Blatt 7

K. Melzer WIB 1 Blatt 7 Differenzialrechnung III SS 2010
Aufgabe 1: Gegeben sei die Funktion f (x) = 3ex + 1 + cos x.
a) Wie lautet die Gleichung der Tangente an f (x) im Punkt P (π|f (π))?
b) Wie lauten die Schnittpunkte dieser Tangente mit den Koordinatenachsen?
Aufgabe 2: Gegeben ist die Abhängigkeit eines Preises p von der nachgefragten Menge x
durch folgende Funktion:
√
p(x) = 1000 − 10x + 10
a) Ermitteln Sie die Elastizität p (x) an der Stelle x = 10.
b) Wenn dort die Stückzahl um +10% geändert wird, um wie viel % ändert sich dann
näherungsweise p?
Aufgabe 3: Bei der Herstellung der Outputmenge
x [ME] eines Gutes entstehen Gesamtkos√
2
ten, die durch die Kostenfunktion K(x) = x + 2x + 9 [in Geldeinheiten GE] beschrieben
werden.
a) Berechnen Sie die Grenzkosten für die Outputmenge x0 = 8 [ME].
b) Wie ist der in a) berechnete Wert zu interpretieren?
c) Benutzen Sie das Resultat aus a), um näherungsweise die Änderung der Kosten zu
ermitteln, wenn die Produktionsmenge von x0 = 8 auf 8,05 [ME] erhöht wird.
d) Berechnen Sie die Outputelastizität der Kosten für die Outputmenge x0 = 9 [ME].
Reagieren die Gesamtkosten hier elastisch oder unelastisch auf Änderungen des Outputs?
e) Bestimmen Sie näherungsweise, wie sich die Gesamtkosten prozentual ändern, wenn
man die Outputmenge x0 = 9 [ME] um 2% erhöht.
K(x)
f ) Berechnen Sie die Elastizität der Durchschnittskostenfunktion k(x) = x bezüglich
des Outputs für die Produktionsmenge x0 = 9 [ME]. Ist k(x) hier elastisch oder unelastisch?
g) Wie ändern sich die Durchschnittskosten prozentual (näherungsweise), wenn die in f)
angegebene Produktionsmenge um 2% erhöht wird?
Aufgabe 4: Berechnen Sie die Grenzwerte mit Hilfe des Satzes von Bernoulli-de l’Hospital:
√
√
x
2
x
−
1
2
−
− 2x − e−x
√4 − x
b) lim
c) lim e x
a) lim
2
− sin x
ln x
x→0 3 −
x→0
x→1+
9 − x 2
d) lim 4x2 − 2x + 5
e) lim (1 − x) tan πx
f) lim x2 ln x
2
x→∞ 2x + 3x + 1
x→1
x→0+
Aufgabe 5: Warum führt die folgende Anwendung der Regel von Bernoulli-de L’Hospital zu
einem falschen Ergebnis? Und wie lautet der richtige Grenzwert?
x3 + x2 − x − 1
3x2 + 2x − 1
6x + 2
=
lim
= lim
=4
2
x→1
x→1
x→1
x −1
2x
2
lim
Aufgabe 6: Gegeben ist die Funktion f : IR+ → IR mit
f (x) = ln x2x + 3
e
a) Bestimmen Sie den lokalen Extremwert von f . Handelt es sich um einen Hoch- oder
einen Tiefpunkt?
b) Hat f Wendepunkte?
c) Führen Sie einen Iterationsschritt des Newtonverfahrens für den Startwert x0 = 1
durch (ohne Taschenrechner).
Aufgabe 7: Die Gesamtkostenfunktion K einer Fabrik, die Maschinen herstellt, sei gegeben
durch K(x) = 0, 01 x3 − 9x2 + 3000x + 250.000, die Kapazitätsgrenze xmax betrage 850
ME.
a) An welcher Stelle sind die Grenzkosten K 0 (x) minimal?
b) Die Stückkostenfunktion k(x) berechnet man als Gesamtkosten bezogen auf die Anzahl
der produzierten Maschinen. Bei welcher Produktionsmenge sind die Stückkosten am
geringsten? (Hinweis: Bestimmen Sie die Nullstelle mit Hilfe des Newton-Verfahrens,
Startwert z. B. x0 = 600) Wie hoch sind die Stückkosten in diesem so genannten
Betriebsoptimum“?
”
c) Bestimmen Sie die gewinnmaximale Absatzmenge des Unternehmens, wenn beim Verkauf von 800 Maschinen ein Gesamterlös von 2.280.000.- e erzielt wird. Wie hoch ist
der maximale Gewinn?
Annahme: Es herrscht vollständige Konkurrenz, d.h. das Unternehmen hat keine Möglichkeit den Marktpreis über seine eigene Angebotsmenge zu beeinflussen, denn der Käufer
kann ja zum Konkurrenten abwandern. Der Anbieter muss den Marktpreis akzeptieren;
der Preis ist in diesem Fall eine Konstante p(x) = p.