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LMU MÜNCHEN
Mathematik für Studierende der Biologie – Wintersemester 2016/17
GRUNDLAGENTUTORIUM 4
Sebastian Groß
Grundlagentutorium:
Blatt abrufbar auf:
E-Mail:
Sprechzeiten:
Raum:
Tel.:
Mittwochs 16:00 – 18:00 | Großer Hörsaal Biozentrum
http://www.neuro.bio.lmu.de/teaching/  Mathematik für Biologen
[email protected]
Montags 12:30 – 13:30 | Donnerstags 12:30 – 13:30
D01.021
(089) 2180 – 74825
Anmerkung
Das Grundlagentutorium 5 am 16.11.16 entfällt. Als Ersatz hierfür wird das Blatt Nr. 5 samt Musterlösung
online gestellt werden. Bitte arbeiten Sie dieses selbstständig durch.
Am 23.11.16 findet dann regulär das Grundlagentutorium 6 statt.
Aufgabe 1 (Grenzwerte, Regel von de l‘Hospital)
Hinweis 1:
lim ist eine alternative Schreibweise für lim+ und bezeichnet den rechtsseitigen Grenzwert an der Null.
𝑥↘0
𝑥→0
Hinweis 2:
Denken Sie unbedingt an 𝑎 𝑥 = 𝑒 𝑥ln(𝑎) für alle reellen Zahlen 𝑥 und alle reellen Zahlen 𝑎 > 0.
Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte.
a) lim
sin(𝑥 2 )
𝑥
𝑥→0
b) lim
3x+10
𝑥→∞ 6𝑥−25
c) lim 𝑥 ∙ ln𝑥
𝑥↘0
d) lim 𝑥 𝑥
𝑥↘0
e)
f)
g)
2
lim (1 − )3𝑥
𝑥
𝑥→∞
lim (𝑒 3𝑥 − 1)𝑥
−1
𝑥→∞
lim (√𝑥 2 + 𝑥 − 1 − √𝑥 2 + 5)
𝑥→∞
h) lim
𝑥
𝑥→0 𝑒 𝑥
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1
i)
j)
k)
l)
lim(1 + ln𝑥)
𝑥↘0
lim (𝑒 𝑥 − 1) 𝑥
𝑥→∞
lim ((−𝑥) ∙ (−𝑥))
𝑥→∞
lim ((−𝑥) ∙ 𝑥³)
𝑥→∞
Aufgabe 2 (Umgekehrte Kurvendiskussion / „Steckbriefaufgaben“)
a) Bestimmen Sie ein Polynom vierten Grades, dessen Graph im Nullpunkt des Koordinatensystems
die Wendetangente mit der Gleichung 𝑦 = 𝑥 hat und im Punkt (2 / 4) die Steigung Null.
b) Bestimmen Sie ein zur 𝑦 −Achse symmetrisches Polynom vierten Grades, dessen Graph durch
den Ursprung geht und im Punkt (1 / −2) ein relatives Minimum besitzt.
c) Bestimmen Sie ein Polynom dritten Grades, dessen Graph zum Koordinatenursprung
punktsymmetrisch ist, im Intervall [0 ; 1] eine vollständig unter der 𝑥 −Achse liegende Fläche
1
vom Inhalt 1 einschließt und deren sämtliche Stammfunktionen in ( √6 / ? ) ein relatives
2
Minimum besitzen.
Aufgabe 3 (Extremwertproblem I)
Von jeder reellen Zahl 𝑥 im Intervall [0 ; 1] wird ihr Quadrat subtrahiert. Bei welcher Zahl 𝑥 wird diese
Differenz am größten und wie lautet dann die Differenz?
Aufgabe 4 (Extremwertproblem II)
Sei 𝑥 ∈ ℝ. Die Parabeln 𝑓(𝑥) = 𝑥² und 𝑔(𝑥) = −𝑥 2 + 6 schließen eine Fläche ein. In diese Fläche wird ein
Rechteck so gelegt, dass die Rechteckseiten parallel zu den Achsen des Koordinatensystems verlaufen.
Welche Koordinaten müssen die Eckpunkte des Rechtecks haben, damit der Flächeninhalt des Rechtecks
maximiert wird? Wie lautet dann der maximale Flächeninhalt?
Aufgabe 5 (Extremwertproblem III)
a) Formulieren Sie den Satz des Pythagoras inklusive seiner Voraussetzungen. Erklären Sie anhand
einer Skizze wie Sie mit diesem Satz den Abstand vom Koordinatenursprung zum Punkt (2 / 3)
berechnen können.
b) Zeigen Sie:
Sei 𝑓(𝑥) eine in ihrer Definitionsmenge überall differenzierbare Funktion, die nur positive Werte
annimmt, dann besitzt 𝑤(𝑥) = √𝑓(𝑥) an den gleichen Stellen die gleiche Art von relativen
Extrema wie die Funktion 𝑓(𝑥).
c) Sei 𝑥 ∈ ℝ. Welcher Punkt des Graphen der Funktion 𝑓(𝑥) = 4 − 𝑥 2 im I. Quadranten hat vom
Koordinatenursprung minimalen Abstand?
2