Blatt 7

K. Melzer WIB 1 Blatt 7 Differenzialrechnung II WS 2009/2010
Aufgabe 1: Bestimmen Sie für f (x) = x5 − x3 auf dem Definitionsbereich [−2; 2]
• Monotonieverhalten
• Extrema
• Krümmung
• Wendepunkte
Aufgabe 2: Skizzieren Sie das Schaubild der Funktion
f (x) = 2 − (x − 1)3
,
x ∈ IR
und berechnen Sie einen Näherungswert für die Nullstelle von f (x), indem Sie einige Schritte mit dem Newton-Verfahren durchführen. Wählen Sie dabei einen ganzzahligen Startwert
nahe der Nullstelle.
Aufgabe 3: Die Gesamtkostenfunktion K einer Fabrik, die Maschinen herstellt, sei gegeben
durch K(x) = 0, 01 x3 − 9x2 + 3000x + 250.000, die Kapazitätsgrenze xmax betrage 850
ME.
a) An welcher Stelle sind die Grenzkosten K 0 (x) minimal?
b) Die Stückkostenfunktion k(x) berechnet man als Gesamtkosten bezogen auf die Anzahl
der produzierten Maschinen. Bei welcher Produktionsmenge sind die Stückkosten am
geringsten? (Hinweis: Bestimmen Sie die Nullstelle mit Hilfe des Newton-Verfahrens,
Startwert z. B. x0 = 600) Wie hoch sind die Stückkosten in diesem so genannten
Betriebsoptimum“?
”
c) Bestimmen Sie die gewinnmaximale Absatzmenge des Unternehmens, wenn beim Verkauf von 800 Maschinen ein Gesamterlös von 2.280.000.- e erzielt wird. Wie hoch ist
der maximale Gewinn?
Annahme: Es herrscht vollständige Konkurrenz, d.h. das Unternehmen hat keine Möglichkeit den Marktpreis über seine eigene Angebotsmenge zu beeinflussen, denn der Käufer
kann ja zum Konkurrenten abwandern. Der Anbieter muss den Marktpreis akzeptieren;
der Preis ist in diesem Fall eine Konstante p(x) = p.
Aufgabe 4: Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte:
cos x − 1
x→0
x2
ex − x − 1
b) lim
x→0
x2
sin x − x
c) lim
x→0
x3
a) lim
d) lim x2 · e−x
x→∞
e)
lim
x→0,x>0
√
x · ln x
x3 − x2 − x − 2
x→2 x3 − 3x2 + 3x − 2
f) lim
Aufgabe 5: Warum führt die folgende Anwendung der Regel von Bernoulli-de L’Hospital zu
einem falschen Ergebnis? Und wie lautet der richtige Grenzwert?
x3 + x2 − x − 1
3x2 + 2x − 1
6x + 2
=
lim
= lim
=4
2
x→1
x→1
x→1
x −1
2x
2
lim