X. Quantisierung des elektromagnetischen Feldes

Hamiltonian des freien em. Feldes 1
Q M
R
N M
O
Hamiltonian des freien em. Feldes 3
J P
1. Hamiltonian des freien elektromagnetischen Feldes
8
<
<
<
8
I
-
4
"
"
Modenentwicklung (Moden ):
8
<
<
8
<
<
G
<
8
<
<
G
G <
#$"
#$"
!
<
8
<
<
<
8
<
8
<
<
<
<
<
<
<
8
8
8
<
<
Analog zur Lasertheorie kann das Feld in Moden entwickelt werden.
sind dann die zeitabhängige Entwicklungskoeffizienten.
Moden können in Wellenleiter oder Resonatorgeometrie bestimmt werden.
%
<
( +*)
,
'&
durch ebene Wellen
Im freien Raum sind die
<
;:
8
<
8
;:
<
8
;:
8
;:
1
KL
-B
;
H
;:
"
1
G
-
9
<
H
;
X. Quantisierung des elektromagnetischen Feldes
Elektromagnetische Feldenergie (klassisch):
I
"
;:
64 5
B -
EP
in den eindimensionalen
( B findet man so, weil
Maxwellgleichungen erfüllt sein muß.)
Einsetzen der Felder in den Hamiltonian:
gegeben.
Hier wird ein einfaches Bsp. berechnet:
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.3/14
12
Hamiltonian des freien em. Feldes 2
.-
;:3
/0
8
9
(Amplitude)
1
#
##
0
<
<
8
@
<
A
@ 2
/
<
<
?
<
8
<
8
<
erzeugt ein Photon in der Mode, vernichtet ein Photon in der Mode.
erfüllen als Photonoperatoren bosonischen Vertauschungsregeln.
ist der Anzahloperator für die Photonzahl in der quantisierten Mode.
- D
- B -C
<
I
-
4
<
"
"
1
;:3
"
1
KL
JF
-
64 5
<
8
;
H
3
I
<
G
9
<
G
EF
8
;
H
;:3
;
;
) in z polarsiert:
;:3
3
für eine Mode (
1
<
8
<
Heuristische Quantisierung:
mit Bosonvertauschungsregel:
<
>
8
Sprechweise:
;
(Eigenfrequenz)
=
"
+7
<
;:
<
8
1
< +7
(Moden)
1 -
46 5
Der Hamiltonian einer Lichtmode entspricht dem eines harmonischen
Oszillators mit den Erzeugern und Vernichtern und der
Quantisierungsenergie
.
3
Eindimensionaler Resonator
Hamiltonian des freien em. Feldes 4
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.1/14
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.4/14
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.2/14
Schrödingergleichung für das em. Feld 5
Der Photonzahlzustand 7
2.3 Der Photonzahlzustand
Zustand mit n Photonen.
.
2. Quantenzustände des Strahlungsfelds im freien Raum
2.1 Schrödingergleichung für das em. Feld
erzeugt ein Photon, vernichtet ein Photon in der vorgegebenen Mode.
stationäre Schrödingergleichung:
n
<
Experiment: Zeitpunkt und Energie der Emission ist
statistische Grösse im quantenmechanischen Sinn.
<
<
;:
8
|2>
?
<
8
ein solcher Zustand entsteht bei der spontanen Emission
(Übergang eines Atoms von angelegten in den Grundzustand
Photonen werden emittiert.)
n=3
-Eigenenergien, -Eigenfunktionen : sind zu bestimmen.
Lsg. erfolgt analog zum harmonischen Oszillator der Quantenmechanik
(ohne Beweis), dortige Ergebnisse sind:
0
Energie:
;:
a)
gesucht:
|1>
n: Anzahl der Photonen, die in Mode vorhanden sind.
,
&
Eigenfunktion:
beschreibt einen Zustand mit n Photonen in der betrachteten Mode.
8
0
G
<
<
<
<
8
8
G
b)
<
8
Mittelwert: n Photonen sind Mittel im Zustand.
<
Photonzahloperator (unterstrichen)
<
c)
Photonzahlzustand: Schwankung um den Mittelwert von n Photonen
verschwindet. Es liegen genau n Photonen vor.
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.7/14
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.5/14
Erwartungswert und Schwankung 6
Der Photonzahlzustand 8
Allg. Lsg. der zeitabhängigen Schrödingergleichung
"
G
0
!
<
&
orthogonal
"
beschreibt die Wahrscheinlichkeit,
bei einer Messung n Photonen vorzufinden.
?
0
mit
<
&
8
1
1
(!
N <
<
-
46 5
9
G
-
64 5
<
9
<
8
8
3
3
d)
:
0
falls Feld in Zustand , so gilt für das Feld
.
G
Photonzahlzustand:
=0, (überraschend), aber Energie
Bei einer Messung verschwindet der Mittelwert des Felds. Ebenso die
Erwartungswert von
usw. (Interpretation unten)
; :
2.2 Erwartungswert und Schwankung
8
8
ebenso für die Photonzahl :
<
<
<
G
<
<
G G
G
G
0
<
<
8
8
<
0
<
G <
<
G
<
G
<
<
<
8
8
8
<
<
G 8
G
8
G
<
Intensität berechnen mit
Offensichtlich verschwindet das Feldmittel, nicht das Intensitätsmittel
(Meßgröße!).
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.8/14
beschreibt das mittlere Meßergebnis und dessen statistischen
Schwankung um den Mittelwert
die Ergebnisse sind abhängig vom Zustand , in dem sich das
Strahlungsfeld befindet.
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.6/14
Der Photonzahlzustand 9
Der kohärente Zustand 11
Berechnung des E-Felds eines kohärenten Zustands:
I
!
B
0
7
9
0
( 7
B
( 7
Phasenmittel:
Das ist eine Feldmode mit Amplitude
.
Die Feldstärke eines kohärenten Zustands hat also einen endlichen
Erwartungswert.
; 46 5
-
46 5
>
( ( ( !
G
wird emittiert
N
>
( N
-
9
46 5
H
klassisches Analogon: Feld mit statistisch verteilten Phasen
(QM-Simulation mit klassischem Analogon)
0
!
( >
>
<
Intensität des Felds
?
<
8
>
Bedeutung von ?
Klassisch erwartetes Ergebnis: Intensität ist proportional zur Photonenzahl.
Statistisch verteilte Phase mitteln Feld zu null,
aber die Intensität ist ungleich null.
Quantenmech. Analogie: Wenn die Photonzahl (Intensität) genau bestimmt ist,
so ist die Phase unbestimmt.
Es existiert eine Unschärfe zwischen beiden (analog Ort/Impuls).
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.11/14
Der kohärente Zustand 12
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.9/14
Der kohärente Zustand 10
2.4 Der kohärente Zustand
(ÜA)
Quantenmechanik: Eine allg. Lsg. der Schrödingergleichung kann durch
Superposition von Photonenzahlzustände
aufgebaut werden:
&
(!
"
wählen
.
"( !
N (!
" b) Aber auch der kohährente Zustand unterliegt Quantenrauschen:
ist die Wahrscheinlichkeit, ein Zustand mit n Photonen zu messen.
;:
;:
N
(!
?
0
?
0
bei
+
<
Es gilt:
Je höher n, desto besser ist klassische Näherung!
Frequenz der betrachteten Mode.
.;
&
gilt
.
für
n
Photonen
60
40
20
a) Kohärente Zustände beschreiben Laserfelder weit oberhalb der Schwelle,
ebenso Felder, die von klassischer Quelle abgestrahlt werden.
(!
gemessene Verteilung
der Photoelektron
Dieser Zustand
heißt kohärenter Zustand, da er einen endlichen
Erwartungswert des Felds mit definierter Phase erzeugt.
& feste Photonzahl
thermisches Licht (Lampe)
In einer Messung werden Photoelektronen detektiert. Diese Photoelektronen unterliegen der obigen (Poisson- ) Statistik:
läßt auf die Statistik der Photonen zurück
schließen.
|Cn|2
<
ist Eigenfunktion des Vernichtungsoperators.
ist aber kein hermitischer Operator (ohne Beweis).
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.12/14
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.10/14
B
<
<
8
8
<
<
;:
<
<
;:
8
B ?
B
1
c) Ein kohärenter Zustand wird von ein klass. Strom erzeugt
(Rechtfertigung für klassische E-Dynamik).
zugehörige Lagrangefunktion ww
ww
Der kohärente Zustand 13
freie Anteil em.Felds
<
<
8
und
"
1
-
KL
4 <
G <
8
denn
;:
3
B
beschreibt die Wechselwirkung zw. klass. Strom
),
quantisiertem em. Feld (siehe:
gemessen
;:
Bei einer Messung (Photodetektor) wird Eigenzustand von
mit :
üA
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.13/14