Elektronenquantisierung (1) Zusatz I: Semiklassische

Elektronenquantisierung (1)
Zusatz I:
Semiklassische Quantentheorie der Wechselwirkung von Licht und Materie
1 Quantisierung von Ladungsträgern und makroskopische Mittlung
Bestes Konzept: Zweite Quantisierung, führt zu weit,
verwenden eine didaktische Vereinfachung:
elektronische Ladungsdichte ρ(r, t) über Wahrscheinlichkeitsdichte darstellen
(q: Ladung) Ψ Wellenfunktion eines Elektrons (zB.Einelektron-Atom)
ρ(r, t) = qΨ∗ (r, t)Ψ(r, t)
P
mit Ansatz aus QM: Ψ = m cm (t)ϕm (r), wobei:
H0 ϕm = m ϕm (z.B. H-Atom Lösungen)
+
HEl-Feld ,
H = H0
|{z}
| {z }
El-Feld Wechselwirkung
freies bzw.
gebundenes Elektron
ρ(r) = q δ(r − r0 (t)) →
∗
qΨ Ψ = q
X
c∗m (t)cm0 (t)ϕ∗m (r) ϕm0 (r)
m,m0
Elektron mit Ladung q
Z
X ∗
cm (t) cm0 (t) d3 r0 g(r − r0 ) ϕ∗m (r0 ) ϕm0 (r0 )
Mittelung:hρ(r, t)i = q
m,m0
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p. 1/3
Elektronenquantisierung 2
Mittlung am Bsp. gebundener Ladungen:
Wellenfunktion ϕm (r) (Einelektronenorbital)
g mittelt über ein Molekül analog klassischer Physik
Elektronenkoordinate wird dargestellt mit r0
Ri : Ort des i-ten Atoms (Moleküls)
r’
Ri
hρ(r, t)i = q
X
∗
cm (t) cm0 (t)
m,m0
=q
X
m,m0 ,i
c∗m (t) cm0 (t)
ϕ m (r’ − Ri )
Z
d r g(r − r )
Z
d3 r0 g(r − r0 − Ri ) ϕ∗m (r0 ) ϕm0 (r0 )
3 0
0
X
ϕ∗m (r0 − Ri ) ϕm0 (r0 − Ri )
i
weil die Wellenfunktion stark mit |r0 | abfällt und das Integral abschneidet macht
man nur einen kleinen Fehler wenn man g nach kleinen |r 0 | entwickelt
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p. 2/3
Elektronenquantisierung 3
Taylorreihe:
≈
X
d3 r0 ϕ∗m (r0 ) ϕm0 (r0 ) g(r − Ri )
m,m0 ,i
|
{z
}
δm m 0
{z
}
|
P
P
q m,i |cm |2 g(r − Ri ) = q i g(r − Ri ) = ρm (r),
makroskopische El-Dichte ρm am Ort r wird durch Ionen kompensiert
q
−q
X
c∗m cm0
m,m0 ,i
|
−
P
c∗m cm0
Z
Z
d3 r0 ϕ∗m (r0 ) r0 ϕm0 (r0 ) · ∇r g(r − Ri )
{z
∗
0
0
c
0
m,m ,i m cm dm m · ∇r g(r − Ri )
hρi =ρm (r, t) − ∇r · P(r, t)
}
+ Quadrupolanteile ≈ −∇r · P(r, t)
folgt durch Vergleich mit Klassik,
ρm = 0, weil durch Ionen kompensiert.
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p. 3/3
Elektronenquantisierung 4
Z
dm m0 = q d3 r0 ϕ∗m (r0 ) r0 ϕm0 (r0 )
Dipolmoment des Moleküls/Atoms zwischen Zustand m, m’.
QM- Übergangsamplitude zwischen m, m0 erzeugt Dipoldichte P
P:
quantenmechanische Dipoldichte
X ∗
cm (t)cm0 (t) dm, m0 g(r − Ri )
=
i,m, m0
als Summe über alle Atome an den Positionen Ri
mit Dipolmomenten dmm0 und den zeitabhängigen
Wahrscheinlichkeitsamplituden c∗m (t)c0m (t) die Zeitverlauf der
Quantendynamik beschreiben
zB: 1 Atom bei Ri = 0 und g als stark lokalisiert auf mesoskopischer Ebene:
g(Ri + r) ≈ δ(r)
Analog kann der Strom beschrieben werden (ohne Vorrechnen):
j = j m + ∂t P +
Magnetisierung/Quadrapolanteile
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p. 4/3
Bewegungsgl. f. die Ladungen 5
2. Quantenmechanische Bewegungsgleichungen für gebundene Elektronen
HW W = qΦ(r) = −qrE(Ri ), wenn E(Ri ) = −∇r Φ(r) = −∇r (−rE(Ri )).
In quantenmechanischer Beschreibung: cm (t) (m: 1-N Niveaus) gesucht,
P
i weglassen, später dazu.
i ~ ϕ̇ = H ϕ,
Ansatz:
ϕ=
mit H = H0 + Hww ,
N
X
cn (t)ϕn (r) =
ˆ
X
cn (t)Hϕn (r)
H 0 ϕn = n ϕn ,
HW W = −qr · E(Ri )
N-Niveau System am Ort Ri
n=1
i~
X
ċn ϕn (r) =
n
n
Multipl. mit ϕ∗m (r) und Int. über den Raum(
i ~ċm (t) =
X
Z
d3 r)
cn (t) Hmn
n
Hmn =
Z
=
Z
d3 r ϕ∗m (r) H0 ϕn (r)
d3 r ϕ∗m (r) H0 ϕn (r) − q
{z
} |
|
n δnm
Z
d3 r ϕ∗m (r) r ϕn (r) · E(Ri )
{z
}
dmn · E(Ri )
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p. 5/3
Bewegungsgl. f. die Ladungen (6)
dmn = q
Z
d3 r ϕ∗m (r) r ϕn (r) Dipolmoment des Atoms/moleküls
Zur besseren Interpretation : 2-Niveaus, d12 = d∗21
2
Zweiniveausystem am Ort Ri
1
i ~ ċ2 (t) = 2 c2 (t) − d21 · E c1 (t)
i ~ ċ∗1 (t) = −1 c∗1 (t) + d21 · E c∗2 (t)
i~
d ∗
(c1 c2 ) = −(1 − 2 )c∗1 c2 − d21 · E(c∗1 c1 − c∗2 c2 )
dt
ˆ Übergangswahrscheinlichkeitsamplitude von 1 nach 2
c∗1 c2 = ρ12 =
1.Term: freie Bewegung, 2.Term: Felder als Quellen des Übergangs
c∗1 c1 = ρ11 =
ˆ Besetzungswahrscheinlichkeit des Zustands 1, 2 analog
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p. 6/3
Bewegungsgl. f. die Ladungen (7)
-Interpretation von ρii (Gleichungen später) als Besetzungswahrscheinlichkeit
des Zustands i
-c∗1 c1 − c∗2 c2 entspricht Pauli-Blocking (Fermionen!) -> c∗2 c2 > 0 verringert die
Ankopplung an Licht
-für Gleichbesetzung (ρ11 = ρ22 ) ergibt keine Ankopplung an das Lichtfeld
(hier sind induzierte Emission und Absorption sind gleich!) -optische
Verstärkung ergibt sich für ρ11 < ρ22
für viele Atome an Positionen Ri u. homogener Dipoldichte P:
P(r, t) =
X
d12 ρi12 (t) g(r − Ri ) + c.c.
i
N0
ρ12 (r, t) = 2Re [d12 n0 ρ12 (r, t)]
= 2Re d12
Ω0
Ω0 = Mittlungsvolumen, g = constant
N0 = Zahl der atomaren Systeme in Ω0
n0 = Anzahldichte der atomaren Systeme, n0 = N0 /Ω0
entsteht eine Gleichung mit Ortsabhängigkeiten:
ρ̇12 (r, t) =i ω12 ρ12 (r, t) + i d21 · E(r, t)(ρ11 (r, t) − ρ22 (r, t))
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p. 7/3
Bewegungsgl. f. die Ladungen (8)
Grenzfall der linearen Optik:
∆ = ρ11 − ρ22 = festgehalten, wird nicht von E getrieben,
sonst wäre dieser Term von E abhängig und damit die Antwort nichtlinear
Real, Imaginärteil:
ρ˙R 12 = −ω12 ρI12
ρ˙I 12 = ω12 ρR
12 + d21 · E∆
ρ¨R 12 = −ω12 ρ̇I12
2 R
= −ω12
ρ12 − ω12 d21 · E∆
2
P − γ0 Ṗ − 2ω12 |d21 |2 n0 E∆
P̈ = −ω12
stellt die Gleichung für die Dipoldichte P dar
entspricht FAST klassischem Oszillatorergebnis
allerdings jetzt alle Kopplungen quantenmechanisch bestimmt und es gibt die
neue Grösse ∆ die man nur quantenmechanisch verstehen kann
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p. 8/3
Bewegungsgl. f. die Ladungen (9)
Definition der linearen Suszeptibilität χ im Frequenzraum
P (r, ω)
χ(ω)
=
ε0 χ(ω)E(r, ω)
=
∆
2ω21 |d21 |2 n0
2
ε0
−ω 2 + ω12
− iωγ0
erinnert an klassischen harmonischen Oszillator
Ergebnis wird aber mit ∆ = ρ11 − ρ22 (Inversion) multipliziert, dieser Faktor ist
nichtklassisch und bewirkt bei stärkerer Besetzung des oberen Niveaus im
Vergleich des oberen Niveaus einen Vorzeichenwechsel und damit den
Wechsel von Absorption (Im χ >0) zu Verstärkung Im χ < 0! (stimulierte
Emission), siehe späteres Kapitel
ist essentiell für den Laserprozess und optische Verstärkung!!
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p. 9/3
Abstrahlung atomarer Systeme (10)
3. Abstrahlung gekoppelter atomarer Systeme:
Strahlungsdämpfung und Superradianz
betrachten eine Ansammlung von strahlungsfähigen Dipolsystemen
(Antennen, atomare Systeme)
durch die Abstrahlung von Energie muß Dipolschwingung abklingen
(Energieerhaltung), dieser Dämpfungsmechanismus wird
Strahlungsdämpfung genannt
X i i
Rechnung erfolgt im Fourierraum: P =
d12 ρ12 (ω)g(r − Ri )
i
Summe über alle strahlenden Systeme i mit Dipolmoment d i12 und der
Übergangswahrscheinlichkeitsamplitude ρi12 (ω). g(r) ist die Funktion, die
über den Raum mittelt, die Verteilung der atomaren Systeme sei in
Volumen λ3
2 − 1
>0
−iωρi12 (ω) = −iω21 ρi12 (ω) + idi21 Ei (ω)/~, −ω12 = ω21 =
~
ist die Gleichung für die Übergangswahrscheinlichkeitsamplitude im
Fourierraum, Ei ist das elektrische Feld am i-ten Dipol, muß aus
Maxwellgleichungen berechnet werden,
bisher alles für ∆ ≈ 1 (lineare Optik)
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p. 10/3
Strahlungsdämpfung und Superradianz (11)
Weiterhin gilt die Wellengleichung, die den Abstrahlungsprozeß
beschreibt:
E = −∂t A − ∇φ
Z
o
ik|r−r0 | n
e
µ0 0
3 0
j(r , ω)
A(r, ω) = d r
|r − r0 | 4π
Z
ik|r−r0 |
1
e
0
φ(r, ω) = d3 r0
ρ(r
, ω)
|r − r0 | 4πε0
Z
ik|r−r0 |
µ
1
e
0
(−iωP(r0 , ω)) + ∇
)
∇ ·0 P(r0 , ω)
E = iωA − ∇φ = d3 r0 (iω ·
4π
4πε0
|r − r0 |
ik|r−r0 |
Z
2
X
c
µ0
e
ρi12 (ω) d3 r0 (1 + 2 ∇∇·0 )di12 g(r0 − Ri )
E(r, ω) = ω 2
4π i
ω
|r − r0 |
Da alle Systeme i in einem Volumen kleiner λ3 sind, kann man für alle
Systeme ein identische Dynamik voraussetzen:
ρi12 = ρ12 weiterhin di12 = d (identische Dipole annehmen)
k|r − r0 | 1, weil wir kleine Volumen des atomaren Systeme gegen die
Wellenlänge annehmen, Taylorreihe der Exponentialfunktion
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p. 11/3
Strahlungsdämpfung und Superradianz (12)
Nehmen nur den ersten Anteil der Summe rechts weiter mit (didaktische
Vereinfachung).
Der erste Term der Taylor-Entwicklung ist eine Realteil in den
Bewegungsgleichungen und beschreibt i.a. einen unendlich grossen
Energieshift, ist allgemeines Problem der ED mit Punktteilchen (bis heute in
QED: weglassen von Unendlichkeiten (Renormierung)!).
Der 2. Term der Taylor-Entwicklung dieses Beitrags einen Imaginärteil, dieser
bringt später eine neue Struktur in die Materialgleichungen, den nehmen wir
mit!
X
ikω 2 µ0
d12 ρ12 (ω)
E(r, ω) ≈
4π
i
Z
3 0
0
d r g(r − Ri )
( Annahme: alle Systeme am Koordinatenursprung R i = 0)
X
= N0 , N0 : Anzahl der atomaren Systeme
i
ω 3 µ0
N0 d12 ρ12 (ω)
E(r, ω) = i
4πc
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p. 12/3
Strahlungsdämpfung und Superradianz (13)
Einsetzen des Felds in die ρ12 Gleichung:
−iωρ12 (ω) =
iω21 ρi12
ω 3 µ0 N0
|d12 |2 ρ12 (ω)
−
4πc~
Die Gleichung für die Übergangsamplitude läßt sich daher im Zeitraum
schreiben als:
∂t ρ12 (t) = −iω21 ρ12 (t) − γrad ρ12 (t)
γrad =
0
N0 γrad
,
0
γrad
3
d212 ω21
µ0
=
4πc~
wobei ω ≈ ω21 gesetzt wurde um die FT zu ermöglichen
(Resonanzapproximation).
man erkennt eine gedämpfte Schwingung
1
0
für einen atomaren Übergang
= −6
typisches atomares γrad
10 − 10−9 s
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p. 13/3
Strahlungsdämpfung und Superradianz (14)
wenn also der atomare Oszillator Licht abstrahlt, so muss die Oszillation
Energie verlieren, dies wird durch die Dämpfung γ 0 beschrieben
ist proportional zum Dipolmoment hoch 2 und zu Schwingungsfrequenz
hoch 3.
Quanten-ED: mittlere Zeit für Emissionsvorgang (Photonabstrahlung) ist
0
, diese Rate entspricht dem Einsteinkoeffizienten für die spontane
γrad
Emission
die Dämpfung der Schwingungsamplitude ρ12 der atomaren Systeme, in
einem Volumen kleiner als λ3 , ist proportional zu Anzahl der Systeme N0
(Superradianz=erhöhte Wahrscheinlichkeit der Abstrahlung pro Zeit,
weil sich N0 Oszillatoren in der Phase überlagern, gilt auch für Antennen)
oftmals werden mehrere Antennen aufgestellt um der superradiante
Effekt auszunutzen, denn man kann zeigen, daß auch die Intensität der
Emission um N02 und nicht nur um N0 erhöht wird
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p. 14/3
Theorie der Laseremission (15)
4. Theorie der Laseremission
Stehende Wellen zwischen Spiegeln
(Abstand L).
Zweiniveausystem mit ∆12 = ρ11 − ρ22 < 0
(Inversion).
Spiegel sind durchlässig, um Laseremission
nach außen zu ermöglichen.
x
L
Aufbau:
Resonator mit Medium
(zweiniveausystem)
3.1 Beschreibung des Lichts
Im Resonator:
E(r, t) =
X
λ
Eλ (t)uλ (r),
P (r, t) =
X
Pλ (t)uλ (r)
λ
uλ (r) sind die Moden, die der Resonater zuläßt. Wir nehmen diese als
bekannt an, z.B. im 1d-System: uλ = sin kλ x, kλ = λπ/L, λ = 1, 2, 3 · · ·
(siehe Kap. zu Wellenleitern und Resonatoren)
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p. 15/3
Beschreibung des Lichts (16)
Die Moden uλ (x) sind ein vollständiges System im Resonator und befriedigen
die Randbedingungen an idealen Metallen, zB 1d:
∂x2 uλ (x) − kλ2 uλ (x) = 0 (kλ2 c2 = ωλ2 )
∂x2 E −
1 2
2
∂
E
=
µ
∂
P + µ 0 ∂t j
0
t
t
c2
P: Dipoldichte (Zweiniveausysteme) j: Verluste an Spiegeln
Behandlung der Wellengleichung:
Modenentwicklung des Felds in E = µ0 ∂t2 P + µ0 σ∂t E einsetzen.
R 3 ∗
Mit Hilfe Orthonomalität der Moden ( d ruλ (r)uλ0 (r) = δλλ0 ) eine
Gleichung für Komponente Eλ (t) herleiten:
∂t2 Eλ
+
ωλ2 Eλ
+
−1
0
X
2
σλλ0 ∂t Eλ0 = −−1
0 ∂t Pλ (t)
λ0
Z
d3 ru∗λ (r)σ(r)uλ0 (r) ≈ δλλ0 σλ , falls σ(r) =konstant
Z
Z
X
3
∗
3
∗
d12 ρi12 δ(r − ri ) + k.k.
Pλ (t) = d ruλ (r)P (r, t) = d ruλ (r)
i
X ∗
i
uλ (ri )ρ12 d12 + k.k.
=
σλλ0 =
i
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p. 16/3
Beschreibung des Lichts (17)
Drehwellennäherung (Rotating wave approximation)
Anteil mit e∓iωλ t werden getrennt, man teilt die Wellengleichung in 2
Gleichungen, nach der Oszillationsfrequenz in der Gleichung für ρ 12
(∼ e−iω21 ) bzw. ρ21 (∼ e+iω21 ) , gibt 2 Gleichungen ±:
(±)
∂t2 Eλ
(±)
+ ωλ2 Eλ
(±)
+ −1
0 σ∂t Eλ
2 ±
= −−1
0 ∂t P λ
Näherung der langsam veränderlichen Amplitude A λ
(Slowly varying envelope)
Eλ+ = Aλ (t)e−iωλ t ,
(±)
∂t2 Eλ
(±)
+ ωλ2 Eλ
|∂t Aλ (t)| |ωλ Aλ |
= (∂t + iωλ )(∂t − iωλ )Eλ+ ≈ (∂t + iωλ )(−2iωλ )Eλ+
∂t2 Pλ+ ≈ −ωλ2 Pλ+
+)
−1 2 +
(∂t + iωλ )(−2iωλ )Eλ+ + −1
0 σ(−iωλ )Eλ = 0 ωλ Pλ
∂t Eλ+
ωλ +
= (−iωλ − κλ )Eλ+ + i
Pλ ,
20
σ
κλ =
20
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p. 17/3
Beschreibung des Lichts (18)
Dimensionslose Größe für Lichtmoden bλ :
Eλ+ = i
r
~ωλ
bλ ,
20
ωλ
∂t bλ = (−iωλ − κλ )bλ +
20
r
∂t bλ = (−iωλ − kλ )bλ − i
20 X
uλ (ri )ρi12 d12
~ωλ i
X
gλi ρi12
i
ist die Gleichung für die Stärke einer Lichtmode λ im Resonator.
Der Kopplungsparameter gλi der Lichtmode mit dem i-ten Atom ist mit
r
ωλ ∗
uλ (ri ) gegeben.
id12
20 ~
Die erste beiden Terme auf der rechten Seite beschreiben die Oszillation und
die Dämpfung der Mode im Resonator. Der nächste Term zeigt, daß die
Dipolschwingungen d21 in der Materie (in den Atomen) diese Moden antreiben.
Stellt inhomogene Differentialgleichung dar.
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p. 18/3
Beschreibung des Lichts (19)
3.2 Beschreibung der Materie
erfolgt über die Bewegungsgleichungen der Zweiniveauatome:
∂t ρi12 = (−iω21 − γ)ρi12 + id21 Ei (t)/~(ρi11 − ρi22 ),
Ei (t): Feld an der Stelle des Atoms i
ρ11 , ρ22 : Besetzungswahrscheinlichkeiten
ρ21 , ρ12 : Übergangsamplituden
~ω21 : Übergangsenergie
ρ
|2>
22
h ω0
|1>
ρ21
ρ
11
Interpretation: Oszillatorgleichung für Übergangsamplituden, das Licht treibt
die Übergänge, Pauli-Blocking ∆ ist wirksam. Ankopplung nur an Übergänge
zwischen elektronischen Niveaus mit nichtverschwindendem
Dipolmatrixelement. Die Gleichungen für die Besetzungswahrscheinlichkeiten
müssen abgeleitet werden, da diese bei der Laserbeschreibung wichtig sind.
Die Lasergleichungen werden nichtlineare Differentialgleichungen sein.
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p. 19/3
Beschreibung der Materie (20)
Umformung mit den normierten Feldamplituden
r
X
d21
~ωλ
iuλ (ri )
bλ (ρi11 − ρi22 )
∂t ρi12 = (−iω21 − γ)ρi12 + i
~
20
λ
X ∗
i
i
∂t ρ12 = (−iω21 − γ)ρ12 − i
gλi bλ (ρi11 − ρi22 )
λ
γ : Dämpfungsmechanismus, strahlungslos, zB Phononen
Für die Inversion gilt: ∆i = (ρi11 − ρi22 )
i
∂t ∆ = −2i
X
∗ i
(gλi
ρ21 b∗λ − gλi ρi12 bλ ) − (∆i − ∆0 )Γ
λ
diese Gleichungen werden analog zu ρi12 zu Beginn Kap.X bestimmt,
Beschreiben Kopplung der Inversion an das Lichtfeld und die Relaxation der
Inversion zu einem Gleichgewichtswert (letzter Summand per Hand zugefügt),
dabei ist ∆0 ein durch externe Pumpe vorgegebener stationärer Wert, gegen
den das System sich bewegt (mit der Zeit 1/Γ), wenn man die Lichtkopplung
abschaltet (g = 0): ∆i (t) = ∆0 + (∆i (t = 0) − ∆0 )e−Γt . Bei einem
Halbleiter-Laser ist dieser stationäre Wert durch den externen Pumpstrom
gegeben.
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p. 20/3
Beschreibung der Materie (21)
Diskussion der Gleichung für die Materialgleichungen:
i
a) Übergangsamplituden ρ12
ist Oszillatorgleichung mit der Oszillationsfrequenz
ω21 des atomaren Übergangs.
γ stellt Dämpfung durch Ankopplung der Umgebung dar (Phononen).
Die Amplitude der Materieschwingung wird durch das Laserfeld (nach
Moden λ entwickelt) getrieben: wird von den dominanten Moden die im
Laserresonator überleben getrieben.
Das Vorzeichen des Treiberterms hängt von ∆i = ρi11 − ρi22 ab.
= ρi11 − ρi22 ist Besetzungsdifferenz durch die Besetzung des
oberen Niveaus mit Elektronen. ∆12 (t) ist eine quantenmechanische
Grösse, durch ihre Existenz werden die Lasergleichungen nichtlinear in
der Feldstärke macht (Effekt der Quantenmechanik, nichtlineare Optik).
∆ > 0, Elektron ist wahrscheinlicher im unteren Zustand,
∆ < 0 wahrscheinlicher oben.
Die Nichtlinearität sieht man durch iteratives Einsetzen ohne Pumpe:
linear in ρ12 und ∆ = 1, dann Iteration der Gleichung für die
Besetzungsdifferenz (Inversion), geht mit E 2 usw. .
b) Inversion ∆
i
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p. 21/3
Lasergleichungen (22)
3.3 Lasergleichungen für den Einmodenfall
Annahme: nur eine Mode ωλ = ω im Resonator relevant.
gλi = gλ sei reell und konstant (kann durch Phasenwahl der Wellenfkt. in d 21
immer erreicht werden).
X i
X i
ρ21 , ∆ =
∆ , ∆ 0 → N 0 ∆0
Definitionen: p =
i
i
∂t p = (−iω21 − γ)p − igb∆
∂t ∆ = −(∆ − ∆0 )Γ − 2ig(pb∗ − p∗ b)
∂t b = (−iω − κ)b − igp
Suche nach Lösung die genau mit Resonatormode schwingt:
p = p0 e−iωt , b = b0 e−iωt , ω = ω21
∂t (b∗0 b0 ) = −2κ(b∗0 b0 ) − ig(b∗0 p0 − p∗0 b0 )
Ratengleichungsnäherung: γp ∂t p schnelle Relaxation,
“Versklavungsprinzip:”
b0 ∆
,
γ
∗
n = b0 b0 : Interpretation als Photonenzahl (prop. zur Intensität) n.
b0 (t) “versklavt” die schnell relaxierende Größe p0 (t) p0 = −ig
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p. 22/3
Lasergleichungen (23)
einsetzen von p0 in die n Gleichung ergibt 2 Lasergleichungen:
2g 2
∆,
∂t n = −2κkn − n
γ
2g 2
γ
∂t n = −2κn − nw∆, w =
∂t ∆ = −Γ(∆ − ∆0 ) − 2nw∆
Die beiden Gleichungen stellen die Ratengleichungen des Lasers
für Photonzahl/Inversion dar.
n(t), ∆(t) müssen selbstkonsistent gelöst werden.
w kann als die Rate mit der ein angeregtes Atom ein Photon pro Zeiteinheit
erzeugt, interpretiert werden:
für konstantes ∆ und ohne Resonatorverluste folgt: n = n 0 e−w∆t , 1 Atom mit
ρ22 = 1, ρ11 = 0, ∆ = −1), d.h. man sieht ein exponentielles Anwachsen des
Felds in der Zeit w −1 .
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p. 23/3
Stationärer Betrieb (24)
3.3.1 Stationäre Lösungen
Γ∆0
Aus ∆−Gleichung: Γ(∆ − ∆0 ) = −2nw∆, ∆ =
Γ + 2nw
wΓ∆0
=0
aus n−Gleichung: n(2κ + w∆) = 0, n 2κ + Γ+2nw
wΓ∆0
=0
2 Lösungen n1/2 : n1 = 0 oder 2κ +
Γ + 2n2 w
Für ∆0 < 0 kann die zweite Lösung realisiert werden:
2κ(Γ + 2n2 w) = wΓ|∆0 |,
da n2 > 0 : 2κ < w|∆0 |
|∆0 | >
n2 =
2κ
w
Laserbedingung
w|∆0 | − 2κ
4κw
Γ
Der gepumpte Gleichgewichtswert der Inversion ∆ 0 < 0 muß groß genug sein,
um die Verluste κ pro Zeiteinheit in der ein Photon abgestrahlt wird zu
kompensieren.
Dann wird n 6= 0 und es existiert ein Feld im Resonator.
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p. 24/3
Stationärer Betrieb (25)
Daher:
1. Unter einem kritischen Wert der Pumpleistung |∆ 0 | tritt keine Lasertätigkeit
auf (n1 = 0).
2. Wenn die Pumpleistung |∆0 | den kritischen Wert überschreitet, so ist
Lasertätigkeit n2 6= 0, also eine Intensität bzw. nichtverschwindende
Photonenzahl im Resonator möglich.
n
Eigentlich muss die Lsg. n1 = 0
für |∆0 | > 2κ/w durch eine Lösung der zeitabhängigen Gleichung
ausgeschlossen werden.
Laserschwelle
keine
Lasertätigkeit
Lasertätigkeit
2k/w
|∆ 0 |
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p. 25/3
Dynamische Betrachtungen (26)
3.3.2 Dynamische Betrachtungen
a) Ratengleichung für n
kann für : dt (∆ − ∆0 ) Γ(∆ − ∆0 ) abgeleitet werden (schnelle Relaxation
von ∆ → ∆0 , Versklavung durch langsame Feldamplitude b0 ):
Γ(∆ − ∆0 ) = −2nw∆,
∆ = ∆0 −
2nw∆
,
Γ
∆=
∆0
1 + 2nw
Γ
Einsetzen in die Photonenzahlgleichung:
ṅ = −2κn − nw
∆0
1 + 2nw
Γ
Für kleine n gilt dann die folgende Ratengleichung:
2w2 ∆0 n2
ṅ = (−2κ − w∆0 )n +
Γ
Aus dem ersten Term erhält man für eine im Resonator vorgegebene
Photonenzahl n(t = 0) = n0 : n = n0 e(−2κ+w|∆0 |)t was oberhalb der
Laserschwelle eine anwachsende Photonenzahl bewirkt (stimulierte Emission
kompensiert die Verluste) oder man erhält unterhalb der Laserschwelle n → 0
im Verlauf der Zeit, da die Verluste überwiegen.
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p. 26/3
Dynamische Betrachtungen (27)
Prinzip der zeitabhängigen Lösungen:
Unterhalb der Schwelle werden spontan vorhandene Photonen verbraucht, dh
aus dem Resonator emittiert.
Oberhalb der Laserschwelle werden spontan entstandene Photonen stimuliert
verstärkt und es stellt sich im Verlauf ein stationärer Wert n stat ein. Kann von
oben oder unten erreicht werden.
n0
n0
nstat=(
’
n0^
t
unterhalb der Laserschwelle
w| ∆ 0|−2k
2w2| ∆ 0|
)Γ
t
oberhalb der Laserschwelle
Bisher leider der Startprozess über spontane Photonen (spontane Emission)
nicht in der Theorie enthalten. Dazu müsste das Strahlungsfeld noch
quantisiert werden.
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p. 27/3
Dynamische Betrachtungen (28)
b) volle Dynamik:
Stabilitätsanalyse und Relaxationsoszillationen für ∆ und n
Frage: Kleine Abweichungen von deren stationären Zustand haben welche
Auswirkung? Wird der stationäre Zustand wiederhergestellt? Jetzt keine
Ratengleichungsnäherung für die Inversion.
n = nstat + δn(t), ∆ = ∆stat + δ∆(t)
nstat = n2 = Γ
w|∆0 | − 2κ
,
4κw
∆stat =
Γ∆0
Γ + 2nstat w
nichtlineare Korrekturen δnδ∆ → 0
Einsetzen in Lasergleichungen.
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p. 28/3
Dynamische Betrachtungen (29)
∂t n = −2κn − nw∆,
∂t ∆ = −Γ(∆ − ∆0 ) − 2nw∆
∂t δn = −2κ(nstat + δn(t)) − (nstat + δn(t))(∆stat + δ∆(t))w
∂t δn = −2κδn − (nstat δ∆ + ∆stat δn)w
weil die stationäre Lösung verwendet werden kann
∂t ∆ = −Γ(∆stat − ∆0 ) − Γδ∆ − 2w(nstat + δn)(∆stat + δ∆)
∂t ∆ = −Γδ∆ − 2w(nstat δ∆ + ∆stat δn)
−nstat w
δn
δn
−2κ − w∆stat
=
∂t
−Γ − 2wnstat
−2w∆stat
δ∆
δ∆
lineares Gleichungssystem, Eigenwerte der Matrix können berechnet werden,
diese ergeben dann zeilich abklingende Kurven (negativer Realteil von λ) mit
Oszillationen (Imaginärteil von λ) für δn.
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p. 29/3
Beschreibung der Materie (30)
Die auftretenden Oszillationen heißen Relaxationsoszillationen. Sie
beschreiben die Relaxation von n(t), ∆(t) in dem stationären Laserzustand
bei grossen Photonenzahlen wenn man zu Beginn eine Abweichung von
diesem stationären Zustand präpariert hat:
n(t)
n stat
t
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p. 30/3