r - ITP, TU Berlin

Strahlung vorgegebener klassischer Quellen (1)
Strahlung vorgegebener klassischer Quellen (2)
A(r, t) =
V Entstehung und Erzeugung von EM-Wellen (klassische Theorie)
ρ(r, t) =
X
ρω (r)e
X
jω (r)e−iωt
−iωt
d3 r 0
|
j(r0 , t − |r−r
)
c
|r − r0 |
Fouriertrafo, Zeitabhängigkeit e−iωt abspalten
1. Strahlung vorgegebener klassischer Quellen-Antennentheorie
geben uns zeitlich veränderliche Ladung- und Stromverteilung (mikroskopisch
oder makroskopisch - egal) vor :
0
µ0
4π
X
Aω (r)e−iωt =
ω
Aω =
rechnen mit den Fourieramplitude ρω , jω
µ0 X
4π ω
d3 r 0
jω (r0 ) −iω(t− 1c |r−r0 |)
e
|r − r0 |
ω
µ0
4π
d3 r0 jω (r0 )
0
ei c |r−r |
|r − r0 |
ω
j(r, t) =
Diese können auf beliebige Zeitabhängigkeit
1.1 Qualitative Diskusion kleiner Quellen
Die Ausdehnung der Quelle sei d > r 0 , d λ, k =
ω
verallgemeinert werden (durch Überlagerung der Fourierkomponenten).
ω
c
=
2π
λ
λ
r’
Ziel:
Bestimmung der Felder außerhalb der ρ, j Verteilung:
erfolgt über die Maxwellgln. und Potentiale
Wissen: B = ∇ × A, ∂t E = c2 ∇ × B außerhalb der Quellen
Es reicht also aus, A(r, t) zu berechnen, um Felder festzustellen.
r
r
r
J(r’)
(1)
(2)
(3)
|r| = r, diskutieren 3 Grenzfälle:
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p. 1/19
Strahlung vorgegebener klassischer Quellen (3)
Strahlung vorgegebener klassischer Quellen (4)
(1) Nahzone (“Nahfeld”): r λ
2π
r 1,
λ
jω (r0 )
d3 r 0
|r − r0 |
k|r − r0 | 1, denn kr =
Aω (r) =
µ0
4π
kr0 =
2π
d1
λ
modulierter Strom. A(r, t) =
(3) Fernzone (“Strahlungzone”): λ r (d λ r)
|r0 | |r|, aber kr = 2πr
≥ 1 (etwa bei r ≈ 5λ fängt die Strahlungszone
λ
(deutliche Welleneffekte) an.)
A(r, t) =
Verhalten des Vektorpotentials analog zur Magnetostatik, lediglich zeitlich
µ0
4π
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p. 2/19
0
j(r ,t)
d3 r0 |r−r
0|
Aω (r) ist nur ein stationärer Geometriefaktor.
Die Entfernungen von den Quellen sind zu klein, um Laufzeiteffekte der
elektromagnetischen Wellen aufzulösen.
Die Ortsverteilung A(r) ist analog zur Magnetostatik bzw. zur
Elektrostatik. (siehe Einführung in Theorie II)
(2) Mittelzone (“Induktionszone”): r ∼ λ
Schwierig zu behandeln, k · r muß voll mitgerechnet werden.
Diskussion später.
µ0 X
4π ω
d3 r 0
jω (r0 ) ik|r−r0 | −iωt
e
e
|r − r0 |
=
µ0 eikr X
4π r ω
=
µ0 X ei(kr−ωt)
4π ω
r
d3 r0 jω (r0 )e−iωt
d3 r0 jω (r0 ),
ω = ck = c
2π
λ
ei(kr−ωt)
: auslaufende Kugelwelle
d3 r0 jω (r0 ) : unabh. von r, t (Konstante)
r
2π
: λ nur durch ω bestimmt
ω = ck = c
λ
Für große Entfernung von der Quelle sieht die Lösung wie Kugelwelle aus.
(Siehe Lsg. im freien Raum, Kap. III)
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p. 3/19
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p. 4/19
Multipolstrahlung (5)
Multipolstrahlung (6)
1.2 Multipolstrahlung (kleine Quellen)
a) Multipolentwicklung
Da d λ → r0 λ, Reihentwicklung der Exponenten:
einzige Voraussetzg. kleine Quellen:
d λ, d r (→ r0 r),
r und λ haben beliebiges Verhältnis
r’
A(r, t) =
θ
0
eik|r−r |
µ0 X
d3 r 0
jω (r0 )e−iωt
A(r, t) =
4π ω
|r − r0 |
p
r
|r − r0 | = r2 + r02 − 2r · r0 ≈ r − · r0
r
r
µ0 X
4π ω
d3 r0 jω (r0 )e−iker ·r
0
eikr −iωt
e
r
d3 r0 jω (r0 )
∞
X
(−iker · r0 )n
n!
n=0
d
Reihentwicklung: (kr 0 )n ≤ (kd)n = (2π )n
λ
J( r’) ρ(r’ )
Für große Entfernung r von der Quelle, gilt von Nah- bis Fernfeld also auch
innerhalb der ersten Wellenlänge (da d λ, die einzige Voraussetzung ist).
A(r, t) =
µ0 X e−iωt+ikr
4π ω
r
d λ → Reihe kann abgebrochen werden nach endlich vielen Termen.
Entstehende Entwicklung nach r 0 /λ ist Multipolentwicklung des
Strahlungsfelds. Wir werden sehen, dass der erste Term einer Dipolverteilung
entspricht die durch ihre zeitliche Dynamik eine elektromagnetische Welle
hervorruft.
Das entstehende Feld muss nicht mehr kugelsymmetrisch sein (kann von Θ
abhängen, hier keine Kugelkoordinaten!). Bemerkung: Man sollte eigentlich
auch den Nenner weiter entwickeln (wird typischerweise aber vernachlässigt,
weil die Entwicklung der Phase direkt in die auslaufende Welle eingreift).
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p. 5/19
Multipolstrahlung (7)
Multipolstrahlung (8)
b) Berechnung des Strahlungsfelds inklusive der Winkelabhängigkeit:
E, B für eine kleine Quelle ist bestimmt durch:
µ0 eik·r
4π r
Bω = ∇ × Aω ,
Aω =
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p. 6/19
d3 r0 jω (r0 )e−ikr
0
cos Θ
,
Θ = ^(r, r0 )
c2
c
∇∇ · Aω + iωAω = i ∇∇ · Aω + iωAω
ω
k
ω
(Lorenzbedingung ∇ · Aω = i 2 φω )
c
Eω = −∇φω + iωAω = i
Mit den beiden unteren Gleichungen sind die Felder über das Vektorpotential
bestimmt und können im Prinzip nach der Berechnung des Integrals berechnet
werden. Nächstes Ziel soll eine einfache Auswertung der Formeln im Fernfeld
sein.
c) Berechnung des Strahlungsfelds im Fernfeld:
beide Gln. gelten zunächst ohne Einschränkung bei einer kleinen Quelle
im Fernfeld werden sie jedoch einfach, dazu sieht man den Nablaoperator in
Kugelkoordinaten für den Ortsvektor r an: ∇ ≈ (∂r , r−1 ∂θ , r−1 ∂ϕ )
bei einer Ableitung nach den Winkeln entsteht immer ein Term mit r −1 der im
Fernfeld verschwindet, bei einer Ableitung nach r entsteht dagegen ein Term
mit k (aus eik·r ) der im Fernfeld überlebt.
nur die Ableitung nach r von eik·r = eikr wird also im Folgenden berücksichtigt:
benötigen: ∇ · A ≈ ik(er · Aω ), ∇∇ · Aω = (ik)2 er (er · Aω )
Eω = −iω(er (er · Aω ) − Aω ) = iωA⊥
ω
q
mit der Definition A⊥
ω = Aω − er (er · Aω ) = Aω − Aω
A⊥
ω ist der Anteil senkrecht zur Ausbreitungsrichtung (transversal).
Offensichtlich wird dieser Anteil auserhalb der Quelle (∇ · E = 0) (hier Fernfeld
spezialisiert) beobachtet. Aqω ist der Anteil parallel zur Ausbreitungsrichtung
(longitudinal).
Eω =
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p. 7/19
iωµ0 eikr
4π r
0 −ikr
d 3 r 0 j⊥
ω (r )e
0
cos Θ
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p. 8/19
Elektrischer Dipol (9)
Elektrischer Dipol (10)
1.3 Strahlungsfeld eines elektrischen Dipols
Die zeitliche Oszillation e−iωt eines Dipolmoments dω = d3 r0 r0 ρω (r0 ) mit
ρ(r, t) = ρ(r)e−iωt führt zur Abstrahlung elektromagnetischer Strahlung:
Ziel: Auswertung der Reihe für den ersten Term der Multipolentwicklung im
Fernfeld, betrachten das Vektorpotential im Fernfeld, später dann Berechung
des E-Felds (transversaler Teil der Quelle).
Eω (r) = −
Aω (r) =
µ0 eikr
d3 r0 jω (r0 )1 (1. Term der Multipolentwicklung)
4π r
X
d3 r 0
eβ ∂α xβ jωα (r0 ) = d3 r0 (−r0 ∇ · jω (r0 )) = −iω d3 r0 r0 ρω (r0 )
stellt eine Kugelwelle dar (k = ω/c), Rücktransformation in Zeitraum:
ω
αβ
E(r, t) =
(partielle Integration und Kontinuitätsgleichung verwendet)
Aω (r) = −
eikr
iωµ0
dω
4π
r
mit Dipolmoment dω =
3 0 0
0
d r r ρω (r ) der Ladungsverteilung
µ0 ω 2
eikr
(er (er · dω ) − dω )
4π
r
X
−
ω
ˆ t2 ,
−ω 2 =∂
E(r, t) =
µ0 ω 2
ei c r−iωt
(er (er · dω ) − dω )
4π
r
r o1
µ0 2 n
r
∂t er er · d(t − ) − d(t − )
4π
c
c
r
Elektrisches Feld eines zeitlich veränderlichen Dipols (Ladungsverteilung mit
Dipolmoment das zeitlich veränderlich ist)
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p. 9/19
Elektrischer Dipol (11)
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p. 10/19
Elektrischer Dipol (12)
Veranschaulichung des oszillierenden Dipols (Realisierung durch
Schwingkreis)
t = 0 Start der Bewegung der elektrischen Ladung, hier z.B. (periodischer
Stromfluß mit einer festen Frequenz vorausgesetzt)
Beginn: kein Strom:
T
4
+
_
+
_
E
T : Schwingungsdauer, mit ω = 2π/T bestimmt.
+
_
Ladungen sitzen aufeinander, dann Bewegung in entgegengesetzter Richtung
und Wiederkehr der Ladungen.
T
2
+
_
3
4T
_
+
Abtrennung und Ausbreitung mit Lichtgeschw.
(Ablösung von Feldbündel nach jeder T /2 Zeit)
T
+
_
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p. 11/19
Emission em. Wellen
mit λ = 2π/k = 2πc/ω
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p. 12/19
Elektrischer Dipol (13)
Lineare Antenne (14)
Energiestrom ins Vakuum: Poyntingvektor:
S = E × H, H = B/µ0
z
Wie gross ist der Energiestrom an einem
Punkt r in Strahlungszone(Fernfeld) r λ
?
Dipol
1.4 Die lineare Antenne
Energiestrom
in Detektor
θ
Strahlung, die von einem dünnen, stromführendem Leiter erzeugt wird,
makroskopischer Strom, einzelne Atome später betrachten (Lampenlicht,
Laser!)
Iω (z) sei der Strom im Leiter, jω (r) = Iω (z)δ(x)δ(y) die Stromdichte,
linienförmiger Leiter angenommen (dort ist dann r 0 )
eikr
1
Eω =
(k 2 (er × dω ) × er
4π0
r
z
ikr
iker × k 2 ((er × dω ) × er ) e r )
∇×E
ck 2
eikr
(er × dω )
=
=
Hω =
iωµ0
iωµ0 4π0
4π
r
Eω × Hω ∼ (er × dω ) × [(er × dω ) × er ]
L θ
r
= (er × dω )2 er
= d2ω sin2 θer
x
−L
Formel für das abgestrahlte Fernfeld (S.8):
Eω =
iωµ0 eikr
4π
r
Die abgestrahlte Energie des Dipols wird max. in Richtung ⊥ zu seiner
Orientierung (sin θ = 1) und verschwindet in die Richtung seiner Orientierung
(sin θ = 0).
0 −ikr
d 3 r 0 j⊥
ω (r )e
0
cos Θ
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p. 13/19
Lineare Antenne (15)
Lineare Antenne (16)
Strom durch Spannung in Leiterschlitz z = 0 erzeugt, genügt
Helmholtzgleichung in z.
Fernfeldabstrahlungsintegral lösen, (Θ jetzt Kugelkoordinate):
Übergang von der Stromdichte zum Strom:
0
d 3 r 0 j⊥
ω (r ) · · · =
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p. 14/19
L
0
0
I⊥
ω (z )dz
dx0
dy 0 δ(x0 )δ(y 0 ) · · ·
−L
Eω = −
Bestimmung des transversalen Stroms über den integriert wird:
r · Iω
), r · ez = r cos θ
r
= Iω ez − Iω er cos θ
= I ω − er (
L
dz 0 Iω (z 0 )e−ikz
0
cos θ
sin θeθ
−L
sei Iω (z 0 ) = konstant, schlecht! = I0
Eω = −
0
0
0
I⊥
ω (z ) = Iω (z ) − er (er · Iω (z ))
iωµ0 eikr
4π r
2
iωµ0 eikr
I0
sin(kL cos θ) sin θeθ
4π r
k cos θ
Der Betrag des E-Felds einer Stabantenne im Fernfeld ist:
= Iω (0, 0, 1) − Iω (sinθ cos ϕ, sin θsinϕ, cos θ) cos θ
= Iω (− sin θ cos ϕ cos θ, − sin θ sin ϕ cos θ, 1 − cos2 θ)
|Eω |2 =
4ω 2 µ20 I02 tan2 θ
sin2 (kL cos θ)
2
r2
(4π)2 ωc
für L = mλ ist die Abstrahlungscharakteristik ∼ tan2 θ sin2 (2πm cos θ)
= −Iω eθ sin θ
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p. 15/19
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p. 16/19
Lineare Antenne (17)
Statische Felder (18)
Abstrahlungscharakteristik der Antenne über Polardiagramm:
m=1
1.5 Grenzübergang zu statischen Feldern
m=2
Ziel: Auswertung der allgemeinen dynamischen Formeln für A ω , Eω für ω → 0
(k = ω/c → 0):
L
L
Aω =
µ0
4π
d3 r 0
jω (r0 )
c2
, Eω = i ∇∇ · Aω
0
|r − r |
ω
−L
−L
0
hier wurde im ersten Term bereits der Exponent eik·(r−r ) gleich Null gesetzt
im statischen Limit, vorsichtiges Umgehen mit dem ω −1 -Term:
L= 2λ
L=λ
Es ergibt sich eine starke Abhängigkeit der Abstrahlungscharakteristik von der
ω
Länge der Antenne im Vgl. zu λ = 2π
c
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p. 17/19
Statische Felder (19)
Statische Multipolapproximation im Fernfeld:
E0 (r)
=
≈
ρ0 (r0 )
1
∇ d3 r 0
4πε0
|r − r0 |
X
−∇
Φi (r)
−
i
Φ0 (r)
=
1
4πε0 r
Φ1 (r)
=
r
·
4πε0 r3
d3 r0 ρ0 (r0 )
d3 r0 r0 ρ0 (r0 )
Φ0 (r): Monopolpotential
Φ1 (r): Dipolpotential, Dipolmoment der klassischen Ladungsverteilung:
d = d3 r0 r0 ρ0 (r0 )
dies wurde in der Elektrostatik behandelt
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p. 19/19
Eω (r)
=
i
c2
∇
ω
µ0
4π
=
i
c2
∇
ω
µ0
4π
=
i
c2
∇
ω
µ0
4π
1
|r − r0 |
1
d3 r0 ∇0 · jω (r0 )
|r − r0 |
iωρω (r0 )
1
=
−∇
d3 r 0
|r − r0 |
4πε0
d3 r0 jω (r0 ) · (−∇0 )
d3 r 0
ρ(r0 )
|r − r0 |
ist der elektrostatische Grenzfall, für die Magnetostatik steht er schon oben in
der Formel für A.
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p. 18/19