℚ
liegt, wie zum Beispiel √2. Das ist das zentrale Problem. ℝ ist vollständig, denn hier gilt im Kontrast zu ℚ
das Vollständigkeitsaxiom, und ℚ liegt nachweisbar dicht in ℝ. // siehe dazu Anhang 𝜀
Jedes offene Intervall ist eine offene Menge, d.h. ℕ, ℤ und ℚ sind nicht offen, denn wir haben bereits
gezeigt, dass die Elemente von ℕ, ℤ und ℚ abzählbar sind. Die Menge ℚ ist in der Menge ℝ außerdem
nicht abgeschlossen, weil es eine Folge rationaler Zahlen gibt, die gegen eine irrationale Zahl konvergiert.
Damit ist ℚ in ℝ nicht kompakt, also ist ℚ auch bezüglich der Grundmenge ℚ nicht kompakt. Im
Gegensatz dazu sind ℝ und ∅ offen, denn da ∅) = { } keine Elemente enthält, erfüllt ∅ nach Vereinbarung
(Implikation) die Bedingung in unserer Definition. Jedes abgeschlossene Intervall [a, b] ist eine
abgeschlossene Menge, denn die Menge der Häufungspunkte stimmt hier mit der Menge [a, b] überein.
Ach die Intervalle des Typs {𝑥|𝑥 ≥ 𝑎} bzw. {𝑥|𝑥 ≤ 𝑎} sind abgeschlossen. ℕ und ℤ haben keine
Häufungspunkte und sind deshalb abgeschlossen. Die Menge der Häufungspunkte von ℚ ist ℝ, ℚ ist
deshalb nicht abgeschlossen; ℝ und ∅ sind ebenfalls abgeschlossen. Das Cauchy Kriterium gilt ebenfalls
i.d.R. nicht in ℚ. Für 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ nennt man [𝑎; 𝑏] = {𝑥 ∈ ℝ |𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏} ein abgeschlossenes Intervall,
]𝑎; 𝑏[ = {𝑥 ∈ ℝ |𝑎 < 𝑥 < 𝑏} ein offenes Intervall,
[𝑎; 𝑏[ = {𝑥 ∈ ℝ |𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏} ein halboffenes Intervall,
]𝑎; 𝑏] = {𝑥 ∈ ℝ |𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏} ein halboffenes Intervall.
1
Wir wollen auch die Mengen ] − ∞; 𝑎] = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≤ 𝑎},
]𝑏; ∞] = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≥ 𝑏},
] − ∞; 𝑎[ = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 < 𝑎},
]𝑏; ∞[= {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 > 𝑏}
Intervalle nennen, jedoch im Gegensatz zu diesen unendlichen Intervallen heißen die zuvor definierten
endlich. Schließlich soll auch die Menge ℝ selbst als ein (unendliches) Intervall verstanden werden.
Sind a, b rationale Zahlen mit a < b und ersetzt man in obigen Definitionen ℝ durch ℚ, so spricht man von
rationalen Intervallen. Im Gegensatz dazu heißen die oben beschriebenen Intervalle reell.
Wir erinnern uns noch an die Bestimmung einer reellen Zahl durch Einschachtelung zwischen zwei folgen
rationaler Zahlen aus der Vorlesung, etwa
1
< √2 < 2
1,4 < √2 < 1,5
1,41 < √2 < 1,42
1,414 < √2 < 1,415 u.s.w.
Allgemein nennt man ein Folgenpaar ((𝑎𝑛 ), (𝑏𝑛 )) mit (𝑎𝑛 )~(𝑏𝑛 ) (also lim((𝑎𝑛 ) − (𝑏𝑛 )) = 0) und
𝑎𝑛 ≤ 𝑎𝑛+1 < 𝑏𝑛+1 ≤ 𝑏𝑛 für alle 𝑛 ∈ ℕ eine Intervallschachtelung. Die Folge (𝑎𝑛 )ist also monoton
wachsend (injektiv), die Folge (𝑏𝑛 ) ist monoton fallend. Man spricht von einer rationalen oder einer
reellen Intervallschachtelung, je nachdem, ob die Folgen und die von ihnen begrenzten Intervalle aus
rationalen oder aus reellen Zahlen bestehen. Trägt man die ersten Glieder einer Intervallschachtelung auf
einer Zahlengeraden ein, so gewinnt man den Eindruck, dass ein wohlbestimmter Punkt der Zahlengeraden
„eingeschachtelt“ wird. Der Punkt bzw. die Zahl, die er auf der Zahlengeraden beschreibt, muss aber nicht
rational sein, auch wenn die Intervallenden der Schachtelung rationale Zahlen sind, wie schon die oben
angedeutete Schachtelung für die irrationale Zahl √2 zeigt. Verschiedene Intervallschachtelungen können
sich auf den gleichen Punkt der Zahlengeraden zusammenziehen; dies ist genau dann für die
Intervallschachtelungen ((𝑎𝑛 ), (𝑏𝑛 )) und ((𝑎′𝑛 ), (𝑏′𝑛 )) der Fall, wenn (𝑎𝑛 ) und (𝑎′𝑛 ) äquivalent sind.
Durch ((𝑎𝑛 ), (𝑏𝑛 ))~((𝑎′𝑛 ), (𝑏′𝑛 )) ⟺ (𝑎𝑛 )~(𝑎′𝑛 ) wird eine Äquivalenzrelation in der Menge der
(rationalen oder reellen) Intervallschachtelungen definiert. Diese zerlegt die Menge der
Intervallschachtelungen in Klassen äquivalenter Intervallschachtelungen (Äquivalenzklassen).
Nun kann man den Begriff der reellen Zahl ohne Zuhilfenahme der Anschauung unter dem Begriff der
rationalen Zahl aufbauen: Eine reelle Zahl ist eine Äquivalenzklasse rationaler Intervallschachtelungen.
Natürlich ist auch eine rationale Zahl r durch eine Intervallschachtelung zu beschreiben, etwa durch
1
1
((𝑟 − 𝑛) , (𝑟 + 𝑛)), so dass man ℚ als Teilmenge von ℝ verstehen kann. Das Rechnen mit reellen Zahlen
ist nun als Rechen mit Klassen rationaler Intervallschachtelungen zu definieren. Zwei reelle Zahlen 𝛼 und
(1)
(2)
(1)
(2)
𝛽 werden addiert, indem man sie durch Intervallschachtelungen ((𝑎𝑛 ), (𝑎𝑛 ) ) und ((𝑏𝑛 ), (𝑏𝑛 ) )
(1)
(1)
(2)
(2)
darstellt, die Intervallschachtelung ((𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 ), (𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 )) bildet und dann die Klasse, der diese
Schachtelung angehört, als die Summe 𝛼 + 𝛽 definiert. (Man muss dabei nachprüfen, dass die Summe
𝛼 + 𝛽 nicht davon abhängt, durch welche Intervallschachtelungen aus der entsprechenden
Äquivalenzklasse die Zahlen 𝛼, 𝛽 dargestellt sind.) Ebenso wir die Multiplikation und die Kleiner-Relation
definiert, wobei man aber darauf achten muss, dass man das Monotoniegesetz der Multiplikation nicht
verletzt.
Es ergeben sich alle Rechenregeln, die man schon in ℚ kennt, es ergibt sich aber eine Eigenschaft, die in ℚ
nicht vorliegt: Jede Intervallschachtelung in ℝ besitz einen Kern in ℝ. Dabei nennt man den Kern das
Zentrum einer Intervallschachtelung ((𝑎𝑛 ), (𝑏𝑛 )). Diese Theorie sollte zeigen, dass es viele Sätze der
Vorlesung gibt, welche in ℝ gelten, aber nicht in ℚ. Dazu zählt das Cauchy-Kriterium, die
Abgeschlossenheit, Kompaktheit, der Hauptsatz über monotone Folgen, dass eine monoton wachsende
nach oben beschränkte Folge konvergent ist, den Satz von der oberen Grenze, den Satz von BolzanoWeierstraß, … .
2
b) Es sei 𝑟 > 0 und 𝑎 ∈ ℝ und 𝐵(𝑎, 𝑟) ≔ {𝑥 ∈ ℝ ∶ |𝑥 − 𝑎| < 𝑟}
Behauptung: 𝐵(𝑎, 𝑟) ist offen.
// Man nennt 𝐵(𝑎, 𝑟) auch den offenen Ball um a vom Radius r.
// Abb.2 offene Ball (andere Bezeichnungen)
Source: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/2/2b/Metrik-kugel.png
Beweis: Sei dazu 𝑦 ∈ 𝐵(𝑎, 𝑟). Wir suchen nun eine 𝜀 −Umgebung von y, die noch ganz in 𝐵(𝑎, 𝑟)
enthalten ist. Dazu sei 𝛿 ≔ 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑦 − 𝑎) // (****)
//dist() soll den Abstand ermitteln, also den Betrag |𝑦 − 𝑎|.
Dann ist 0 ≤ 𝛿 < 𝑟. Man kann eine positive reelle Zahl 𝜀 < 𝑟 − 𝛿 finden.
Ist 𝑥 ∈ 𝑈𝜀 (𝑦), also 𝑑𝑖𝑠𝑡 (𝑥, 𝑦) < 𝜀, so ist letztendlich dann auch:
𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑥, 𝑎) ≤ 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑥, 𝑦) + 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑦, 𝑎) < 𝜀 + 𝛿 < (𝑟 − 𝛿) + 𝛿 = 𝑟
// Hier wurde neben u.a. der exakten Definition der 𝜀 −Umgebung ebenfalls der
„Nulltrick“ im letzten Schritt verwendet.
Das zeigt, dass 𝑈𝜀 (𝑦) ⊂ 𝐵(𝑎, 𝑟) ist.
Betrachtet man nun noch einmal Definition 4.10 der Vorlesung, welche besagt, dass eine Menge M
genau dann offen ist, wenn sie für jeden ihrer Punkte eine Umgebung darstellt, so stellt man
schnell fest, dass die Behauptung nun bewiesen ist. Q.E.D.
Anhang (****):
 Achtung, für diesen Anhang werden grobe Kenntnisse über metrische Räume aus Annalysis 2
verwendet.
Sei 𝑋 = ℝ mit der Standard-Metrik. Dann gilt:
𝐵(𝑎, 𝑟)
𝑑(𝑥, 𝑎) < 𝑟 ⟺ |𝑥 − 𝑎| < 𝑟.
R
//Abb. 2 (selbst erstellt)
𝐵̅(𝑎, 𝑟)
R
Also ist 𝐵(𝑎, 𝑟) =]𝑎 − 𝑟, 𝑎 + 𝑟[ das offene Intervall der Länge 2r mit Zentrum a.
Analog ist 𝐵̅ (𝑎, 𝑟) = [𝑎 − 𝑟, 𝑎 + 𝑟] das abgeschlossene Intervall der Länge 2r mit Zentrum a.
3
Aufgabe 2:
Seien die reellen Funktionen 𝑓: 𝐷 → ℝ und 𝑔: 𝐸 → ℝ in 𝑡0 ∈ ℝ stetig.
Wir zeigen zuerst b und beweisen damit dann a.
b)
Behauptung: Sei f in 𝑡0 stetig und 𝑓(𝑡0 ) > 𝑑. Dann gibt es eine Umgebung U von 𝑡0 mit 𝑓(𝑡) > 𝑑 für alle
𝑡 ∈ 𝑈 ∩ 𝐷.
Widerspruchsbeweis: Wäre nämlich ein solches U nicht vorhanden, so gäbe es in jeder 𝛿 −Umgebung von
𝑡0 ein „Ausnahme-t“, also ein t mit 𝑓(𝑡) ≤ 𝑑. Insbesondere gäbe es in jedem 𝑈 1 (𝑡0 )
𝑛
ein 𝑡𝑛 mit 𝑓(𝑡𝑛 ) ≤ 𝑑. Dann strebe gewiss 𝑡𝑛 → 𝑡0 und infolgedessen existierte auch
lim 𝑓(𝑡𝑛 ). Aber dieser Grenzwert wäre ≤ 𝑑 und somit ≠ 𝑓(𝑡0 ), im Widerspruch zur
Stetigkeitsvoraussetzung. Also muss doch ein U von der beschriebenen Art
vorhanden sein.
w.z.b.w.
Das gerade bewiesene Verhalten ist eine „lokale Eigenschaft“, es geht dabei nur um das Verhalten in der
Nähe eines Punktes. Aber die Stetigkeit hat auch globale Konsequenzen: Der Graph einer stetigen
Funktion auf einem Intervall ist ein zusammenhänhängendes Gebilde. Beginnt er etwa unterhalb und endet
er oberhalb der x-Achse, so muss er dazwischen irgendwann einmal die Achse treffen.
a)
Behauptung: Gilt 𝑓(𝑡0 ) > 𝑔(𝑡0 ), so gibt es eine Umgebung U von 𝑡0 mit 𝑓(𝑡) > 𝑔(𝑡) für jedes
𝑡 ∈ 𝑈 ∩ (𝐷 ∩ 𝐸).
Beweis: ∀𝜀 > 0 ∃𝛿 > 0 ∀𝑥 ∈ 𝐷\{𝑎}: ( |𝑥 − 𝑡0 | < 𝛿 ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑡0 )| < 𝜀) da f ja in 𝑡0 stetig ist.
∀𝜀 > 0 ∃𝛿 > 0 ∀𝑥 ∈ 𝐸\{𝑎}: ( |𝑥 − 𝑡0 | < 𝛿 ⇒ |𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑡0 )| < 𝜀)
Für jede Folge (𝜏𝑛 ) ∈ 𝐷 mit lim 𝜏𝑛 = 𝑡0 gilt lim 𝑓( 𝜏𝑛 ) = 𝑓(𝑡0 )
𝑛→∞
𝑛→∞
Für jede Folge (𝜏𝑛 ) ∈ 𝐸 mit lim 𝜏𝑛 = 𝑡0 gilt lim 𝑔( 𝜏𝑛 ) = 𝑔(𝑡0 )
𝑛→∞
𝑛→∞
// Man kann einfach analog im obigen Beweis d wie folgt festlegen: Es sei 𝑑 ≔ 𝑔(𝑡0 ).
schreiben wir den Beweis nun noch einmal sauber auf.
Widerspruchsbeweis: Wäre nämlich ein solches U nicht vorhanden, so gäbe es in jeder 𝛿 −Umgebung von
𝑡0 ein „Ausnahme-t“, also ein t mit 𝑓(𝑡0 ) ≤ 𝑔(𝑡0 ), . Insbesondere gäbe es in jedem
𝑈 1 (𝑡0 ) ein 𝑡𝑛 mit 𝑓(𝑡𝑛 ) ≤ 𝑔(𝑡𝑛 ), . Dann strebe gewiss 𝑡𝑛 → 𝑡0 und infolgedessen
𝑛
existierte auch lim 𝑓(𝑡𝑛 ). Aber dieser Grenzwert wäre ≤ 𝑔(𝑡𝑛 ) und somit ≠ 𝑓(𝑡0 ),
im Widerspruch zur Stetigkeitsvoraussetzung. Also muss doch ein U von der
beschriebenen Art vorhanden sein. Mit diesem Widerspruch ist die Behauptung
wieder gezeigt. q.e.d.
4
Aufgabe 3: [Stetigkeit einer Funktion]
Zeigen sie: Sei 𝑓: 𝐷 → ℝ und es gilt lim 𝑓(𝑥) = lim 𝑓(𝑥), dann ist die Funktion in a stetig.
𝑥↗𝑎
𝑥↘𝑎
Zur ursprünglichen Formulierung der 3. Aufgabe lassen sich viele Gegenbeispiele finden. Deshalb habe ich
die Aufgabenstellung noch einmal richtig umgeformt. 
Behauptung: Sei a ein Häufungspunkt von 𝐷 ∩ (−∞, 𝑎)und von 𝐷 ∩ (𝑎, ∞). Zudem sei 𝑓: 𝐷 → ℝ .
genau dann ist f stetig, wenn gilt: lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) = lim 𝑓(𝑥)
𝑛↑𝑎
𝑛↓𝑎
// Die Behauptung folgt eigentlich unmittelbar aus den Definitionen.
Beweis:
„⇒“ Hinrichtung:
Angenommen f ist stetig in a.
Daraus folgt dann: ∀𝜀 > 0 ∃𝛿 > 0 ∀𝑥 ∈ 𝐷\{𝑎}: (|𝑥 − 𝑎| < 𝛿 ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)| < 𝜀)
// Jeder, der sich schon etwas mit Anna I auseinandergesetzt hat, kennt diese 𝜀, 𝛿 −Definition für die
Stetigkeit mittlerweile in uns auswendig. (sie ist auch wichtig für die Klausur ().
Dies impliziert wiederum: ∃ lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) (**)
𝑛→𝑎
// siehe dazu u.a. Satz 4.2 der Vorlesung (in diesem Satz sind weitere Referenzen auf andere Sätze und
Definitionen gegeben.
Daraus folgt letztendlich ∃ lim 𝑓(𝑥) und ∃ lim 𝑓(𝑥) mit lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) = lim 𝑓(𝑥).
𝑛↑𝑎
𝑛↓𝑎
𝑛↑𝑎
𝑛↓𝑎
„⇐“ Rückrichtung:
Angenommen es gelte lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) = lim 𝑓(𝑥) und es existieren der rechtsseitige und linksseitige
𝑛↑𝑎
𝑛↓𝑎
Grenzwert.
Daraus folgt dann nach Anwendung der Definition Ω in (**), dass 𝑓(𝑎) = lim 𝑓(𝑥).
𝑛→∞
Naja, dies steht nun wieder für die Stetigkeit. Es gilt also:
∀𝜀 > 0 ∃𝛿 > 0 ∀𝑥 ∈ 𝐷\{𝑎}: (|𝑥 − 𝑎| < 𝛿 ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)| < 𝜀)
Damit ist auch diese Richtung gezeigt.
Die Behauptung ist somit also bewiesen.
∎
(**) Definition Ω:
Sei 𝑓: 𝐷 → ℝ eine Funktion und a sei ein Häufungspunkt von D. Dann schreiben wir lim 𝑓(𝑥) = 𝑏, wenn
𝑥→𝑎
zu jedem 𝜀 > 0 ein 𝛿 > 0 existiert, sodass für alle 𝑥 ∈ 𝐷\{𝑎} gilt: |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝑏| < 𝜀.
(siehe u.a. in Rolf Walter „Analysis 1“ in Abschnitt 3.2)
Folgerung: Ist 𝑓: 𝐴 → ℝ stetig im Häufungspunkt a von A, so gilt lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎).
𝑥→𝑎

// Warum darf man im Beweis überhaupt den links- und rechtsseitige Grenzwerte betrachten? Da a nach
Voraussetzung sowohl "linksseitiger als auch rechtsseitiger Häufungspunkt" ist
5
Aufgabe 4: [Nullstellen eines Polynoms für ungerade n]
Zeigen Sie:
Seien 𝑎0 , … , 𝑎𝑛−1 ∈ ℝ gegeben. Zeigen Sie, dass die Gleichung 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + … + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 = 0
Für ungerade n mindestens eine Lösung besitzt.
Beweis:
Dazu definieren wir uns anfangs eine Funktion f mit 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + … + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 . Es soll
also nun gezeigt werden, dass f(x) für ein ungerades n eine nullstelle besitzt, also eine Lösung für die
Gleichung f(x) = 0.
//Damit wurde die Aufgabenstellung nicht geändert, jedoch haben wir uns nun eine Funktion gebastelt, bei
der wir alle Sätze der Vorlesung (u.a. Zwischenwertsatz) anwenden können. Man nennt f(x) übrigens
Polynom vom Gerad n.
O.B.d.A sei f normiert, d.h.
𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + … + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 = 𝑥 𝑛 (1 + 𝑎𝑛−1 𝑥 −1 + … + 𝑎1 𝑥 −𝑛+1 + 𝑎0 𝑥 −𝑛 ). (*)
Nun betrachten wir den Grenzwert, wenn x gegen + unendlich und gegen minus unendlich strebt.
// Bei Funktionen gelten auch die Grenzwertsätze wie bei den Folgen.
1
Für 𝑥 → ±∞ strebt 𝑥 gegen 0 und die Klammer in (*) daher gegen 0. Also verhält sich 𝑓(𝑥) wie 𝑥 𝑛 .
// Notation: Den Limes für x gegen ±∞ schreibt man auch mit dem Pfeil wie folgt: 𝑥 → ±∞.
Da n ungerade ist, gilt:
lim 𝑥 𝑛 = −∞ 𝑢𝑛𝑑
𝑛→−∞
lim 𝑥 𝑛 = +∞
𝑛→+∞
// Dies lassen wir erst einmal als Zwischenbehauptung 𝛼 stehen (intuitiv macht es natürlich Sinn)
Beschränkt man die stetige Funktion f auf ein Intervall [𝑒, 𝑔] mit 𝑒 < 0 < 𝑔, so dass die Beträge von e und
f hinreichend groß sind, so ist 𝑓(𝑒) < 0 und 𝑓(𝑔) > 0, und nach dem Zwischenwertsatz erhält man ein
𝜔 ∈ (𝑒, 𝑔) mit 𝑓(𝜔) = 0.
// Hier wurde also der Zwischenwertsatz 𝛽 und indirekt der Nullstellensatz angewendet, welcher sagt, dass
eine stetige Funktion auf einem kompakten Intervall mit mindestens einem Vorzeichenwechsel eine
Nullstelle hat. Also ist f(x) > 0 für genügend große x und f(x) < x für genügend kleine. Dazwischen muss
es einmal verschwinden. Zudem haben wir den Definitionsbereich von f einfach mal auf ein kompaktes
Intervall [… , …] beschränkt.
// Das Polynom x² + 1 hat, wie wir wissen, keine reelle Nullstelle (aber hier ist n auch gerade).
Über einen Punkt kann man im Beweis noch stolpern, wieso kann man eigentlich annehmen, dass f stetig
ist?
Dies folgt direkt aus dem Satz über rationale Operatoren [die Summe stetiger Funktionen ist ebenfalls
stetig, …]. D.h. Jedes Polynom 𝒑(𝒙) = ∑𝒏𝒌=𝟎 𝒂𝒌 𝒙𝒌 ist überall stetig. Man kann dies in Analysis 1 von
Theodor Bröcker in §3 in Anschluss an Satz 3.2 gerne nachlesen.
Damit ist nun alles gezeigt. ∎
6
Zwischenbehauptung 𝜶:
Es sei 𝑃: ℝ → ℝ ein Polynom der Gestalt 𝑃(𝑥) = 𝑥 𝑘 + 𝑎1 𝑥 𝑘−1 + … + 𝑎𝑘−1 𝑥 + 𝑎𝑘 (𝑘 ≥ 1)
+∞,
𝑓𝑎𝑙𝑙𝑠 𝑘 𝑔𝑒𝑟𝑎𝑑𝑒
−∞, 𝑓𝑎𝑙𝑙𝑠 𝑘 𝑢𝑛𝑔𝑒𝑟𝑎𝑑𝑒
𝑛→∞
𝑛→−∞
𝑎
𝑎
𝑎
𝑘
Beweis: Für 𝑥 ≠ 0 gilt 𝑃(𝑥) = 𝑥 𝑔(𝑥), wobei 𝑔(𝑥) = 1 + 𝑥1 + 𝑥²2 + … + 𝑥 𝑘𝑘 .
Behauptung: Dann gilt lim 𝑃(𝑥) = ∞ und lim 𝑃(𝑥) = {
1
Für alle 𝑥 ∈ ℝ mit 𝑥 ≥ 𝑐 ≔ max(1, 2𝑘|𝑎1 |, 2𝑘|𝑎2 , … , 2𝑘|𝑎𝑘 ||) gilt 𝑔(𝑥) ≥ 2 , also
1
𝑥
𝑃(𝑥) ≥ 2 𝑥 𝑘 ≥ 2. Sei nun (𝑥𝑛 ) eine beliebige Folge reeller Zahlen mit lim 𝑥𝑛 = ∞. Dann gilt
1
𝑥𝑛 ≥ 𝑐 für alle 𝑛 ≥ 𝑛0 , also 𝑃(𝑥𝑛 ) ≥ 2 𝑥𝑛 für 𝑛 ≥ 𝑛0 . Daraus folgt lim 𝑃(𝑥𝑛 ) = ∞. Die
𝑛→∞
Behauptung über den Limes für 𝑥 → −∞ folgt aus der Tatsache, dass 𝑃(−𝑥) = (−1)𝑘 𝑄(𝑥) mit
𝑄(𝑥) = 𝑥 𝑘 − 𝑎1 𝑥 𝑘−1 + … + (−1)𝑘−1 𝑎𝑘−1 𝑥 + (−1)𝑘 𝑎𝑘 .
w.z.b.w
7
Aufgabe 5: [Stetige Lösungen einer Funktionalgleichung]
Erinnern Sie sich an die Aufgabe 6 vom vierten Zettel:
Angenommen 𝑓: ℝ → ℝ erfüllt 𝑓(𝑥 + 𝑦) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦) für alle 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ. Zudem sei f nun
Stetig auf ganz ℝ.
Zeigen Sie, dass ein 𝑐 ∈ ℝ existiert mit 𝑓(𝑥) = 𝑐 ∙ 𝑥 für alle 𝑥 ∈ ℝ.
Behauptung: ∃ 𝑐 ∈ ℝ ∶ 𝑓(𝑥) = 𝑐 ∙ 𝑥 ∀ 𝑥 ∈ ℝ
Beweis 1: Zunächst ist klar, dass die Funktion 𝑥 → 𝑐𝑥 der Funktionalgleichung genügt. Sei umgekehrt
𝑓: ℝ → ℝ eine stetige Funktion, die der Funktionalgleichung genügt. Wir setzen 𝑐 ≔ 𝑓(1).
Für eine natürliche Zahl 𝑛 ≥ 1 folgt aus der Funktionalgleichung 𝑓(𝑛𝑥) = 𝑛𝑓(𝑥), insbesondere
𝑓(𝑛) = 𝑐𝑛.
Aus der Funktionalgleichung folgt außerdem 𝑓(0) = 0 und 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥) ∀𝑥 ∈ ℝ.
Daher gilt 𝑓(𝑛𝑥) = 𝑛𝑓(𝑥) ∀ 𝑛 ∈ ℤ.
Sei nun
d.h.
𝑝
𝑞
∈ ℚ, 𝑝, 𝑞 ∈ ℤ, 𝑞 ≠ 0. Dann ist
𝑝
𝑝
𝑝𝑐 = 𝑓(𝑝) = 𝑓 (𝑞 ∙ ) = 𝑞𝑓 ( )
𝑞
𝑞
𝑝
𝑝
𝑓( ) = ∙𝑐
𝑞
𝑞
Also gilt 𝑓(𝑥) = 𝑓(1)𝑥 = 𝑐𝑥 ∀𝑥 ∈ ℚ.
// Das wurde bereits partiell in Übung 6 gezeigt.
Aus der Stetigkeit von f folgt, dass 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑥 ∀𝑥 ∈ ℝ. Dann sei 𝑥 ∈ ℝ beliebig und (𝑥𝑛 )𝑛∈ℕ
eine Folge rationaler Zahlen, die gegen x konvergiert, dann gilt:
𝑓(𝑥) = 𝑓 ( lim 𝑥𝑛 ) = lim 𝑓(𝑥𝑛 ) = lim 𝑐𝑥𝑛 = 𝑐 lim 𝑥𝑛 = 𝑐𝑥
𝑛→∞
𝑛→∞
𝑛→∞
𝑛→∞
// Dies gilt aufgrund der Rechenregel mit Grenzwerten und zahlreicher Definitionen.
Damit ist nun wieder alles gezeigt.
Q.E.D.
Beweis 2:
𝑓|ℚ ist gleichmäßig stetig, besitzt also genau eine Fortsetzung auf die abgeschlossene Hülle von ℚ, d.h.
auf ℝ. Diese Fortsetzung ist 𝑥 ↦ 𝑐𝑥 für 𝑥 ∈ ℝ
∎
// Dieser Beweis ist zwar ebenfalls korrekt, jedoch wurde in unserer Vorlesung leider noch nicht die stetige
Fortsetzung bzw. der Abschluss einer Menge thematisiert.
Zugabe: In einem archimedisch angeordneten Körper K liegen die „rationalen Zahlen“ überall dicht. Der
Beweis dafür befindet sich in Anhang 𝜀. Wird 𝑥 ∈ 𝐾 durch [𝑎𝑛 , 𝑏𝑛 ] mit rationalem 𝑎𝑛 , 𝑏𝑛
„eingeschachtelt“, so folgt wegen 𝑓(𝑎𝑛 ) = 𝑐 ∙ 𝑎𝑛 , 𝑓(𝑏𝑛 ) = 𝑐 ∙ 𝑏𝑛 aufgrund der Monotonie von f die
Abschätzung 𝑐 ∙ 𝑎𝑛 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑐 ∙ 𝑏𝑛 und damit 𝑓(𝑥) = 𝑐 ∙ 𝑥.
In der Zugabe wurde einmal gezeigt, dass in K, welches ein archimedisch geordneter Körper ist, jede
monotone Funktion 𝑓: 𝐾 → 𝐾, die die Funktionalgleichung 𝑓(𝑥 + 𝑦) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦) erfüllt, von der Form
𝑓(𝑥) = 𝑐𝑥 ist.
8
Anhang 𝜺: [ℚ liegt dicht in ℝ]
Behauptung: Zu je 2 reellen Zahlen a, b existiert mit a < b eine rationale Zahl r mit a < r < b.
1
Beweis: Ich wähle dazu ein 𝑛 ∈ ℕ mit 𝑛 < 𝑏 − 𝑎. Sei dann A die Menge der ganzen Zahlen > na. A ist
nach dem Archimedischen Axiom nicht leer, enthält also nach Satz (1) eine kleinste Zahl m.
Dann gilt:
𝑚
𝑚−1
1
𝑎 < 𝑛 = 𝑛 +𝑛 < 𝑎+𝑏−𝑎 =𝑏
Die rationale Zahl 𝑟 ≔
𝑚
𝑛
liegt also zwischen a und b.
□
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ergänzung:
Satz (1): Jede nach oben (unten) beschränkte, nicht leere Menge ganzer Zahlen enthält eine größte (kleinste) Zahl.
Beweis: Ich zeige, dass jede nicht leere Menge A natürlicher Zahlen eine Kleinste enthält. Die übrigen Fälle lassen
sich darauf durch Verschiebung, d.h. Übergang zu einer Menge 𝜗 + 𝐴 ≔ {𝜗 + 𝑎|𝑎 ∈ 𝐴}, und Spieglung an 0, d.h.
Übergang zu −𝐴 ≔ {−𝑎|𝑎 ∈ 𝐴}, zurückführen.
Angenommen es sei 𝐴 ⊂ ℕ eine nicht leere Teilmenge, die keine kleinste Zahl enthält. Dann gilt: (*) 𝐴 ∩ {1, … , 𝑛}
ist leer für jedes n ∊ ℕ. Das stimmt für n = 1; sonst wäre 1 eine kleinste Zahl von A. Ferner folgt aus „𝐴 ∩
{1, … , 𝑛} = ∅“ auch „𝐴 ∩ {1, … , 𝑛 + 1} = ∅“; sonst wäre n + 1 eine kleinste Zahl von A. Die hiermit gezeigte
Feststellung (*) impliziert nun 𝐴 = ∅ im Widerspruch zur Voraussetzung.
□
9
Zusatzaufgabe 1:
Behauptung: Sei 𝑀 ⊂ ℝ, dann ist 𝑎 ∈ ℝ Mengen-Häufungspunkt von M genau dann, wenn es eine
injektive Folge (𝑥𝑛 ) mit 𝑥𝑛 ∈ 𝑀 gibt mit lim 𝑥𝑛 = 𝑎.
𝑛→∞
// Erinnerung: Man bezeichnet die Menge der Häufungspunkte von A mit H(A).
Umformulierung (der Behauptung): 𝑎 ∈ 𝐻(𝑀) ⟺ ∃(𝑥𝑛 )𝑛∈ℕ , 𝑥𝑛 ∈ 𝑀\{𝑎}, lim 𝑥𝑛 = 𝑎 (z.z.)
𝑛→∞
Beweis:
„⇒“ Hinrichtung:
Sei 𝑎 ∈ ℝ Mengenhäufungspunkt von M. Wir „basteln“ uns dazu eine Folge (𝑥𝑛 ):
𝑥1 ∈ (𝑎 − 1, 𝑎 + 1) ∩ 𝑀
𝑥1 ≠ 𝑎
unendlich
1
1
𝑥𝑛 ∈ (𝑎 − , 𝑎 + ) ∩ 𝑀
𝑛
𝑛
𝑥𝑛 ≠ 𝑎
unendlich
1
Dies impliziert dann: 𝑥𝑛 ∈ 𝑀\{𝑎} und |𝑥𝑛 − 𝑎| < 𝑛 ⟺ lim 𝑥𝑛 = 𝑎. Damit ist die eine Richtung schon
𝑛→∞
gezeigt.
„⇐“ Rückrichtung:
Sei nun (𝑥𝑛 )𝑛∈ℕ mit 𝑥𝑛 ≠ 𝑎 und 𝑥𝑛 ∈ 𝑀, außerdem sei lim 𝑥𝑛 = 𝑎. Es folgt daraus nach Satz 𝜏2 , dass
𝑛→∞
eine konvergente Teilfolge mit dem selben Limes existiert, also ∃(𝑥𝑛𝑘 )
lim (𝑥𝑛𝑘 ) = 𝑎 und 𝑥𝑛𝑘 ≠ 𝑥𝑛𝑙 mit 𝑙 ≠ 𝑘.
𝑘→∞
𝑘∈ℕ
Teilfolge von (𝑥𝑛 ) mit
// Es gilt hierbei nämlich 𝑥𝑛𝑘 → 𝑎
Außerdem sei 𝑥𝑛1 = 𝑥1 .
Aus 𝜀 = |𝑥𝑛1 − 𝑎| > 0 folgt: ∃𝑛2 : |𝑥𝑛2 − 𝑎| < 𝜀 = |𝑥𝑛1 − 𝑎| ⇒ 𝑥𝑛2 ≠ 𝑥𝑛1 . Nun setzt man das Verfahren
induktiv fort. Dann erhalten wir eine konvergente Teilfolge, welche gegen a strebt: 𝑥𝑛𝑘 → 𝑎 für 𝑘 → ∞.
Es gilt somit: lim 𝑥𝑛𝑘 = 𝑎. (***) Sei nun U eine Umgebung von unserem Häufungspunkt a [𝑈𝑎 ], dann
𝑘→∞
folgt daraus (aus (***)), dass U fast alle (bis auf endlich viele), also unendlich viele 𝑥𝑛𝑘 ∈ 𝑀 enthält. Dies
impliziert wiederum, dass unsere Umgebung U unendlich viele Elemente aus M enthält. Betrachtet man
nun die Definition 𝜏3 der Mengen-Häufungspunkte, dann stellt man fast, dass wir mit der Rückrichtung
fertig sind.
Damit ist die Behauptung vollständig beweisen.
∎
Satz 𝜏2 : [Satz von Bolzano Weierstraß]
Jede beschränkte Folge besitzt eine konvergente Teilfolge
Beweis: Wähle eine monotone (=injektive) Teilfolge nach Lemma, sie konvergiert. 
Definition 𝜏3 : [Mengen-Häufungspunkt]
Sei 𝐴 ⊂ ℝ und 𝑎 ∈ ℝ.
// 𝑎 ∈ 𝐴 muss übrigens nicht unbedingt gelten.
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Es hießt dann a Mengen-Häufungspunkt der Menge A, wenn in jeder Umgebung von a unendlich viele
Elemente von A liegen.
//Bei Interesse kann man die ausführlich erklärte Definition in Analysis 1 von Theodor Bröcker nachlesen
(§2 Satz 2.11ff.). Besser ist der Sachverhalt noch in Analysis 1 von Martin Barner und Friedrich Flohr
beschrieben. Dort sollte man Kapitle 7.2 (Topologie von ℝ) durchlesen.
Satz 𝜏4 : [Bolzano-Weierstraß]
Jede unendlich beschränkte Teilmenge M von ℝ besitzt mindestens einen Häufungspunkt.
Beweis: Dieser Beweis ist sehr interessant: Da M unendlich ist, gibt es eine injektive Abbildung f von ℕ in
M. Diese Folge (𝑓𝑛 ) ist nach Voraussetzung beschränkt, besitzt also nach Satz τ2 eine konvergente
Teilfolge. Der Grenzwert a dieser Teilfolge ist Häufungspunkt der Menge; denn in jeder Umgebung von a
liegen fast alle, d.h. unendlich viele Werte der Folge. Nach Definition von f sind diese Werte Elemente von
M, die wegen der Injektivität paarweise verschieden sind. Man kann den Beweis für den Satz von BolzanoWeierstraß direkt mittels der Intervall-Halbierungsmethode führen. 
Bemerkung:
Der Satz zeigt, dass 𝑎 ∈ 𝐻(𝑀) ⟺ 𝑎 Häufungspunkt einer Folge aus 𝑀\{𝑎}.
Erinnerung  Wichtige Sätze:
[Zwischenwertsatz 𝜷]
Eine stetige Funktion f : [a, b]   nimmt jeden Wert zwischen f(a) und f(b) an.
(Beweis S. 59) Der Satz besagt, dass die reelle Gerade und daher ein Intervall keine Löcher hat und
Nirgends auseinanderfällt.
[Mittelwertsatz der Integralrechnung]
Sei f eine stetige und p eine integrable Funktion auf [a, b] und sei p  0 . Dann existiert ein
  [a, b] , sodass:
b
b
a
a
 f  p  f ( )   p .
b
Für p = 1 folgt insbesondere:
f
 f ( )  (b  a) .
a
(Beweis S. 87f.) Der Satz bedeutet für eine positive Funktion f, dass die Fläche unter dem Graphen
von f gleich der Fläche des Rechtecks mit den Seitenlängen f ( ) und b – a bzw.
b
 p ist.
a
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[Satz von Rolle]
Sie f eine stetige Funktion auf dem kompakten Intervall [a, c], und sei sie auf dem offenen Intervall
(a, c) differenzierbar. Ist dann f(a) = f(c) = 0, so existiert ein b ∈ (a, c) mit f‘(b) = 0.
(Beweis S. 94) Der Satz besagt, dass zwischen zwei Nullstellen einer differenzierbaren Funktion
eine Nullstelle der Ableitung liegen muss.
[Mittelwertsatz der Differentialrechnung]
Sie f eine stetige Funktion auf dem kompakten Intervall [a, c], und sei sie auf dem Inneren
(a, c) differenzierbar. Dann existiert ein Punkt b ∈ (a, c) mit f (c)  f (a)  f ' (b)  (c  a)
(Beweis S. 95) Der Satz besagt, dass es eine Stelle im Intervall (a, c) gibt, an der die
Tangentensteigung mit der Steigung der Sekante durch die Punkte (a, f(a)) und (c, f(c)) gleich ist.
[Hauptsatz F '  f ]
x
Ist a ∈ D und f stetig auf D, so ist x 
 f (t )dt
eine Stammfunktion von f auf D. Ist also F
a
x
irgendeine Stammfunktion von f, so ist
 f (t )dt  F ( x)  F (a) : [ F ]
x
a
a
(Beweis S. 101) Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung sagt erstens aus, dass
Differenzieren das Integrieren sozusagen wieder rückgängig macht und zweitens, wie wir ein
Integral berechnen.
Letztes Update: Freitag am 10. 06. 2011 um 03:26
(3529 Wörter)
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