6 Weitere nichtparametrische Tests

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Weitere nichtparametrische Tests
6.1
Nichtparametrisch“ heisst Vieles
”
Das Adjektiv nichtparametrisch“ wurde in der Statistik auf viele Arten verwendet,
”
um eine Methodik von der parametrischen Statistik abzugrenzen. Diese entspricht
dem klassischen Vorgehen, wie es auch im Einführungsteil besprochen wurde: Um eine Situation mit Zufallswirkung“ zu erfassen, setzt man ein Modell an, das aus ei”
nem strukturellen“ und einem zufälligen“ Teil besteht. Der zufällige Teil wird durch
”
”
Zufallsvariable beschrieben, deren Verteilung aus einer vorgegebenen parametrischen
Verteilungsfamilie stammt, beispielsweise aus der Familie der Normalverteilungen. Ein
Parameter (oder mehrere) wird durch den strukurellen Teil festgelegt. Der strukturelle Teil besteht beispielsweise aus einer Gruppierung mit einem Lageparameter“ pro
”
Gruppe oder einer Regressionsfunktion, die die Lageparameter der Zufallsvariablen
festlegt und selber wieder neue Parameter enthält.
b Nichtparametrische Tests verzichten darauf, für die Verteilung der Zufallsvariablen
eine parameterische Verteilungsfamilie festzulegen. Ein weniger üblicher, aber klarerer
Name dafür ist verteilungsfreie Tests“.
”
Die im vorhergehenden Kapitel besprochenen Verfahren gehören in diese Klasse. Der
naheliegendste Trick“, zu solchen Verfahren zu kommen, besteht in der Rangtrans”
formation der Daten (oder abgeleiteter Grössen). Wir kommen auf diese Idee zurück
(6.2).
c
Verteilungsfreie Tests“ hat leider auch eine andere Bedeutung: Es sind Tests mit
”
Teststatistiken, die für alle Verteilungen gleich sind. Es geht dabei gerade um Tests, die
die Güte der Anpassung von Daten an eine bestimmte Verteilung prüfen (goodness
of fit tests). Mehr dazu in 6.3.
d Ein bekannter Anpassungstest ist der so genannte Chiquadrat-Test. Es gibt auch
einen Chiquadrat-Test für Unabhängigkeit in Kreuztabellen. Er wird im Block über
kategoriale Daten behandelt.
e
Eine ganz andere Art, den Begriff nichtparametrisch zu verwenden, bezieht sich auf
die Modellierung des strukturellen Teils. Statt einer parametrisierten Regressionsfunktion, wie wir sie in der Varianzanalyse, der gewöhnlichen linearen Regression, den
verallgemeinerten linearen Modellen und der nichtlinearen Regression angetroffen haben, wird die Regressionsfunktion allgemeiner angesetzt – beispielsweise soll sie eine
glatte, aber sonst beliebige Funktion sein. Wie man solche Vorstellungen konkretisiert,
wird in der nichtparametrischen Regression überlegt.
0
c Reproduktion für kommerzielle Zwecke, auch auszugsweise, nur mit schriftl. GenehmiVersion Gymnasiallehrer SG, Sept 02 gung des Autors
c Reproduktion für kommerzielle Zwecke, auch auszugsweise, nur mit
Version Gymnasiallehrer SG, Sept 02 c
schriftl. Genehmigung des Autors, 20
6 Weitere nichtparametrische Tests
f Methodisch eng mit der nichtparametrischen Regression verwandt ist das Problem
der Dichte-Schätzung, das wieder den zufälligen Teil behandelt und versucht, eine
Verteilung aus den Daten herauszulesen, die nicht aus einem parametrischen Modell
stammt.
6.2
a
Rang-Methoden
Die bekanntesten Rangtests haben wir bereits behandelt:
•
Den Vorzeichen-Rangsummen-Test von Wilcoxon für zwei verbundene oder für
eine einfache Stichprobe,
•
den Rangsummentest von Wilcoxon, Mann und Whitney (U-Test) für zwei unabhängige Stichproben,
•
den Kruskal-Wallis-Test für mehrere unabhängige Stichproben,
•
den Friedman-Test für mehrere verbundene Stichproben.
b Rangkorrelation. Tests auf Unabhängigkeit von zwei Zufallsvariablen haben wir
schon in 5.8.a erwähnt. Die Rangkorrelation von Spearman – die gewöhnliche ( Pearson“”
) Korrelation von rang-transformierten Daten – kann man nicht nur als Testgrösse für
den Test auf Unabhängigkeit (also Korrelation 0) brauchen, sondern auch als Mass für
die Abhängigkeit.
Die gewöhnliche Korrelation ist dann gut interpretierbar, wenn die Daten bivariat
normalverteilt sind (siehe Stahel (2000, Bild 3.2.i)). Wenn das der Fall ist, liefert die
Rangkorrelation sehr ähnliche Werte. Andererseits ist die Rangkorrelation viel robuster als die gewöhnliche Korrelation. Transformiert man eine Variable (oder beide)
monoton, dann ändert sie sich nicht.
Eine andere Definition eines Korrelationsmasses, das diese beiden Eigenschaften besitzt, stammt von Kendall.
c*
d*
Rang-Regression. In der multiplen linearen Regression kann die Quadratsumme der Residuen, die durch die Methode der Kleinsten Quadrate minimiert wird, durch eine andere Zielfunktion ersetzt werden. Dies wurde im Block über robuste Regression ausgeführt. Jaeckel führte
eine Zielfunktion ein, die auf den Rängen der Residuen beruht. Die entsprechenden Schätzungen heissen R-Schätzungen. Ihre asymptotische Verteilung hängt nur von einem speziellen
Aspekt der Fehlerverteilung ab (von der Dichte der Verteilung bei E = 0 ) und ist deshalb
teilweise verteilungsfrei“. Genaueres siehe Hettmansperger).
”
Es gibt auch Rang-Methoden für die multivariate Statistik. Da aber nicht eindeutig ist, wie
im mehrdimensionalen Raum eine Ordnung“ eingeführt werden soll, gibt es hier recht viele
”
Vorschläge mit verschiedenen Vor- und Nachteilen. Die Forschung ist nicht konsolidiert.
6.3. ANPASSUNGSTESTS
6.3
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Anpassungstests
Die Frage, ob die Daten mit der Annahme einer bestimmten Verteilung verträglich sind,
wurde schon oft untersucht. Bisher haben wir meistens QQ-Diagramme verwendet und
auf statistische Tests verzichtet. Die Rechtfertigung dieser lockeren“ Haltung bestand
”
darin, dass mit einem Test ja nicht nachgewiesen werden kann, dass eine bestimmte
Verteilung wirklich den Daten zu Grunde liegt, sondern nur, gegebenenfalls, dass die
Daten einer solchen Annahme widersprechen. Die Versuchung einer missbräuchlichen
Interpretation eines Tests für die Anpassung“ an eine bestimmte Verteilung ist gross.
”
Trotzdem ist es an der Zeit, dass wir solche Verfahren genauer betrachten.
b Kolmogorov. Die theoretische Verteilungsfunktion F charakterisiert die zu überprüfende Verteilung, also die Nullhypothese. Die empirische Verteilungsfunktion ist
gegeben durch
#{i | Xi ≤ x}
Fb n hxi =
.
n
Wenn nun die empirische Verteilungsfunktion stark von der theoretischen abweicht,
schliessen wir auf Verletzung der Nullhypothese. (Für das QQ-Diagramm haben wir
F −1 mit Fb −1 verglichen.) Kolmogorov führte deshalb als Teststatistik die Grösse
T = maxh|Fb n hxi − F hxi|i
x
ein.
Es ist leicht einzusehen, dass die Verteilung dieser Grösse, unter der Annahme, dass
die Beobachtungen Xi gemäss F verteilt sind, nicht von F abhängt, sofern F eine
stetige Verteilung ist: Wenden wir auf die Xi irgendeine (differenzierbare) monotone
Transformation g an. Wenn die Nullhypothese gilt, haben die transformierten Beobachtungen Yi = ghXi i die kumulative Verteilungsfunktion F (Y ) hyi = F hg −1 hyii. Die
Teststatistik T , berechnet für die Yi und F (Y ) , ist gleich dem Wert von T für die
Xi und F . Setzt man beispielsweise g = F −1 , so wird F (Y ) gleich der Verteilungsfunktion für die uniforme Verteilung zwischen 0 und 1. Man kann die Verteilung der
Teststatistik also für diese spezielle Verteilung berechnen und weiss, dass diese für alle
Verteilungen F die gleiche sein muss.
Kolmogorov leitete 1933 die asymptotische Näherung an die Verteilung von T mit
sehr eleganten und grundlegenden Methoden her. Die Bedeutung der mathematischen
Methoden, die diesem Test zu Grunde liegen, ist wesentlich grösser als die praktische
Bedeutung, wie wir gleich erläutern werden (6.3.e).
c
Üblicherweise will man nicht eine bestimmte Verteilung prüfen, sondern nur eine Verteilungsform, beispielsweise die Normalverteilung, mit beliebigen Werten für die Parameter. Diese müssen aus den Daten geschätzt werden, was für kleinere Stichproben
natürlich Auswirkungen auf die Verteilung der Teststatistik hat (wie dies grundlegend
beim t-Test diskutiert wurde, siehe Absatz 8.5.g in Stahel (2000)). Die Korrekturen
hängen nun von der Verteilungsfamilie ab, siehe Kommentar 11.5.(28) in Hollander
and Wolfe (1999).
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d Chiquadrat-Test. Siehe Abschnitt 10.2 in Stahel (2000).
e
Der Chiquadrat-Test ist dem Kologorov-Test generell vorzuziehen, da er – bei geeigneter Wahl der Klassen – gegen die üblicherweise wichtigen Alternativen von langschwänzigen Verteilungen bessere Macht zeigt. (Genauere Untersuchungen dazu muss
ich allerdings noch suchen.)
6.4
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Ausblick
Eine Durchsicht von Hollander and Wolfe (1999) zeigt weitere nichtparametrische Methoden (im Sinne von verteilungsfrei):
•
Test gegen unterschiedliche Streuungen und allgemeinere Alternativen für zwei
unabhängige Stichproben, z.B. Vergleich zweier empirischer Verteilungsfunktionen (Kolmogorov-Smirnov-Test, verwandt mit dem Kolmogorov-Anpassungs-Test),
•
Varianzanalyse: Tests gegen speziellere Alternativen (monotone Effekte für einen
geordneten Faktor u.a.), Methoden für Kontraste,
•
Methoden für Überlebenszeiten (vgl. Block Überlebenszeiten)
Literatur
a
Ein neues, umfassendes Buch über nichtparametrische Statistik stammt von Hollander
and Wolfe (1999). Jedes Verfahren ist zunächst rezeptartig beschrieben. Die Motivation, Eigenschaften, Theorie und andere Bemerkungen folgen nachher.
b Ein älteres Buch in deutscher Sprache, das alle wichtigen Verfahren enthält, ist Büning
und Trenkler (1978). Neue Auflage!
c
Hettmansperger (1984) diskutiert Rang-Methoden umfassend. Es gibt in diesem Gebiet
auch neuere Forschungsergebnisse.
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Literatur
Büning, H. und Trenkler, G. (1978). Nichtparametrische statistische Methoden, Walter de
Gruyter, Berlin.
Hartung, J. und Elpelt, B. (1992). Multivariate Statistik: Lehr- und Handbuch der angewandten
Statistik, 5. Aufl., Oldenbourg, München.
Hettmansperger, T. P. (1984). Statistical Inference Based on Ranks, Wiley, N.Y.
Hollander, M. and Wolfe, D. A. (1999). Nonparametric Statistical Methods, Wiley Series in
Probabilitz and Statistics, 2nd edn, Wiley.
Stahel, W. A. (2000). Statistische Datenanalyse: Eine Einführung für Naturwissenschaftler, 3.
Aufl., Vieweg, Wiesbaden.
Stahel, W. A. (2002). Statistische Datenanalyse: Eine Einführung für Naturwissenschaftler, 4.
Aufl., Vieweg, Wiesbaden.