Quantisierung des EM-Feldes

Hamiltonian des freien em. Feldes 1
X. Quantisierung des elektromagnetischen Feldes
1. Hamiltonian des freien elektromagnetischen Feldes
Elektromagnetische Feldenergie (klassisch):
!
Modenentwicklung (Moden ):
% ('&
)
durch ebene Wellen
$#
Im freien Raum sind die
"
Analog zur Lasertheorie kann das Feld in Moden entwickelt werden.
sind dann die zeitabhängige Entwicklungskoeffizienten.
Moden können in Wellenleiter oder Resonatorgeometrie bestimmt werden.
gegeben.
Hier wird ein einfaches Bsp. berechnet:
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.1/14
Hamiltonian des freien em. Feldes 2
Eindimensionaler Resonator
(Amplitude)
) in z polarsiert:
für eine Mode (
Heuristische Quantisierung:
mit Bosonvertauschungsregel:
(Eigenfrequenz)
(Moden)
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.2/14
Hamiltonian des freien em. Feldes 3
in den eindimensionalen
( B findet man so, weil
Maxwellgleichungen erfüllt sein muß.)
Einsetzen der Felder in den Hamiltonian:
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.3/14
Hamiltonian des freien em. Feldes 4
Der Hamiltonian einer Lichtmode entspricht dem eines harmonischen
Oszillators mit den Erzeugern und Vernichtern und der
Quantisierungsenergie
.
erzeugt ein Photon in der Mode, vernichtet ein Photon in der Mode.
erfüllen als Photonoperatoren bosonischen Vertauschungsregeln.
ist der Anzahloperator für die Photonzahl in der quantisierten Mode.
Sprechweise:
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.4/14
Schrödingergleichung für das em. Feld 5
2. Quantenzustände des Strahlungsfelds im freien Raum
2.1 Schrödingergleichung für das em. Feld
erzeugt ein Photon, vernichtet ein Photon in der vorgegebenen Mode.
stationäre Schrödingergleichung:
Energie:
a)
-Eigenenergien, -Eigenfunktionen : sind zu bestimmen.
Lsg. erfolgt analog zum harmonischen Oszillator der Quantenmechanik
(ohne Beweis), dortige Ergebnisse sind:
Eigenfunktion:
#
b)
n: Anzahl der Photonen, die in Mode vorhanden sind.
,
Photonzahloperator (unterstrichen)
c)
beschreibt einen Zustand mit n Photonen in der betrachteten Mode.
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.5/14
Erwartungswert und Schwankung 6
Allg. Lsg. der zeitabhängigen Schrödingergleichung
%
d)
beschreibt die Wahrscheinlichkeit,
bei einer Messung n Photonen vorzufinden.
2.2 Erwartungswert und Schwankung
:
falls Feld in Zustand , so gilt für das Feld
ebenso für die Photonzahl :
beschreibt das mittlere Meßergebnis und dessen statistischen
Schwankung um den Mittelwert
die Ergebnisse sind abhängig vom Zustand , in dem sich das
Strahlungsfeld befindet.
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.6/14
Der Photonzahlzustand 7
ein solcher Zustand entsteht bei der spontanen Emission
(Übergang eines Atoms von angelegten in den Grundzustand
Photonen werden emittiert.)
n
|2>
Experiment: Zeitpunkt und Energie der Emission ist
statistische Grösse im quantenmechanischen Sinn.
n=3
gesucht:
|1>
Mittelwert: n Photonen sind Mittel im Zustand.
2.3 Der Photonzahlzustand
Zustand mit n Photonen.
Photonzahlzustand: Schwankung um den Mittelwert von n Photonen
verschwindet. Es liegen genau n Photonen vor.
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.7/14
#
mit
Der Photonzahlzustand 8
.
Intensität berechnen mit
Photonzahlzustand:
=0, (überraschend), aber Energie
Bei einer Messung verschwindet der Mittelwert des Felds. Ebenso die
usw. (Interpretation unten)
Erwartungswert von
#
orthogonal
Offensichtlich verschwindet das Feldmittel, nicht das Intensitätsmittel
(Meßgröße!).
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.8/14
% wird emittiert
% % % Phasenmittel:
% klassisches Analogon: Feld mit statistisch verteilten Phasen
(QM-Simulation mit klassischem Analogon)
Der Photonzahlzustand 9
Statistisch verteilte Phase mitteln Feld zu null,
aber die Intensität ist ungleich null.
Quantenmech. Analogie: Wenn die Photonzahl (Intensität) genau bestimmt ist,
so ist die Phase unbestimmt.
Es existiert eine Unschärfe zwischen beiden (analog Ort/Impuls).
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.9/14
Der kohärente Zustand 10
%
#
%
wählen
2.4 Der kohärente Zustand
(ÜA)
Quantenmechanik: Eine allg. Lsg. der Schrödingergleichung kann durch
Superposition von Photonenzahlzustände
aufgebaut werden:
Dieser Zustand
heißt kohärenter Zustand, da er einen endlichen
Erwartungswert des Felds mit definierter Phase erzeugt.
bei
Es gilt:
Frequenz der betrachteten Mode.
#
%
%
a) Kohärente Zustände beschreiben Laserfelder weit oberhalb der Schwelle,
ebenso Felder, die von klassischer Quelle abgestrahlt werden.
ist Eigenfunktion des Vernichtungsoperators.
ist aber kein hermitischer Operator (ohne Beweis).
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.10/14
Der kohärente Zustand 11
% % Berechnung des E-Felds eines kohärenten Zustands:
Das ist eine Feldmode mit Amplitude
.
Die Feldstärke eines kohärenten Zustands hat also einen endlichen
Erwartungswert.
Intensität des Felds
Bedeutung von ?
Klassisch erwartetes Ergebnis: Intensität ist proportional zur Photonenzahl.
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.11/14
Der kohärente Zustand 12
%
b) Aber auch der kohährente Zustand unterliegt Quantenrauschen:
ist die Wahrscheinlichkeit, ein Zustand mit n Photonen zu messen.
|Cn|2
thermisches Licht (Lampe)
In einer Messung werden Photoelektronen detektiert. Diese Photoelektronen unterliegen der obigen (Poisson- ) Statistik:
läßt auf die Statistik der Photonen zurück
schließen.
feste Photonzahl
gemessene Verteilung
der Photoelektron
#
gilt
60
für
40
20
n
Photonen
Je höher n, desto besser ist klassische Näherung!
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.12/14
c) Ein kohärenter Zustand wird von ein klass. Strom erzeugt
(Rechtfertigung für klassische E-Dynamik).
zugehörige Lagrangefunktion ww
ww
Der kohärente Zustand 13
freie Anteil em.Felds
und
denn
beschreibt die Wechselwirkung zw. klass. Strom
),
quantisiertem em. Feld (siehe:
gemessen
Bei einer Messung (Photodetektor) wird Eigenzustand von
mit :
üA
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.13/14