II. Klassische EM-Felder in Vakuum

Wellengleichung im Vakuum 1
II. Klassische EM-Felder in Vakuum
Motivation: Berechnung der Felder ausserhalb von Quellen mittels Rand- bzw.
Anfangswerten von Feldverteilungen
zB Nahfeld in Nähe der Quelle sei bekannt: wie sieht Fernfeld aus?
1. Wellengleichung im Vakuum
Aus Maxwellgleichungen im Vakuum
im Vakuum
folgt die Wellengleichung für das elekrische und das magnetische Feld:
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.1/29
und
Wellengleichung im Vakuum 2
erfüllen (komponentenweise) die homogene Wellengleichung
Erinnerung: bei gewöhnlichen Differentialgleichungen n-ter Ordnung:
n-parametrische Lösungsschar ( n Konstanten)
partielle Dgl.: im allg. treten n unbestimmte Funktionen auf
wesentlich größere Lösungsmannigfaltigkeit
Beispiel für 1d-Fall :
-Schwingungsgleichung: 2 bestimmte Funktionen + 2 Konstanten
(Anfangsbedingungen)
-Wellengleichung in
: Lösung ist
und sind zwei unbestimmte Lösungen, sind aus Anfangsbedingungen bzw.
Randbedingungen festzulegen, um die vollständige Lösung zu gewinnen.
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.2/29
Spektralzerlegung 3
2. Spektralzerlegung
(1)
(2)
Powerspektrum (wird gemessen)
Spektralanalyse eines Felds über Fourierzerlegung:
Ansatz zur Lösung von Wellengleichung :
ist eine monochromatische Lösung (feste Freq.
)
Überlagerung nach Gl.(1) gibt volle Lösung wenn die Lösung für eine feste
Frequenz gefunden ist.
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.3/29
Ebene Welle als Fundamentallsg. 4
3. Ebene Wellen als Fundamentallösungen
mit
Fundamentallsg.: Satz von Basisfunktionen nach denen eine Lösung
entwickelt werden kann, jetzt: ebene Wellen als Fundamentallsg.:
ist eine Lösung der homogenen Wellengleichung (Vakuum),
die Überlagerung gibt die allg. Lösung da das System vollständig ist (später).
a) Orthogonalität der Felder
feste Zeit und Ortspunkt
vorausgesetzt.
Eω
k
Bω
bilden ein orthogonalen Satz von Vektoren.
Der Betrag von B und E unterscheidet sich durch c:
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.4/29
Ebene Welle als Fundamentallsg. 5
Re
b) Phasenfronten:
Fläche konstanter Phase sind Ebenen
senkrecht auf den Ebenen steht
?
ist eine unbedeutende Phase in
ein Satz orthogonaler Basisvektoren
hier sind
Re
bzw.
c) Polarisationseigenschaften: Richtung des E-Vektors f. festes
allgemeinste Darstellung einer Fundamentallsg.:
wobei
Phase der Welle
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.5/29
e
2
] bestimmt das meßbare Feld :
Ek
Re[
Ebene Welle als Fundamentallsg. 6
e1
sei
Ek
k
zu
Winkel von
k
Unterscheidung:
zeitlich und räumlich konstant
-Feld Richtung steht fest im Raum bzgl. für alle Orte und Zeiten.
Die
Man nennt die Fundamentalwelle linear polarisiert.
1.Fall: linear polarisiert
Das E-Feld Vektor rotiert auf einen Kreis um die Ausbreitungsrichtung
mit der Winkelfrequenz . ( festgehalten und laufen lassen)
Man nennt diese Welle zirkular polarisiert.
2. Fall: zirkular polarisiert
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.6/29
Ebene Welle als Fundamentallsg. 7
Rechnung für den zirkular polarisierten Fall:
Der Winkel , den
mit der x-Achse
einschließt,
ändert sich mit der Winkelgeschwindigkeit .
Ensprechend der Richtung bezgl. in die sich der Winkel mit
fortschreitender Zeit dreht, nennt man das Feld
rechts (+) oder links (-) zirkular polarisiert.
+ω t
+ polarisiert
ϕ
k
Ek
−ω t
− polarisiert
e1
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.7/29
Ebene Welle als Fundamentallsg. 8
da es diese wieder 2 unabhängig Lösungen sind, kann man die Felder anstatt
zerlegen:
nach kartesischen Vektoren auch nach zirkularen Vektoren
so wie
ein vollständige System bilden, sind
Polarisationsvektoren
auch ein vollständiges System in der Ebene senkrecht zu . In manchen
Anwendungen kann dies mehr angepasst sein.
z.B. Emission von angeregten Atomen oft zirkular (Zeemaneffekt QM)
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.8/29
Ebene Welle als Fundamentallsg. 9
3. Fall: elliptisch polarisiertes Licht
beliebig
| E|
k
E bewegt sich auf Ellipse.
Bemerkungen:
Die Polarisationseigenschaften einer Strahlungsquelle/ eines
Strahlungsfelds sind wichtige Größen zu dessen Charakterisierung.
Durch die sogenannten Stokes-parameter , die gemessen werden
können, kann die Polarisation einer -Fundamentallösung vollkommen
bestimmt werden. (siehe, z.B., in “Principles of Optics” von “M.Born &
E.Wolf”)
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.9/29
Zerlegung des elek. Felds in ebene Wellen 10
3. Zerlegung des elektrischen Felds in ebene Wellen
Betrachten das Feld im Vakuum (Würfel)
stellen uns periodische Fortsetzung der
Würfel vor.
der Würfel enthält das gesamte Experiment.
L
_
2
:
Einheitsvektoren pro
Zahlen
ganze Zahlen
Ansatz für Feld : Fourier-Reihe mit Amplitudefunktion
,
, wobei
period. Fortsetzung:
n-ter Würfel:
ganze Zahlen, alle Kombinationen treten auf.
L
0
beschreiben eine Mode des em. Felds.
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.10/29
Zerlegung des elek. Felds in ebene Wellen 11
Bemerkungen:
Die Zerlegung ist vollständig.
)
mit
Zu einer Mode gehören zwei Grössen :
(Nummer : =1,2 für jedes feste
auf Ebene, in der das Feld schwingt:
Da ebene Wellenzerlegung:
zu jedem
gehören 2 orthogonale Einheitsvektoren um Feld darzustellen.
per Def. :
es gilt:
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.11/29
Anfangswertproblem 12
4. Anfangswertprobleme für die Zerlegung nach ebenen Wellen
kann in ebene Wellen zerlegt werden:
Das elek. Feld
Das Feld
soll aus einer Anfangsverteilung für alle Zeiten bestimmt
werden. Dies kann bei bekanntem dem E-Feld und der Ableitung des E-Felds
zur Zeit
gemacht werden:
nehmen jetzt eine Mode
heraus und lösen das Anfangswertproblem.
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.12/29
durch Fouriertrafo invertieren
Eindim. Modellfall für ein feste
Damit ist
bestimmt und das AWP gelöst, soweit
,
bekannt ist denn es kann oben eingesetzt und gelöst werden.Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.13/29
Anfangswertproblem 13
(3d-analog)
Beispiel: Dynamik eines bei
untersuchen:
Anfangswertproblem 14
lokalisierten elektromagnetischen Pulses
(Schnappschuss)
Was erhält man für die Zeitdynamik?
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.14/29
Dynamik eines bei
Anfangswertproblem 15
lokalisierten elektromagnetischen Pulses
t
x
sind 2 Pulse die sich schon bei negativen Zeiten aufeinander zubewegt haben
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.15/29
Zylinder und Kugelwelle 16
5. Zylinder und Kugelwelle
Bisher: Ebene Welle als Fundamentallösung, ist nicht gut für axial- oder
kugelsymmetrische Probleme geeignet.
in Zylinderkoord. verwenden.
Zylinderwellen:
Besselsche Dgl.
zylindersymmetrisch:
in Zylinderkoord.
sind Hankelfunktion 1.& 2. Gattung
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.16/29
Asymptotisch:
Zylinder und Kugelwelle 17
1) Zylinderwellen werden axialsymmetrisch abgestrahlt ( -Abhängigkeit).
2) Der Nenner sorgt für E-Erhaltung (Interation über Zylinderkoordinaten).
monoch. Lsg.
Kugelwelle: kugelsymmetrisch:
in Kugelkoord.
in Kugelkoord. verwenden.
Kugelwellen:
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.17/29
Zylinder und Kugelwelle 18
kugelsymmetrische Abstrahlung. Flächen gleicher Phase=Kugeln.
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.18/29
Multipolentwicklung nach Kugelfunktionen - Abriß 19
6.Multipolentwicklung nach Kugelfunktionen
Index unterdrücken, eine Komponente
in Kugelkoord. verwenden,
in Kugelkoord.
Ansatz ähnlich wie in QM bei Schrödingergleichung:
separiert den Winkelanteil und Radialanteil:
sind die Kugelflächenfunktionen
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.19/29
Multipolentwicklung nach Kugelfunktionen 20
ist
die allgemeine Lsg. für
Hankelfunktion 0-ter Ordnung
man nennt
neue Koordinate
für beliebige l sind die sphärischen Hankelfunktionen die Lsg.:
.
ist eine Überlagerung von aus und einlaufenden Wellen, siehe
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.20/29
Multipolentwicklung nach Kugelfunktionen 21
, daher:
die Helmholtzgleichung
und
also erfüllen
zur Multipolentwicklung werden einige Identitäten benötigt:
andererseits ist aus Maxwellgleichungen im Vakuum bekannt:
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.21/29
Multipolentwicklung nach Kugelfunktionen 22
führen jetzt Multipolkomponenten
Gesamtfeld in ein Feld aus:
ein und unterteilen das
a) reinen magnetische Multipolen:
und eines aus
b) reinen elektrischen Multipolen:
folgt
aus
betrachten zunächst die M-Felder:
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.22/29
Multipolentwicklung nach Kugelfunktionen 23
mit einer analogen Rechnung findet man für den Fall, daß das Feld ein reines
elektrisches Multipolfeld darstellt:
Die allgemeines Lösung in einer Multipolentwicklung ist die Summe aus E,M
Feldern und schreibt sich daher wie folgt:
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.23/29
Nahfeld-Fernfeld Transformation 24
7. Randwertaufgabe für die Bestimmung eines Fernfelds
Ziel: Berechnung des Fernfelds einer Quelle aus gegebenen Randwerten
(Darstellung in Kugelkoordinaten, Kugelfunktionen)
Randwerte
r
Quelle
Fernfeld
Fernfeld:
suchen also Feld in großer Entfernung der Quelle
(im Vergleich zur Wellenlänge der emittierten Wellen)
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.24/29
Nahfeld-Fernfeld Transformation 25
Annahmen:
(asymptotische Entwicklung)
Fernfeld:
auswärtslaufende Wellen (Pluszeichen)
keine Ströme, Magnetisierung, d.h. reine elektrische Multipolfelder
)
sollten ausserhalb der Quelle vorliegen (
dabei:
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.25/29
Nahfeld-Fernfeld Transformation 26
Operator, in Fernfeld
betrachten das E-Feld, enthält Produktregel für den
mitnehmen, da
nur Term
der Abfall mit ist typisch für ein Fernfeld, siehe Kugelwelle
jetzt mit
multiplizieren um Koeffizienten zu bestimmen:
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.26/29
Nahfeld-Fernfeld Transformation 27
multiplizieren, dann integrieren, Orthogonalität nutzen.
jetzt nutzen, daß E auf dem Rand bekannt ist,
damit Koeffizienten bestimmen, Integral berechnen, damit folgt
jetzt mit , dann
.
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.27/29
Beispiel für eine Nahfeld-Fernfeld Transformation 28
gegeben.
konkretes Beispiel:
auf einer Kugel mit dem Radius R sei das Feld durch
wir brauchen:
alle anderen
durch einsetzen in die Koeffizientengleichung folgt:
sind Null.
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.28/29
Beispiel für eine Nahfeld-Fernfeld Transformation 29
damit ergibt sich z.B. das B-Feld zu:
kompliziertere Funktionen auf einem Rand müssen in das vollständige
Funktionensystem entwickelt werden,
dann erhält man ein lineares Gleichungssystem um alle Koeffizienten
bestimmen, dann kann die Lösung konstruiert werden.
sind die gesuchten Felder im Fernfeld, damit ist das Randwertproblem gelöst.
Ausbreitung als Kugelwelle in
Richtung,
Felder und Ausbreitungsrichtung stellen Dreibein dar.
zu
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.29/29