III. Klassische EM-Felder in Vakuum

Wellengleichung im Vakuum 2
und
erfüllen (komponentenweise ) die homogene Wellengleichung
III. Klassische EM-Felder in Vakuum
Wellengleichung im Vakuum 1
Erinnerung: bei gewöhnlichen Differentialgleichungen n-ter Ordnung:
n-parametrische Lösungsschar (Fundamentalsystem mit n Konstanten)
Motivation: freie Ausbreitung von Feldern im Vakuum (Licht, Radio ...),
Berechnung der Felder ausserhalb von Quellen mittels Rand- bzw. Anfangswerten von
Feldverteilungen, z.B. Nahfeld in Nähe der Quelle sei bekannt: wie sieht Fernfeld aus?
partielle Dgl.: im allg. treten n unbestimmte Funktionen mit (p-1)
Variablen auf, wobei n die Ordnung der Dgl. (Ableitungen) ist und p die
Zahl der unabhängigen Variablen ist
wesentlich größere Lösungsmannigfaltigkeit
$
#
"
'
!
'
&
!
%
!
&
%
und
sind zwei unbestimmte Lösungen, von je einer Variablen (p-1=1)
-f und g beschreiben sich im Raum fortpflanzende Signale (Wellen), siehe
Beispiel in Abschnitt 4
: Lösung ist
die relevanten Lösungen sind aus Anfangsbedingungen bzw. durch
Randbedingungen festzulegen.
)
-Wellengleichung in
folgt die Wellengleichung für das elekrische und das magnetische Feld:
im Vakuum
(
Beispiel für 1d-Fall :
)
Aus mikroskopischen Maxwellgleichungen im Vakuum (
!
1. Wellengleichung im Vakuum
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.1/30
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.2/30
Ebene Welle als Fundamentallsg. 4
Spektralzerlegung 3
3. Ebene Wellen als Fundamentallösungen
Spektralanalyse eines Felds über Fourierzerlegung:
Fundamentallsg.: Satz von Basisfunktionen im Volumen V nach denen eine
Lösung entwickelt werden kann, jetzt: ebene Wellen als Fundamentallsg.:
@
?
=
8
/ 6
;:9 8
<
01
/>
=
9
54
+
,
54
9
!
(
7=
8
/ 6
;:9 8
<
01
*$
,
7=
/)
0 1
( /)! .
.!)( (1)
!
)( +
,
2. Spektralzerlegung: Experiment
.
.
,
ist eine Lösung der homogenen Wellengleichung (Vakuum),
:;9 8
<
01
=
9
7/
E
!
CD
Eκ
9
.
9 B
feste Zeit und Ortspunkt
vorausgesetzt.
9 .
9
B
Überlagerung nach Gl.(1) gibt volle Lösung wenn die Lösung für eine feste
Frequenz gefunden ist.
)
.
a) Orthogonalität
)(
die Überlagerung (Summe) gibt die allg. Lösung da das System vollständig ist.
.
9
9
B
9
.
9
B
k
Bκ
7
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.3/30
G
9
9
7
FB
bilden ein orthogonalen Satz von Vektoren.
Der Betrag von B und E unterscheidet sich durch c:
(
gemessen
.
() !
2 3
)(
/
0 1
() B
A
mit
Powerspektrum, am Ort
Ansatz zur Lösung von Wellengleichung :
ist eine monochromatische Lösung (feste Freq.
7
7
1
.
() (2)
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.4/30
Ebene Welle als Fundamentallsg. 5
:;9
<
b) Phasenfronten: Realteil bestimmt Messung
7/
!
A
, Ebenengleichung
"!
"
!
!
B
senkrecht auf den Ebenen steht (
)
A
B
(
Fläche konstanter Phase sind Ebenen
"
!
!
.
(
wobei
Phase der Welle
B
7 :;9
<
/
7/
B
:;9
A <
.
(
B
7 /
(
B
7 ;:9 8
<
01
:;9
<
7/
Re
=
/
7 :;9
<
Rotation einer ebenen Welle
?
=
=
/
!
(
.
B
ist eine unbedeutende Phase in
=
:;9 8
<
01
=
0
/ &
8
/
/ &
/ 9
:;9 8
<
01
B
ein Satz orthogonaler Basisvektoren
&
9 hier sind
)/
;:9 8
<
01
7
B
c) Polarisationseigenschaften: Richtung des E-Vektors f. festes
allgemeinste Darstellung einer Fundamentallsg.:
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.5/30
Ebene Welle als Fundamentallsg. 6
Ebene Welle als Fundamentallsg. 7
"
."
!
!
.
.
B
k
9
Der Winkel , den
mit der x-Achse
einschließt,
ändert sich mit der Winkelgeschwindigkeit .
Ensprechend der Richtung bezgl. in die sich der Winkel mit
fortschreitender Zeit dreht, nennt man das Feld
rechts (+) oder links (-) zirkular polarisiert.
sei
9
zu
&!
.
e1
k
Winkel von
(
.
!
B
(
$ B 9
/>
$ .
@
?
#
!
Ek
9 Rechnung für den zirkular polarisierten Fall:
e2
] bestimmt das meßbare Feld :
!
Re[
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.6/30
.
!
.
(
B
$ (
&!
B
$ !
Ek
Unterscheidung:
+ω t
+ polarisiert
Ek
!
B
ϕ
.
(
$
2. Fall: zirkular polarisiert
*"
G
7
B
zeitlich und räumlich konstant
-Feld Richtung steht fest im Raum bzgl. für alle Orte und Zeiten.
Die
Man nennt die Fundamentalwelle linear polarisiert.
1.Fall: linear polarisiert
(
.
!
B
Das E-Feld Vektor rotiert auf einen Kreis um die Ausbreitungsrichtung
mit der Winkelfrequenz . ( festgehalten und laufen lassen)
Man nennt diese Welle zirkular polarisiert.
−ω t
− polarisiert
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.7/30
k
e1
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.8/30
Ebene Welle als Fundamentallsg. 8
Ebene Welle als Fundamentallsg. 9
beliebig
da diese wieder 2 unabhängig Lösungen sind, kann man die Felder anstatt
zerlegen:
nach kartesischen Vektoren auch nach zirkularen Vektoren
/
3. Fall: elliptisch polarisiertes Licht
=
:;9 8
<
01
/
/
&
9
| E|
=
=
/
9
:;9 8
<
01
"
/
;:9 8
<
01
k
E bewegt sich auf Ellipse.
Bemerkungen:
B
/
so wie
ein vollständiges System bilden, sind
Polarisationsvektoren
auch ein vollständiges System in der Ebene senkrecht zu . In manchen
Anwendungen kann dies mehr angepasst sein.
z.B. Emission und Anregung von Atomen oft zirkular (Zeemaneffekt QM)
Die Polarisationseigenschaften (Vektororientierung des Felds) einer
Strahlungsquelle/ eines Strahlungsfelds sind wichtige Größen zu dessen
Charakterisierung.
B
Durch die sogenannten Stokes-parameter , die gemessen werden
können, kann die Polarisation einer -Fundamentallösung vollkommen
bestimmt werden. (siehe, z.B., in “Principles of Optics” von “M.Born &
E.Wolf”) , hier ohne Beweis
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.9/30
Zerlegung des elek. Felds in ebene Wellen 11
# )
$
L
_
2
L
"
-es gilt:
:
& =
*$
*$
B
/
01
<
*$
54
A
Einheitsvektoren pro
A
A
+
54
A
54
A
*$
*$
54
A
6
+
54
6
6
beschreibt eine Mode des em. Felds.
jedes Paar
B
A
B
.
ganze Zahlen
Übergang zur kontinuierlichen k-Verteilung:
$
:
!
( 6
98
!
per Def. :
Feld als Fourier-Reihe mit Amplitudefunktion
B
"
"
,
!
() &
!
period. Fortsetzung:
)( 0
B
stellen uns periodische Fortsetzung der Würfel vor
A
F
B
der Würfel enthält das gesamte Experiment
B
5
betrachten das Feld im Vakuum (endliches Volumen
Bemerkungen:
- k-Diskretisierung: analog QM Teilchen im Kasten
(
entspricht Resonantor f. das Feld)
- Die Zerlegung ist vollständig (Funktionensystem der ebenene Wellen).
- ebene Welle:
auf Ebene, in der das Feld schwingt:
zu jedem
gehören 2 orthogonale Einheitsvektoren um Feld darzustellen:
(Nummer : =1,2 für jedes feste )
-Zu einer Mode gehören zwei Grössen :
mit
3. Zerlegung des elektrischen Felds in ebene Wellen
Zerlegung des elek. Felds in ebene Wellen 10
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.10/30
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.11/30
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.12/30
Anfangswertproblem 13
Eindim. Modellfall für ein festes
+
(3d-analog), nehmen k kontinuierlich (dicht)
& =
8
7=
01
A
/
A-
+
7
/
0
A
-A
/
A
-A
+
!
Das elektrische Feld
( 7
/
0
A
-A
. A
/
$
.
A
A
-A
& 7
!
)(
$
!
)(
+
!
$
!
& 7
+
!
$
Das Feld
soll aus einer Anfangsverteilung für alle Zeiten bestimmt
werden. Dies kann bei bekanntem E-Feld und der Ableitung des E-Felds zur
gemacht werden:
Zeit
!
() !
7
8
4. Anfangswertprobleme für die Zerlegung nach ebenen Wellen
/
Anfangswertproblem 12
kann in ebene Wellen zerlegt werden:
&
$
A
A
.
A
A
.
&
/
$
7=
7
0
/
.
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.13/30
$
Dynamik eines bei
lokalisierten elektromagnetischen Pulses
lokalisierten elektromagnetischen Pulses
t
Beispiel: Dynamik eines bei
untersuchen:
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.14/30
Anfangswertproblem 15
Anfangswertproblem 14
,
A
Damit ist
bestimmt und das AWP gelöst, soweit
bekannt ist, denn diese können oben eingesetzt werden.
heraus und lösen das Anfangswertproblem.
nehmen jetzt eine Mode
,
*$
A
$
-
A
/) 0
54
7
/
+
,
!
:
&<
( 9
.
6
1
8
$
*$
54
-
&<
:
( / 0
9
6
7
+
*$
54
$
A
A
-
/
/ 0
7
& =
01
:
!
() <
6
9 8
+
durch Fouriertrafo invertieren
(Schnappschuss)
$
*
& 7=
+
/
0
A
& 7=
7
8
& 7=
,
+
7=
7
8
& 7=
/
0
A
0
,
*$
!
!
&
&
x
sind 2 Pulse die sich schon bei negativen Zeiten aufeinander zubewegt haben
!
0
,
*$
/
A
!
7
8
+
,
0
,
*$
*$
/
A
!
7
8
+
,
*$
/
0
A
7
8
+
!
*$
/)
0
& 7
+
A
Was erhält man für die Zeitdynamik?
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.15/30
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.16/30
Zylinder und Kugelwelle 17
Bisher: ebene Wellen (kartesische Koordinaten) als Fundamentallösung sind
u.U. nicht gut für axial- oder kugelsymmetrische Probleme geeignet,
Wellengleichungen auch in anderen Koordinaten untersuchen
.
in Zylinderkoord. verwenden.
1) Zylinderwellen werden axialsymmetrisch abgestrahlt ( -Abhängigkeit).
Flächen gleicher Phase sind Zylinder, ein- und auslaufend
2) Der Nenner sorgt für Energieerhaltung bei Ausbreitung in Tiefe des Raums
(Integration über Zylinderkoordinaten in
).
Zylinderwellen:
1
A4
A
1 %
Asymptotisch:
!
6
=
8
/
5. Zylinder und Kugelwelle
01 7
Zylinder und Kugelwelle 16
!
in Kugelkoord. verwenden.
!
1
&
1
&
Besselsche Dgl.
A
A
A
&
monoch. Lsg.
1
&
1
sind Hankelfunktion 1.& 2. Gattung
=
8
=
8
.
1
8=
=
8
1
A
()
/
01 .
1
in Kugelkoord.
Kugelwelle: kugelsymmetrisch:
&
,
zylindersymmetrisch:
suchen monochromatische Lsg.
&
&
&
in Zylinderkoord.
!
$
&
&
&
Kugelwellen:
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.17/30
Zylinder und Kugelwelle 18
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.18/30
Multipolentwicklung nach Kugelfunktionen - Abriß 19
Ziel: Lösung von Randwertproblemen,
in Kugelkoord. verwenden, Index unterdrücken,
eine Vektorkomponente betrachten
'
.
'
&
&
in Kugelkoord.
=
7
01
/
A
Ansatz ähnlich wie in QM bei Schrödingergleichung:
>
6
1
A
1 %
!
1
6
/
.
7
8
'
'
&
A
0
&
'
'
'
&
&
&
&
'
.
.
!
$
&
'
!
.
1
'
6.Multipolentwicklung nach Kugelfunktionen
kugelsymmetrische Abstrahlung. Flächen gleicher Phase=Kugeln.
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.19/30
(
sind die Kugelflächenfunktionen
& separiert den Winkelanteil und Radialanteil:
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.20/30
Multipolentwicklung nach Kugelfunktionen 20
, nehmen:
zur Entwicklung nach den Eigenfunktionen werden einige Identitäten benötigt:
>
( &
&
$
A
>
&
A
A
(
&
A
A
6
(
(2.Ordnungsgleichung)
&
>
ist
die allgemeine Lsg. für
A
G
Hankelfunktion 0-ter Ordnung
/
man nennt
)(
(
6
/
>
(und
) die Helmholtzgleichung
und Helmholtzgleichg. f. Feld E gilt) , daher:
(
also erfüllen
(weil
&
>
& (
(
A
&
&
>
A
(
&
$
()
& A
mal r nehmen, neue Koordinate
Multipolentwicklung nach Kugelfunktionen 21
für beliebige l sind die sphärischen Hankelfunktionen die Lsg.:
A
>
A
andererseits ist aus Maxwellgleichungen im Vakuum bekannt:
&
.
,
()
(
( A
( A
>
ist eine Überlagerung von aus und einlaufenden Wellen, siehe zB
das System ist vollständig
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.21/30
führen jetzt Entwicklungskoeffizienten
Gesamtfeld in ein Feld aus:
Multipolentwicklung nach Kugelfunktionen 23
Multipolentwicklung nach Kugelfunktionen 22
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.22/30
ein und unterteilen das
mit einer analogen Rechnung findet man für den Fall, daß das Feld ein reines
elektrisches Multipolfeld darstellt:
A
&
'
A
A
. Damit:
aus
& %
A
A
'
6
A A
'
A
'
& A
'
&
A
%
A
'
A
(
Die allgemeines Lösung in einer Multipolentwicklung ist die Summe aus E,M
Feldern und schreibt sich daher wie folgt:
& betrachten zunächst die M-Felder, Ansatz mit bequemen Vorfaktoren:
6
A (
(
und eines aus
b) mit elektrischen Multipolen:
(
(
%
A
a) mit magnetischen Multipolen:
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.23/30
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.24/30
Nahfeld-Fernfeld Transformation 24
Nahfeld-Fernfeld Transformation 25
=
8
(asymptotische Entwicklung)
Fernfeld:
auslaufend)
/
auswärtslaufende Wellen (Pluszeichen, weil
01 7
7
Ziel: Berechnung des Fernfelds einer Quelle aus gegebenen Randwerten
(Darstellung in Kugelkoordinaten, Kugelfunktionen)
Annahmen:
7. Randwertaufgabe für die Bestimmung eines Fernfelds
keine Ströme, keine Magnetisierung, d.h. elektrische Multipolfelder
)
sollten ausserhalb der Quelle vorliegen (
Randwerte
7
/
A
A
6
/
7
A
6
Fernfeld
Quelle
r
#
dabei:
&
(
A
Fernfeld:
suchen also Feld in großer Entfernung der Quelle
(im Vergleich zur Wellenlänge der emittierten Wellen)
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.25/30
Nahfeld-Fernfeld Transformation 27
jetzt mit , dann
Operator, in Fernfeld
multiplizieren, dann integrieren, Orthogonalität nutzen.
& A
+
A
& 7
A
& jetzt nutzen, daß E auf dem Rand bekannt ist, damit ist linkes Integral
festgelegt
damit folgt
.
7
A
6
/ A
/
6
der Abfall mit ist typisch für ein Fernfeld , E senkrecht B, siehe Kugelwelle
jetzt mit
multiplizieren um Koeffizienten zu bestimmen:
/
+
7
6
/
+
7
A
6
/ 7
6
/
7
A
betrachten das E-Feld, enthält Produktregel für den
nur Term
mitnehmen, da
Nahfeld-Fernfeld Transformation 26
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.26/30
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.27/30
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.28/30
Beispiel für eine Nahfeld-Fernfeld Transformation 28
=
0
78
>
* sind die gesuchten Felder im Fernfeld, damit ist das Randwertproblem gelöst.
Ausbreitung als Kugelwelle in
Richtung
vom Rand der Kugel aus,
Felder und Ausbreitungsrichtung stellen Dreibein dar.
<
:
/
7
()
*
/
0
/
=
78
>
* damit ergibt sich z.B. das B-Feld zu:
gegeben.
konkretes Beispiel:
auf einer Kugel mit dem Radius R sei das Feld durch
wir brauchen:
auf R
Beispiel für eine Nahfeld-Fernfeld Transformation 29
Bemerkung: kompliziertere Funktionen auf einem Rand müssen in das
vollständige Funktionensystem entwickelt werden,
dann erhält man ein lineares Gleichungssystem um alle Koeffizienten
bestimmen, dann kann die Lösung konstruiert werden.
/
zu
* >
7
A
& 7
/ *
>
A
+
durch einsetzen in die Koeffizientengleichung folgt:
alle anderen
sind Null.
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.29/30
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.30/30