Festkörperphysik - Fragen und Antworten

Festkörperphysik - Fragen und Antworten
Inhalt
KURZE FESTSTELLUNGEN.........................................................................................................................................................3
INTERESSANTE DATEN ................................................................................................................................................................3
Bose-Einstein-Kondensat ................................................................................................................................................................. 3
Jepherson-Effekt................................................................................................................................................................................. 3
ALLGEMEINE FRAGEN (ODER NOCH NICHT EINSORTIERT)..................................................................................3
Was sind Singulett und Triplett-Zustände?................................................................................................................................... 3
Wie kommt man auf die Größe des Elementarvolumens und warum können darin nur zwei Spinzustände
vorkommen? ....................................................................................................................................................................................... 4
Kann man sagen wiso/ob die Halbzahligkeit des Spins das Pauli-Prinzip bedingt?.............................................................. 4
Was ist ein Eigenhalbleiter (= instrinsische Leitung)?................................................................................................................ 5
Was ist bindend/antibindend? ......................................................................................................................................................... 5
Linienverengung bei magnetischen Resonanzlinien durch steigende Temperatur................................................................. 7
Was sind die L, X, Γ -Punkt usw. in Dispersionsgrafiken?......................................................................................................... 8
Leichte schwere und abgespaltene Löcher (Light and heavy holes)........................................................................................ 9
Was sind Auger-Elektronen; wie funktioniert ein Analysator für selbige? ........................................................................... 10
Wieso gleichen sich die Ferminiveaus bei Kontakt verschiedener Metalle und Halbleiter an?......................................... 11
Wozu verwendet man Photoemissionsspektroskopie?.............................................................................................................. 12
Was ist das Debyesche Modell der spezifischen Wärme (der Phononenschwingung)? ..................................................... 14
Was ist eine Zustandsdichte?......................................................................................................................................................... 15
Listen Sie kurz prinzipielle Röntgen-Beugungsmethoden auf!............................................................................................... 18
Was sagt der Poynting-Vektor? ..................................................................................................................................................... 23
Was sind Landauniveaus/De-Haas-van-Alphen-Effekt?........................................................................................................... 24
Was sagt die Boltzmann-Gleichung? ........................................................................................................................................... 26
Was ist der Skineffekt (normaler/anomaler)? ............................................................................................................................. 28
Was ist der Mottsche Metall-Isolator-Übergang? ...................................................................................................................... 29
Wieso schimmern Opale so?.......................................................................................................................................................... 29
Wie lauten die Hundschen Regeln?.............................................................................................................................................. 30
Prinzip des Hartree-Fock Verfahrens........................................................................................................................................... 30
Wieviel Gauß sind ein Tesla? ........................................................................................................................................................ 30
Ursache für Anomalie des Wassers?............................................................................................................................................ 30
DIE STRUKTUR DER KRISTALLE..........................................................................................................................................31
Wie groß ist der Tetraederwinkel? ................................................................................................................................................ 31
Wie sind die Elektronen in der Ionischen Bindung verteilt?.................................................................................................... 31
Was ist ein Inversionszentrum? ..................................................................................................................................................... 31
Wiso ist es für viele Atome günstiger sich nicht hexagonal oder fcc anzuordnen, obwohl die Packung dichter währe?
............................................................................................................................................................................................................. 31
Was ist der Atomformfaktoren fj , was der Strukturfaktor S?................................................................................................... 31
PHONONEN........................................................................................................................................................................................32
Was unterscheidet optischen und akustischen Zweig der Dispersionskurve (üblicherweise dargestellt für die 1.
Brillouinzone) bzw. den longitudinalen und transversalen optischen/akustischen Zweig?................................................ 32
Wiso geht die Brillouinzone gerade von -π bis +π ? ................................................................................................................ 34
Wie ermittelt man eine Phononendispersionskurve?................................................................................................................. 35
DAS FREIE ELEKTRONENGAS ................................................................................................................................................35
Was ist Umklapp-Streuung?.......................................................................................................................................................... 35
ENERGIEBÄNDER ..........................................................................................................................................................................35
Warum kann man die Einzelelektron(Einteilchen)-Näherung verwenden? .......................................................................... 35
Was versteht man unter der effektiven Masse m* der Kristallelektronen?............................................................................ 36
1
Wofür sind die Blochfunktionen / Was sagt das Blochtheorem? ............................................................................................ 37
HALBLEITERPHYSIK...................................................................................................................................................................37
Allgemein .......................................................................................................................................................................................... 37
Bandlücken........................................................................................................................................................................................ 38
Bandstrukturen................................................................................................................................................................................. 39
Dotierung........................................................................................................................................................................................... 42
FERMI-FLÄCHEN UND METALLE..........................................................................................................................................42
Wiso glänzen Metalle silbern (Lösung siehe Stöcker Seite 740)............................................................................................. 42
Was sind Fermi-Gas, -Niveau, -Energie, -Geschwindigkeit usw............................................................................................ 43
Wiso geht die Nullpunktsenergie:
U (T = 0) =
3
N ⋅ E F : innere Energie bei T=0 nur bis 3/5? ................................. 45
5
Warum ist die spezifische Wärme der Metallelektronen so gering? ...................................................................................... 45
Was passiert bei der Verschiebung der Fermikugel? ................................................................................................................. 45
Dulong-Petit-Regel.......................................................................................................................................................................... 46
Was besagt das Wiedemann-Franzsche Gesetz? ........................................................................................................................ 47
Sagen Sie was zur Austrittsarbeit ................................................................................................................................................. 47
Ionenabschirmgrenze für Metalle?................................................................................................................................................ 48
MAGNETISMUS ...............................................................................................................................................................................49
Basiswissen Magnetismus.............................................................................................................................................................. 49
Was können Sie zur Austauschwechselwirkung sagen?........................................................................................................... 49
Was ist die Molekularfeldnäherung?............................................................................................................................................ 50
Was können Sie zum Landé-Faktor sagen? ................................................................................................................................ 50
Was sind die Ursachen für das magnetische Moment eines freien Atoms?.......................................................................... 51
Was sagt die Langevin-Gleichung für den Diamagnetismus?................................................................................................. 51
Welche Arten von Paramagnetismus/Diamagnetismus kennen Sie?...................................................................................... 52
Stellen sie das Heisenberg-Modell dem Stoner(Bänder)-Modell gegenüber........................................................................ 54
Temperaturverhalten eines Ferromagneten im Bändermodell................................................................................................. 57
Was ist die Antiferromagnetismus/Néel-Temperatur TN ?........................................................................................................ 58
Was sind Spinwellen (Magnonen)? .............................................................................................................................................. 59
MAGNETISCHE RESONANZ......................................................................................................................................................61
Hyperfeinaufspaltung...................................................................................................................................................................... 61
Knight-Shift ...................................................................................................................................................................................... 61
EXZITONEN.......................................................................................................................................................................................61
(Mott-)Wannier-Exzitonen............................................................................................................................................................. 63
Frenkel-Exzitonen............................................................................................................................................................................ 65
Exzitonen-Kondensation zu Elektron-Loch-Tröpfchen (EHD) ............................................................................................... 66
Kritische Punkte............................................................................................................................................................................... 67
2
Kurze Feststellungen
Festkörperphysik beschäftigt sich in erster Linie mit den Eigenschaften von Kristallen, insbesondere
von Elektronen in Kristallen. Um 1900 Atomphysik ging über in die Festkörperphysik.
Die Polarisierbarkeit ist eine atomare Eigenschaft, die Dielektrizitätskonstante hängt jedoch von der
Anordnung der Atome im Kristall ab.
Wasserstoff kann sich deshalb so gut durch Metalle diffundieren, da es klein/leicht genug ist auch
quantenmechanisch zu tunneln.
Der Quantencharakter der meisten Phänomene wird erst besonders ausgeprägt, wenn kBT klein
gegen die Quantenenergien wird.
r
(r)
1

Ka  ist Null an der Brilloin-Zonengrenze
2

Gruppengeschwindigkeit v g = grad Kr ω K ~ cos
Besetzungswahrscheinlichkeit der Phononen-Zustände erfolgt nach Bose-Einstein-Statistik:
n
T
1
=
e
hω
−1
k BT
⇒ Eigenschaften der spezifischen Wärme?
Interessante Daten
Bose-Einstein-Kondensat
postuliert 1925
nachgewiesen 1995 (Spektrum Mai 1998 S. 44)
Jepherson-Effekt
postuliert 1962
nachgewiesen wenig später
Allgemeine Fragen (oder noch nicht einsortiert)
Was sind Singulett und Triplett-Zustände?
Singulett-Zustand, Bezeichnung für den Zustand eines angeregten Moleküls, bei dem ein durch
Lichtzufuhr (z.B. Ultraviolett) auf ein höheres Energieniveau gehobenes Elektron seinen
ursprünglichen Spin beibehalten hat (Abb.).
3
Im Anschluß an eine solche Anregung kann das Molekül entweder unter Aussendung vom Licht
(Fluoreszenz) nach 10–4 bis 10–9 s wieder in den Grundzustand übergehen, oder aber das angeregte
Elektron erfährt eine Spinumkehr, wobei das betreffende Molekül in den im Vergleich zum
Singulett-Zustand etwas energieärmeren Triplett-Zustand übergeht. Dieser besitzt zwei Elektronen
mit parallelem Spin. Aus dem Triplettzustand geht das Molekül unter nochmaliger Spinumkehr
wieder in den Grundzustand über, dabei kommt es zur Emission von Strahlung, die als Phosphoreszenz bezeichnet wird. Nicht nur angeregte Moleküle können im Triplett-Zustand vorliegen; so besitzt
z. B. der molekulare Sauerstoff im Grundzustand ebenfalls zwei ungepaarte Elektronen mit
parallelem Spin; man spricht auch in diesem Fall von einem Triplett-Zustand. Die Namen Singulett
und Triplett beziehen sich auf die möglichen Einstellungen der Spinachsen der Elektronen im
Magnetfeld.
Der Singulett-Zustand ist diamagnetisch S=0
der Triplett-Zustand paramagnetisch S=1.
Die Singulett- und Triplettzustände unterscheiden sich in ihren zugehörigen Wellenfunktionen – die
auch die Ortskoordinaten enthalten – durch ihre Symmetrie in den Ortsfunktionen. Da die
Triplettzustände eine antisymmetrische Ortsfunktion besitzen, verschwindet die
Aufenthaltswahrscheinlichkeit für die Elektronen am gleichen Ort und sie ist klein, falls die
Elektronen sich nahekommen. Die positive coulombsche Wechselwirkungsenergie zwischen diesen
Elektronen ist also für Triplettzustände niedriger als für Singulettzustände mit ihrer in den
Ortskoordinaten symmetrischen Wellenfunktion. Dies ist die theoretische Begründung für einen Teil
der Hundschen Regeln (siehe "Wie lauten die Hundschen Regeln?" Seite 30)
Phosphoreszenz: durch Einfall von Licht- Röntgen- oder Korpuskelstrahlung hervorgerufene
Leuchterscheinung an Körpern, die auch nach dem Abschalten der einfallenden Strahlung noch
andauert. d.h. im Gegensatz zur Fluoreszenz gibt es ein Nachleuchten von Bruchteilen von Sekunden
bis mehrere Monate.
Wie kommt man auf die Größe des Elementarvolumens und warum können darin
nur zwei Spinzustände vorkommen?
Schwingung der Gitterpunkte im realen Raum
Kürzere Wellenlängen (Schallwelle) machen keinen Sinn.
2π π
λ = 2a
K
=
=
⇒
λ
a
real
reziprok
d.h. da a nicht kürzer wird, wird K=π/a nicht länger, ist also der Längste Wellenvektor. Das sind
gerade die Vektoren auf den Rand der ersten Brillouinzone.
Wenn sich K von 0 auf π/a ändert, geht die Phasenlage auf benachbarten Punkten von 0° auf 180°.
Lösungsansatz:
Kürzere Wellenlängen als 2a machen keinen Sinn ⇒ Elementarvolumen (reziproker Raum) gegeben.
Hier wurde die Frage wohl nicht geklärt, wieso dorthinein gerade nur zwei Spinzustände dürfen?
Teilbeantwortung in Haken-Wolf, Kap 19.4 Seite 345ff. ?
Kann man sagen wiso/ob die Halbzahligkeit des Spins das Pauli-Prinzip bedingt?
Die mathematische Beschreibung des Wasserstoff läßt sich exakt lösen. Bei zwei Elektronen muß
jedoch gewährleistet werden, daß nicht beide in all ihren Quantenzahlen übereinstimmen können.
4
Dies erreicht man dadurch, daß die Wellenfunktion, die beide Elektronen beschreibt in diesem Fall
automatisch Null wird.
r r
1
Ψ (r1, r2 ) =
[ψ1 (rr1 )ψ 2 (rr2 ) − ψ 2 (rr1 )ψ1 (rr2 )]
2
Es ist eine Linearkombination zweier Lösungen der Schrödinger-Gleichung mit H=H 1 +H2 , die sich
aus den Hamilton-Operatoren für die Einzelelektronen zusammensetzt, zur Vereinfachung ohne
Berücksichtigung der Wechselwirkungen zwischen den Elektronen; z.B. Coulomb-Energie. Diese
Linearkombination ist auch Lösung der Schrödinger-Gleichung.
Vertauscht man die Koordinaten r1 und r2 , so geht die Wellenfunktion in ihr Negatives über, d.h. sie
ist antisymmetrisch. Dies ist eine Formulierung die esgestattet das Pauli-Prinzip auch dann zu
formulieren, wenn eine Wechselwirkung zwischen den Elektronen vorhanden ist. Die
Wellenfunktion muß in den Koordinaten antisymmetrisch sein.
Die Frage selber wird damit wohl nicht gerade beantwortet, sondern beleuchtet nur einen Aspekt.
Was ist ein Eigenhalbleiter (= instrinsische Leitung)?
Ein einem reinen und ungestörten Halbleiter entstammen im Gleichgewicht sämtliche Ladungsträger
thermisch aufgebrochenen Kristallbindungen. Deshalb ist die Konzentration der Elektronen n und
der Defektelektronen p gleich. Ihren gemeinsamen Wert nenn man Eigenleitungskonzentration ni des
Halbleiters, und diesen Leitungstyp des Halbleiters nennt man Eigenleitung. Der Index i weist auf
das englische Wort intrinsic(innewohnend) hin. (Bergmann Seite 481)
Für einen eigenleitenden Halbleiter ist die Zahl der Elektronen gleich der Zahl der Löcher: Durch die
thermische Anregung eines Elektrons aus dem Valenzband entsteht dort ein Loch.
Was ist bindend/antibindend?
Mögliche Überlagerungszustände zweier Atomorbitale in einem Zweiatom-Molekül bei der
kovalenten Bindung. Die Absenkung ist die Bindungsenergie der kovalenten Bindung, sie kommt
durch eine Anhäufung von negativer Ladung zwischen den Kernen zustande.. Nur unvollständig
besetzte, also mit weniger als zwei Elektronen besetzte Orbitale können kovalente Bindungen
eingehen: Da das bindende Molekülorbital nur zwei Elektronen aufnehmen kann, würde sonst das
energetisch höhere anti-bindende Orbital besetzt, was die Energieabsenkung wieder kompensieren
würde. Wie die Abb. 1.3 zeigt gibt es ungünstige und günstige Orientierungen für den Überlapp von
Oerbitalen. Hieraus erklärt sich der stark gerichtete Charakter der kovalenten Bindung, der
insbesondere bei den kovalent gerichteten Kristallen Diamant, Si, Ge mit ihrer tetraerdischen
Nahordnung gegeben ist.
5
6
Linienverengung bei magnetischen Resonanzlinien durch steigende Temperatur
In einem starren Gitter magnetischer Dipole ist normalerweise die magnetische
Dipolwechselwirkung die wichtigste Ursache für die Linienverbreiterung.
Linienverengung durch Bewegung (motional narrowing) (für Kernspinresonanz)
Die Linienbreite wird für Kerne, die sich in schneller, gegenseitiger Bewegung befinden, kleiner.
Bild 7 bringt ein Beispiel für diesen Effekt in Festkörpern: Die Diffusion ähnelt einem random walk,
bei dem die Atome von einem Platz im Kristall zum anderen springen. Die mittlere Verweilzeit τ
eines Atoms auf einem Platz nimmt mit steigender Temperatur merklich ab.
In Flüssigkeiten sind die Auswirkungen der Bewegung noch drastischer. Die Breite der
Protonenresonanzlinie in Wasser ist nur 10–5 der Breite, die man für Wassermoleküle in irgend einer
starren Anordnung erwarten würde.
Die Halbwertsbreite der Resonanzkurve ist näherungsweise (∆ω)1/ 2 = 1 / T2
Wobei T2 die transversale Relaxationszeit der Blochschen Gleichungen ist:
7
(
)
r r M
dM
= γ M ×B −
dt
T2
T2 ist ein Maß dafür, wie lange die einzelnen Momente, die zur Magnetisierung beitragen in Phase
bleiben.
Die Änderung von T2 und damit die Änderung der Linenbreite durch die Bewegung der Kerne kann
mit elementaren Überlegungen abgeschätzt werden.
∆ω =
1
2
= (γBi ) τ
T2
∆ω =
oder
1
2
= (∆ω)0 τ
T2
Wobei (∆ω)0 die Linenbreite in einem starren Gitter ist und Bi die Wechselwirkung zwischen den
Dipolen.
Intuitive Erklärung: Je höher die Temperatur, um so schneller relaxieren die Spins und um so enger
ist die Resonanzlinie.
Die Resultate unterscheiden sich von denen der Theorie optischer Linienbreiten, die durch die harten
Stöße der Atome (z.B. in einer Gasentladung) verusacht sind. Hier ergeben kurze Stoßzeiten τ eine
große Linienbreite. Beim Kernspin handelt es sich jedoch um schwache Stöße. Bei den meisten
optischen Problemen sind Zusammenstöße der Atome kräftig genung, um die Phase der Schwingung
plötzlich zu ändern. Bei der Kernspinresonanz kann sich während des Zusammenstoßes die Phase
langsam ändern, obwohl sich die Frequenz sprunghaft um einen kleinen Wert ändert.
Austauschverengung (bei Elektronenspinresonanz)
Wir betrachten eine Paramagneten mit einer Austauschwechselwirkung J zwischen nächstbenachbarten Elektronenspins. Die Temperatur der Probe soll weit über jeder Temperatur TC liegen, bei der
eine Spinordnung eintritt. Unter diesen Bedingungen ist die Breite der pinresonanzlinie gewöhnlich
viel kleiner, als man für die Dipol-Dipol-Wechselwirkung erwarten würde. Dieser Effekt heißt Austauschverengung; er steht in enger Analogie zur Linienverengung durch Bewegung. Wir fassen die
Austauschfrequenz ωe x≈J/h als eine Sprungfrequenz 1/τ auf.
Quelle siehe Kittel Seite 538 & 554 Zwei unterschiedliche Effekte
Was sind die L, X, Γ-Punkt usw. in Dispersionsgrafiken?
Ibach Seite 143, Kap 7.4 "Beispiel von Bandstrukturen" (Elektronische Bänder)
8
Leichte schwere und abgespaltene Löcher (Light and heavy holes)
Für gewöhnlich werden unbesetzte Zustände in einem sonst gefüllten Band Löcher genannt. Ein
Loch verhält sich ein einem äußeren elektrischen oder magnetischen Feld, als hätte es eine positive
Ladung +e. Je tiefer im Band das fehlende Elektron sitzt, desto größer ist die Energie des Systems:
Es muß mehr Energie aufgewendet werden ein Elektron aus einem niedrigen Zustand zu entfernen
als aus einem hohen.
Aus der Beziehung zwischen Energie und Wellenvektor für freie Elektronen,
ε=
h2 2
k
2m
können wir sehen, daß der Koeffizient von k2 die Krümmung von ε gegen k bestimmt. Umgekehrt
können wir sagen, daß 1/m, die reziproke Masse, diese Krümmung bestimmt. Nahe der Bandlücke
an der Zonengrenze können für Elektronen in einem Band Gebiete von ungewöhnlich großer
Krümmung auftreten. Ist die Lücke klein – verglichen mit der Energie λ eines freien Elektrons an
der Zonengrenze – , so wir die Krümmung und damit die reziproke Masse um den Faktor λ/Eg
vergrößert sein.
In Halbleitern ist die Breite eines Bandes (sie ist mit der Energie eines freien Elektrons vergleichbar)
von der Größenordnung 20eV, die Bandlücke jedoch nur von der Größenordnung 0,2–2eV. Die
effektive Masse ist also auf das 0,1–0,01-fache der Masse des freien Elektrons verkleinert. Diese
Werte gelten in der Nähe der Bandlücke.
1
1 d 2ε
=
: reziproke Masse;
m* h 2 dk 2
m* : effektive Masse
Charakteristisch für viele Halbleiter ist, daß nahe der Valenzbandkante ein dreifaches Valenzband
auftritt: Das Band der schweren Löcher hh und das Band der leichten Löcher lh int in der Mitte der
Brilloiun-Zone entartet, und das Band soh ist von ihnen aufgrund der Spin-Bahn-Kopplung
abgespalten.
Man bezeichnet einfach Bänder mit einer anderen effektiven Masse als leichte oder schwere Löcher.
Die Lochbänder liegen an der Valenzbandkannte oder darunter, die Elektronen bilden das
Leitungsband.
9
Vorlesungsgrafiken S. 113/114/122;
Kittel Seite 236
Was sind Auger-Elektronen; wie funktioniert ein Analysator für selbige?
Der Auger-Effekt tritt in zwei Stadien auf. Primär wird das Atom durch Absorbtion eines
Röntgenquants angeregt; dabei wird ein Elektron aus einer tieferen Schale (zumeist K-Schale). Die
Freiwerdende Stelle wird durch ein Elektron aus einer höher liegenden Schale (L-, M-, ...) besetzt.
Die dabeifreiwerdende Energie ∆E bewirkt die Abtrennung eines Elektrons aus einer äußeren Schale
des Atoms. Es handelt sich dabei um einen strahlungslosen Übergang.
Man stellt fest, daß die Wahrscheinlichkeit für solche strahlungslosen Konkurenzprozesse zur
Röntgenemission mit steigender Kernladungszahl abnimmt. Bei leichten Atomen sind die
strahlungslosen Prozesse weitaus überwiegend (siehe Abb. 18.13).
In Abb. 18.14 ist der Auger-Effekt schematisch dargestellt. Zunächst wird die K-Schale Ionisiert. Ein
L-Elektron fällt von der L- in die K-Schale und füllt die dort entstandene Lücke. Die freiwerdende
Energie wir benutzt, um ein zweites L-Elektron aus der L-Schale zu entfernen, diese entweicht aus
dem Atom. Im Endeffekt ist die L-Schale um zwei Elektronen ärmer geworden. Diese werden von
weiter außen liegenden Schalen nachgeliefert. Als Folge kann es zur Emission weiterer AugerElektonen kommen, nämlich aus der M-Schale usw.
10
Für die kinetische Energie des Auger-Elektrons gilt:
Ekin = hν Kα − EL = E K − E L − E L = EK − 2 EL
wenn EL und EK die Bindungsenergien des Elektrons in der L- bzw. K-Schale bedeuten.
Auger-Elektronen kann amn auch direkt in der Nebelkammer beobachten. Man mißt ihre Energie aus
der Reichweite in der Nebelkammer oder mit einer Gegenfeldmethode.
Zum Schluß noch ein Zahlenbeispiel: Ag wurde mit Kα-Strahlung aus einer W-Antikathode
bestrahlt, das sind 59,1keV. Beobachtet wurden Elektronen folgender Energie:
Wieso gleichen sich die Ferminiveaus bei Kontakt verschiedener Metalle und Halbleiter an?
Die beiden Fermi-Niveaus, jedes durch ihres Dotierung bestimmt, müssen übereinstimmen, wenn der
Nettoelektronentransport ohne äußere Spannung null sein soll. Weit entfernt von der Grenzfläche
müssen die beiden Halbleiter in der Zusammensetzung elektrisch neutral sein.
n-N Heteroübergänge
Als praktisches Beispiel betrachten wir zwei n -Halbleiter mit einer großen Verschiebung zwischen
den beiden Leitungsbändern, wie das in Bild 18a für ein Halbleiterpaar mit normaler
Bandverschiebung skizziert ist. Das n -Material mit der energetisch höheren Leitungsbandkante wird
mit großen Buchstaben als N -leitend bezeichnet, und der dargestellte Übergang wird als n-N
Übergang bezeichnet. Die Elektronentransporteigenschaften über den Übergang sind denen über
Schottky-Barrieren ähnlich.
11
Diese beiden ganz oben angeführten Betrachtungen legen die Energien der Leitungsbandkanten relativ zum Fermi-Niveau außerhalb der Grenzfläche fest (siehe Bild 18b). Die spezifische
Bandverschiebung an der Grenzfläche (bestimmt durch die Zusammensetzung des Wirtsmaterials)
und die Energien der Bänder außerhalb der Grenzfläche (bestimmt durch das Fermi-Niveau) lassen
sich nur dann miteinander vereinbaren, wenn die Bänder in der Nähe der Grenzflä ehe verbogen sind,
wie in Bild 18b. Die notwendige Bandverbiegung wird durch Raumladungen hervorgerufen, die eine
Folge des Elektronenflusses von der N-Seite zur n -Seite sind. Dieser Elektronenfluß hinterläßt auf
der N -Seite eine positive Raumladungsschicht ionisierter Donatoren. Nach der Poissongleichung der
Elektrostatik ist diese Raumladungsschicht die Ursache für die positive zweite Ableitung
(Krümmung nach oben) der Energie der Leitungsbandkante auf dieser Seite.
Auf der n-Seite gibt es jetzt eine negative Raumladung wegen des Überschusses an Elektronen auf
dieser Seite. Die negative Raumladungsschicht ergibt eine negative zweite Ableitung (Krümmung
nach unten) der Energie der Leitungsbandkante. Auf der n-Seite biegt sich das Band als ganzes nach
unten zum Übergang. Das ist ein Unterschied zum normalen p-n Übergang. Die Abwärtsbiegung und
die Potentialstufe bilden einen Potentialtopf für Elektronen. Dieser Topf liefert die Basis für die
neuen physikalischen Phänomene, die charakteristisch für die Physik der Heterostrukturen sind.
Wenn jetzt die Dicke des N-Halbleiters unter die Dicke der Verarmungsschiebt auf der N -Seite
verringert wird, wird das N -Material völlig von seinen Elektronen geringer Beweglichkeit entleert.
Die gesamte elektrische Leitung parallel zur Grenzfläche wird durch die hochbeweglichen Elektronen auf der n-Seite erfolgen, deren Zahl ist gleich der Anzahl der ionis ierten Donatoren auf der N
-Seite. Räumlich sind die hochbeweglichen Elektronen von den ionisierten Donatoren durch die
Potentialstufe getrennt. Solche Hochbeweglichkeitsstrukturen spielen eine große Rolle bei
Festkörperuntersuchungen von zweidimensionalen Elektronengasen und auch bei neuen Arten von
Hochgeschwindigkeitsfeldeffekttransistoren für Rechneranwendungen bei tiefen Temperaturen.
(Kittel S 624 Bild 18 )
Wozu verwendet man Photoemissionsspektroskopie?
Es ist eine der wichtigesten Methoden, um experimentelle Information über Bandstrukturen und
deren Zustandsdichten zu erhalten.
Es werden Photonen hoher Energie hω auf die Kristallprobe gestrahlt. Dadurch werden Elektronen
aus ihren besetzten Zuständen (Bändern) in leere Zustände (Quasikontiuum) oberhalb des
Vakuumniveaus angeregt und können nach Überwindung der Austrittsarbeit φ vermöge ihrer
überschüssigen kinetischen Energie Ekin austreten.
Wegen der Betziehung hω = φ + Ekin + Eb
mit Eb : Bindungsenergie
ergibt die Messung des Spektrums N(Ekin ) der durch Photoeffekt befreiten Elektronen ein Abbild der
Verteilung der besetzten elektronischen Zustände (Bindungsenergie Eb ).
Das hierdurch erhaltene Abbild ist überlagert von "wahren Sekundärelektronen", der sich aus
Elektronen zusammensetzt, die durch mehrfache inelatische Streuproßesse beim Austritt
Energieverloren haben.
12
Wegen der hohen Wechselwirkung der Elektronen mit dem Festkörper können nur oberflächennahe
Elektronen austreten. Für die Untersuchung von Volumen-Bandstrukturen (wenig Einfluß der
Oberfläche) müssen die Proben sehr rein sein und unter UHV präpariert werden.
•
•
•
•
UPS : UV-Photoemission Spectroscopy; z.B. He 21,2eV oder Ne 26,9eV-Linien
XPS : X-ray Photoemission Spectroscopy, zB. Al 1485eV
ESCA : Elektron Spectroscopy for Chemical Analysis
Synchrotronstrahlung, die mittels UV-Monochomatoren eine kontinuierliche Variation der
Lichtenergie erlaubt.
Aus der winkelaufgelösten Photoemissionsspektren können sowohl Bindugsenergie besetzter
Elektronenzustände als auch zugehörige Wellenzahlvektoren ermittelt werden. Es ist die wichtigste
Methode zur experimentellen Bestimmung der elektronischen Bandstruktur E(k).
Die unbesetzten Zustände lassen sich mit dem inversen Photoeffekt ermitteln, d.h. man beschießt
die Oberfläche mit Elektronen definierter Energie und beobachtet die Emission von UV-Licht.
Durch Integration von Photoemissionsspektren über alle Winkel des Halbraumes lassen sich ein
qualitatives Bild der Zustandsdichte der besetzten Zustände gewinnen.
ESCA : Photoelektronen-Spektroskopie
Dies ist eine Untersuchungsmethode für die Energiezustände der inneren Elektronen eines Atoms.
Dabei handelt es sich um eine moderne Anwendung des Photoeffekts.
Man befreit Elektronen aus ihrem Atomverband indem man sie mit Lichtquanten bekannter Energie
bestrahlt. Die kinetische Energie dieser Elektronen entspricht dann die Differenz zwischen der
Quantenenergie des anregenden Lichtes und der Bindungsenergie des Elektrons im Atom
entsprechend der Bilanzgleichung des Photoeffektes,
Ekin = hν − EBindung .
Das Prinzip ist in 18.15 dargestellt. Ein Meßbeispiel zeigt 18.16.
So kann man die Bindungsenergie von einzelnen Elektronenzuständen auf inneren Schalen direkt
messen und nicht nur die Energie der Absorbtionskante, wie mit der Röntgenabsorbtionsspektroskopie.
13
Die Messung der kinetischen Energie der Elektronen erfolgt mit hochauflösenden Analysatoren, die
nach dem Prinzip der e/m-Messung (Ablenkung in magnetischen und elektrischen Feldern) eine
genaue Messung der Elektronengeschwindigkeit erlauben. Man kann damit Energien auf Bruchteile
von meV genau messen.
Als Lichtqullen verwendet man: kurzes UV oder zur Untersuchung stärker gebundener Elektronen
charakteristische Röntgenstrahlung. Synchrotronstrahlung mit ihrer variablen Photonenenergie im
gesamten UV- und Röntgengebiet ist als Lichtquelle besonders gut geeignet.
Da die Bindungsenergie der Elektronen für die jeweiligen Atome charakteristisch sind kann man die
Methode der Photoelektronen-Spektroskopie auch zur Analyse der chemischen Zusammensetzung
einer Probe verwenden. Das Bindungspotential verändert sich durch eine chemische Bindung aund
auch die inneren Elektronen werden beeinflußt. Diese als chemische Verschiebung bezeichneten
kleinen Änderungen der Elektronenbindungsenergie in den inneren Schalen durch die dafür
verantwortlichen äußeren Elektronen kann man messen, z.B. bei Atomen in verschiedenem
Ionisierungszustand. Darauf beruht die als ESCA (Elektron Spectroscopy für Chemical Analysis)
bezeichnete analytische Methode, die vor allem von K. Siegbahn entwickelt wurde. Sie sit zu einer
wichtigen Methode in der Chemie, Molekül- und Festkörperphsik geworden.
Was ist das Debyesche Modell der spezifischen Wärme (der Phononenschwingung)?
cV = ∂U/∂T : spezifische Wärme
∞
1
U (T ) = ∫ D(ω )E (ω , T ) dω : innere Energie
V 0


 1
1
E (ω , T ) = hω  hω
+  : thermische Energie eins Oszillators der Frequenz ω.
2
 k BT
 e −1

Zum Verständnis des qualitativen Verlaufs der spezifischen Wärme in Abhängigkeit von der
Temperatur genügt es, ein einfaches Modell für die Zustandsdichte zu betrachten.
ω = cK
(d.h. die Schallgeschwindigkeit c wird für jeden Polarisationstyp als konstant angenommen)
Die typische Dispersion ist vernachlässigt. Dies ist das Debye Modell der spezifischen Wärme. Man
erhält:
1
cV (T ) =
2π 2
ω
1
2 D 2 d
 3 + 3  ∫ ω
E (ω , T ) dω
dT
 cL cT  0
14
L/T : longit./transversal
Die Debyesche Abschneidefrequenz ωD wird dabei so festgelegt, daß die Gesamtzahl der Zustände
gerade 3rN ist. Die Festlegung einer gemeinsamen Abschenidefrequenz für alle drei akustischen
Zweige ist dabei eine gewisse Inkosequenz des Modells, die allerdings zu einer besseren
Übereinstimmung mit den experimentellen Werten für cV(T) führt als die Einführung getrennter
Abschneidefrequenzen für den longitudinalen Zweig und die transversalen Zweige.
Debye-Temperatur θ: hω = k Bθ
Im Ramen der harmonsichen Näherung, wie bisher angewand, ist die spezifische Wärme
temperaturunabhängig und bezogen auf die Dichte für alle Festkörper gleich:
cV =
1
3rNk B (siehe auch Dulong-Petit-Regel)
V
Experimentell beobachtet man einen zusätzlichen schwachen Anstieg etwa proportional zu T.
Für tiefe Temperaturen ergibt sich:
3
1
4π  T 
cV (T ) = 3rNk B
⋅ 
V
5 θ 
4
für T<<θ
Da für genügend tiefe Temperaturen nur elastische Wellen angeregt werden und für diese in realen
Festkörpern die Zustandsdichte tatsächlich ~ω2 ist, gilt das T3 -Gesetz für den Schwingungsbeitrag
zur spezifischen Wärme für alle Festkörper. Allerdings kann der Gültigkeitsbereich auf
Temperaturen unter 1K beschränkt sein.
Anharmonsiche Effekte beschreiben reale Verhältnisse, bei denen die harmonische Deby-Näherung
versagt:
• thermische Ausdehnung
• temperaturabhängigkeit elastischer Konstanten
• der (geringfügige) Anstig der spez. Wrme für T>θ
• endliche Wärmeleitfähigkeit.
Die Effekte treten mathematisch gesehen aus den gleichen Gründen wie in der nichtlinearen Optik
auf. Z.B. kann ein Phonon ein zwei oder mehr andere Phononen zerfallen ("Phononenzerfall").
Was ist eine Zustandsdichte?
Zustandsdichte D(ω) des Phononensystems:
Verteilung der Schwingungszustände über den Frequenzbereich D(ω)dω ist die Zahl der
Eigenschwingungen im Fequenzband zwischen ω und ω+dω.
Die Zustandsdichte D(ω) ist hoch, wo die Dispersionskurven flach verlaufen. Für Frequenzen, bei
denen die Dispersionsrelation eine waagrechte Tangente hat, hat die Ableitung der Zustandsdichte
nach der Frequenz eine Singularität (van Hove Singularität)
Zustandsdichte D(E) des Elektronensystems:
Anzahl der Energiezustände pro Volumeneinheit und Enerieintervall
D (E ) =
1 dN
V dE
dN : Anzahl der Zustände im Energieintervall dE
∞
N = ∫ N (E ) ⋅ D(E ) dE
0
15
V ⋅ k3
N=
: Anzahl der Teilchen in der Impulsraumkugel mit Radius k
3π 2
h2 k 2
Energie dieser Impulsraumkugel: E =
2m
3
V  2m 2
Zustandsdichte für das Fermi-Gas im Grundzustand für T=0: D0 ( E ) =

 ⋅ E
2π 2  h 2 
mit E : Energie des Elektronengases
Zustandsdichte an der Fermikante: D (E F ) =
3 N
2 EF
Die Hauptstruktur in der Funktion D(E) wird durch solche Punkte im k-Raum geliefert, wo
grad k E verschwindet, d.h. wo die Energielächen flach verlaufen. Diese Punkte heißen van HoveSingularitäten oder kritische Punkte. Im dreidimensionalen Raum wird D(E) in der Nähe dieser kritischen
Punkte nicht singulär, sondern zeigt parabolischen Verlauf. Für eindimensionale Bandstrukturen divergiert die
Zustandsdichte an den kritischen Punkten, jedoch bleibt das Integral über die Dichte natürlich endlich.
Zustandsdichten werden durch Integration im k-Raum über die erste Brillouin-Zone einer errechneten
Bandstruktur gewonnen und können dann mit experimantellen Daten (z.B: aus der
Photoemissionsspektroskopie) verglichen werden. Sie liefern eines der wesentlichen Bildeglieder, um
Bandstrukturrechnungen mit experimentellen Daten zu vergleichen.
16
Zu Abb 7.13: Entscheidende Beiträge, d.h. Maxima in der Zustandsdichte, sind mit flach verlaufenden
Bereichen der E(k)-Kurven längs hoher Symmetrien korreliert. Weiter ist eine absolute
(symmertieunabhängige) Abndlücke zu erkennen mit ca. 0,7eV.
Bei Ferromagneten (Fe, Ni, Co) kommt eine Komplikation hinzu. Bei diesen Materialien stell sich in der
ferromagnetische Phase (T<TC, Curie-Temperatur) eine Spinordnung ein, so daß manzwei Zustandsdichten,
eine für Elektronen mit Spinmoment parallel zur spontanen Magnetisierung M und für die Elektronen mit
antiparalleler Einstellung ermitteln muß.
Während die Angabe des Bänderschemas E(k) einen idealen, periodischen Kristall voraussetzt (k x, ky , kz sind
adäquate Quantenzahlen für elektronische Zustände nur im periodischen Kristall) können Zustandsdichten
D(E) auch für nichtperiodische Systeme, wie amporphe Materialien oder Atomcluster(nur begrenzt periodisch)
angegeben werden.
Was beschreibt das Ficksches Gesetz / Fouriersches Gesetz?
Bei Konzentrationsdifferenzen tritt ein Teilchenstrom auf.
Das Ficksche Gesetz beschreibt den Zusammenhang zwischen Teilchenstromdichtevektor und
Teilchendichte
r
j = −D ⋅ grad ρ D
D : Diffusionskonstante charakterisiert, wie stark das System dem Lösungsgefälle folgt.
1
D = v l [m2 /s] mit v : mittlere Geschwindigkeit, l : mittlere freie Weglänge
3
Dies ist analog zu Wärmedifferenzen:
17
Das Fouriersches Gesetz besagt, daß der Wärmestrom längs des stärksten Temperaturabfalls verläuft:
r
qth = −λ ⋅ grad T
λ : Wärmeleitfähigkeit, materialabhängige Proportionalitätskonstante; ist identisch mit der
Konstanten des Wärmeleitungsgesetzes
r
d 2Q
qth =
: Wärmestromdichte [W/m2 ]
dt dA
Listen Sie kurz prinzipielle Röntgen-Beugungsmethoden auf!
•
•
•
Laue-Verfahren
feststehender Einkristall wird mit kontinuierlichem, weißen Spektrum durchstrahlt. Nur für
bestimmte Wellenlängen ist die Bragg-Bedingung erfüllt. Es treten bei bestimmten Winkeln
konstruktive Interferenzen auf, die zu punktförmigen Reflexen führen.
Das Verfahren ist in erster Linie dazu geeignet Kristallorientierungen und Kristallsymmetrien zu
bestimmen. Kaum zur Strukturbestimmung geeignet.
Drehkristall-Verfahren
Einkristall wird ineinem monoenergetischen Röntgen/Neutronen-Stahl um eine feste Achse
gedreht. Punktförmige konstruktive Interferenzen.
Debye-Scherrer-Verfahren (Punktdiffraktometrie)
wird zur Untersuchung von Pulvern eingesetzt- Monoenergetischer Strahl. Statistische
orientierung der Kristallite. Ringstruktur auf dem Film.
Wird eingesetzt, um die Veränderung der Gitterkonstanten mit der Temperatur oder Variation
der Zusammensetzung einer Legierung zu Messen.
Freie Elektronen im Festkörper / Wie entsteht die Bänderstruktur in Festkörpern? / adiabatische
Näherung (=Born-Oppenheimer-Näherung)
(sehr sehr Empfehlenswert das Kapitel 6 im Ibach/Lüth)
adiabatische (Born-Oppenheimer) Näherung: Das Rumpfpotential kann für die Elektronen
näherungsweise als zeitlich konstant angenommern werden, da wegen der sehr viel größeren Masse
die Kern- und Rumpfbewegungen als sehr langsam und im Grenzfall als nicht vorhanden angesehen
werden können. Die Anregungszustände lassen sich damit vereinfacht in einem statischen Potential
berechnen. Wechselwirkungen zwischen den sich bewegenden Atomrümpfen und den Elektronen
werden dabei vernachlässigt. Zur Behandlung von Transporterscheinungen der Elektronen im
Kristall müssen diese Elekrtron-Gitter-Wechselwirkungen nachträglich wieder in Form einer Störung
eingeführt werden.
Es müßte immer noch eine Schrödinger-Gleichung für 1023 Elekronen gelöst werden.
Man betrachtet nur ein Elektron in einem effektiven, periodischem und zeitunabhängigen Potential.
Dieses Potential wird dabei aus den ruhenden Atomkernen und allen anderen Elektronen gebildet.
Die anderen Elektronen schirmen das Kernpotential weitgehend ab. In dieser EinelektronNäherung werden alle Elektron-Elektron-Wechselwirkungen vernachlässigt, die sich nicht als
18
lokales Potential für das betrachtete Aufelektron darstellen lassen. Solche Korrelationen zwischen
Elektronen sind aber z.B. wichtig für das Verständnis von Magnetismus und Supraleitung.
Für das eine Elektron ergeben sich Einelektronen-Quantenzustände, die dann (unter
Berücksichtigung des Pauli-Prinzips) sukzessive mit den zur Verfügung stehenden Elektronen
aufgefüllt werden.
Im noch mehr vereinfachten Modell von Sommerfeld/Bethe(1933) wird nicht einmal das
periodische Potential berücksichtigt und die Potentialschwelle am Kristallrand wird auf unendlich
gesetzt.
Die möglichen Energiewerte E =
h2 k 2
sind die des freien Elektrons, wobei jedoch durch die
2m
Randbedingung ψ=0 an den Kristallrändern, eine Einschränkungen für die Wellenzahlen kx, ky , kz
folgen: k x =
π
n x mit nx=1,2,3... (nx=0 ist nicht normierbar und muß deshalb ausgeschlossen
L
werden)
Die Näherungen
• Einelektronennäherung
• keine Wechselwirkung zwischen den Elektronen
• Kastenpotential
zusammen eigenen sich nicht zur Beschreibung der Natur von Halbleitern und Isolatoren. Dazu muß
man die Bildung von Bändern berücksichtigen.
Unter Berücksichtigung des (streng) periodischen Potentials ohne Ränder unter Beibehaltung der
Einelektronennäherung erhält man eine Bandstruktur.
Die anzusetzende stationäre Schrödingergleichung mit periodischem Potential wird durch BlockWellen ψ gelöst (siehe auch Bloch-Theorem, Bloch-Funktionen). Bloch-Wellen, auch Blochsche
Zustände eines Elektrons sind mit einem gitterperiodischem Potential modulierte ebene Wellen.
Bloch-Wellen, deren Wellenzahlen sich um einen reziproken Gittervektor G unterscheiden, sind
gleich. Mit der Schrödinger-Gleichung Hψ=Eψ folgt, daß die Eigenwerte E(k) im Raum der
Quantenzahlen k bzw. der Wellenzahlvektoren der Bloch-Wellen periodisch sind.
Wie also die Phononen durch Angabe von K und ω(K) im reziproken Raum mittels
Dispersionsflächen beschrieben werden, lassen sich die Einelektronenzustände des periodischen
Potentials durch Energieflächen E=E(k) im reziproken Raum der Wellenzahlen (Quantenzahlen ) k
als periodische Funktion darstellen. Die Gesamtheit dieser Energieflächen heißt "elektronisches
Bänderschema" des Kristalls. Auch hier reicht es wegen der Periodizität die Werte in der ersten
Brillouin-Zone zu kennen.
Wir denken uns nun das periodische Potential von Null her kommend langsam eingeschaltet.
Zunächst der Fall beim kleinsten nicht verschwindendem Potential (im 1-dim. Fall):
19
An den Rändern der Brillouin-Zone liegt eine Entartung der Energiewerte vor, die aus dem
Schnittpunkt jeweils zweier Parabeln herrührt. Die Beschreibung des Zustandes eines Elektrons mit
diesen k-Werten besteht zumindest in einer Superposition der beiden entsprechenden ebenen Wellen.
Die "richtigen" Ansätze für eine Störungsrechnung zur Errechnung des Einflußes eines kleinen
Potentials sind:
(
iGx / 2
(
iGx / 2
ψ+ ~ e
ψ− ~ e
+e
−e
− iGx/ 2
−iGx / 2
) ~ cos π x 
)
 a
 x
~ sin  π 
 a
Dies sind stehende Wellen, die ortsfeste Nulldurchgänge besitzen. Wie schon bei der Beugung an
periodischen Strukturen, kann man sich diese stehenden Wellen aus einer Überlagerung einer
einlaufenden und der Bragg-reflektierten", zurücklaufenden Welle entstanden denken. Die
zugehörigen Wahrscheinlichkeitsdichten sind in Abb. 7.4 dargestellt. Für ein Elektron im Zustand ψ+
ist die Ladungsdichte jeweils maximal am Ort der positiven Rümpfe und minimal dazwischen. Bei
ψ– ist dies gerade umgekehrt.
20
Verglichen mit einer laufenden ebenen Welle exp(ikx), wie sie in guter Näherung weiter weg von der
Brillouin-Zonenkante als Lösung exestiert, bedeutet also ψ+ eine Erniedrigung der Gesamtenergie
(speziell der potentiellen) und ψ– eine Erhöhung im Vergleich zum Wert, der bei einem freien
Elektron (verschwindendes Potential) auf der Energieparabel gegeben wäre.
Die stärksten Abweichungen vom Verhalten des freien Elektrons treten auf, wenn die BraggBedingung erfüllt ist, d.h. für die k-Vektoren auf dem Rand der 1. Brillouin-Zone.
Die Größe der Energieaufspaltung ist ∆E=2|VG |, d.h. gleich der doppelten Fourierkomponenten des
r r
Potentials bei G. Mit V (r ) = ∑VGr e eG⋅r
r
G
"Stark gebundenes" Elektron (tight binding)
Da die Rumpfelektronen auch beim Zusammenbau freier Atome zum Kristall die Eigenschaften, die
sie im freien Atom haben, weit stärker behalten, besteht eine Vernünfige Beschreibung darin, die
Eigenschaften der Kristallelektronen durch lineare Superposition aus den Atomeigenfunktionen
abzuleiten. Das Verfahren heißt auch LCAO (Linear Combination of Atomic Orbitals)-Methode.
Durch das Zusammenfügen der Atome zu einem Kristall entsteht aus dem Energieniveau Ei des
freien Atoms ein elektronisches Band, dessen Schwerpunkt im Vergleich zu Ei abgesenkt ist. Ein
Band ist um so breiter, je stärker die Überlappung benachbarter Wellenfunktionen ist. Tiefer
liegende Bänder, die von stärker lokalisierten Elektronen herrühren, werden also schmaler sein als
Bänder, die von höherliegenden Atomniveaus mit ausgedehnten Wellenfunktionen herrühren.
Lokalisieren die Elektronen stärker an den Atomen ist der Überlapp der ψ-Funktionen geringer und
damit das entsprechende Band relativ scharf.
21
Besteht ein (primitiv kubischer) Kristall aus N Atomen, d.h. N primitiven Zellen, so spaltet ein
Atomares Niveau Ei des freien Atoms durch Wechselwirkung mit den (N–1) Atomen des Kristalls in
N Zustände auf, die das entsprechende quasikontinuierliche Band bilden. 2N Elektronen können
dieses Band besetzen.
Die Existenz einer verbotenen Zone ist nicht an die Periodizität des Gitter gekoppelt; auch amorphe
Materialien können eine Bandlücke aufweisen (z.B. C, Si, Ge). Dabei kommt es dann im
wesentlichen auf den mittleren interatomaren Abstand der Atome an.
Die beiden wesentlichen Herleitungen/Erklärungen der elektronischen Bandstruktur, d.h. die
Aufeinanderfolge von erlaubten und verbotenen Energiebereichen:
1. Eine Bandstruktur kann zurückgeführt werden auf das Auftreten von Bragg-Reflexionen, die aus
dem kontinuierlichen Spektrum freier Elektronenzustände verbotene Bereiche herausschneiden.
In erster Linie für die Valenz-/Leitungselektronenbänder zu gebrauchen, weil...
Ausgangspunkt: freie Elektronen imKristall
Bandlücken entstehen aus Kontinuum durch Bragg-Reflexion.
2. Die andere, ebenso wichtige Betrachtungsweise geht von den diskreten Energieniveaus der
freien Atome aus und erklärt das Zustandekommen von Bändern als Aufspaltung der
Atomtherme durch Wechselwirkung im Kristallverbund. In diesem Bild entspricht jedes Band
des Bänderschemas einem Term des freien Atoms, und man klassifiziert deshalb die Bänder
auch als s,p,d,... Bänder.
In erster Linie für die Rumpfelektronenbänder zu gebrauchen, weil...
Ausgangspunkt: freie Atome
Bänder entstehen durch Aufweitung der diskreten Zustände des freien Atoms
22
An Abb. 7.10 sieht man deutlich, daß die Aufspaltung für kleinere Ionenabstände größer wird. Für
die tieferliegenden Bänder setzt die signifikante Aufspaltung für immer kleinere Abstände ein.
Während bei den einwertigen Alkaimetallen die näherungsweise kugelförmige Fermi-Fläche voll in
die 1. Brillouinzone hineinpaßt, durchsetzt die Fermi-"Kugel" bei Aluminium gerade die Berandung
der ersten Brillouin-Zone, d.h. auf den Rändern wird die Kugelgestalt leicht infolge der dort
stattfindenden Bragg-Reflexion verändert.
Können bei Alkalimetallen dann überhaupt Bandlücken durch Bragg-Reflexion entstehen???
Im Gegensatz zu den einfachen Metallen sind die Bandstrikturen der Übergangsmetalle durch den
markanten Einfluß der d-Bänder wesentlich komplizierter. Neben den sehr parabelnahen s-Bändern,
erscheinen unterhlb der Fermienergie sehr flache E(k)-Strukturen, deren geringe energetische Breite
(wenig Dispersion) auf die starke Lokalisierung der d-Elektronen zurückzuführen ist.
Was sagt der Poynting-Vektor?
Stöcker:
Der Poynting-Vektor gibt Betrag und Richtung des Energietransportes in elektromagnetischen
Feldern an. Dimension ist Energieflußdichte [W/m2 ].
r r r
S = E× H
maximal bei E ⊥ H
mit
E : elektrische Feldstärke
H : magnetische Feldstärke
r r
dW
= ∫ S ⋅ dA
dt
A
Ibach:
r
Poynting-Vektor: S (t ) =
ω 4 P 2 sin 2 ϑ r
⋅s
16π 2ε 0 r 2c 3
r
Die pro Festkörpervolumen in eine Richtung s (Einheitsvektor) abgestrahlte Energiestromdichte im
Abstand r.
23
r
Mit: ϑ : der von der Beobachtungsrichtung s und der Schwingungsrichtung der Polarisation P
eingeschlossene Winkel.
Bedeutung:
Die Wechselwirkung von Licht aus dem sichtbaren Spektralbereich mit dem Festkörper geschieht
über die Polarisierbarkeit der Valenzelektronen. Eine einfallende Welle erzeugt mit ihrem
elektrischen Feld E0 über den Suzeptibilitätstensor χ eine Polarisation P:
r
P = ε 0 χE0
Die periodische Änderung von P wiederum hat die Ausstrahlung einer Welle, der gestreuten Welle,
zur Folge. In klassischer Näherung läßt sich die Streustrahlung als Dipol-Strahlung der durch P
gegebene oszillierenden Dipole auffassen. Nach der Elektrodynamik gibt es eine Abstrahlung
entsprechend dem Poyntingvektor.
Die elektronische Suszeptibilität χ ist eine Funktion der Kernkoordinaten, d.h. auch von
Auslenkungen durch Schwingungen Beeinflußt. Somit können Phononen die abgestehlte Frequenz
gegenüber der eingelaufenen Verändern. Man erhält die bekannten Raman-Seitenbanden. (Siehe
Ramanstreuung)
Was sind Landauniveaus/De-Haas-van-Alphen-Effekt?
Kittel S. 286/ Bergmann S. 68
Bei Anlegen eines äußeren Magnetfeldes spalten die Valenz- und Leitungsbänder der Kristalle in
diskrete Bänder, die sogenannten Landau-Parabeln, auf. Die Energiewerte sind
1  h 2 k z2

E = hω Z  n +  +
.
2  2m*

Das in der Effektive-Masse-Näherung parabolische Leitungsband wird in eine Reihe äquidistanter
Parabeln aufgespalten. Die Landau-Niveaus sind bezüglich ky noch entartet.
Die Zahl der Zustände der Landau-Niveaus bei kz=0 hängt vom Magnetfeld ab. Erniedrigt man das
Magnetfeld erniedrigt man auch die Zahl der Zustände und ein gefülltes Landau-Niveau kann nicht
24
mehr alle Elektronen aufnehemen, so daß sich auch höhere Landau-Niveaus mit Elektronen füllen.
Daraus ergeben sich unstetige Sprünge in der Gesamtenergie, wenn das Magnetfeld erhöht wird(DeHaas-van-Alphen-Effekt). Da sie magnetische Suszeptibilität die Ableitung der freien Energie
nach dem Magnetfeld ist, kann man periodische Schawankungen der suzeptibilität als Funktion des
Magnetfeldes beobachten. Die Periode dieser Schwankung ist ein direktes Maß für extremale
Schnittfläche einer Ebene senkrecht zum Magnetfeld mit der Fermi-Fläche.
Zum Bild 23: Wenn das Magnetfeld erhöht wird, bewegen sich die Elektronen zu niedrigeren
Niveaus. So geschieht es, daß bei einer stetigen Erhöhung des Magnetfeldes das Fermi-Niveau
abrupt zum nächst tieferen Niveau bewegt, denn die Entartung der Landau-Liveaus wächst mit B.
Extremalbahnen. Bei der Interpretation des dHvA -Effekts ist ein Punkt besonders zu beachten. Für
eine allgemeine Fermi-Fläche haben Abschnitte mit verschiedenen Werten von kB verschiedene
Umlaufperioden. Die Reaktion des Systems wird eine Summe der Beiträge aller Abschnitte oder
Bahnen sein. Die dominierende Reaktion des Systems stammt jedoch von Bahnen, deren Perioden
gegenüber kleinen Änderungen von k B stationär sind. Solche Bahnen nennt man Extremalbahnen. So
bestimmt beispielsweise in Bild 28 der Abschnitt AA' überwiegend die beobachtete
Zyklotronperiode.
25
Im wesentlichen handelt es sich um eine Frage der Phasenkompensation: die Beiträge der
verschiedenen nicht-extremalen Bahnen heben sich gegenseitig auf, in der Nähe der Extrema ändert
sich die Phase nur langsam, und damit ergibt sich ein resultierendes Signal von die sen Bahnen.
Theorie und Experiment stimmen darin überein, daß sogar komplizierte Fermi-Flächen zu scharfen
Resonanzen führen, da im Experiment die Extremalbahnen sehr stark hervorgehoben werden.
Was sagt die Boltzmann-Gleichung?
Integro-Differentialgleichung zur Bestimmung von Nichtgleichgewichtsverteilungen.
Findet bei Elektronen-Transportbewegungen Anwendung.
Die Boltzmann-Gleichung beschreibt das Zusammenspiel der beiden beim elektrischen Stomfluß
wirkenden Mechanismen.
• treibendes äußeres elektrisches Feld und
• hemmende Wirkung von Stößen der am Strom beteiligten Ladungsträgern an Phononen und
Störstellen
Mit Hilfe dieser Gleichung läßt sich ermitteln, wie sich die Verteilung der Ladungsträger im
thermischen Gleichgewicht dadurch ändert, daß äußere Kräfte wirken und Stöße der Elektronen
stattfinden. Im thermischen Gleichgewicht ist dies nichts anderes als die Fermi-Verteilung.
Die Nichtgleichgewichtsverteilung lautet ohne Stöße:
(
)
r r
r r r e r

f r , k , t = f  r − v dt , k + EFeld dt , t − dt 
h


Denn ohne Stöße muß jedes Elektron nach der Zeit dt zur Zeit t auch bei r, k erscheinen.
Mit Stößen die summarisch in einen Term gepackt werden erhält man:
26
(
)
r e r
r r
r r
  ∂f 
f r , k , t = f  r − v dt , k + EFeld dt , t − dt  +  
h

  ∂t  Stöße
Entwicklung bis zu linearen Gliedern in dt ergibt:
∂f r
e r
 ∂f 
+ v ⋅ ∇ r f − EFeld ⋅ ∇ k f =  
: Boltzmann-Gleichung
∂t
h
 ∂t  Stöße
links : "Driftterm"
rechts : "Stoßterm", enthält die gesamte Atomistik der Streumechanismen
Der Stoßterm läßt sich mit der quantenmechanisch betrachteten Übergangswahrscheinlichkeit vom
Bloch-Zustand ψk nach ψk' in voller Allgemeinheit angeben:
( ) =
r
 ∂f k

 ∂t



{[
( )]
() [
( )]
}
r
r
r
r
V
d
k
'
1
−
f
k
w
f
k
'
−
1
−
f
k
' wkk ' f (k )
kk
'
(2π )3 ∫
Das ergibt insgesamt eine reichlich komplizierteIntegro-Differentialgleichung zur Bestimmung der
Nichtgleichgewichtsverteilung.
Bei vielen Problemen macht man für den Stoßterm den sog. Relaxationszeitansatz.
Hier wird angenommen, daß die zeitliche Rate, mit der sich f durch Stößte in die
Gleichgewichtsverteilung f0 (Fermi-Verteilung) zurückbewegt, umso größer ist, je stärker die
Abweichung von f von der Gleichgewichtsverteilung f0 ist.
() ()
()
r
r
f k − f0 f
 ∂f 
r
=−
 
τ k
 ∂t  Stöße
τ ist die Relaxationszeit
Ist man nur an Phänomenen interessiert, die linear vom äußeren Feld abhängen, wie z.B. der
Ohmsche Strom, so beschränkt man sich auf der ersten Näherung, wo f linear vom Feld EFeld
abhängt. SO ergibt sich die lineare Bolzmann-Gleichung zur Bestimmung der
Nichtgleichgewichtsverteilung:
()
()
()
()
r
r e r r
r
f k ≈ f 0 k + τ k E Feld ⋅ ∇ k f 0 k
h
In der betrachteten Näherung für kleine Elektrische Felder, d.h. geringe Abweichung vom
thermischen Gleichgewicht läßt sich dies als Entwicklung von f0 (k) um den Punkt k wie folgt
auffassen:
()
()
r
r e r r 
f k ≈ f 0 k + τ k EFeld 
h


Die sich unter dem Einfluß eines äußeren Feldes EFeld und der Wirkung von Stößen (beschrieben
durch τ) einstellende stationäre Verteilung läßt sich somit als eine um
e
τEFeld verschobene
h
Gleichgewichts-Fermi-Verteilung darstellen, wie in der Abbildung 9.4 dargestellt.
27
Was ist der Skineffekt (normaler/anomaler)?
Zur Bestimmung von effektiven Massen verwendet man Zyklotronresonanz. Die Ladungsträger
bewegen sich wie freie Teilchen in einem Magnetfeld nach den kalssischen Bewegungsgleichungen,
auf Kreisbahnen. Die Umlauffrequenz ist
ωZ =
e
B
m*
Durch drehen von B gegenüber den Kristallographischen Achsen kann auch die
Richtungsabhängigkeit der effektiven Masse m* bestimmt werden.
Bei der Messung muß die Bedingung eingehalten werden, daß die mittlere freie Flugdauer τ den
Ladungsträgern mindestens einen Umlauf ermöglicht, was zur Bedingung ωZ ⋅ τ > 1 führt.Man mißt
deshalb bei tiefen Temperaturen (T=4K) und Frequenzen die für B=1T im Mikrowellenbereich
liegen.
Die Zyklotronresonanz ermöglicht die Bestimmung der Form der Energiebänder in der Nähe der
Bandkanten von Halbleitern und der Form der Fermi-Flächen bei Metallen.
Bei manchen Metallen, bei denen die mittlere freie Weglänge der Elektronen größer ist, als die
Eindringtiefe des Mikrowellenfeldes, beobachtet man auch Resonanzen bei ganzzahligen vielfachen
der Zyklotronfrequenz ωZ. Dieser Effekt wird anomaler Skin-Effekt (= Azbel-Kaner-Effekt)
genannt und erklärt sich dadurch, daß die Kreisbahn des Elektrons nur ein kurzes Stück durch das
Mikrowellenfeld verläuft. Resonanz tritt also ein, wenn das Mikrowellenfeld das Elektron im
richtigen Takt beschleunigt, was bei ganzzahligen Vielfachen der Umlauffrequenz der Fall ist.
Dadurch verringert sich die Eindringtiefe zusätzlich zum normalen Skin-Effekt.
28
Das Magnetfeld liegt senkrecht zur Zeichenebene, und das Elektron wird nur in dem Teil seiner
Kreisbahn beschleunigt, der im schraffierten Bereich, also im Mikrowellenfeld liegt.
Die anomale Skintiefe (Skintiefe : Feld ist auf 1/e abgesunken) hängt im Gegensatz zur normalen
Skintiefe ς ~
1
nicht von der (Gleichstrom-)Leitfähigkeit σ ab.
σ (T )
Bei sinkender Temperatur wächst die mittlere freie Weglänge l an, das bedeutet eine Abnahme von σ
und daher eine Zunahme der Normalen-Eindringtiefe. Damit kann auch im Bereich von T=4K
gelten: l >> ζ, womit Elektronen ungestört im vollen Feld kreisen können.
Was ist der Mottsche Metall-Isolator-Übergang?
rTF =
1
e 2 D ( EF )ε 0
: Thomas-Fermi Abschirmlänge,
elektrostatische Abschirmung in einem Fermi-Gas
 n
im Modell des freien Elektronengases: rTF ≈ 0,5 ⋅  3 
 a0 
−1 / 6
mit a0 : Bohrscher Radius.
Die starke Abschirmung z.B. eines Coulomb-Potentials ist dafür verantwortlich, daß in einem Metall
die energetisch höchsten Valenzelektronen nicht lokalisiert sind. Diese Elektronen können nicht
mehr im Feld der Rumpfelektronen gehalten werden. Mit abnehmender Elektronendichte n wird die
Abschirmlänge immer größer.
Oberhalb einer kritischen Elektronenkonzentration nc wird die Abschirmlänge rTF so klein, daß
(einige) Elektronen keinen gebundenen Zustand mehr einnehmen können: man hat metallisches
Verhalten. Unterhalb dieser kritischen Elektronenkonzentration ist die Potentialmulde des
abgeschirmten Feldes so weit, daß ein gebundener Elektronenzustand darin möglich ist. Das
Elektron ist im wesentlichen in einer kovalenten oder ionogenen Bindung lokalisiert. Dieser
gebundene Zustand ist gleichbedeutend mit isolatorischen Eigenschaften, wo die höchsten besetzten
Orbitale lokalisierten Bindungen entsprechen.
Die von Mott angegebene Abschätzung, wo ein gebundener Zustand im abgeschirmten Potential
möglich ist, also der metalische Charakter eines Festkörpers zusammenbricht, lautet:
n-1/3 >> 4a0 . d.h., wenn der mittlere Elektronenabstand n-1/3 wesentlich größer wird als etwa vier
Bohrradien. Man hat es dann mit einem abrupten Übergang in den Isolatorcharakter zu tun.
Wieso schimmern Opale so?
Opale sind für Licht wie ein 3-dim-Gitter für Elektronen. d.h. der Brechungsindex ändert sich mit
einer Periode, die ca. der Wellenlänge entspricht. Dies entsteht durch entsprechend große periodische
Strukturen im Kristall, vielfach Wassereinlagerung in SiO 2 , aber auch in anderen Konstellationen.
29
Wie lauten die Hundschen Regeln?
Die Hundschen Regeln, angewendet auf Elektronen in ein und derselben Schale eines Atoms,
besagen, daß sich die Elektronen auf die Orbitale so verteilen, daß der Grundzustand
folgendermaßen charakterisiert ist:
1. Der Gesamtspin S besitzt den maximalen Wert, der durch das Pauli-Prinzip zugelassen ist.
2. Der Bahndrehimpuls L hat den Maximalwert, der mit dem obigen Wert von S konsistent ist.
3. Der Gesamtdrehimpuls J ist gleich |L–S|, wenn die Schale weniger als halbvoll ist, und gleich
L+S, wenn sie mehr als halbvoll ist. Ist die Schale gerade halbgefüllt, so ergibt die Anwendung
der ersten Regel L=0 und damit J=S
Die erste Hundsche Regel ist eine Folge des Pauli-Prinzips und der Coulombabstoßung zwischen den
Elektronen(siehe auch Absatz unter "Austauschwechselwirkung"). Wegen des Pauli-Prinzips
können nicht zwei Elektronen mit gleichem Spin am selben Ort sein. Elektronen mit parallen Spins
sind deshalb weiter voneinander entfernt. Wegen der Coulomb-Wechselwirkung ist die Energie von
Elektronen mit parallelem Spin niedriger.
Prinzip des Hartree-Fock Verfahrens
Die grundlegende Idee des Hartree- bzw. Hratree-Fock-Verfahrens besteht darin, das
Mehrelektronenproblem auf ein Einelektronenproblem zurückzuführen. Dazu denken wir uns ein
Elektron herausgegriffen. Dieses Elektron bewegt sich nun nicht nur im Feld des Atomkerns,
sondern auch im Feld aller übrigen Elektronen. Die Näherungsannahme besteht darin, daß wir die
Elektronendichteverteilung aller übrigen Elektronen in einem ersten Näherungsschritt konkret
vorgeben, und zwar durch Einteilchenwellenfunktionen. Um die Wellenfunktion des
herausgegriffenen Elektrons zu bestimmen, haben wir nun eine Schrödinger-Gleichung zu lösen, in
der neben dem Coulomb-Potential des Atomkerns noch die Coulombsche Wechselwirkungsenergie
mit allen übrigen Elektronen auftritt. In einem zweiten Näherungsschritt benutzen wir nunmehr die
damit für das Aufelektron erhaltene Wellenfunktion für die übrigen Elektronen und wiederholen das
Verfahren bis sich bei den Wellenfunktionen keine merklichen Änderungen mehr ergeben, das
Verfahren also konvergiert.
Das hier beschriebene Verfahren hat natürlich einen etwas heuristischen Charakter. Es ist aber
möglich, es auf eine strenge mathematische Basis zustellen, worauf hier nicht näher eingegangen
wird.
Wieviel Gauß sind ein Tesla?
104 G=1T
Ursache für Anomalie des Wassers?
Sie ist eine Folge der Wasserstoffbrückenbindungen. Bei Eis ist jedes Sauerstoffatom tetraedrich von
weiteren Sauerstoffatomen umgeben und die Verbindungen werden durch H-Brücken hergestellt.
Auch in flüssigem Wasser liegen noch Wasserstoffbrücken vor, woraus sich die
Ausdehnungsanomalie erklärt. Sie besteht darin, daß Wasser bei 4°C seine größte Dihte hat. Der
Grund ist, daß auch in flüssigem Wasser Komplexe von wasserstoffbrückengebundenen H2 OMolekülen exestieren, die verglichen mit den nicht brückengebundenen H2 O-Molekülen ein größeres
Volumen winnehemen. Mit wachsender Temperatur schmelzen die Brückengebundenen Aggregate,
was zu einer Zunahme der Dichte fphrt. Oberhalb von 4°C überwiegt dann wieder die gewöhnliche
thermische Ausdehnung, d.h. man findet eine Abnahme der Dichte mit steigender Temperatur.
Von Wasserstoffbrückenbindungen spricht man, wenn ein Wasserstoffatom an zwei Atome
gebunden ist. Bei eingehen einer kovalenten Bindung mit einem stark elektronegativen Atom (z.B.
30
Sauerstoff), kommt es zu einem weitgehenden Ladungstransfer des einzigen Wasserstoffelektrons an
den Bindungspartner. Das verbleibende Proton kann eine anziehende Wirkung auf einen zweiten
negativ geladenen Partner ausüben. Der Bindungsabstand ist kleiner, als wenn lediglich van-DerWaals-Bindung vorläge. Typische Bindugsenergien ca. 0,1eV.
Die Struktur der Kristalle
Wie groß ist der Tetraederwinkel?
Tetraederwinkel 109,47°
Der Winkel ist Identisch mit dem Winkel zwischen den Raumdiagonalen eines Würfels.
Wie sind die Elektronen in der Ionischen Bindung verteilt?
nahezu Kugelsymmetrisch, da Edelgaskonfiguration!
Was ist ein Inversionszentrum?
Symmetriepunkt einer Punktsymmetrie.
Die Inversion wird durch eine Koordinatentransformation y'=–y, x'=–x und z'=–z beschrieben. Sie
stellt gewissermaßen eine Spiegelung an einem Punkt dar. Ihr Symbol ist 1 . Ein Beispiel ist
Zyklohexan C6H12. Auch gleichnamige, zweiatomige Moleküle haben ein Inversionszentrum,
natürlich auch Spiegelebenen.
NaCl & CsCl-Strukur haben auch ein Inversionszentrum.
Wiso ist es für viele Atome günstiger sich nicht hexagonal oder fcc anzuordnen, obwohl die
Packung dichter währe?
fcc/hcp hat die Koordinationszahl 12; beim bcc ist die Koordinationszahl nur noch 8. Bei bcc sind
jedoch die sechs übernächsten Nachbarn nur wenig weiter entfernt als die nächsten Nachbarn. Je
nach räumlicher Ausdehnung und Art der an der Bindung beteiligten Wellenfunktionen kann somit
die effektive Koordination in einer bcc-Struktur höher als in der fcc-Struktur sein.
Was ist der Atomformfaktoren fj , was der Strukturfaktor S?
Atomformfaktoren fj : Fouriertransformierte der Elektronendichte eines Atoms
Atomformfaktoren werden zur Berechnung des Strukturfaktors S verwendet.
(über das Atomvolumen integrierte Streudichte(Ibach S. 48))
Der Strukturfaktor beschreibt die Interferenzen zwischen Streuwellen von verschiedenen Atomen der
Elementarzelle. Für primitive Gitter ist S=f. Weitere Spezialfälle ergeben sich für zentrierte Gitter.
(Ibach S. 48)
Strukturfaktor: Fouriertransformierte der Ladungsdichteverteilung in der primitiven
Einheitszelle(PEZ); berücksichtigt die Geometrie der Anordnung. Mit der Rücktransformation erhält
man wieder die Elektronendichteverteilung. Da man jedoch die Intensitäten mißt hat man keine
Phaseninformation mehr, weshalb man keine eindeutige Information über die Streudichteverteilung
erhält.
31
Wenn S für gewisse K=G null wird, so gibt es eine Auslöschung von Reflexen, obwohl nach der
Beugungsbedingung eigentliche welche vorhanden sein sollten/könnten. Nur bei kugelsymmetrischer
Ladungsverteilung. Bei chemischen Bindungen weicht die Ladungsverteilung durch die
Bindungsladungen von der Kugelsymmetrie ab ⇒ verbotene Reflexe treten schwach zutage.
0 für h + k + l ungerade
2 f für h + k + l gerade
Für das bcc-Gitter gilt: S hkl = 
d.h. z.B daß es keinen (100)-Reflex gibt.
Ursache ist die destruktive Interferenz der Bragg-Reflexe der Netzebenen, die die Würfelkanten
ausmachen und der zwischengeschobenen Netzebenen, die von den Atomen der raumzentrierten
Position eingenommen werden. Voraussetzung für vollständige Auslöschung ist, daß das
Zentralatom wirklich identisch ist mit den Eckatomen. Die CsCl-Struktur fürht nicht zur
Auslöschung außer bei CsI, wo die Elektronenzahl von CS+ und I– identisch ist.
Phononen
Was unterscheidet optischen und akustischen Zweig der Dispersionskurve (üblicherweise
dargestellt für die 1. Brillouinzone) bzw. den longitudinalen und transversalen
optischen/akustischen Zweig?
•
Schwingungen in Gitter aus gleichartigen Atomen weisen folgende Dispersion auf:
•
Gitter mit zwei Atomen in der primitiven Elementarzelle (wie z.B. bei NaCl oder der
Diamantstruktur):
Für jede mögliche Polarisation mit vorgegebener Fortpflanzungsrichtung liefert die
Dispersionsrelation ω(K) zwei Äste, die als akustische und optische Äste bezeichnet werden.
Es gibt also longitudinale (LA) und transversale skustische (TA), sowie
longitudinale (LO) und transversale optische (TO) Schwingungszustände.
32
Damit wird auch das Band schärfer. Das hat allerdings nichts mit Elektronen-Bändern zu tun!
Wegen der Anzahl der Freiheitsgrade der Atome folgt für mehr Atome:
p Atome in der primitiven
3 akustische Äste
3p-3 optische Äste
Elementarzelle
3p Äste gesamt
Alle Zweige, die bei q=0 eine von Null verschiedene Frequenz aufweisen, werden "optisch" genannt.
(Ibach S. 71)
Die Auslenkungen der Teilchen in den TA- und TO-Ästen sind im nächsten Bild gezeigt.
33
Im optischen Ast schwingen die Atome gegeneinander, ihr gemeinsammer Schwerpunkt bleibt in
Ruhe. Tragen die beiden Atome ungleichnamige Ladungen (wie im Bild), so kann man eine solche
Bewegung durch das elektrische Feld einer Lichtwelle anregen; deshalb nennt man diesen Ast den
optischen Ast.
Beim akustischen Ast verschieben sich die Atome wie bei akustischen Schwingungen langer
Wellenlänge gemeinsam, daher der Name akustischer Ast.
Für bestimmte Frequenzen gibt es keine Wellenähnlichen Lösungen: hier für Frequenzen zwischen
(2C/M1 )1/2 und (2C/M2 )1/2. Das ist ein charakteristisches Merkmal der elastischen Wellen in
vielatomigen Gittern. Am Rand Kmax=±π/2 der ersten Brillouinzone tritt eine Frequenzlücke auf.
Wenn wir Lösungen mit reellen ω in dieser Lücke suchen, so wird der Wellenvektor K komplex; die
Welle wird also räumlich gedämpft.
Ein Dipolmomente (erzeugt durch unterschiedliche Atome in der Struktur) kann die Entartung
zwischen longitudinalem und akustischem Zweig aufheben (Ibach S. 72 oben)
Die unterschiedlichen Zweige ergeben sich durch unterschiedliche unabhängige Bewegungsformen
(d.h. Schwingungsvarianten) im Kristall mit harmonischer Zeitabhängigkeit und einer spezifischen
Frequenz, die im Falle des periodischen Festkörpers durch die Dispersionsrelation ω(K) gegeben ist.
Beim mathematischen Ansatz eines endlichen Gitters erhält man eigentlich diskrete K-Werte. Ein
Kristall mit N Elementarzellen hat eigentlich auch nur N mögliche K-Werte. Die Dichte der
erlaubten K-Werte im reziproken Raum ist N dividier durch das Volumen der Einheitszelle des
reziproken Gitters. Für große N liegen die Zustaände im K-Raum sehr dicht und bilden eine
homogene, quasikontinuierliche Verteilung.
Wann gibt es in der Brillouin-Zone Aufspaltung eines Astes in transv. & longit. Zweige? (Bild Kittel
Seite 117, ist Einatomig und spaltet trotzdem auf, Frage also noch unbefriedigen geklärt):
Polaritonen, das Quant des gekoppelten Phonon-Photon-Feldes verändert die Disperionsrelation von
TO-Phononen, LO-Phononen koppeln nicht mit Photonen. Somit gibt es eine Aufspaltung des
Transversal-Astes.
Text Ibach Seiten 69 untere Beide Abschnitte und folgende Seiten + Grafik 4.3 einfügen.
Wiso geht die Brillouinzone gerade von -π bis +π ?
Anschauliche Erklärung: Es macht keinen Sinn zu sagen zwei Atome seien um mehr als π außer
Phase. Eine releative Phase von 1,2π ist identisch mit einer relative Phase von -0,8π.
34
Wir benötigen sowohl positive als auch negative Werte von K, da sich Wellen nach rechts oder links
ausbreiten können. Der Bereich unabhängiger K-Werte kann also eingeschränkt werden auf
− π ≤ Ka ≤ π oder
−
Bei K=0 => ω=0
π
π
≤K≤
a
a
, a : Gitterkonstante
Wie ermittelt man eine Phononendispersionskurve?
am besten mit unelast. Neutronenstreunung
Ibach S. 74f.
Das freie Elektronengas
Was ist Umklapp-Streuung?
Die Umklapp-Streuung von Elektronen durch Phononen erklärt zum größten Teil den elektrischen
Widerstand von Metallen bei tiefen Temperaturen. Das sind Elektron-Phonon-Streuprozesse, bei
denen ein reziproker Gittervektor G beteiligt ist, so daß die Änderung des Elektronenimpulses viel
größer ist als in einem normalen Elektron-Phonon-Streuprozeß bei tiefen Temperaturen sein kann.
Ein einziger St0ß kann ein Elektron praktisch in seinen Grundzustand zurückführen.
Bild unterer Prozeß:
Bild oberer Prozeß:
k' = k + q
k' = k + q + G
Wenn die Fermi-Oberfläche nicht den Zonenrand schneidet, gibt es einen minimalen PhononenWellenvektor q0 für Umklapp-Streuung. Bei genügend tiefen Temperaturen nimmt die Anzahl von
Phononen, die für Umklappstreuung zur Verfügung stehen ab.
Bei tiefsten Temperaturen ist die Zahl von Umklapp-Streuprozessen vernachlässigbar, und der
Gitterwiderstand wird nur noch durch Kleinwinkelstreuung, also normale Streuung verursacht.
Energiebänder
Warum kann man die Einzelelektron(Einteilchen)-Näherung verwenden?
Einteilchennäherung eines Vielteilchensystems:
Bei schwacher Teilchen-WW
d.h. WW-Energie<<Gesamtenergie der Teilchen,
35
d.h. Potentielle WW-Energie (elektr.) << kinetische Teilchenenergie
(Entspricht der Bedingung für ein ideales Gas))
kann die Teilchen-Teilchen-WW als Störung behandelt werden.
Die gegenseitige Wechselwirkung wird nur in Form eines mittleren Potentials berücksichtigt. Dieses
Potential ist ortsabhängig und zeitunabhängig. Die Teilchen werden als dynamisch unabhängig
betrachtet, besitzen aber eine statistische Abhängigkeit.
Veraussetzung für die Verwendbarkeit der Einelektronennäherung ist, daß die dabei vernachlässigten
Wechselwirkungen (Elektron-Elektron und Elektron-Gitter) nicht wesentliche Eigenschaften des im
speziellen Fall konkret Interessierenden beeinflussen. So Näherung für die Bestimmung der
möglichen Energiewerte vielleicht ausreichen, aber nicht mehr für die Beschreibung der
Eigenschaften von Supraleitung oder Magnetismus
Was versteht man unter der effektiven Masse m * der Kristallelektronen?
Obwohl die Kristalle eine recht komplizierte Struktur der Energiebänder besitzen, lassen sich die meisten
physikalischen Effekte reiner Kristalle mit einer sehr einfachen Approximation der Energiebänder beschreiben. Der Grund liegt darin, daß bei Metallen nur die Elektronen in der Nähe der Fermi-Energie eine
Rolle spielen, während die tieferen Niveaus besetzt und die höheren unbesetzt bleiben. Daher geht in die
physikalischen Effekte der Leitungselektronen auch nur die Struktur der Energiebänder in der unmittelbaren Umgebung der Fermi-Energie ein, während die Form der Bänder bei anderen Energien keine
Rolle spielt. Bei Nichtleitern mit einer Energielücke gilt das gleiche. Die Fermi-Energie liegt hier in der
Energielücke, und man hat nur die Form des Leitungsbandes in der unmittelbaren Nähe der unteren
Bandkante und die Form des Valenzbandes in der unmittelbaren Nähe der oberen Bandkante zu
berücksichtigen. *
Effektive Masse m :
Für Leitungsbandkante:
Für Valenzbandkante:
Für Metalle gilt E (k ) =
 ∂ 2 EL (k ) 


2
 ∂k
k=0
2
1
1  ∂ EV (k ) 

= − 2 
mit Minus, da sonst die Massen negativ würden.
*
m
h  ∂k 2  k =0
1
1
= 2
*
m
h
h 2k 2
nur in der Nähe des Radius kF der Fermi-Kugel und nicht für kleine k.
2m*
Die gestrichelten Parabeln bilden die Approximation der Energiebänder an den verschiedenen
Stellen.
Die Wirkung des Periodischen Potentials ist vollständig in der effektiven Masse enthalten.
Das Konzept der effektiven Masse, das die Energiebänder nur in einer gewissen Näherung
beschreibt, hat also den enormen Vorteil, daß die physikalischen Gesetze freier Teilchen auf die
Kristallelektronen angewendet werden könne ,wenn amn nur die effektive Masse m* anstelle der
wahren Elektronenmasse m verwendet. Dadurch können die meisten Experimente bei Beteiligung
der Kristallelektronen nur eines Bandes unmittelbar anschaulich interpretiert werden.
36
Betrachtet man das Verhalten der Kristallelektronen in einem schwachen (nur Intrabandübergänge)
äußeren Feld, so folgen die Elektronen mit der effektiven einfach dem Newton-Grundgesetz.
Am genauesten lassen sich die effektiven Massen mit der Zyklotronresonanz bestimmen.
Wofür sind die Blochfunktionen / Was sagt das Blochtheorem?
Nach dem Blochschen Theorem besitzt die Lösung der Schrödingergleichung ψk (r) für ein
periodisches Potential V(r)=V(r+T) stets die Form der Blochfunktionen:
rr
r
r
ψ k (r ) = u k (r ) e ± jk r
r r
r
u k r + T = u k (r )
(
)
Im Kristallgitter ist T ein fundamentaler Translationsvektor.
Im Kronig-Penny-Modell werden an den Orten der Atomrümpfe ein δ-Potential angenommen.
Halbleiterphysik
Allgemein
typisch: mittlere Valenzelektronenzahl von 4 (5)
Strukturen: tetraedische Koordination: Diamant, Zinkblende, Wurzitstruktur
Energielücken ca. 0-3,5eV direkte / indirekte
r
vD
σ = en
: Leitfähigkeit
E
{
µ=e
τ
: Beweglichkeit
m*
µ
vD : Driftgeschwindigkeit (eigentlich nur der Elektronen an der Fermikante)
τ : mittlere Streuzeit,
1/τ : mittlere Stoßrate
*
m : effektive Masse
37
Aktivierung der Leitfähigkeit durch Anregung von Elektronen aus dem Valenzband ins

Leitungsband ~ exp  −

E
2k BT



Bandlücken
Kontinuierliche Bandlücken möglich durch Variation der Legierungen (AlAs–GaAs): Ga 1–xAlxAs
38
Bandstrukturen
Entstehung von Halbleiter-Bandstrukturen:
39
•
•
Bandstrukturen bestimmt man bei tiefen Temperaturen und in hochreinen Kristallen, um die
Wechselwirkung mit Phononen und Störstellen zu vermeiden. (Absorbtion von HF-Feldern)
Bestimmung der Bandlücke über optische Absorption (bei Erhöhung der eingestrahlten Frequenz
erhält man ab der Energie der Lücke eine linear ansteigende Absorbtion)
40
41
Dotierung
Skript Grafiken-Seite 127
Fermi-Flächen und Metalle
Wiso glänzen Metalle silbern (Lösung siehe Stöcker Seite 740)
Metalle haben genügend viele freie Elektronen und freie erlaubte Energiezustände, um Lichtquanten
zu absorbieren. Metalle sind deshalb lichtundurchlässig. Andererseits kann ein Elektron Energie
verlieren, indem es ein Photon entsprechender Energie erzeugt. Beide Prozesse sind
gleichwahrscheinlich. Metalle reflektieren deshalb gut. (Oxidation führt oft zur Bildung
dielektrischer Oberflächen ⇒ verminderte Reflektivität)
Wieso ist Einfallswinkel gleich Reflexionswinkel und nicht diffus?
42
Was sind Fermi-Gas, -Niveau, -Energie, -Geschwindigkeit usw.
Fermigas:
Vielteilchenzustand aus freien, nicht wechselwirkenden Elektronen, die dem Pauli-Prinzip
gehorchen. Sie bewegen sich in einem Potentialtopf mit Kantenlänge L mit unendlich hohen
Wänden. L beschreibt die Ausdehnung des Festkörpers. also z.B. ein Würfel mit der
Kantenlänge L. Es bilden sich stehende Wellen. Da die Elektronen im Festkörper eingeschlossen
sind, muß ihre Aufenthaltswahrscheinlichkeit am Rand null sein. Dadurch ergeben sich nur diskrete
Energieniveaus. Das Pauli-Prinzip verhindert, daß alle Elektronen den Grundzustand besetzen.
3
V  2m 2
Zustandsdichte des Fermigases bei T=0: D0 ( E ) =

 ⋅ E
2π 2  h 2 
h2 r 2
E=
⋅k
2m
mit k x, y , z =
2π
⋅ n x, y , z
L
kx,y,z : Komponentendes Wellenzahlvektors [1/m]
nx,y,z : Komponentendes Wellenzahlvektors [1]
Fermikugel:
Volumen im Impulsraum, in dem sich alle Elektronen des Festkörpers befinden. Die Oberfläche der
Fermikugel hat die Dimension einer Energie und wird Fermienergie EF genannt.
(
1 2
1 2 2 h2
pF =
h kF =
3π 2n
2m
2m
2m
N
n=
: Anzahldichte
V
EF =
)
2
3
2
~ n3
(
, k F = 3π 2n
)
1
3
d.h. Werte für die Größe Fermi-Energie kann man also abschätzen, wenn man die
Elektronenkonzentration n aus der Zahl der Valenzelektronen pro Atom errechnet.
43
kF : Fermi-Impuls, Radius der Fermikugel im k-Raum. (kF besitzt nicht die Dimension eines
r
r
Impulses, wird aber aufgrund der Proportionalität p = hk oft als Impuls bezeichnet.
Nur für T=0 befindet sich das Elektronengas im Grundzustand. Für endliche Temperaturen werden
aufgrund der thermischen Energie Elektronen größeren Impuls als hkF erhalten, und die (idialisierte)
Fermi-Kugel verlassen: Die Oberfläche wird aufgeweicht.
Fermi-Niveau: höchstes besetztes Energieniveau im Grundzustand
Fermi-Geschwindigkeit v F : Geschwindigkeit der Teilchen (Elektronen) mit Masse m an der
Fermi-Temperatur TF: TF=E F/kB
Die Fermi-Temperatur ist nicht die physikalische Temperatur sondern dient als Vergleichsgröße der
Fermienergie mit der Temperatur. Sie gibt einem einen Eindruck wievielmal größer die FermiEnergie als kBT ist. Sie wird oft als anschauliches Maß für den Grad der Entartung verwendet und
daher manchmal auch als Entartungstemperatur bezeichnet. Beispiel-Werte für TF siehe in der
Tabelle unten.
Oberfläche der Fermikugel: v F =
hk F
p
=
m
m
 2π 

 L 
3
Elementarvolumen im k-Raum: Vk = 
Im Elementarvolumen finden zwei Elektronen mit entgegengesetztem Spin Platz.
Wiso nur 2 Elektronen je PEZ und Band???
Ein (dreidimensionales) Elektronengas hat das k-Volumen der Fermikugel: VF =
⇒ Anzahl der Teilchen in der Fermikugel (mit Radius kF):
N = 2⋅
4
π k F3
3
VF
L3
Vk 3
= 2 k F3 = F2
Vk 3π
3π
L : Breite des Potentialtopfs
Der Faktor 2 zählt die mögliche Spinzustände pro Zustand.
V=L3 ist das Volumen des Würfels im Ortsraum.
Nullpunktsenergie: U (T = 0) =
3
N ⋅ E F : innere Energie bei T=0
5
Infolge des Pauli-Prinzips hat das Fermigas im Gegensatz zum klassischen Gas bei T=0K also eine
nichtverschwindende innere Energie. Die innere Energiedichte U eines Systems ist bekanntlich der
Mittelwert über alle Zustände. Eben gerade die Nullpunktsenergie. Diese liegt um viele
Größenordungen über der inneren Energie eines klassischen Gases bei 300K. Für die Behandlung der
Leitungselektronen in einem Metall genügt es also häufig, die Beschreibung bei T=0K
heranzuziehen.
Beispieldaten:
44
Wiso geht die Nullpunktsenergie: U (T = 0) =
3
N ⋅ E F : innere Energie bei T=0 nur bis 3/5?
5
Die Nullpunktsenergie ist die Mittelung über alle Elektronenenergien entsprechend der Besetzungsdichte
gewichtet und für die Anzahl N der Elektronen aufsummiert;
bei kontinuierlicher Rechnung erhält man (ohne korrekte Berücksichtigung der Einheiten):
EF
"Gesamtener gie"
=
" Anzahl der Zustände"
∫E*
E dE
=
0
EF
∫
E dE
3
E
5 F
0
Für die Flächen unter der Kurve erhält man 2/3, also 1/15tel mehr als 3/5. Ist aber falsch!
Warum ist die spezifische Wärme der Metallelektronen so gering?
Klassich würde man bei einer Leitungselektronendichte von ca. n=1022 cm-3 zusätzlich zur
Gitterwärme nach dem Gleichverteilungssatz zumindest für höhere Temperaturen einen
Elektronenbeitrag von c=3nk/2 erwarten. Experimentell wurde aber keine Abweichung zum DulongPetitschen Wert gefunden.
Elektronen können nur dann Energieaufnehemen, wenn sie energetisch in ihrer Nachbarschaft freie
Zustände finden. Der Bruchteil dieser Elektronen bezogen auf ihre Gesamtheit ist aber nur ca. 1/100,
wie im folgenden deutlich wird:
Die "Aufweichungszone" der Fermi-Verteilung ist von der Größernordnung 4k BT. Es kann also nur
ein Bruchteil von 4kBT/E F aller "freien" Elektronen (Dichte n) thermische Energie aufnehmen. Die
Energie je Elektron ist etwa kBT. Die Gesamtenergie dieser Elektronen ist daher von der
Größenordung U ≈ 4kBT/EF ⋅ nk BT.
Mit der Fermitemperatur TF=EF/kB, die üblicherweise von der Größenordnung 105 ist, folgt für die
spezifische Wärme
cV = ∂U/∂T ≈ 8kBn ⋅ T/TF. (exakt: cV = ∂U/∂T = π 2 /2 ⋅ kBn ⋅ T/TF)
Damit ergibt sich wegen des Faktors T/TF ein nur verschwindend geringer Beitrag der
Leitungselektronen zur spezifischen Wärme.
Bei tiefen Temperaturen, wo der zusätzlich vorhandene Phononenbeitrag die Debysche
T3 -Abhängigkeit zeigt, erwartet man im Experiment
cV = γT + βT3 , mit γ, β konstant
Was passiert bei der Verschiebung der Fermikugel?
Es ist interessant, sich die Wirkung elastischer sowie inelastischer Elektronenstreuung auf die
Einstellung des Gleichgewichtes im k-Raum zu veranschaulichen: Der stationäre Zustand der
Verteilung ist in Abb. 9.5 (durchgezogen) als verschobene Fermi-Kugel dargestellt. Denkt man sich
das äußere Feld abgeschaltet, so relaxiert die verschobene Kugel in die Gleichgewichtsverteilung
(gestrichelt) zurück. Nur inelastische Stöße (Abb. 9.5 a) können diese Wiedereinstellung des
45
Gleichgewichtes bewirken. Gäbe es nur elastische Stöße, z. B. bei Störstellenstreuung, so würde sich
niemals mehr das Gleichgewicht ein stellen, die Fermi-Kugel würde sich unter der Wirkung nur
elastischer Stöße aufblähen (Abb 9.5b).
Kittel:
Der Impuls des freien Elektrons hängt mit seinem Wellenvektor zusammen über mv=hk. In einem
elektrischen Feld E und einem Magnetfeld B wirkt eine beschleunigende Kraft auf das Elektron.
Treten keine Stoßproßesse auf, so wird die Fermi-Kugel im k-Raum durch ein äußeres elektrisches
Feld gleichförmig verschoben. Infolge der Stöße zwischen Elektronen und Verunreinigungen,
Gitterfehlern und Phononen kann die Verschiebung der Fermi-Kugel in einem elektrischen Feld als
stationärer Zustand aufrecht erhalten werden.
Dulong-Petit-Regel
Einfache Regel für die spezifische Wärmekapazität von Metallen.
Alle Metalle haben über einen weiten Temperaturbereich die konstante molare Wärmekapazität von
Cmol ≈ 25 J/(K mol).
46
Die gilt aber nicht mehr bei Temperaturen die sehr viel kleiner als 200K sind. Für T→0 gilt wegen
des dritten Hauptsatzes der Thermodynamik c→0.
Dulong-Petisches-Gesetz
Die molare Wärmekapazität Cmol ist eine Konstante. Dies gilt im Bereich der Zimmertemperatur für
fast alle Festkörper. Cmol =
CV
J
= 3 N A k B = 24,9
n
mol K
n : Molmasse
Tiefe Temperaturen (T→0):
Die spezifische Wärmekapazität cV =
CV
(M : Masse des Stoffes, CV : Wärmekapazität) geht bei
M
Isolatoren wie T3 und bei Metallen wie T gegen Null.
T 3
cV ~ 
T
Isolatoren
für T→0
Metalle
Was besagt das Wiedemann-Franzsche Gesetz?
Die Wärmeleitfähigkeit λ in Metallen ist direkt proportional der elektrischen Leitfähigkeit κ.
λel =
2
π  kB 
  Tκ
3  e 
2
oder auch
Wärmeleitf ähigkeit
~T
elektrisch e Leitfähigk eit
mit e : Elementarladung
In Metallen wird Wärme hauptsächlich über das Elektronengas transportiert.
Die Wärmekapazität des Elektronengases ist jedoch bedeutend kleiner als die des Phononensystems.
Die mittlere Geschwindigkeit der Elektronen ist dagegen viel größer als die Gruppengeschwindigkeit
(Schallgeschwindigkeit) der Phononen. Auch die mittlere freie Weglänge übersteigt die der
Phononen.
Sagen Sie was zur Austrittsarbeit
47
Ionenabschirmgrenze für Metalle?
(Kittel S. 282 Bild 22b + Seite 315)
Die Ionenabschirmgrenze für Metalle ist −
2
EF .
3
Doch was sagt die Ionenabschirmgrenze?
48
Magnetismus
Basiswissen Magnetismus
(
r
r r
B = µ0 H + M
)
r
r N
V
Die Magnetsisierung M ist gleich der Dichte der magnetischen Dipolmomente m: M = m
χ=
µ0 M
B
> 0 : paramagnetisch

< 0 : diamagentisch
Allgemein setzt sich die Suszeptibilität eines Festkörpers aus einem diamagnetischen und einem
paramagnetischen Anteil zusammen: χ d ,χ p.
• Der Paramagnetismus beruht auf der Orientierung bereits vorhandener magnetischer Momente.
So ist z.B. das magnetische Dipolmoment infolge der Bahndrehimpulse der Elektronen
r
r
eh
m = − µ B L mit µ B =
: Bohrsches Magneton
2m
r
Magnetisches Moment für ein freies Elektron ist: µ e = −
eh
= −µ B
2m
Das Minuszeichen folgt daraus, daß der elektrische Strom wegen der negativen
Elektronenladung den umgekehrten Umlaufsinn, wie der Teilchenstrom hat.
•
r
r
Spinmoment des Atoms: m = µ B g 0 S
mit g0 =2,0023 : elekronischer g-Faktor
Der Diamagnetismus des freien Elektronengases ist ein genuiner (typischer) Quanteneffekt, denn für
ein klassisches Gas freier Elekronen hängt die freie Energie nicht vom Magnetfeld ab, die
diamagnetische Suszeptibilität verschwindet.
ImVergleich zum Ferromagnetismus sind der Para- und Diamagnetismus größenordnungsmäßig sehr
klein. So könnte man magnetische Effekte oftmals vernachlässigen, wenn es nicht die AustauschWechselwirkung gäbe, die ein Phänomen kollektiver Kopplung der Elektronenspins hervorruft.
Was können Sie zur Austauschwechselwirkung sagen?
Während die Austauschwechselwirkung bei der Elekronenpaarbindung (z.B. im WasserstoffMolekül) negativ ist, erhält man für freie Elektronen eine positive Austauschwechslewirkung.
Die Wahrscheinlichkeit, zwei Elekronen mit gleichem Spin am gleichen Ort zu finden, verschwindet.
Dadurch können für ein bestimmtes Aufelektron die übrigen Elektronen mit gleichem Spin das
Coulomb-Potential der Ionenrümpfe lokal nicht mehr so gut Abschirmen, was eine Absenkung der
Energie des Aufelektrons zu Folge hat. Dieser Absenkungseffekt wird verstärkt, wenn ein möglichst
hoher Prozentsatz aller Elektronen den gleichen Spin wie das Aufelektron hat. Im Endeffekt ergibt
sich so ein Energiegewinn für eine Einelektronenenergie bei paralleler Spinstellung und eine Art
kollektiver Austauschwechselwirkung mit positivem Vorzeichen.
Man erhält eine effektive Ladungsdichte, die um r=0 reduziert ist infolge der
Austauschwechselwirkung. Diese könnte man dazu benutzen, eine neue (renormierte) SchrödingerGleichung für das freie Elektronengas aufzustellen und würde damit zur Hartree-Fock-Näherung
gelangen. (siehe "Prinzip des Hartree-Fock Verfahrens" Seite 30 und genaueres auch Haken/Wolf
Seite 340ff Kap. 19.4)
49
Vernachlässigt wurde dabei jedoch, daß das Coulomb-Gesetz auch den Aufenthalt zweier Elektronen
mit verschiedenem Spin an einem Ort verbietet.
Vorlesung: Wenn n↓ > n ↑, dann werden die ↓-Bänder abgesenkt, wenn ein Gewinn durch
Austauschwechselwirkung bei Majoritätsträgern, die Energie überwiegt, die Minoritätsträger
anzuheben.
Bergmann Seite 749:
Bei TC werden die thermischen Schwankungen des Spinsystems größer als die ordnenden Kräfte der
Austauschenergie, so daß die spontane Magnetisierung Null wird.
Noch schwer ergänzbar!!!
Was ist die Molekularfeldnäherung?
Ibach:
Bei der Molekularfeld-Näherung wird die Austauschwechselwirkung durch ein mittleres "inneres"
Feld ersetzt. Sie wird z.B. für die Spin-WW, bei der Herleitung des Curie-Weiß-Gesetzes verwendet.
Kittel:
In der Molekularfeldnäherung nehmen wir an, daß auf jedes magnetische Atom ein zur
r
r
Magnetisierung proportionales Magnetfeld wirkt: BE = λM
wobei λ eine von der Temperatur unanhängige Konstante ist. Demnach sieht jeder Spin die mittlere
Magnetisierung aller anderen Spins. In Wahrheit sollte er nur die seiner nächsten Nachbarn sehen,
aber für eine erste Bekanntschaft mit dem Problem ist diese Vereinfachung sehr nützlich.
Was können Sie zum Landé-Faktor sagen?
Landé-Faktor des Elektronenspin:
Der Landé-Faktor bestimmt die Proportionalität zwischen Spin s und magnetischem Moment µs des
Elektrons (=gyromagnetisches Verhältnis; Gyration: gleichförmige Rotation auf einem Kreis um die
lokale Magnetfeldachse.)
r
r
Spinmoment des Atoms: m = µ B g 0 S mit g0 =2,0023 : elekronischer g-Faktor
Landé-Faktor für ein freies Atom: g = 1 +
J ( J + 1) − L (L + 1) + S (S + 1)
2 J (J + 1)
Theorie für den Landéschen Faktor für e- usw.? ; Theorie für die Anomalie g≈2?
50
Was sind die Ursachen für das magnetische Moment eines freien Atoms?
Ursachen für paramagnetische Beiträge : χ > 0
• Spin, den die Elektronen besitzen
• Bahndrehimpuls der Elektronen bezüglich ihrer Bewegung um den Kern
Paramagnetische Momente ergeben sich aus
1. ungeraden Zahl von Elekronen, da der Gesamtspin nicht Null sein kann.
2. unausgefüllten Elektronenschalen.
3. einige wenige Verbindungen mit gerader Elekrronenanzahl, z.B. molekularem Sauerstoff
4. Metallen
Ursache für diamagnetischen Beitrag: χ < 0
• Änderung des Bahndrehimpulses, die durch ein äußeres Magnetfeld induziert wird.
Ein diamagnetisches Moment ist immer vorhanden wird aber meist vom stärkeren
Paramagnetismusüberdeckt.
Magnetische Kernmomente führen zum Kernparamagnetismus. Die magnetischen Kernmomente
sind Größenordnungsmäßtig 10-3 mal kleiner als das magnetische Moment des Elektrons.
Was sagt die Langevin-Gleichung für den Diamagnetismus?
Nach der Lenzschen Regel, wirkt ein induzierter Stom seiner Ursache entgegen. In Supraleiter oder
auf der Bahn des Elektrons im Atom fließt dieser induzierte Strom, solange das Feld vorhanden ist.
Auch Stöße der Elektronen zerstören den diamagnetischen Beitrag nicht.
Lamorsches Theorem: In einem Magnetfeld B ist die Bewegung der Elektronen um einen zentralen
Kern in erster Ordnung dieselbe mit B wie in Abwesenheit von B außer einer zusätzlichen
Präzession der Elekronen mit der Kreisfrequenz ω =
eB
(Lamor-Frequenz)
2m
Die Bedingung, daß dieLamorfrequenzwesentlich kleiner als die Frequenz der usrsprünglichen
Bewegung im Zentralfeld ist, ist für die Zyklotronfrequenz freier Ladungsträger nicht erfüllt, die
zweimal so groß ist.
Die Lamorpräzession ist gleichbedeutend mit einem elektrischen Strom. ⇒
χ=
µ 0 Nµ
µ NZe 2 2
=− 0
r Langevin-Gleichung des Diamagnetismus
B
6m
N : Anzahl der Atome je Volumeneinheit.
Damit reduziert sich die Berechnung auf <r2 > für die Elekronenverteilung innerhalb des Atoms.
In Dielektischen Festkörpern wird der diamagnetische Beitrag der Ionenrümpfe ungefähr durch die
Langevin-Formel beschrieben. Der Beitrag der Leitungselektronen ist etwas komplizierter, wie sich
aus dem de Haas-van Alphen-Effekt sehen läßt.
Der Diamagnetismus ist temperaturunabhängig.
51
Welche Arten von Paramagnetismus/Diamagnetismus kennen Sie?
µ0 M
B
magnetische Suszeptibilität: χ =
•
•
Langevinscher Diamagnetismus
siehe unter der Frage " Was sagt die Langevin-Gleichung für den Diamagnetismus?"
Langevinscher Paramagnetismus (von freien Spins)
Curiesches Gesetz: χ =
•
C
T
(Temperaturabhängigkeit)
van Vleckscher Paramagnetismus
Kittel:
Man betrachtet ein Atom- oder Molekülsystem, das im Grundzustand keine magnetischen
Momente besitzt, d.h. das diagonale Matrixelement des magnetischen Moment-Operators µz ist
Null.
s µ z 0 : nichtdiagonales Matrixelement des magnetischen Moment-Operators.
s : angeregter Zustand, der um ∆=Es –E0 über dem Grundzustand liegt.
∆<<kBT
∆>>kBT
:
:
χ=
χ=
N s µz 0
2
übliche Curie-Form
k BT
N s µz 0
∆
2
VanVleckscher Paramagnetismus
Bergmann S. 737:
Im Rahmen der bisherigen Überlegungen sind wir bei der Ableitung des Langevinschen Diamagnetis mus
davon ausgegangen, daß die Energieniveaus der Elektronen nicht beeinflußt werden. Tatsächlich erfahren
die Energieniveaus jedoch eine Verschiebung, die nach Van Vleck störungstheoretisch behandelt werden
muß [23]. Durch diese energetischen Verschiebungen ändern sich die Besetzungszahlen der einzelnen
Energieniveaus. Zusätzlich zum Curie-Beitrag besteht deshalb bei Molekülen ein zusätzlicher
temperaturunabhängiger Beitrag, den man nach seinem Entdecker als Van-Vleck-Paramagnetismus
bezeichnet. Dieser Van-Vlecksche Paramagnetismus tritt auch in Molekülen mit verschwindendem
Gesamtspin auf, da seine eigentliche Ursache auf den Fluktuationen des Drehmomentes der Elektronen um
52
die Molekülachse beruht, die wiederum von Anregungen der Elektronen zwischen verschiedenen
Elektronenniveaus herrühren.
•
Paulischer Paramagenetismus
Magnetismus der Leitungselektronen
Während die im Langevinschen Paramagnetismus betrachteten magnetischen Momente
lokalisiert sind, muß man die Leitungselektronen als delokalisiert betrachten. Die
Leitungselektronen sind quantenmechanische betrachtet als über den ganzen Festkörper
ausgedehnte Wellen behandelbar. Bei T=0 besetzen die Elektronen lückenlos alle
Energieniveaus bis zur Fermikante. Durch ein Magnetfeld werden die Energien der Elektronen je
nach der Spinrichtung um ±µBB geändert. Das Band der antiparallel zum Feld stehenden
Elektronen wird um den Betrag µBB angehoben, so daß Elektronen in das andere, um µBB
abgesenkte Band übertreten können. Hierdurch wird die Zahl der parallel zum Feld orientierten
Spins erhöht und es ergibt sich ein Paramagnetischer Effekt.
Das resultierende magnetische Moment ist gleich dem halben Betrag der Bandverschiebung mal
dem magnetischen Moment der übertretenden Elektronen mal der Zustandsdichte an der
Fermikante D(EF). Daraus ergibt sich die Suszeptibilität:
χ Pauli = µ 0 µ B D( EF )
2
Die geringe Größe der Pauli-Suszeptibilität folgt daraus, daß nur ein kleiner Bruchteil der
Leitungselektronen, im Energieintervall 2µBB an der Fermikante, der ausrichtenden Wirkung des
Feldes folgen kann.
Weil die Zustandsdichte an der Fermikante nur wenig von der Temperatur abhängt, ist auch der
Pauli-Paramagnetismus praktisch temperaturunabhängig .
In der Grafik ist N(EF) die Zustandsdichte, die man normalerweise D(EF) notiert.
•
Landauscher Diamagnetismus
Beitrag der Bewegung der Leitungselektronen.
Das Magnetfeld beeinflußt nicht nur die Spins, sondern auch die Bahnen der freien Elektronen.
Durch die Lorenzkraft werden die Elektronen auf Spiralbahnen gezwungen, durch die
entsprechend der Lenzschen Regel eine Schwächung des äußeren Magnetfelds auftritt.
Die Rechnung von Landau lieferte:
1
χ = − χ Pauli
3
2
1 m 
machmal auch mit χ = −  *  χ Pauli angegeben
3m 
53
mit m* : effektive Masse der Ladungsträger, die der Tatsache Rechnung trägt, daß die Elektronen
sich nicht im Vakuum, sondern in einem Kristallgitter befinden.
Cu, Ag, Au und Pb sind deshalb diamagnetisch, weil der Paramegnetismus der freien Elektronen
durch den Diamagnetismus der mit zahlreichen Elektronen besetzten abgeschlossenen
Elektronenschalen (gefüllte Elektronenbänder) überkompensiert wird.
Stellen sie das Heisenberg-Modell dem Stoner(Bänder)-Modell gegenüber.
Bergmann Seite 750ff. (Spontane Magnetisierung)
Die Stoner-Bandtheorie behandelt Einteilchenanregungen bei tiefen Temperaturen
Ibach:
Stoner-Modell:
Ein einfaches Bandmodell des Ferromagnetismus geht auf Stoner und Wohlfarth zurück.
Dabei geht man von einer Renormierung der Einelektronenenergien durch die Korrelation von
Elektronen mit gleichem Spin aus.
Man macht folgenden Ansatz:
I n↑
N
In
E↓ (k ) = E (k ) − ↓
N
E↑ (k ) = E (k ) −
E(k) sind dieEnergiewerte einer normalen Einelektronenbandstruktur
n↑ und n↓ die Anzahl der Elekronen mit entsprechendem Spin
N ist die Anzahl der Atome.
Der nach Stoner benannte Parameter I beschreibt die durch Elekronenkorrelation bewirkte
Energieabsenkung.
R=
n↑ − n↓
: Relativer Überschuß der Elektronen einer Spinsorte. Diese Größe ist bis auf den
N
Faktor µB(N/V) gleich der Magnetisierung M, d.h. die Magnetisierung ist proportional zum relativen
Spinüberschuß.
54
Die Größe der Aufspaltung zwischen den beiden Energien hängt von R ab, also der relativen
Besetzung der Subbänder. Die Besetzungswahrscheinlichkeit wird durch die Fermi-Statistik f↑/↓ (k),
die die Wert obigen Werte für die Energien der jeweiligen Spineinstellung enthält, vorgegeben.
R=
1
N
∑ f (k ) − f (k ) hat unter bestimmten Bedingungen eine nichtverschwindende Lösung
↑
↓
k
(R>0) , d.h. es existiert ein magnetisches Moment ohne angelegtes Feld und damit
Ferromagnetismus. Diese Bedingungen lassen sich zu einem Kriterium für Ferromagnetismus
I
zusammenfassen: − 1 −
N
()
()
r
∂f k
∑k ∂E~ kr > 0
Die Ableitung der Fermi-Funktion hat offensichtlich ihren größten Wert bei T→0K. Für den Fall
T=0 ergibt sich I
V
D ( EF ) > 1 . Dies ist das Stoner-Kriterium für das Auftreten von
2N
Ferromagnetismus.
I
Unter der Voraussetzung, daß dieses Kriterium erfüllt ist liefert − 1 −
N
()
()
r
∂f k
∑k ∂E~ kr > 0
(Ungleichung von oben) auch die Temperatur, bei der das magnetische Moment verschwindet
(Curie-Temperatur), wenn man dies als Gleichung statt als ungleichung liest.
Die aus einer theoretischen Behandlung erhaltene Grafik sagt für Fe, Ni, Co richtig ein
ferromagentisches Verhalten voraus.
Bei einem äußeren Magnetfeld B0 hat man zusätzlich zur Austauschaufspaltung um IR/2 eine
Aufspaltung um µBB0 (Pauli-Suszeptibilität).
55
Heisenberg-Modell:
Singulett(↑↓)- und Triplett(↑↑)-Zustände (siehe auch entsprechende Frage dazu)
Ohne äußeres Magnetfeld:
Ausgangspunkt: Ist der für die Austauschwechselwirkung zwischen zwei Elektronen eingeführte
Heisenbergsche Hamilton-Operator, der nur auf die Spinfunktionen der beiden Elektronen wirkt und
der die gleiche Aufspaltung der Energien für parallele und antiparallele Orientierung bewirkt.
Aufspaltung mit HSpin=HSpin (S1 ,S2 ) : Hamiltonoperator
r r
H Spin = − J S1 ⋅ S 2
1
H Spin Triplett = − J  
 4
 3
H Spin Singulett = − J  − 
 4
r r
H Heisenberg = −∑ J ij Si ⋅ S j
i,j
Mit zusätzlichem äußeren Magetfeld B 0 :
r r
r
H Heisenberg = −∑ ∑ J iδ S i ⋅ Siδ − gµ B B0 ∑ S i
i
δ
i
Index i : Alle Atome
Index δ : Alle Nachbarn von Atom i, mit denen Austauschwechselwirkung besteht.
Leider ist dies ein nichtlinearer Operator. Lösungen lassen sichdeshalb nur in speziellen Fällen oder
bei Einführung einer linearisierenden Näherung angeben. Eine solche Näherung ist die
Molekularfeldnäherung.
In der Moekularfeldnäherung (mean field approximation) ersetzt man das Operatorprodukt durch das
r
Produkt des Spinoperators Si mit dem Erwartungswert des Spinoperators der Nachbarn Siδ . Der
Hamilton-Operator lautet in der Molekularfeld-Näherung also:
r 
r
r 
H MF = − ∑ Si ⋅  ∑ J iδ S iδ + gµ B B0 
i
 δ

Die Austauschwechselwirkung erhält damit den Charakter eines inneren Feldes(Molekularfeld):
r
1
BMF =
gµ B
∑J
δ
iδ
r
S iδ
(Weißsches Molekularfeld)
r
Für homogene System ist Siδ
r
r
für alle Atome gleich und der Mittelwert Siδ = S läßt sich
durch die Magnetisierung ausdrücken:
r
N r
M = gµ B
S
V
r
Damit wird das Molekularfeld zu: BMF =
r
V
ν
J
M
2 2
Ng µ B
wobei wir zusätzlich noch die Austauschkopplung auf die ν nächsten Nachbar beschränkt haben.
Der HamiltonäOperator ist nun mathematisch identisch mit dem Hamilton-Operator von N
unabhängigen Spins in einem effektiven Magnetfeld B eff=B MF+B 0 . Seine Energieeigenwerte sind:
E=±1/2 g µB Beff für jeden Elektronenspin.
Wir bezeichnen die Anzahl der Elektronen in den beiden Zuständen mit dem Spin parallel bzw.
antiparalell zum B-Feld mit N↑ und N↓.
56
−
N
Im thermischen Gleichgewicht ist dann: ↓ = e
N↑
und damit ist die Magnetisierung: M =
g µ B Beff
kBT
(Boltzmann-Verteilung)
N − N↓
1
gµ B ↑
2
V
Die N↑/↓ sind über die Boltzmann-Verteilung abhängig von Beff, das wiederum BMF enthält, das von
der Magnetisierung M abhängt. d.h. auf beiden Seiten der Gleichung ist M enthalten. Diese
Gleichung hat Lösungen mit von Null verschiedener Magnetisierung M auch ohne äußeres
Magnetfeld B0 , wenn J>0 ist.
Der Temperaturverlauf der Magnetisierung ist gleich der im Bandmodell.
TC hängt von der Stärke der Austauschkopplung und der Zahl der nächsten Nachbarn ab, d.h. an der
Oberfläche ist demnach theoretisch TC kleiner. Praktisch veringert sich wohl nur die Stärke der
Magnetisierung and der Oberfläche im Vergleich zum Volumen, die Curie-Temperatur bleibt aber
scheinbar erhalten (Ibach Tafel VII Seite 189). Meßbar ist der Oberflächenmagnetismus durch
Spinanalyse von Sekundärelektronen oder Streuung von spinpolarisierten Elektronen.
Heisenbergmodell
Bandmodell
lokalisierte mag. Momente µ
gut erklärbar: Spinwellen
MS/N≠1,2,3xµB. ???
Antiferromagnetismus
wandernde Elektronen ???
Temperaturverhalten (ja oder
nein)???
Temperaturverhalten eines Ferromagneten im Bändermodell
Die Austauschaufspaltung nimmt ab bei T=TC.
Der Verlauf der Magnetisierung mit der Temperatur und der Curie-Punkt, an dem die
Magnetisierung verschwindet, ergibt sich aus dem Zusammenspiel von Austauschaufspaltung,
Fermi-Statistik und der Zustandsdichte in der Nähe des Fermi-Niveaus.
Für T>>TC gilt das Curie-Weiss-Gesetz: χ =
Nahe TC (mit T>TC) gilt eher: χ ~
C
T − TC
1
(T − TC )4 /3
57
Was ist die Antiferromagnetismus/Néel-Temperatur TN ?
Eine Reihe von Verbindungen, z.B. die Oxide von Fe, Co und Ni weisen eine antiferromagnetische
Kopplung zwischen den d-Elektronen der Übergangsmetalle auf.
Beim Antiferromagnetismus gibt es eine Anisotropie der Suszeptibilität. Man muß also
unterscheiden zwischen den Fällen paralleler und senkrechter Orientierung des äußeren Feldes
relativ zur Ausrichtung der Spins, jedenfalls für Temperaturen unter TN .
58
Der Unterschied zwischen χ ⊥ und χ || ist experimentell nur meßbar, wenn eine magnetische Domäne
vorliegt. Die ist bei Gittern mit mehreren kristallographisch äquivalenten Richtungen für die
mögliche Orientierung i.a. nicht der Fall.
In Gittern mit mehreren Arten von Übergangsmetallionen oder mit Übergangsmetallionen in
verschiedenen Wertigkeitszuständen sind die magnetischen Momente der selben nicht gleich. Auch
bei antiferromagnetischer Kopplung zwischen den Spins verbleibt dann eine Restmagnetisierung.
Diese Art Magnetismus bezeichnet man als Ferrimagnetismus , da er zuerst bei den Ferriten
gefunden wurde.
Die Néel-Temperatur ist die Grenztemperatur des Antiferromagnetismus (analog zur CurieTemeperatur beim Ferromagnetismus).
Die Magnetisierung der Untergitter von Antiferromagneten verschwindet oberhalb der NéelTemperatur, die Suszeptibilität wird damit isotrop.
In einem äußeren Feld dreht jedes der Untergitter seine magnetischen Momente um einen Winkel α
in Richtung des B-Feldes.
Was sind Spinwellen (Magnonen)?
Die Energie, die notwendig ist, um den Spin eines bestimmten Elektrons umzuklappen, ist gegeben durch die
Austauschwechselwirkung. Dies gilt sowohl im Modell der lokalisierten Elektronen als auch im Bandmodell.
Im Bandmodell bedeutet das Umklappen eines Spins einen Interbandübergang von einem Elektron in das
zugehörige, um die Austauschaufspaltung verschobene Band. Die minimale Energie für das Umklappen eines
Spins im Bandmodell ist der Abstand der Oberkante des Bandes der Majoritätsspins von der Fermi-Kante, die
sog. Stoner-Lücke. Wir werden jetzt einen anderen Anregungszustand kennenlernen, bei dem ebenfalls ein
Spin umgeklappt wird, jedoch nur im Mittel über den ganzen Kristall, d. h. es handelt sich hier um eine
kollektive Anregung aller Spins. Die dafür aufzuwendende Energie ist erheblich kleiner und kann sogar gegen
Null gehen.
Der Zustand
k =
1
N
∑e
rr
ik ⋅r j
↓j
j
stellt eine Spinwelle dar. Der Spin präzediert um die z-Achse mit einer Phasenverschiebung zwischen den
Atomen, die durch den Wellenvektor k gegeben ist (Abb. 8.11).
59
Für kleine k-Werte verschwindet die zum Umklappen eines Spins notwendige Energie. In Abb. 8.12 a ist die
Dis persionsbeziehung für Spinwellen zusammen mit dem Spektrum von Einelektronenanregungen, die
ebenfalls einen Spin umklappen, dargestellt. Für diese sog. Stoner-Anregungen(=SpinFlip) muß die Energie
νJ aufgewandt werden, wenn k = 0 ist.
Für k ≠ 0 ergibt sich infolge der Dispersion der Einelektronenzustände (Abb. 8.12b) ein Spektrum von Möglichkeiten. Im Bereich der Einelektronenanregungen können Spinwellen in Elektronenanregungen zerfallen.
Dies verkürzt die Lebensdauer eines Spinwellenzustandes und beeinflußt auch die Dispersion. Spinwellen
lassen sich sowohl thermisch als auch durch Energie- und Impuls austausch mit Neutronen anregen. Die
Neutronenstreuung erlaubt deshalb die experimentelle Bestimmung der Dispersionskurven von Spinwellen.
Die thermische Anregung von Spinwellen hat Einfluß auf den Verlauf der Magnetisierung bei tiefen
Temperaturen. Wir erinnern uns, daß die Anregung einer Spinwelle im Mittel einen Spin umklappt, also das
magnetische Moment reduziert. Die Magnetisierung eines Spingitters wäre demnach
M = MS −
1
1
gµ B
2
V
∑ n (k )
r
k
wenn n(k) die Zahl der angeregten Spinwellen mit einem Wellenvektor k ist.
Das Blochsche T3/2 -Gesetz
M (T ) − M (0 ) ~ − T 3 / 2
tritt an die Stelle einer exponentiellen Abhängigkeit, die sich für einen Ferromagneten ohne
Spinwellenanregung ergäbe. Die Spinwellenanregung ist auch in der spezifischen Wärme sichtbar, wo sie zu
einem T3/2 -Term neben dem T3 -Term durch Phononanregung führt.
Vorlesung:
Magnonen haben einen Energiebereich wie Phononen E(K)= hω(K)
Das Elektron als Fermion hat bezüglich beliebiger Richtungen zwei Einstellungen.
Drehimpulsoperatoren müssen Vertauschungsrelation genügen. Pauli-Matrizen (1930) für
Elektronenspin.
Dann gibt es noch den "Spin-Hochklapp-Operator" S+ und den "Spin-Herunterklapp-Operator" S– .
1 
S +   = 0
 0
0
S −   = 0
1
0  1
S +   =  
1  0
1  0
S −   =  
 0 1
Die Berücksichtigung der Spinwellen (insbesondere der thermisch angeregten) liefert eine bessere
Beschreibung des Tieftemperaturverhaltens als die Molekularfeldtheorie und das
Bandmodell/Stonermodell.
Die Dispersion der Spinwellen läßt sich mit Neutronen messen.
60
Magnetische Resonanz
Hyperfeinaufspaltung
Als Hyperfeinwechselwirkung bezeichnet man die Wechselwirkung zwischen dem magnetischen Moment des
Kerns und dem magnetischen Moment eines Elektrons.
Wenn der Bahndrehimpuls des Elektrons nicht verschwindet, fließt ein Elektronenstrom um den Kern. Wenn
der Bahndrehimpuls des Elektrons verschwindet, fließt (zumindest noch) ein Strom von Elektronenspins um
den Kern; dieser Strom ist die Ursache der Hyperfeinkontaktwechselwirkung, die vor allem in Festkörpern von
Bedeutung ist.
In einem starken Magnetfeld wird das Niveau-Schema des freien Atoms oder Ions von der Zeemanaufspaltung
beherrscht; die Hyperfeinwechselwirkung ergibt in starken Feldern eine weitere Aufspaltung.
erweiterbar
Knight-Shift
Hält man bei einer Spinresonanz die Frequenz konstant, so beobachtet man in einem Metall die Resonanz eines
bestimmten Kernspins bei einer Magnetfeldstärke, die gegenüber einem diamagnetischen Festkörper leicht
verschoben ist. Mit desem Effekt können wichtige Eigenschaften der Leitungselektronen studiert werden.
Der Knight-Shift ist definiert als:
K=−
∆B
B0
Er liegt zwischen 0,69% (Cr53 ) und -3,5% (Pt 195 ) (vorhandene Meßwerte im Kittel)
genaueres dazu im Kittel Seite 545, z.B. Zusammenhang mit Paulischer Spinsuszeptibilität und
Hyperfeinwechselwirkung.
Exzitonen
Reflexions- und Absorbtionsspektren zeigen oft schon Strukturen, wenn die Photonenenergie gerade
unter der verbotenen Zone liegt, dort würde man erwarten, daß der Kristall durchsichtig ist. Eine
solche Struktur entsteht, wenn die Absorbtion eines Photons mit der Erzeugung eines Exzitons
verbunden ist. Ein Elektron und ein Loch können infolge ihrer anziehenden elektrostat.
Wechselwirkung aneinander gebunden sein, gerade so wie ein Elektron an ein Proton gebunden sein
kann, und dabei ein neutrales Wasserstoffatom bildet.
Das gebundene Elektron-Loch-Paar wird als Exziton bezeichnet. Es kann sich durch ein Kristall
bewegen und dabei Anregungsenergie transportieren, aber es transporetiert keine Ladung. Es ist
61
einem Positronium ähnlich das aus einem Elektron und einem Positron gebildet wird. Exzitonen
können auch Komplexe bilden, wie z.B. ein Bi-Exziton, das aus zwei Exzitonen besteht.
Exzitonen können in jedem isolierenden Kristall gebildet werden.
Wenn die Bandlücke indirekt ist, können die Exzitonen in der Nähe der direkten Lücke instabil
werden und in ein freies Elektron und ein freies Loch zerfallen.
Alle Exzitonen sind instabil gegen den Rekombinationsprozeß.
F : Frenkel-Exzitonen
Bei der Entstehung von Exzitonen verringert sich die Energie im Vergleich zur Schwellenenergie um
die Bindungsenergie des Exzitons, die in der Gegend von 1meV bis 1eV liegen kann.
Exzitonen können durch Photoabsorption an jedem kritischen Punkt (siehe "Kritische Punkte" Seite
67) erzeugt werden, d.h wenn die Gruppengeschwindigkeiten des Elektrons und des Lochs gleich
sind, können sie infolge ihrer Coulombanziehung eine Bindung eingehen.
Die Bindungsenergie kann auf drei Arten gemessen werden:
62
•
•
•
In optischen Übergängen aus dem Valenzband (siehe Bild 7), indem man die Differenz mißt
zwischen der Energie, die man braucht um ein Exziton zu erzeugen und der Energie, die nötig
ist, um ein freies Elektron und ein freies Loch zu erzeugen.
In der Rekombinations-Luminiszenz, durch Vergleich der Energie der freien Elektron-LochRekombinationslinie mit der Energie der Exzitonen-Rekombinationslinie.
Durch Photoionisation von Exzitonen, wodruch freie Ladungsträger entstehen. Dieses
Experiment erfordert eine hohe Konzentration von Exzitonen
Zwischenzustaände zwischen Wannier- und Frenkel-Exzitonen sind bekannt.
(Mott-)Wannier-Exzitonen
Schwache Wechselwirkung
großer mittlerer Elektron-Loch-Abstand > Gitterkonstante
⇒ Die Coulomb-WW wird durch die elektrischen Eigenschaften des Kristalls abgeschirmt.
Wir betrachten Elektron und Loch als freie Teilchen
⇒ Hamilton-Operator wie für H-Atom
⇒ Exzitonen-Energien bilden Wasserstoff-Serie
63
64
Frenkel-Exzitonen
Das Exziton ist klein und stark gebunden.
In einem fest gebundenen Exziton ist die Anregung bei einem Atom oder in dessen nähe lokalisiert:
Das Loch sitzt gewöhnlich bei demselben Atom wie das Elektron, dennoch kann sich das Paar
überall im Kristall befinden.
65
Ein Frenkel-Exziton ist im wesentlichen ein angeregter Zustand eines einzelnen Atoms, mit der
Fähigkeit, von einem Atom zum nächsten weiterzuspringen – infolge der Kopplung zwischen
den Nachbarn.
Die Fortpflanzung der Anregungswelle durch den Kritall hat große Ähnlichkeit mit der Wanderung
des umgeklappten Spins eines Magnons durch den Kristall. Die Edelgaskristalle besitzen Exzitonen,
die in ihrem Grundzustand dem Frenkel-Modell entsprechen.
Exzitonen-Kondensation zu Elektron-Loch-Tröpfchen (EHD)
EHD : Electron-Hole Drop
In Ge und Si kann bei tiefen Temperaturen und unter Bestrahlung mit Licht eine kondensierte Phase
eines Elektron-Loch-Plasmas (Mottscher-Metall-Isolator-Übergang, siehe Seite 29) entstehen.
Ablauf:
• Licht Absorbtion führt zu freien Elektronen und Löchern.
• Diese rekombinieren sehr schnell (nach ~1ns) zu einem Exziton (Lebensdauer ~8µs)
• Bei großer Exzitonen-Konzentration (bei 2K größer als 1013 cm–3 ) werden die meisten zu einem
Tröpfchen (Lebensdauer 40–600µs) kondensieren.
Innerhalb des Tröpfchens lösen sich die Exzitonen in ein entartetes Fermi-Gas aus Elektronen und
Löchern auf, das metallische Eigenschaften hat.
Bezogen auf freie Exzitonen besitzen sie in dieser Phase eine Bindungsenergie von ca. 1,8meV.
66
Kritische Punkte
Für Frequnzen für die ein leeres und ein volles Band parallel sind häufen sich die Übergänge. Für
diese Frequenzen gilt:
[ ()
( )]
r
r
∇k ε leer k − ε voll k = 0
An diesen kritischen Punkten im k-Raum ist die zugehörige Zustandsdichte
Dleer (ε voll + hω )Dvoll (ε voll ) singulär;
(siehe auch Kittel Seite 347 oben)
67