I-Blatt4_2001 - Fachbereich Wirtschaftswissenschaften

Johann Wolfgang Goethe - Universität
Frankfurt am Main
Fachbereich Wirtschaftswissenschaften
Institut für Statistik und Mathematik
Prof. Dr. H. Rommelfanger
MATHEMATIK I FÜR WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFTLER
4. Übungsblatt
SS 2001
A.
Übungsaufgaben, die nach privater Vorbereitung in den Tutorien besprochen werden.
1.
Gegeben sind die Funktionen
f1(x) = 4x2 + 40x + 50
mit D1 = [-10, 0],
1
g1( y)  16
y
mit D3 = [-200, 200],
mit D2 = R,
g 2 ( y)   53 y3  2 y mit D4 = R.
a. Untersuchen Sie die vorstehenden Funktionen auf Symmetrie.
b. Ist die Verkettung gj  fi möglich? (Begründung!) Wenn ja, geben Sie die Funktionsgleichung z = h(x) = gj  fi(x) an.
c. In welchen Teilintervallen D*  D1 besitzt f1 eine Umkehrfunktion. Die Teilmengen D*
sind größtmöglich zu wählen. Wie lautet die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion?
f2(x) = 4x4 + 3x2
2.
Gegeben sei die reellwertige Funktion g: x  g(x) = -2x2 + 6x.
a. Bestimmen Sie die größtmögliche Definitionsmenge D  R von g. Begründung!
b. Bestimmen Sie den Scheitelpunkt der quadratischen Funktion y = g(x)!
c. Zeichnen Sie in ein (x, y)-Koordinatensystem den Scheitelpunkt (xs, ys) ein und errichten
Sie dort das (X, Y)-Koordinatensystem.
Zeichnen Sie die Funktion Y = aX2 in das (X, Y)-Koordinatensystem.
d. Ist g in [-3, +7] konvex oder konkav? Begründung! (Verbale Begründung an Hand einer
Zeichnung genügt!)
  D besitzt g : D
  R eine Umkehrfunktion? Begründung!! Wie
e. Für welche Mengen D
lauten die Funktionsgleichungen der Umkehrfunktionen?
Lösungshinweise: D = R, (xs, ys) = ( 23 , 92 ), a = -2, konkave Funktion,
g 1 ( y)  3  1 9  2y für D̂ ]  , 3 ], g 1 ( y)  3  1 9  2y für D̂  [ 3 ,  [ .
2
3.
2
2
2
2
Zeichnen Sie in eine cartesische Koordinatenebene die Mengen
M1 = {(x, y)  R2 | 8x + 2y  x2 + 5},
M2 = {(x, y)  R2 | |x - 4| + 2y  6}
und
M = {(x, y)  M2 \ M1| y  0}.
Welche Randpunkte gehören nicht zu M?
Zusatz: Zeichnen Sie weiter in die Koordinatenebene ein
 ein Dreieck mit den Eckpunkten (3, -4), (5, -4) und (4, - 92 ),
 eine Gerade zwischen den Punkten (4, -1) und (4, -3),
,  1).
 je einen kleinen Kreis um die Punkte ( 52 ,  1) und ( 11
2
2
2
4.
3x  10
.
2x  4
a. Bestimmen Sie die größtmögliche Definitionsmenge D  R von f. Begründung!
b. Bestimmen Sie das Zentrum der gleichseitigen Hyperbel f(x) und ihren Formparameter K.
c. Markieren Sie den Zentrumspunkt in einem (x, y)-Koordinatensystem. Errichten Sie ein
(X, Y)-Koordinatensystem, dessen Ursprung im Zentrum liegt und dessen Achsen parallel
zu den (x, y)-Achsen verlaufen.
Gegeben sei die reellwertige Funktion f: x 
Zeichnen Sie in das (X, Y)-Koordinatensystem den Graph der Funktion Y = K
ein.
X
d. Ist f im Intervall [-10, -2[ bzw. [3, 5] konvex oder konkav? Begründung!
e. Wie lautet die Umkehrfunktion der Funktion f : D  R? Existenz?
Lösungshinweise: D = R \ {-2}, (xz, yz) = (-2,  23 ), K = -2, x = f -1(y) =
 2y  5
y  23
.
5.
Zeichnen Sie in eine cartesische Koordinatenebene die Mengen
M1 = {(x, y)  R2 | xy - 3x - 2y  -4},
M2 = {(x, y)  R2 | 2y - x  6},
M3 = {(x, y)  R2 | y - 2x + 3  0}
und
M = M1  M2  M3 .
Gehören die Randpunkte von M mit zur Menge?
6.
Berechnen Sie - falls vorhanden - folgende Grenzwerte (bzw. die rechts- und/oder
linksseitigen Grenzwerte)
2x  6
2x 3  6x  5
3x  2
a. lim
b. lim
c. lim
3
2
2
x 3 | x  3 |
x    8x  3x  1
x   2x  1
2
1
 5
4  2x
( x  1)( x  3)
x3 x
d. lim
e. lim
f. lim
2
4
3
x 2 | x  2 |  4
x 0 3
x  3 x  7x  12


4
3
x
x
x
2
6  2x
x x 6
g. lim
h. lim
x  3 ( x  3) 2
x 2 x 2  4
Lösungshinweise:
7.
a. 0;
b.  14 ;
d. -2;
e. 0;
f. -2;
g.
5
4
.
Bestimmen Sie eine rationale Funktion f(x) so, daß sie die folgenden Eigenschaften aufweist:
i. eine einfache Nullstelle in x1 = -5,
ii. eine zweifache Nullstelle in x2 = 3,
iii. eine Polstelle mit wechselndem Vorzeichen in x3 = 0,
iv. eine Polstelle mit gleichem Vorzeichen in x4 = -2,
v. eine hebbare Unstetigkeitsstelle in x5 = 7,
vi. für x  + die Asymptote y = -5.
Zeigen Sie durch Bildung des Grenzwertes, daß y = -5 auch für x  - eine Asymptote von
f(x) bildet.
3
8.
Für welche Argumente ist die Funktion
7x( x  2)( x  11)
f(x) =
stetig?
x 2  2x  8
(Für alle x  R ist die Stetigkeit zu begründen bzw. durch Grenzwertbildung aufzuzeigen, um
welche Art von Unstetigkeitsstelle es sich handelt!)
9.
Gegeben sei die Funktion f: [-5, 3]  R
 ( x  a )2  3 für  5  x  1
mit
f(x) = 
für  1  x  3
 2x
a. Sei a = 3. Wo ist diese Funktion stetig? Begründung! Liegt an den Unstetigkeitsstellen
rechts- oder linksseitige Stetigkeit vor?
b. Bestimmen Sie a  R so, daß f in [-5, 3] stetig ist.
c. Untersuchen Sie die stetige Funktion f mit a > 0 im Intervall ]-5, 3[ auf Differenzierbarkeit.
Bilden Sie, soweit möglich, die 1. Ableitung von f.
Lösungshinweis:
b. Mit a = 2 oder a = 0 ist f stetig in [-5, 3].
B.
Weitere Aufgaben für die Tutoren- oder Plenumsübungen und zur privaten
Bearbeitung
10.
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion zu der injektiven Funktion
fi: Di  R, Di  R. Für Di ist die größtmögliche Definitionsmenge zu wählen.
3
a. y  f1 ( x )  2 
b. y  f 2 ( x )  8 x 3  2
x
2x  7
c. y  f 3 ( x ) 
d. y  f 4 ( x )  2 x 2  12 x  23 für x < 3
3x  1
11.
a. Ist die Funktion f: A = [-4, 8]  B = [-1, 5]
x  y = f(x) = 12 x  1
injektiv bzw. surjektiv? (Begründung!)
b. Geben Sie die Funktionsgleichung einer bijektiven linearen Funktion
g: C = [1,6]  D  R
y  z = g(y) = by + c
an, welche die Steigung b = 12 aufweist und durch den Punkt (y1, z1) = (1, 0) geht. Wie
muß D gewählt werden?
c. Ist eine Verkettung g  f: A  D möglich? (Begründung!)
Lösungshinweise:
5
2
a. f ist injektiv und surjektiv;
b. z = g(y) = 12 y  12 mit D = [0,
];
c. Nein, da [-1, 5]  [1, 6].
12.
a. Überprüfen Sie die folgenden Funktionen auf Symmetrie in der größtmöglichen Definitionsmenge auf R:
4
i.
f1(x) = (1 - x2) (x2 - 1)
ii.
f 2 (x ) 
7x
3
7
iii. f3(x) = 12 x 2  2x  4
5x  x
b. Besitzen die folgenden Funktionen eine Umkehrfunktion in der größtmöglichen
Definitionsmenge? Falls ja, bestimmen Sie für diese die Definitionsmenge und geben Sie
die Funktionsgleichung an.
4x  7
iv. y  g1 (x)  e x 2
v. y  g 2 (x) 
3x  6
13.
Stellen Sie mittels der Punktrichtungsgleichung die Gleichung der Geraden in R2 auf
a. durch den Punkt (x1, f(x1)) = (-2, -1) mit der Steigung b = 12
b. durch den Punkt (x2, g(x2)) = (3, -2) mit der Steigung b = -1.
Zeichnen Sie diese Gerade in einer cartesischen Koordinatenebene.
Lösungshinweise:
a. y  12 x ;
b. y = -x + 1.
14.
Zeichnen Sie in einer cartesischen Koordinatenebene den Graph der Funktion
a. f : [-1, 7]  R
b. g : [-4, 5]  R
x
x
 x - 3| - 2
 5 - |2x + 1|
15.
Eine Wachstumsfunktion sei als Exponentialfunktion W(x) = a + bcx darstellbar. Aufgrund
der empirischen Wertepaare
x
1
2
3
W(x)
8
10
14
sind die Koeffizienten a, b, c dieser Funktion zu berechnen.
Lösungshinweis: a = 6, b = 1, c = 2.
16.
Zeichnen Sie in eine cartesische Koordinatenebene die Mengen
M1 = {(x, y)  R2 | x2 + 2y + 4x + 2 > 0},
M2 = {(x, y)  R2 | 2y + 8  |3x + 6|}
und
M = (M2  M3) \ M1
mit
M3 = {(x, y)  R2 | y + 3  0}.
Gehören die Randpunkte von M mit zu dieser Menge?
17.
Berechnen Sie - falls vorhanden - folgende Grenzwerte
linksseitigen Grenzwerte)
7
 3 x2
4
2
4x  3x  9
a. lim
b. lim x
c.
5 3
x 0
x  12x 3  8x 2  5
2x   2
x x
2
9  3x
x  6x  9
d. lim
e. lim
f.
x3 x  6  9
x 3 ( x  3)( x  4)
g.
x2 3
lim
x  1 5x  5
h.
1
1
2
lim x
1
x 0
x
(bzw. die rechts- und/oder
4 ( x  1)2
x 1 2x  2
lim
lim
x 2
4x  8
( x  2) 2
5
Lösungshinweise:
b.
7
3
;
d. 0;
e. -3;
g.  15 .