c)Quartile Eine Quartiel ist, wie der Median, ein Quantil, also ein

c)Quartile
Eine Quartiel ist, wie der Median, ein Quantil, also ein Lagemaß in der Statistik.
Wo Median den Mittelwert markiert, markiert der 1.Quartil und 3.Quartil die Viertelwerte.
1
3
4
4
1. Quartil entspricht somit 25% ( ) und das 3.Quartil 75% ( ). Der Median wird auch 2.Quartil genannt.
Bsp.: 10,9 | 11,3 | 11,8 | 12,4 | 12,7 | 13,5 | 20
Bereich für 1.Quartil
Bereich für 3.Quartil
Median
Um die Position vom 1. und 3.Quartil zu finden, berechnet man ersteinmal 𝑛 ∗ 𝑝 wobei p für das jeweilige Quartil (25% oder 75%) und n für die Anzahl
an Werten steht.
Im oberen Fall gilt 𝑛 = 7.
1
3
4
4
p ist entweder oder .
1
1.Quartil → 𝑛 ∗ 𝑝 = 7 ∗ = 1,75
4
3
3. Quartil → 𝑛 ∗ 𝑝 = 7 ∗ = 5,25
4
Ist das Ergebnis von 𝑛 ∗ 𝑝 nicht ganzzahlig, so berechnet man die Position des jeweiligen Quartils mit der Formel 𝑥[𝑛∗𝑝]+1.
Aus [𝑛 ∗ 𝑝] + 1 ergibt sich die genaue Position des Quartils wobei durch die Gauss-Klammern, Nachkommastellen ignoriert werden.
1
1.Quartil → [7 ∗ ] + 1 = 2 somit befindet sich das 1.Quartil an Position 2, also 11,3.
4
3
3.Quartil → [7 ∗ ] + 1 = 6 somit befindet sich das 3.Quartil an Position 6, also 13,5.
4
Wenn 𝑛 ∗ 𝑝 ein ganzzahliges Ergebnis liefert, nutzt man folgende Formel:
1
(𝑥 + 𝑥𝑛∗𝑝+1 )
2 𝑛∗𝑝
Hätten wir statt 7, 8 Werte (8 Wert mit 21), wäre das Ergebnis von 𝑛 ∗ 𝑝 ganzzahlig und die Quartilen würden wie folgt aussehen:
1
1
2
2
1.Quartil → (𝑥2 + 𝑥3 ) → (11,3 + 11,8) = 11,55
3
1
4
2
3.Quartil→ (𝑥6 + 𝑥7 ) → (13,5+20)=16,75
c2)Boxplot Diagramm
Ein Boxplot dient zur Veranschaulichung von Quantilen und der Verteilung von Werten.
Desto kleiner ein Boxplot ist, desto dichte ist liegen die Werte im vom Boxplot gezeichneten Bereich.
Genauso sieht es im Boxplot selber aus: desto kleiner ein Kasten im Boxplot ist, desto dichte ist die Verteilung der Werte in diesem Bereich.
Voraussetzung für die Richtigkeit eines Boxplot Diagramms ist, dass min. 50% der Werte im Boxplot liegen und min. 25% in jedem Kasten des Boxplot
sind.
Beispiel für ein Boxplot Diagramm.
d)geometrisches Mittel
Durchschnitt bei multiplikativ verknüpften Merkmalswerten (hauptsächlich Wachstum)
𝑥̅𝑔𝑒𝑚 = 𝑛√𝑞1 ∗ 𝑞2 ∗ 𝑞3 ∗ … ∗ 𝑞_𝑛 − 1
Bsp.: Wirtschaftswachstum über 5 Jahre
0-1
+5%
q1=1,05
1-2
+3%
q2=1,03
2-3
+7%
q3=1,07
3-4
+2%
q4=1,02
4-5
-8%
q5=0,92
5
𝑥̅𝑔𝑒𝑚 = √1,05 ∗ 1,03 ∗ 1,07 ∗ 1,02 ∗ 0,92 − 1 ≈ 0,0166 ≈ 1,66% 𝑑𝑢𝑟𝑐ℎ𝑠𝑐ℎ𝑛. 𝑗äℎ𝑟𝑙𝑖𝑐ℎ𝑒𝑠 𝑊𝑎𝑐ℎ𝑠𝑡𝑢𝑚 ü𝑏𝑒𝑟 5 𝐽𝑎ℎ𝑟𝑒
e)Modalwert
Ein Modalwert ist einfach nur der häufigste Wert einer Verteilung.