XII. Quantisierung des elektromagnetischen Feldes

Hamiltonian des freien em. Feldes 1
XII. Quantisierung des elektromagnetischen Feldes
1. Hamiltonian des freien elektromagnetischen Feldes
Elektromagnetische Feldenergie (klassisch):
Modenentwicklung (Moden ):
, -
$ %
('&
* )
+
durch ebene Wellen
#"
Im freien Raum sind die
!
Analog zur Lasertheorie kann das Feld in Moden entwickelt werden.
sind dann die zeitabhängige Entwicklungskoeffizienten.
Moden können zB. in Wellenleiter oder Resonatorgeometrie bestimmt werden,
oder für den freien Raum.
, die in
Richtung zweier Polarisationvektoren (e, senkrecht auf k) zeigen, gegeben.
Hier wird ein einfaches Bsp. berechnet:
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.1/13
Hamiltonian des freien em. Feldes 2
Eindimensionaler Resonator
(Amplitude:)
$
wird noch gerechtfertigt
!
#$
"
!
ohne Index) in z polarisiert:
für eine Mode (
Heuristische Quantisierung:
mit Bosonvertauschungsregel:
(Eigenfrequenz)
%
(Moden)
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.2/13
Hamiltonian des freien em. Feldes 3
" !
!
#$
in den eindimensionalen
( B findet man so, weil
Maxwellgleichungen erfüllt sein muß.)
Einsetzen der Felder in den Hamiltonian:
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.3/13
Hamiltonian des freien em. Feldes 4
Der Hamiltonian einer Lichtmode entspricht dem eines harmonischen
Oszillators mit den Erzeugern und Vernichtern und der
Quantisierungsenergie
.
Sprechweise:
erzeugt ein Photon in der Mode, vernichtet ein Photon in der Mode.
erfüllen als Photonoperatoren bosonischen Vertauschungsregeln.
ist der Anzahloperator für die Photonzahl in der quantisierten Mode, vgl.
Lasertheorie.
Die Wahl der Operatoren und Vertauschungregeln für zueinander konjugierte
Variable erfolgt eigentlich über die Lagrangefunktion (Variable und Impuls),
konjugierte Variable sind hier Vektropotential A, elektrisches Feld E, siehe
Lagrangeherleitung der Maxwellgleichungen, dann wird Vertauschungsrelation
für diese gefordert und diese in die b-Moden umgerechnet, diese ergibt dann
die Relation auf Seite 2.
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.4/13
Schrödingergleichung für das elektromagnetische Feld 5
2. Quantenzustände des Strahlungsfelds im freien Raum
2.1 Schrödingergleichung für das em. Feld
erzeugt ein Photon, vernichtet ein Photon in der vorgegebenen Mode,
stationäre Schrödingergleichung:
Energie:
a)
-Eigenenergien, -Eigenfunktionen : sind zu bestimmen.
Lsg. erfolgt analog zum harmonischen Oszillator der Quantenmechanik
(ohne Beweis), dortige Ergebnisse sind:
Eigenfunktion:
, beschreibt einen Zustand mit n Photonen
ist der Vakuumzustand ohne Photon)
Photonzahloperator (unterstrichen)
c)
in der betrachteten Mode (
"
b)
n: Anzahl der Photonen, die in Mode vorhanden sind.
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.5/13
Erwartungswert und Schwankung 6
Allg. Lsg. der zeitabhängigen Schrödingergleichung
$
%
d)
beschreibt die Wahrscheinlichkeit,
bei einer Messung n Photonen vorzufinden.
2.2 Erwartungswert und Schwankung
:
falls Feld in Zustand , so gilt für das Feld
ebenso für die Photonzahl :
beschreibt das mittlere Meßergebnis und dessen statistischen
Schwankung um den Mittelwert von Feld und Photonzahl
die Ergebnisse sind abhängig vom Zustand , in dem sich das
Strahlungsfeld befindet.
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.6/13
Der Photonzahlzustand 7
ein solcher Zustand entsteht bei der spontanen Emission
(Übergang eines Atoms von angelegten in den Grundzustand
Photonen werden emittiert.)
n
|2>
Experiment: Zeitpunkt und Energie der Emission ist
statistische Grösse im quantenmechanischen Sinn.
n=3
gesucht:
|1>
2.3 Der Photonzahlzustand
Zustand mit n Photonen.
Photonzahlzustand: Schwankung um den Mittelwert von n Photonen
verschwindet. Es liegen genau n Photonen vor.
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.7/13
"
mit
-
-
Der Photonzahlzustand 8
Intensität berechnen mit
"
orthogonal
Offensichtlich verschwindet das Feldmittel, nicht aber das Intensitätsmittel
=0, (überraschend), Bei einer Messung
(Meßgröße!). Photonzahlzustand:
verschwindet der Mittelwert des Felds. Ebenso die Erwartungswert von
usw. (Interpretation unten).
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.8/13
Der Photonzahlzustand 9
% $ %
%
%
%
% %
%
% $ %
%
$ %
%
% % $ %
Phasenmittel:
%
% $ %
%
klassisches Analogon für den Photonzahlzustand:
Feld mit statistisch verteilten Phasen
wird emittiert
(QM-Simulation mit klassischem Analogon)
Statistisch verteilte Phase mitteln Feld zu null,
aber die Intensität ist ungleich null.
Quantenmechanische Interpretation: Wenn die Photonzahl (Intensität) genau
bestimmt ist, so ist die Phase völlig unbestimmt.
Es existiert eine Unschärfe zwischen beiden (analog Ort/Impuls).
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.9/13
Der kohärente Zustand 10
$
"
$
wählen
%
2.4 Der kohärente Zustand
Quantenmechanik: Eine allg. Lsg. der Schrödingergleichung kann durch
Superposition von Photonenzahlzuständen
aufgebaut werden:
Dieser Zustand
heißt kohärenter Zustand, da er einen endlichen
Erwartungswert des Felds mit definierter Phase erzeugt.
bei
Es gilt:
Frequenz der betrachteten Mode.
"
%
$
$
a) Kohärente Zustände beschreiben Laserfelder weit oberhalb der Schwelle,
ebenso Felder, die von klassischer Quelle abgestrahlt werden.
ist Eigenfunktion des Vernichtungsoperators.
ist aber kein hermitischer Operator (ohne Beweis).
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.10/13
Der kohärente Zustand 11
%
-
$ $ %
-
!
Berechnung des E-Felds eines kohärenten Zustands:
Das ist eine Feldmode mit Amplitude
die im Resonator steht.
Die Feldstärke eines kohärenten Zustands hat also einen endlichen
Erwartungswert und hat ein Verhalten ähnlich der klassischen ED.
Intensität des Felds
Bedeutung von ?
ebenso ein klassisch erwartetes Ergebnis: Intensität ist proportional zur
Photonenzahl.
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.11/13
Der kohärente Zustand 12
$
b) Aber auch der kohährente Zustand unterliegt Quantenrauschen:
ist die Wahrscheinlichkeit, ein Zustand mit n Photonen zu messen, wenn das
Experiment denn diese Frage stellt! Ist so:
|C n |2
thermisches Licht (Lampe)
In einer Messung werden typischerweise Photoelektronen detektiert. Diese
Photoelektronen unterliegen der obigen
(Poisson- ) Statistik: läßt auf die Statistik
der Photonen zurück schließen.
feste Photonzahl
gemessene Verteilung
der Photoelektron
60
40
gilt
für
"
20
n
Photonen
Je höher n, desto besser ist klassische Näherung!
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.12/13
c) Ein kohärenter Zustand wird von ein klass. Strom erzeugt
(Rechtfertigung für klassische E-Dynamik).
zugehörige Lagrangefunktion ww
ww
Der kohärente Zustand 13
freie Anteil em.Felds
-
aus
denn
wenn nach den Moden entwickelt wird (Ortsabhängigkeit abintegriert im
Wechselwirkungs-Anteil zwischen klass. Strom und quantisiertem em. Feld)
Bei einer Energiemessung (Photodetektor) wird Eigenzustand von
gemessen, dieser ist
mit :
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.13/13