Kapitel 11: Paare von Zufallsvariablen

11 Paare von Zufallsvariablen
1
Kapitel 11:
Paare von Zufallsvariablen
A: Übungsaufgaben:
[1]
Die Zufallsvariable X kann die Werte 1, 2 und die Zufallsvariable Y die Werte 0, 1, 2 annehmen. Die
gemeinsame Verteilungsfunktion dieser Zufallsvariablen sei an diesen Stellen gegeben:
s\t
0
1
2
1
1/4
7/16
1/2
2
1/2
3/4
1
Geben Sie die gemeinsame Wahrscheinlichkeitstabelle an. Tragen Sie zusätzlich die Randwahrscheinlichkeitsfunktionen ein.
x\y
0
1
P1 (x)
2
1
2
P2 (y)
[2]
Die Zufallsvariablen X und Y haben die in der Tabelle gegebene gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion P(x, y).
x\y
1
2
3
1
1/6
1/6
2/6
2
0
2/6
0
Geben Sie eine Tabelle für die gemeinsame Verteilungsfunktion an:
s\t
1
2
3
1
2
Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von Y , also P2 (y), an.
y
1
2
3
P2 (y)
Geben Sie die bedingte Wahrscheinlichkeitsfunktion von Y gegeben X = 1, also P2|1 (y | 1), an.
y
P2|1 (y|1)
1
2
3
11 Paare von Zufallsvariablen
2
[3]
Eine Urne enthalte 2 rote, 2 weiße und 6 schwarze Kugeln. Man zieht zwei Kugeln mit Zurücklegen.
X bezeichne die Zahl der roten, Y die Zahl der weißen Kugeln.
Geben Sie die gemeinsame Wahrscheinlichkeitstabelle der Zufallsvariablen X und Y an:
x\y
0
1
2
0
1
2
[4]
Gegeben sei folgende unvollständige gemeinsame Wahrscheinlichkeitstabelle der diskreten Zufallsvariablen X und Y .
x\y
1
0
1/4
2
1
P1 (x)
1/4
2
3/16
P2 (y)
1/2
Außerdem gilt: EX = 3/4.
a) Vervollständigen Sie die gemeinsame Wahrscheinlichkeitstabelle.
b) Berechnen Sie:
P(X < 2, Y = 2) =
P(X > 0, Y = 2) =
P1|2 (X = 2|Y = 2) =
11 Paare von Zufallsvariablen
3
[5]
Gegeben sei die folgende gemeinsame Wahrscheinlichkeitstabelle:
x\y
1
2
3
0
0.028
0.130
0.405
1
0.000
0.008
0.429
Welche der folgenden Aussagen sind WAHR?
P
a) P2 (y) = P2|1 (y|x) für alle x, y
(
)
für alle x, y
(
)
für alle x, y
(
)
(
)
(
)
x
b) P2|1 (y|x) ≥ P(x, y)
P
c) P2 (y) = P(x, y)
x
d) P(0, 1) = P2 (1)
P
e)
P2|1 (y|x) = 1
für alle x
y
[6]
Gegeben sei die folgende gemeinsame Wahrscheinlichkeitstabelle:
x\y
1
2
1
0.27
0.18
2
0.24
0.07
3
0.12
0.12
P1 (x)
P2 (y)
Hinweis: Es ist nützlich die obige Tabelle für die folgenden Berechnungen zunächst zu vervollständigen.
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass X = 2, also P1 (2).
P1 (2) =
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit Y = 2 gegeben X = 3, also P2|1 (2|3).
P2|1 (2|3) =
11 Paare von Zufallsvariablen
4
[7]
Für zwei auf derselben Ergebnismenge definierte Zufallsvariablen X und Y sei folgende unvollständige Wahrscheinlichkeitstabelle gegeben:
y\x
-1
1
0.12
0
2
1
P2 (y)
0.18
0.4
0.32
P1 (x)
0.2
Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion von X:
F(x) =
[8]
Die Zufallsvariablen X1 und X2 seien unabhängig und identisch verteilt und haben die folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion:
xi
0
1
2
3
Pi (xi )
0.1
0.4
0.3
0.2
a) Geben Sie die gemeinsame Wahrscheinlichkeitstabelle von X1 und X2 an.
x1 \ x2
0
1
2
3
0
1
2
3
b) Geben Sie außerdem die gemeinsame Verteilungsfunktion in Form einer Tabelle an.
s\t
0
1
2
3
0
1
2
3
11 Paare von Zufallsvariablen
5
[9]
Die Zufallsvariablen X und Y haben die gemeinsame Wahrscheinlichkeitstabelle:
x\y
0
1
2
P1 (x)
0
1/6
1/12
1/12
1/3
1
1/3
1/6
1/6
2/3
P2 (y)
1/2
1/4
1/4
1
a) Geben Sie den Korrelationskoeffizienten ρ mit möglichst geringem Berechnungsaufwand an.
ρ =
b) Geben Sie P1|2 (X = 0|Y = 2) an.
P1|2 (X = 0|Y = 2) =
[ 10 ]
Zwei diskrete Zufallsvariablen X und Y besitzen die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion:

 1
für x, y = 0, 1, 2, 3, 4
25
P(x, y) =

0 sonst
Berechnen Sie E X, E Y und E XY .
EX =
EY =
E XY =
Geben Sie die Randwahrscheinlichkeitsfunktion von X an.
x
0
1
P1 (x)
Sind X und Y unabhängig? (Ja / Nein)
(Ja / Nein) :
2
3
4
11 Paare von Zufallsvariablen
6
[ 11 ]
Vervollständigen Sie folgende unvollständige gemeinsame Wahrscheinlichkeitstabelle P(x, y):
x\y
0
10
2
0.25
0.15
4
0.02
6
0.03
P2 (y)
13
P1 (x)
0.45
0.25
0.35
0.07
0.40
Berechnen Sie den bedingten Erwartungswert von X, gegeben Y = 10.
E(X|10) =
Berechnen Sie die bedingte Varianz von Y , gegeben X = 6.
Var(Y |6) =
[ 12 ]
Alle Teilnehmer an einem Ausbildungskurs legten vor Beginn des Kurses einen Eignungstest ab.
Im Modell bedeutet die Zufallsvariable Y die Punktzahl im Eignungstest (y = 1, 2, 3, 4, 5, 6) und die
Zufallsvariable X Erfolg (x = 1) und Misserfolg (x = 0) bei der Ausbildung.
Aufgrund der Beobachtungen wurde eine gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion P(x, y) postuliert.
Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an.
a)
P(0, 1) ist die Wahrscheinlichkeit im Eignungstest 1 Punkt zu erzielen und bei der
Ausbildung nicht erfolgreich zu sein.
(
)
b) P1|2 (0|y) gibt die Wahrscheinlichkeit an, bei der Ausbildung zu versagen, wenn man
beim Eignungstest genau y Punkte erhielt (y = 1, 2, · · · , 6).
(
)
(
)
d) Es gilt: P1|2 (0|1) · P2 (1) = P(0, 1).
(
)
e)
(
)
c)
Es gilt: P1|2 (0|1) + P1|2 (0|2) + · · · + P1|2 (0|6) = 1.
Würde man genau die Bewerber zur Ausbildung zulassen, die 6 Punkte im Eignungstest erzielen, so würde man ungefähr 100 · P2 (6) Prozent der Bewerber zur Ausbildung
zulassen.
11 Paare von Zufallsvariablen
7
[ 13 ]
Die Zufallsvariable U nehme die Werte 1 und 3 an; die Zufallsvariable V die Werte 2 und 4.
Folgende Wahrscheinlichkeiten sind bekannt:
P1 (U = 1) = 0.4 ; P2 (V = 2) = 0.3 ; P2|1 (V = 2|U = 1) = 0.5.
Geben Sie die gemeinsame Wahrscheinlichkeitstabelle der Zufallsvariablen U und V einschließlich
der Randwahrscheinlichkeitsfunktion an:
u\v
2
P1 (u)
4
1
3
P2 (v)
b) Geben Sie den Erwartungswert des Produktes U ·V an.
E UV =
[ 14 ]
Für zwei Zufallsvariablen X und Y sind die bedingten Wahrscheinlichkeitsfunktionen P1|2 (x|y) und
die Randwahrscheinlichkeitsfunktion P2 (y) wie folgt gegeben:
x
P1|2 (x|Y = 1)
P1|2 (x|Y = 2)
y
P2 (y)
1
2
10
2
10
1
4
10
2
3
10
2
10
2
6
10
3
5
10
6
10
Ermitteln Sie daraus die gemeinsame Wahrscheinlichkeitstabelle.
x\y
1
2
3
1
2
11 Paare von Zufallsvariablen
8
[ 15 ]
Ein Zufallsexperiment bestehe aus dem Werfen einer idealen Münze und eines idealen Würfels. Die
Zufallsvariable X sei definiert als
½
1 falls die Münze Kopf zeigt
X :=
0
sonst
Y sei die gewürfelte Augenzahl.
Geben Sie die Kovarianz Kov(X,Y ) der beiden Zufallsvariablen an.
Kov(X,Y ) =
[ 16 ]
Zwei diskrete Zufallsvariablen X und Y haben eine gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion P(x, y)
und die einzelnen Wahrscheinlichkeitsfunktionen P1 (x) und P2 (y).
Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an.
P
P
a)
y P2 (y) = x P1 (x)
( )
y
b) P1 (x) =
c)
PP
x
P
x
P(x, y)
)
P(x, y) = 1
(
)
(
)
(
)
y
d) P(x, y) = P1 (x) + P2 (y)
e)
(
y
P(x, y) > 0 für alle (x, y) ∈ IR2
[ 17 ]
Die Zufallsvariablen X und Y sind unabhängig verteilt. Ihre gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion sowie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von Y sind unvollständig gegeben:
x\y
1
1
1/4
2
3
2
P2 (y)
1/2
1/4
P1 (x)
11 Paare von Zufallsvariablen
9
[ 18 ]
Aus der gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsfunktion der Zufallsvariablen X und Y sei die bedingte
Wahrscheinlichkeitsfunktion von Y , gegeben X = 2, wie folgt berechnet:
y
1
2
P2|1 (y|X = 2)
0.5
0.5
Außerdem sei bekannt: P1 (2) = 1/2 und P(1, 2) = 1/2.
Beide Variablen nehmen ausschließlich die Werte 1 und 2 an.
Berechnen Sie P2 (1).
P2 (1) =
[ 19 ]
Ein zusammengesetztes Zufallsexperiment bestehe aus dem Werfen eines idealen Würfels und dem
Werfen einer idealen Münze.
Es seien folgende Zufallsvariablen definiert:

 0 wenn die geworfene Augenzahl 1 oder 2 ist
1 wenn die geworfene Augenzahl 3 oder 4 ist
X :=

2 wenn die geworfene Augenzahl 5 oder 6 ist
½
Y :=
0 wenn die Münze Kopf zeigt
1 wenn die Münze Zahl zeigt
Geben Sie die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion P der Zufallsvariablen X und Y an.
P(x, y) =
11 Paare von Zufallsvariablen
10
[ 20 ]
Von einer gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsfunktion P(x, y) der Variablen X
Y (y = 1, 2, 3) sind folgende Werte bekannt:
P(0, 2) = 0.095
P(0, 3) = 0.567
P(1, 1) = 0.009
P(2, 1) = 0.000
(x = 0, 1, 2) und
P(2, 2) = 0.015
Von den Randwahrscheinlichkeitsfunktionen P1 (x) und P2 (y) kennt man die Werte:
P1 (1) = 0.188; P2 (2) = 0.178; und P2 (3) = 0.763.
Erstellen Sie eine zwei-dimensionale Wahrscheinlichkeitstabelle für X und Y und berechnen Sie die
fehlenden Werte!
x\y
1
2
3
P1 (x)
0
1
2
P2 (y)
Berechnen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeitsfunktion von Y gegeben X = 2.
P2|1 (y|2) =
[ 21 ]
Gegeben sei die folgende Wahrscheinlichkeitstabelle der Zufallsvariablen X und Y :
x\y
0
1
4
P1 (x)
-1
1/10
2/10
0
3/10
0
0
2/10
2/10
4/10
1
1/10
0
2/10
3/10
P2 (y)
1/5
2/5
2/5
1
Berechnen Sie:
Var X =
ρ =
11 Paare von Zufallsvariablen
11
[ 22 ]
Die Verteilungsfunktion F(t) = P(X ≤ t) einer diskreten Zufallsvariablen ist wie folgt gegeben:
1.00
F(t)
0.75
0.50
0.25
0
1
2
3
4
t
Für eine zweite Zufallsvariable Y gilt Y = 1 + 2 · X.
a) Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von Y an.
P(y) =
b) Ermitteln Sie die gemeinsame Verteilungsfunktion F(s,t).
s\t
c) Berechnen Sie die Varianzen von X und Y , sowie die Kovarianz und den Korrelationskoeffizienten.
Var X =
Kov(X,Y ) =
VarY =
ρ =
11 Paare von Zufallsvariablen
12
[ 23 ]
Die Zufallsvariablen X und Y haben folgende gemeinsame Wahrscheinlichkeitstabelle:
x\y
-1
0
1
0
0.1
0.1
0.1
2
0.1
0.2
0.1
4
0.1
0.1
0.1
Berechnen Sie Kov(X,Y )
Kov(X,Y ) =
[ 24 ]
Gegeben sei die folgende gemeinsame Wahrscheinlichkeitstabelle der Zufallsvariablen X und Y :
y\x
0
1
4
P2 (y)
-1
1/10
2/10
0
3/10
0
0
2/10
2/10
4/10
1
1/10
0
2/10
3/10
P1 (x)
1/5
2/5
2/5
1
Berechnen Sie:
VarY =
Kov(X,Y ) =
11 Paare von Zufallsvariablen
13
[ 25 ]
Beim einmaligen Ausspielen eines echten Würfels sei i die Augenzahl. Die Zufallsvariablen X und Y
sind wie folgt definiert:
½
1 für i = 1, 3, 5
X(i) :=
0 sonst
½
Y (i) :=
1 für i = 5, 6
0 sonst
Erstellen Sie die gemeinsame Wahrscheinlichkeitstabelle für X und Y und geben Sie dann die Kovarianz an:
x\y
0
1
P2 (x)
0
1
P1 (x)
Kov(X,Y ) =
[ 26 ]
Die gemeinsame Dichtefunktion zweier Zufallsvariablen X und Y sei:
½
2y − xy für 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1
f (x, y) =
0
sonst
a) Bestimmen Sie die Randdichte von Y .
f2 (y) =
für
b) Berechnen Sie die Kov(X,Y ).
µ
½
¶
1 − 12 x für 0 ≤ x ≤ 2
Hinweis: f1 (x) =
0
sonst
Kov(X,Y ) =
11 Paare von Zufallsvariablen
14
[ 27 ]
Zwei Zufallsvariablen X und Y seien gemeinsam stetig verteilt mit der gemeinsamen Dichtefunktion
f : IR2 → IR.
Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an.
Rx2 Ry2
a) P(x1 < X < x2 ) =
f (x, y)dxdy
( )
−∞ y1
b) P(X = xo ,
c)
R1 R1
Y ≤ y1 ) = 0
f (x, y)dxdy = 1
(
)
(
)
(
)
(
)
0 0
d)
e)
f (x, y) > 0 für alle x, y ∈ IR
P(x1 ≤ X ≤ x2 ,
y1 ≤ Y ≤ y2 ) =
Ry2 Rx2
f (x, y)dxdy
y1 x1
[ 28 ]
Zwei stetige Zufallsvariable X1 und X2 haben folgende Dichtefunktion:

 1 für 0 ≤ x ≤ 2 und 0 ≤ x ≤ 2
1
2
4
f (x1 , x2 ) =

0 sonst
Berechnen Sie:
a)
P(X1 ≤ 1, X2 ≤ 1) =
b)
P(X2 > 1|X1 ≤ 1) =
11 Paare von Zufallsvariablen
15
[ 29 ]
Welche der folgenden Funktionen ist eine gemeinsame Dichtefunktion? Kreuzen Sie sie an.

 x + 3y
für 0 ≤ x ≤ 1, −2 ≤ y ≤ 0
a) f (x, y) =
2
 0
sonst
(
)
1
(6 − x − 10y) für 0 ≤ x ≤ 4, 2 ≤ y ≤ 4
8
0
sonst
(
)
1
(6 − x − y) für 0 ≤ x ≤ 2, 2 ≤ y ≤ 4
8
0
sonst
(
)
1
(x − x2 ) für 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1
12
0
sonst
(
)
(
)
f (x, y)dy
(
)
P(x, y)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
b)
f (x, y) =
(
c)
f (x, y) =
(
d)
e)
f (x, y) =

 1
für 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2
f (x, y) =
2
 0 sonst
[ 30 ]
Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie diese an.
a)
f1 (x) =
b) P2 (y) =
+∞
R
−∞
P
x
c)
P(X ≤ s, Y ≤ t) =
P
P(x, y)
x≤s, y≤t
d)
f1|2 (x|y) = f (x, y)/ f2 (y), wenn f2 (y) 6= 0
e)
P(X ≤ a,Y ≤ b) =
R∞ R∞
f (x, y)dxdy
a b
[ 31 ]
X und Y sind gemeinsam verteilte stetige Zufallsvariablen. Welche der folgenden Aussagen sind
WAHR? Kreuzen Sie sie an.
R∞ R∞
a) E(Y |x) =
x y f (x, y) dx dy
( )
−∞ −∞
b) Sind X und Y unabhängig, dann gilt: EX Y = EX EY
R∞
c)
y · f (x, y) dy = E(Y |x)
d)
e)
−∞
R∞
−∞
R∞
−∞
(
)
(
)
y · f2|1 (y|x) dy = E(Y |x)
(
)
f (x,y)
f2 (y) dy = E(Y |x)
(
)
y·
11 Paare von Zufallsvariablen
16
[ 32 ]
Gegeben seien zwei stetig verteilte Zufallsvariable X und Y mit der gemeinsamen Dichtefunktion:
(
3 2
x y 0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 2
f (x) =
2
0
sonst
Wie lautet die (Rand-)Dichtefunktion f1 (x) der Zufallsvariablen X ?
f1 (x) =
für
Bestimmen Sie die bedingte Dichte von Y gegeben x.
f2|1 (y|x) =
für
Bestimmen Sie P2|1 (Y < 1|X = 1).
P2|1 (Y < 1|X = 1) =
[ 33 ]
Gegeben sei die gemeinsame Dichte der beiden Zufallsvariablen X und Y :
1
1 − (x2 +y2 )
f (x , y) =
e 2
−∞ < x, y < ∞
2π
Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an.
a)
Die Zufallsvariablen X und Y sind gemeinsam normalverteilt.
(
)
b) Die bedingte Dichte für Y , gegeben x lautet:
y2
1 −
f2|1 (y|x) = √ e 2
2π
c) Die Zufallsvariablen X und Y jeweils N(0,1)–verteilt.
(
)
(
)
d) Die Zufallsvariablen X und Y haben unterschiedliche Varianzen.
(
)
e)
(
)
Die Zufallsvariablen X und Y sind unabhängig.
11 Paare von Zufallsvariablen
17
[ 34 ]
Die gemeinsame Dichtefunktion zweier Zufallsvariablen X und Y sei
½
xy für 0 ≤ x ≤ 1 ; 0 ≤ y ≤ 2
f (x, y) =
0 sonst
Bestimmen Sie P(X ≤ 0.2) und f2|1 (y | x).
P(X ≤ 0.2) =
f2|1 (y | x) =
für
[ 35 ]
Gegeben sind die stetigen Zufallsvariablen X und Y . Welche der folgenden Aussagen sind WAHR?
Kreuzen Sie sie an.
a) P(a ≤ X ≤ b, c ≤ Y ≤ d) wird durch den entsprechenden Rauminhalt unter der ge- ( )
meinsamen Dichte von X und Y dargestellt.
b) Der Rauminhalt unter der bedingten Dichte f (x|Y = y) ist Eins.
(
)
c)
Der Rauminhalt unter jeder Randdichte der gemeinsamen Verteilung von X und Y ist
Null.
(
)
d) Der Flächeninhalt unter bedingten Dichtefunktionen stetiger Zufallsvariablen ist Eins.
(
)
e)
(
)
Der Rauminhalt unter der gemeinsamen Verteilungsfunktion von X und Y ist Eins.
[ 36 ]
Zwei Zufallsvariablen X und Y sind gemeinsam normalverteilt und besitzen die folgende Dichtefunktion f (x , y):


1 x2
− 
+(y−µY )2 
1
2 σX2
e
f (x , y) =
2πσX
Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an.
a)
Die Randverteilung von X ist die Standardnormalverteilung.
(
)
b)
X und Y sind unkorreliert.
(
)
(
)
(
)
(
)
1
1 − (y−µY )2
c) f2|1 (y|x) = √ e 2
2π
d) Die bedingte Dichte von x gegeben y ist von dem gegebenen y-Wert abhängig.
e)
Z = Y − µY . Z ist standardnormalverteilt.
11 Paare von Zufallsvariablen
18
[ 37 ]
Gegeben sei die gemeinsame Dichtefunktion
(
f (x, y) =
x + 3y
für 0 ≤ x ≤ 1 ; 0 ≤ y ≤ 1
2
0
sonst
der Zufallsvariablen X und Y .
Berechnen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit P1|2 (X < 0.2 | Y = 0.5).
P1|2 (X < 0.2 | Y = 0.5) =
[ 38 ]
Die Zufallsvariablen X und Y seien gemeinsam zweidimensional normalverteilt mit der Dichtefunktion
1
−
(x2 −2ρ x y+y2 )
1
2)
2(1
−
ρ
e
f (x , y) = p
2π 1 − ρ 2
für − ∞ < x , y < ∞
Geben Sie die Werte der Parameter der Randdichte f1 (x) an.
Die Werte der Parameter :
[ 39 ]
Die Zufallsvariablen X und Y sind beide normalverteilt und haben die gemeinsame Dichte
f (x, y) = c · e−x
2 /2
e−y
2 /2
(c ist Konstante)
Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie diese an.
a)
X und Y sind unabhängig.
(
)
b) X und Y haben die Korrelation Null.
(
)
c)
(
)
d) Man kann nicht feststellen, ob X und Y unabhängig sind.
(
)
e)
(
)
X hat eine N(0, 1)-Verteilung.
Die bedingte Dichte von Y , gegeben X, ist gleich der Randdichte von Y .
11 Paare von Zufallsvariablen
19
[ 40 ]
Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an.
Zwei Zufallsvariablen X und Y mit gemeinsamer Dichte f (x, y) sind unabhängig verteilt, wenn f (x, y) = f1 (x) · f2 (y) für alle x, y gilt.
(
)
b) Zwei Zufallsvariablen X und Y mit gemeinsamer Dichte f (x, y) sind unabhängig verteilt, wenn f1|2 (x|y) = f1 (x) für alle möglichen Werte von x und y gilt.
(
)
c)
Wenn zwei Zufallsvariablen unabhängig verteilt sind, ist der Korrelationskoeffizient
ihrer gemeinsamen Verteilung entweder +1 oder −1.
(
)
d) Sind Beobachtungen (xi , yi ), i = 1, 2 . . . , n, gegeben, so daß im Modell X und Y als
Zufallsvariablen angesehen werden können, so kann man den Korrelationskoeffizienten der gemeinsamen Verteilung von X und Y durch
qX
X
X
ρb =
(xi yi − n x y)/ (
xi2 − n x2 ) (
y2i − n y2 )
(
)
(
)
Aus der gemeinsamen Verteilung zweier Zufallsvariablen lassen sich immer die Randverteilungen bestimmen.
(
)
b) Die gemeinsame Verteilung zweier unabhängiger Zufallsvariablen ist stets das Produkt
der Randverteilungen.
(
)
c)
Sind die Randverteilungen zweier Zufallsvariablen bekannt, so läßt sich immer die
gemeinsame Verteilung bestimmen.
(
)
d) Die gemeinsame Verteilung zweier Zufallsvariablen ist die Summe der beiden Randverteilungen.
(
)
e)
(
)
a)
schätzen.
e)
Das in d) gegebene ρb ist ein Parameter der gemeinsamen Verteilung von X und Y .
[ 41 ]
Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an.
a)
Die gemeinsame Verteilung heißt auch bedingte Verteilung.
[ 42 ]
Zwei stetige Zufallsvariablen X und Y haben die gemeinsame Dichte f (x, y). Welche der folgenden
Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an.
a)
Die Fläche über der x-Achse und unter dem Graphen von f2|1 (3|x), aufgefasst als Funktion von X, ist Eins.
(
)
b) Die Wahrscheinlichkeit, daß X = 0 und “gleichzeitig” Y = 0 ist, ist Null.
(
)
c)
Man kann die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses
{a < X ≤ b, c < Y ≤ d} aus f (x, y) berechnen.
(
)
d)
f2|1 (y|x) ist die gemeinsame Dichte zweier Zufallsvariablen.
(
)
e)
Aus f (x, y) kann man durch Integration über Y die Dichte der Zufallsvariablen X erhalten.
(
)
11 Paare von Zufallsvariablen
20
[ 43 ]
X und Y seien zwei stetige Zufallsvariablen mit gemeinsamer Dichte f (x, y). Welche der folgenden
Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an.
R∞ R∞
a) P(a ≤ X ≤ b, c ≤ Y ≤ d) =
f (x, y) dx dy
( )
−∞ −∞
b) Die Kovarianz ist, abgesehen von den Momenten der Randverteilungen, das wichtigste
Moment der gemeinsamen Verteilung von X und Y .
(
)
c)
Kennt man die Randdichten von X und Y , so kann man immer die gemeinsame Dichte
f (x, y) berechnen.
(
)
d) Kennt man die gemeinsame Dichte von X und Y , so kann man immer die Randdichten
von X und Y berechnen.
(
)
e)
(
)
Für die bedingte Dichte von X, gegeben y, gilt:
R∞
f1|2 (x|y) dx = 1 .
−∞
[ 44 ]
Zwei gemeinsam stetig verteilten Zufallsvariable X und Y besitzen folgende gemeinsame Dichtefunktion f (x,y) :
(
f (x, y) =
1
(6 − x − y) für 0 ≤ x ≤ 2 ; 2 ≤ y ≤ 4
8
0
sonst
Wie lautet die Randdichtefunktion der Zufallsvariablen Y ?
f2 (y) =
für
Bestimmen Sie die bedingte Dichte von X, gegeben Y = 3.
f1|2 (x | Y = 3) =
für
Bestimmen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit P(X ≤ 1 | Y = 3).
P(X ≤ 1 | Y = 3) =
11 Paare von Zufallsvariablen
21
[ 45 ]
Nehmen Sie an, die Zufallsvariablen (X,Y ) seien zweidimensional normalverteilt, also (X,Y ) ∼
N(10; 20; 22 ; 52 ; 0.5). Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an.
a)
Y ∼ N(20, 52 ).
(
)
b) Die bedingte Varianz von Y , gegeben X = 8, ist gleich 1.
(
)
c)
(
)
(
)
Die Zufallsvariablen X und Y sind unabhängig verteilt.
d) Der Erwartungswert von X ist 10.
e) Der bedingte Erwartungswert von X, gegeben Y = 10, ist kleiner 10.
(
)
HINWEIS: Der bedingte Erwartungswert und die bedingte Varianz von X, gegeben Y = y, sind durch
folgende Formeln gegeben:
E (X | Y = y) = µx + ρσx (y − µy )/σy und
Var (X | Y = y) = σx2 · (1 − ρ 2 ).
[ 46 ]
Die Zufallsvariablen (X,Y ) seien zweidimensional normalverteilt, also (X,Y ) ∼ N(µx ; µy ; σx2 ; σy2 ; ρ ).
Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an.
a)
Sind X und Y unkorreliert (d.h. ρ = 0), so sind X und Y auch unabhängig verteilt.
(
)
(
)
Die bedingte Erwartungswert von Y , gegeben X = x, ist einen Gerade, deren Steigung
negativ ist, falls ρ > 0.
(
)
d) Falls ρ fast -1 ist, kann man den Wert von Y fast genau aus dem Wert von X vorhersagen.
(
)
(
)
b) Ist ρ 6= 0, gilt Var(Y |X = x) > Var(Y ).
c)
e)
Falls ρ = 0 ist, ist Y , gegeben X = x, N(µy ; σy2 )-verteilt.
[ 47 ]
Die gemeinsame Dichtefunktion zweier Zufallsvariablen X und Y sei
(
f (x, y) =
1
(3x + 4y − 2xy) für 0 ≤ x ≤ 1 ; 0 ≤ y ≤ 1
3
0
sonst
Die Randdichtefunktionen lauten:
(
f1 (x) =
2
(x + 1) für 0 ≤ x ≤ 1
3
0
sonst
(
f2 (y) =
y+
0
1
2
für
0≤y≤1
sonst
Berechnen Sie P(X ≤ 1/2) und P(X ≤ 1/2 | Y = 3/4).
P(X ≤ 1/2) =
P(X ≤ 1/2 | Y = 3/4) =
11 Paare von Zufallsvariablen
22
[ 48 ]
Die gemeinsame Dichtefunktion zweier Zufallsvariablen X und Y sei
½
xy für 0 ≤ x ≤ 1 ; 0 ≤ y ≤ c
f (x, y) =
0 sonst
Bestimmen Sie den Wert für c und P(Y ≤ 1).
c=
P(Y ≤ 1) =
[ 49 ]
Die gemeinsame Dichtefunktion zweier Zufallsvariablen X und Y sei
½
1/c für 0 ≤ x ≤ 3 ; 0 ≤ y ≤ 3
f (x, y) =
0 sonst
Ermitteln Sie den Wert für c, und geben Sie E X, den Erwartungswert der Zufallsvariablen X an.
c=
EX =
[ 50 ]
Die gemeinsame Dichtefunktion zweier Zufallsvariablen X und Y sei
½
0.05 für 0 ≤ x ≤ 4 ; 0 ≤ y ≤ 5
f (x, y) =
0 sonst
Bestimmen Sie die zugehörige gemeinsame Verteilungsfunktion F(x, y).
F(x, y) =
11 Paare von Zufallsvariablen
23
[ 51 ]
Die gemeinsame Dichtefunktion zweier Zufallsvariablen X und Y sei
½
1/6 für 2 ≤ x ≤ 5 ; 1 ≤ y ≤ 3
f (x, y) =
0 sonst
Berechnen Sie P(X ≥ 3 , Y ≤ 2) und P(X = 4 , Y > 1.5).
P(X ≥ 3 , Y ≤ 2) =
P(X = 4 , Y > 1.5) =
[ 52 ]
Gegeben seien zwei stetige Zufallsvariablen X und Y mit der gemeinsamen Dichtefunktion
½
2y − xy für 0 ≤ x ≤ 2 ; 0 ≤ y ≤ 1
f (x, y) =
0
sonst
Berechnen Sie E(XY ), den Erwartungswert des Produktes von X und Y .
E(XY ) =
[ 53 ]
Die gemeinsame Dichtefunktion zweier Zufallsvariablen X und Y sei wie folgt gegeben:
(
f (x, y) =
xy +
0
3y
2
für
0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 1
sonst
Berechnen Sie die bedingte Dichtefunktion von Y , gegeben X = 0.5 .
f(2|1) (y | 0.5) =
für
11 Paare von Zufallsvariablen
24
[ 54 ]
Zwei auf demselben Ereignisraum definierte Zufallsvariablen X und Y haben die Wertebereiche {1;3}
˙
bzw{2;4}.
Folgende Wahrscheinlichkeiten sind bekannt:
P1 (3) = 0.6;
P2 (4) = 0.7;
P2|1 (4|3) = 5/6.
a) Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Zufallsvariablen X bzw. Y und die gemeinsame
Wahrscheinlichkeitsverteilung der beiden Zufallsvariablen an:
x\y
2
4
P1 (x)
1
3
P2 (y)
b) Sind X und Y sind unabhängig?
(Ja / Nein) =
c) Berechnen Sie E X, E Y und E XY :
EX =
EY =
E XY =
d) Berechnen Sie die Kovarianz von X und Y .
Kov(X,Y ) =
[ 55 ]
Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an.
a)
Zwei stetige Zufallsvariablen X und Y sind unabhängig, wenn ihre gemeinsame Dichte
f (x, y) gleich dem Produkt der Randdichten f1 (x) und f2 (y) ist.
(
)
b) Sind zwei Zufallsvariablen X und Y unabhängig, so kann man die Voraussage von Y
durch den zugehörigen Wert von x verbessern.
(
)
c)
Der Korrelationskoeffizient ist ein Maß für den linearen Zusammenhang zweier gemeinsam normalverteilter Zufallsvariablen.
(
)
d) Sind zwei stetige Zufallsvariablen X und Y unabhängig, so ist die bedingte Dichte von
X, gegeben y, gleich der Randdichte von Y .
(
)
e)
(
)
Ist der Korrelationskoeffizient von zwei gemeinsam normalverteilten Zufallsvariablen
X und Y negativ, so treten im allgemeinen große Werte von X mit kleinen Werten von
Y auf.
11 Paare von Zufallsvariablen
25
[ 56 ]
Zwei unabhängige Zufallsvariablen X und Y besitzen folgende Randwahrscheinlichkeitsfunktionen:


1
1




für
x
=
1
für
y=0




4
3








 1
 1
für
x=2
für
y=1
8
2
P1 (x) =
P2 (y) =


 5

1




für
y=2
für
x
=
3




6
8






0 sonst
0 sonst
Geben Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit P1|2 (2 | 1) an.
P1|2 (2 | 1) =
Geben Sie die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion an.
x\y
0
1
2
1
2
3
[ 57 ]
Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an. X und Y seien stetige Zufallsvariablen.
R∞
a) f1 (x) =
f (x, y) dy
( )
−∞
f (x, y)
, wenn f1 (x) 6= 0
f1 (x)
b)
f2|1 (y|x) =
c)
Sind X und Y gemeinsam normalverteilt, so ist auch die bedingte Verteilung von X,
gegeben y, eine Normalverteilung.
d) Sind X und Y unabhängig, so gilt f2|1 (y|x) = f2 (y)
e)
Es gilt stets f (x, y) = f1 (x) · f2 (y)
(
)
(
)
(
)
(
)
11 Paare von Zufallsvariablen
26
[ 58 ]
X und Y seien diskrete Zufallsvariablen, die die Werte 1, 2, . . . annehmen können. Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an.
a)
Aus P1|2 (x|y) · P2 (y) = P(x, y) kann auf die Unabhängigkeit der Zufallsvariablen X und
Y geschlossen werden.
b) Sind X und Y unabhängig, so gilt: P1|2 (x|y) = P1 (x).
c)
∞
P
P1|2 (x|y) = 1.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
y=1
d) P1|2 (3|4) ist die Wahrscheinlichkeit, dass X = 3, wenn Y = 4 ist.
e)
Gilt P(x, y) = P1 (x) · P2 (y) für alle x und y, so sind X und Y unabhängig.
[ 59 ]
Die diskreten Zufallsvariablen X und Y nehmen nur die Werte 0, 1, 2 an und sind unabhängig verteilt.
Ihre gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion sei P(x, y) und es ist bekannt, dass
x\y
0
P1 (x)
0.2
P2 (y)
1
2
0.3
0.4
0.1
Berechnen Sie die P(1, 0):
P(1, 0) =
[ 60 ]
Im Zusammenhang mit der gemeinsamen Verteilung zweier stetiger Zufallsvariablen sind welche der
folgenden Aussagen WAHR? Kreuzen Sie sie an.
a)
P(a ≤ X ≤ b, c ≤ Y ≤ d) =
Rd Rb
f (x, y)dx dy
(
)
f (x, y) dy
(
)
f2|1 (y|x) · f1 (x) = f1|2 (x|y) · f2 (y)
(
)
(
)
(
)
c a
b)
c)
f1 (x) =
R∞
−∞
d) Sind X und Y unabhängig verteilt, so gilt f2|1 (y|x) = f1 (x) für alle y
e)
Wenn f (x, y) = f1 (x) · f2 (y) für alle x, y, so sind die Zufallsvariablen X und Y unabhängig verteilt.
11 Paare von Zufallsvariablen
27
[ 61 ]
Die Zufallsvariablen X und Y seien unabhängig.
n
2x
0
½
1/2y
Y besitze die Dichte f2 (y) =
0
X besitze die Dichte f1 (x) =
f (x, y) =
0≤x≤1
sonst
0≤y≤2
sonst
für
[ 62 ]
Die Zufallsvariablen X,Y haben eine gemeinsame Verteilung. Welche der folgenden Aussagen über
den Korrelationskoeffizienten ρ = Korr(X,Y ) sind WAHR? Kreuzen Sie sie an.
a)
Ist ρ = −1, dann sind die Zufallsvariablen stochastisch unabhängig.
(
)
b) Ist ρ = 0, dann sind die Zufallsvariablen unkorreliert.
(
)
Ist ρ = 0, dann sind die Zufallsvariablen unabhängig.
(
)
d) Ist ρ = 1, dann stehen die Zufallsvariablen in einer Beziehung Y = a X + b, wobei a
eine negative Zahl ist.
(
)
Ist ρ = 0, dann sind gemeinsam normalverteilte Zufallsvariablen stochastisch unabhängig.
(
)
c)
e)
11 Paare von Zufallsvariablen
28
[ 63 ]
X und Y seien zwei diskrete, unabhängige Zufallsvariablen. Bekannt ist die Randwahrscheinlichkeitsfunktion von Y .

1/2
für
y=0



1/4
für
y=1
P2 (y) =
1/4
für
y=2



0
sonst
Berechnen Sie den Erwartungswert von Y , gegeben x.
E (Y | x) =
Geben Sie die Varianz von Y , gegeben x, an.
Var (Y | x) =
[ 64 ]
Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie diese an.
Bei unabhängigen Zufallsvariablen X (x = 1, 2) und Y (y = 0, 1, 2, 3) ist die bedingte
Wahrscheinlichkeitsfunktion von Y gegeben X = 1 gleich der bedingten Wahrscheinlichkeitsfunktion von Y , gegeben X = 2.
(
)
b) Sind die Randwahrscheinlichkeitsfunktionen von X und Y bekannt, so lassen sich auch
die bedingten Wahrscheinlichkeitsfunktionen bestimmen.
(
)
c)
Sind die Randwahrscheinlichkeitsfunktionen von X und Y bekannt und die beiden Zufallsvariablen unabhängig, so lassen sich auch die bedingten Wahrscheinlichkeitsfunktionen bestimmen.
(
)
d) Beeinflussen die Ausprägungen der Zufallsvariablen X nicht die Wahrscheinlichkeiten
für die Ausprägungen der Zufallsvariablen Y , so ergibt sich die gemeinsame Verteilung
aus dem Produkt der jeweiligen Randwahrscheinlichkeiten.
(
)
e)
(
)
a)
Ist die gemeinsame Dichtefunktion der Zufallsvariablen X und Y bekannt, so lassen
sich immer die bedingten Dichtefunktionen der beiden Zufallsvariablen bestimmen.
11 Paare von Zufallsvariablen
29
[ 65 ]
Für zwei Zufallsvariablen X und Y sind die bedingten Wahrscheinlichkeitsfunktionen P1|2 (x|y) und
die Randwahrscheinlichkeitsfunktion von Y (P2 (y)) wie folgt gegeben:
x
−2
0
2
P1|2 (x|Y = 1)
2/10
3/10
5/10
P1|2 (x|Y = 2)
2/10
3/10
5/10
y
1
2
P2 (y)
4/10
6/10
a) Sind die Zufallsvariablen X und Y stochastisch unabhängig?
(Ja / Nein) =
b) Berechnen Sie den Erwartungswert von X.
EX =
[ 66 ]
Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an.
a)
Zwei stetige unabhängige Zufallsvariablen sind immer unkorreliert.
(
)
b) Sind zwei stetige Zufallsvariablen unkorreliert, so sind sie unabhängig.
(
)
c)
(
)
d) Sind X und Y gemeinsam normalverteilt mit ρ = 0, dann sind X und Y unabhängig.
(
)
e)
(
)
Bei Unabhängigkeit zweier stetiger Zufallsvariablen gilt folgende Aussage über die
Dichte: f (x, y) = f1 (x) · f2 (y)
Für zwei stetige Zufallsvariablen gilt immer:
f2|1 (y|x)
f2 (y)
=
f1|2 (x|y)
f1 (x)
[ 67 ]
Die Zufallsvariablen X und Y seien unabhängig und beide wie N(0, 1) verteilt.
Bestimmen Sie P(X ≤ 0,Y ≥ 0.1).
P(X ≤ 0,Y ≥ 0.1) =
11 Paare von Zufallsvariablen
30
[ 68 ]
Berechnen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit P(X > 2 | 2 ≤ Y ≤ 4), wenn gilt:
X ∼ N(2, 1)
Y ∼ N(4, 4)
X und Y unabhängig.
P(X > 2 | 2 ≤ Y ≤ 4) =
[ 69 ]
Gegeben ist die gemeinsame Dichte der unabhängigen identisch verteilten Zufallsvariablen X und Y :
(
f (x, y) =
1
xy
64
0
für
0 ≤ x ≤ 4;
sonst
Berechnen Sie die Randdichten.
f1 (x) =
f2 (y) =
Berechnen Sie die bedingte Dichte von X, gegeben Y = 2.
f1|2 (x | Y = 2) =
[ 70 ]
Zwei Zufallsvariablen X und Y seien unabhängig. Es gelte
P(X ≤ 4) = 2/3 und P(X > 4,Y ≤ 0) = 1/12 .
Bestimmen Sie P(Y > 0).
P(Y > 0) =
0≤y≤4
11 Paare von Zufallsvariablen
31
[ 71 ]
Sei ρ der Korrelationskoeffizient zweier Zufallsvariablen X und Y . Welche der folgenden Aussagen
sind in diesem Zusammenhang WAHR? Kreuzen Sie sie an.
a)
Sind X und Y unabhängig verteilt, gilt ρ = 0.
b) Ist ρ = 0, können X und Y unabhängig verteilt sein, müssen aber nicht.
c)
Ist ρ 6= 0, können X und Y nicht unabhängig verteilt sein.
d) Sind X und Y unabhängig verteilt, ist die Randdichtefunktion von Y gleich der bedingten Dichtefunktion von Y , gegeben X.
e)
ρ ist ein Maß für den quadratischen Zusammenhang zwischen X und Y .
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
[ 72 ]
Die Zufallsvariablen X und Y seien unabhängig und gemeinsam zweidimensional normalverteilt. X
sei normalverteilt mit µX = 8 und σX2 = 9 , Y sei standardnormalverteilt.
Geben Sie die gemeinsame Dichtefunktion f (x, y) von X und Y an und bestimmen Sie
P(X > 8,Y < 0), sowie den bedingten Erwartungswert E(X | Y ).
f (x, y) =
für
P(X > 8,Y < 0) =
E(X | Y ) =
[ 73 ]
Die Zufallsvariable X sei poissonverteilt mit λ =3 und Y sei poissonverteilt mit λ = 5. X und Y seien
unabhängig.
Bitte geben Sie E(XY ) an.
E(XY ) =
11 Paare von Zufallsvariablen
32
[ 74 ]
Zwei Zufallsvariablen X und Y sind normalverteilt mit
EX = 2,
VarX = 1,
EY = 3,
VarY = 4,
ρ = 0.
a) Berechnen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten.
P (X < 2 , Y < 3) =
P(X < 1 | Y > 3) =
b) Geben Sie den R–Befehl an, um P (X < 2 , Y < 3) zu berechnen.
R–Befehl =
[ 75 ]
Gegeben sei folgende Kontingenztabelle:
x\y
1
2
3
Summe
1
2
10
10
16
20
14
10
40
40
Summe
20
36
24
80
Führen Sie einen χ 2 –Test für Unabhängigkeit bei einem Signifikanzniveau von α = 0.05 durch.
Geben Sie die Prüfgröße und den Ablehnungsbereich an.
PG =
A=
Welche Entscheidung treffen Sie hinsichtlich der Nullhypothese?
(verwerfen / nicht verwerfen) =
Geben Sie den R–Befehl an, um den P–Wert zu bestimmen.
R–Befehl =
11 Paare von Zufallsvariablen
33
[ 76 ]
Von den Examenskandidaten einer deutschen Universität wurden 400 zufällig ausgewählt und nach
Abschluss der Prüfung befragt, ob die Vorbereitungen zur Prüfung allein oder in Arbeitsgruppen
durchgeführt wurden. Von den 280 Prüflingen, die das Examen bestanden hatten, haben sich 150 in
Arbeitsgruppen vorbereitet. Bei den Erfolglosen waren es dagegen nur 50.
Prüfen Sie mit Hilfe eines χ 2 -Tests die Nullhypothese: “Der Prüfungserfolg (bestanden oder nicht bestanden) ist unabhängig von der Vorbereitungsmethode (in Arbeitsgruppen oder allein) zum Examen”.
Geben Sie die Prüfgröße und den Ablehnungsbereich bei α = 0.05 an.
PG =
A=
[ 77 ]
Bei einer 2 × 3 Kontingenztafel ergab sich beim Test der Unabhängigkeit χ 2 = 16.1. Welche der
folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an.
a)
Die Hypothese der Unabhängigkeit kann nicht verworfen werden.
(
)
b) Die geprüfte Hypothese ist P(x, y) = P1 (x) · P2 (y), wenn X und Y die beiden Zufallsvariablen im Modell sind.
(
)
c)
(
)
d) Zur Beurteilung des berechneten χ 2 ist der Tabellenwert für 2 Freiheitsgrade zu verwenden.
(
)
e)
(
)
Der erwähnte Test kann auch als Anpassungstest aufgefaßt werden.
Die Vermutung, dass ein Zusammenhang
zwischen
¯
¯ den beiden Merkmalen besteht,
¯
¯
n
n
i·
·
j
¯ sehr klein sind.
wird bestätigt, wenn alle Differenzen ¯¯ni j −
n·· ¯
[ 78 ]
Bei einem Test auf Unabhängigkeit zweier Merkmale X und Y wird eine Stichprobe vom Umfang
n = 1400 gezogen und die daraus erforderlichen Angaben zur Ermittlung der Prüfgröße
³
´
ni· n· j 2
n
−
I P
J
ij
P
n··
(i = 1, . . . , 7) ( j = 1, . . . , 5)
ni· n· j
i=1 j=1
n··
entnommen. Der Test soll bei einem Signifikanzniveau von α = 0.05 durchgeführt werden.
Welchen Wert nimmt dann die untere Grenze des entsprechenden Ablehnungsbereichs an? (Es gilt
ni· n· j
n·· ≥ 5 für alle i, j)
11 Paare von Zufallsvariablen
34
[ 79 ]
Gegeben ist die folgende Kontingenztabelle:
x1
x2
x3
Summe
y1
2
2
1
5
y2
2
3
2
7
y3
3
4
10
17
y4
3
1
7
11
Summe
10
10
20
40
Die Zufallsvariablen X und Y sollen auf Unabhängigkeit geprüft werden.
Geben Sie den Wert der Prüfgröße χ 2 und den Ablehnungsbereich bei einem Signifikanzniveau von
α = 0.01 an.
PG =
A=
Welche Entscheidung treffen Sie hinsichtlich der Nullhypothese?
(verwerfen / nicht verwerfen) =
Ist der P–Wert größer als 0.5?
(Ja / Nein) =
11 Paare von Zufallsvariablen
35
[ 80 ]
Die 100 Beobachtungen der gemeinsam verteilten Zufallsvariablen X und Y ergaben folgende Kontingenztafel:
x\y
0
1
1
2
30
30
10
30
40
60
60
40
100
Mit Hilfe des χ 2 -Unabhängigkeitstests soll geprüft werden, ob die Daten bei einem Signifikanzniveau
von 0.05 die Vermutung bestätigen, daß X und Y voneinander unabhängig sind.
Geben Sie die Prüfgröße und den Ablehnungsbereich an.
PG =
A=
Welche Entscheidung treffen Sie hinsichtlich der Nullhypothese?
(verwerfen / nicht verwerfen) =
Zwischen welchen beiden Werten liegt der P–Wert? Benutzen Sie die R–Ausgabe.
> p<-seq(0.02,0.01,by=-0.001)
> p
[1] 0.020 0.019 0.018 0.017 0.016 0.015 0.014 0.013 0.012 0.011 0.010
> qchisq(p,1,lower.tail=F)
[1] 5.411894 5.501516 5.596149 5.696374 5.802874 5.916468 6.038143 6.169110
[9] 6.310869 6.465317 6.634897
[ 81 ]
In einem Großbetrieb wird in drei Schichten je Tag gearbeitet. In der Unfallstatistik dieses Großbetriebes wurde u.a. die Unfallschwere (leichter Unfall, schwerer Unfall) und der Zeitpunkt des Unfalls
(Morgenschicht, Mittagsschicht, Nachtschicht) festgehalten.
Wie lautet der Ablehnungsbereich der Unabhängigkeitsprüfung mit Hilfe des χ 2 -Tests, falls α = 0.01
und für jede Merkmalsklasse gilt: ni. · n. j /n.. ≥ 5.
A=
11 Paare von Zufallsvariablen
36
[ 82 ]
Der Vorstand eines Fußballvereins interessiert sich dafür, ob ein Zusammenhang zwischen den Spielergebnissen seiner Mannschaft und dem Spielort (Heim- oder Auswärtsspiel) besteht. Für die Spiele
der letzten Saison ergab sich folgende Kontingenztafel:
Spielort \ Ergebnis
gewonnen
verloren
unentschieden
Heimspiel
8
4
3
Auswärtsspiel
6
6
3
Führen Sie einen χ 2 –Test für Unabhängigkeit bei einem Signifikanzniveau von α = 0.05 durch.
Geben Sie die Prüfgröße und den Ablehnungsbereich an.
PG =
A=
Welche Entscheidung treffen Sie hinsichtlich der Nullhypothese?
(verwerfen / nicht verwerfen) =
Benutzen Sie folgende R–Ausgabe, um zu bestimmen in welchem Intervall der P–Wert liegt.
> p<-1:9/10
> p
[1] 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
> qchisq(p,2)
[1] 0.2107210 0.4462871 0.7133499 1.0216512 1.3862944 1.8325815 2.4079456
[8] 3.2188758 4.6051702
> 1-pchisq(24/35,2)
[1] 0.7097396
Intervall =
Geben Sie den R–Befehl an, um den P–Wert zu bestimmen.
R–Befehl =
11 Paare von Zufallsvariablen
37
[ 83 ]
Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an.
Beim χ 2 -Test für Unabhängigkeit sollte keine der geschätzten erwarteten Häufigkeiten
kleiner als 5 sein.
(
)
b) Bei der Auswertung sehr vieler Kontingenztafeln, die sich bei einer Umfrage mit Fragebögen ergeben haben, muss man damit rechnen, dass einige der ausgeführten Tests
für Unabhängigkeit zu signifikanten Ergebnissen führen, auch wenn tatsächlich alle
vorkommenden Zufallsvariablen unabhängig verteilt sind.
(
)
c)
Es empfiehlt sich, die Zusammensetzung der “Klassen” solange zu verändern, bis der
χ 2 -Test für Unabhängigkeit ein signifikantes Resultat ergibt.
(
)
d) Der zum Niveau 0.10 gehörende kritische Wert beim χ 2 -Test für Unabhängigkeit ist
10.64, wenn die Variable X genau zwei Werte annehmen kann und die Variable Y
genau drei Werte.
(
)
(
)
a)
e)
Der χ 2 -Test für Unabhängigkeit ist ein χ 2 -Anpassungstest.
[ 84 ]
Um der Frage nachzugehen, ob das bekannte deutsche Tennistalent B gleichermaßen bei Frauen und
Männern beliebt und damit als Werbeträger sinnvoll einsetzbar sei, führte ein Unternehmen eine (kleine) Zufallsstichprobe durch, die folgendes Ergebnis lieferte:
Geschlecht \ Beliebtheit
weiblich
männlich
groß
mittel
gering
39
21
15
15
6
4
Ermitteln Sie die Prüfgröße und den kritischen Wert (α = 0.10) zu der beschriebenen Fragestellung.
PG =
kritischer Wert =
11 Paare von Zufallsvariablen
38
[ 85 ]
Ein Lehrlingsausbilder möchte wissen, ob zwischen dem Schulabschluss und dem Erfolg in der Lehre
eines Auszubildenden ein Zusammenhang besteht. Er wählt 50 der ehemaligen Auszubildenden zufällig aus und stellt fest, ob sie die Lehre erfolgreich beendet haben und welchen Schulabschluss sie
besitzen.
Erfolg in der Lehre
Schulabschluss
Erfolg
Misserfolg
Realschule
Hauptschule
18
20
2
5
kein Abschluß
2
3
Berechnen Sie die Prüfgröße χ 2 zum Prüfen der Hypothese, dass kein Zusammenhang zwischen
Schulababschluß und Erfolg in der Lehre besteht und geben sie den kritischen Wert beim Signifikanzniveau α = 0.05 an.
PG =
A=
[ 86 ]
Viele Menschen trinken gelegentlich alkoholfreies Bier (“nicht immer, . . .”). Eine Firma, die alkoholfreies Bier produziert, möchte in Erfahrung bringen, ob ein Zusammenhang zwischen der Altersgruppe der Konsumenten und dem Genuss von alkoholfreiem Bier besteht. In einer Untersuchung
wurden 100 Personen befragt, ob sie schon einmal alkoholfreies Bier getrunken haben. Es ergab sich
die nachstehende Tabelle.
Geben Sie für den χ 2 -Test auf Unabhängigkeit die Prüfgröße und den kritischen Wert zum Signifikanzniveau 0.05 an.
Alkoholfreies Bier
schon probiert
20 – 40
Alter
40 – 60
60 – 80
ja
18
32
10
60
nein
P
12
18
10
40
30
50
20
100
PG =
P
A=
[ 87 ]
Eine Kontingenztafel, die alle Voraussetzungen für die Anwendung eines χ 2 -Tests auf Unabhängigkeit erfüllt, hat 3 Zeilen und 4 Spalten. Geben Sie für den χ 2 -Test den kritischen Wert zum Signifikanzniveau von 0.05 an.
Kritischer Wert =
11 Paare von Zufallsvariablen
39
[ 88 ]
m Rahmen einer Studie wurden in Birmingham 50 Personen nach ihren Einkaufsgewohnheiten befragt. Für die Merkmale Art der Fortbewegung und Häufigkeit der Einkaufstouren ergab sich dabei
folgende Häufigkeitstabelle.
Art der
Fortbewegung
zu Fuß
mit dem Bus
mit dem Auto
Häufigkeit der
Einkaufstouren
häufig
selten
16
4
5
4
6
15
Berechnen Sie die Prüfgröße χ 2 zum Prüfen der Hypothese, dass zwischen Fortbewegungsart und
Einkaufshäufigkeit kein Zusammenhang besteht, und geben Sie den kritischen Wert zum Signifikanzniveau α = 1 % an.
PG =
A=
[ 89 ]
Welche der folgenden Aussagen im Zusammenhang mit dem χ 2 - Test auf Unabhängigkeit sind
WAHR? Kreuzen Sie sie an.
a) Die Prüfgröße nimmt negative Werte an, wenn das gewählte Modell nur sehr schlecht ( )
passt.
b) Ist der zu der Prüfgröße gehörende P-Wert kleiner als 0.05, so wird das Modell bei
einem Signifikanzniveau von α = 0.05 verworfen.
(
)
c)
Betrachtet man zwei Merkmale mit jeweils vier möglichen Ausprägungen, so ist die
entsprechende Prüfgröße χ 2 -verteilt mit 8 Freiheitsgraden.
(
)
d) Der χ 2 -Test auf Unabhängigkeit sollte nur verwendet werden, wenn die unter der Hypothese erwarteten Häufigkeiten hinreichend groß sind (als Faustregel kann z. B. > 5
angenommen werden).
(
)
e)
(
)
Wenn die Hypothese der Unabhängigkeit nicht verworfen werden kann, nimmt die
Prüfgröße einen relativ kleinen Wert an.
11 Paare von Zufallsvariablen
40
B: Lösungen
x\y
0
1
2
P1 (x)
1
1/4
3/16
1/16
1/2
2
1/4
1/16
3/16
1/2
P2 (y)
1/2
1/4
1/4
s\t
1
2
1
1/6
2/6
2
1/6
4/6
1)
2)
3
4/6 ;
1
y
1
2
3
P2 (y)
1/6
3/6
2/6
x\y
0
1
2
0
36/100
24/100
4/100
1
24/100
8/100
0
2
4/100
0
0
x\y
1
2
P1 (x)
0
1/4
1/4
1/2
1
3/16
1/16
1/4
2
1/16
3/16
1/4
P2 (y)
1/2
1/2
1
3)
4)
;
;
y
1
2
3
P2|1 (y|1)
1/4
1/4
1/2
5 1 3
; ;
16 4 8
5) b, c, d, e
6) 0.31 ; 0.5

0



0.3
7) F(x) =
0.5



1
für
x < −1
für −1 ≤ x < 0
für 0 ≤ x < 1
für
x≥1
x1 \ x2
0
1
2
3
s\t
0
1
2
3
0
0.01
0.04
0.03
0.02
0
0.01
0.05
0.08
0.10
1
0.04
0.16
0.12
0.08 ;
1
0.05
0.25
0.40
0.50
2
0.03
0.12
0.09
0.06
2
0.08
0.40
0.64
0.80
3
0.02
0.08
0.06
0.04
3
0.10
0.50
0.80
1.00
x
0
1
2
3
4
P1 (x)
1/5
1/5
1/5
1/5
1/5
8)
9) 0 ;
1
3
10) 2 ; 2 ; 4 ;
; Ja
11 Paare von Zufallsvariablen
41
x\y
0
10
13
P1 (x)
2
0.25
0.15
0.05
0.45
4
0.02
0.08
0.25
0.35 ; 3.467 ; 19.5
6
0.03
0.07
0.10
0.20
P2 (y)
0.30
0.30
0.40
1.00
11)
12) a, b, d, e
u\v
2
4
P1 (u)
1
0.2
0.2
0.4
3
0.1
0.5
0.6
P2 (v)
0.3
0.7
1.0
x\y
1
2
1
0.08
0.12
2
0.12
0.12
3
0.2
0.36
13)
14)
; 7.8
15) 0
16) b, c
x\y
1
2
3
P1 (x)
1
1/4
1/8
1/8
1/2
2
1/4
1/8
1/8
1/2
P2 (y)
1/2
1/4
1/4
1
17)
18)
1
4

 1 für x = 0, 1, 2 ; y = 0, 1
6
19) P(x, y) =

0 sonst
20)
x\y
1
2
3
0
0.050
0.095
0.567
1
0.009
0.068
0.111
2
0.000
0.015
0.085

 0.15 für y = 2
0.85 für y = 3
;
P
(y
|
2)
=
0.188
2|1

0 sonst
0.100
P2 (y)
0.059
0.178
0.763
1.000
21) 0.6 ; 0.463
P1 (x)
0.712
11 Paare von Zufallsvariablen

0.25 für y = 3



0.5
für y = 5
;
22) P2 (y) =
0.25
für y = 7



0 sonst
42
s\t
3
5
7
1
1/4
1/4
1/4
2
1/4
3/4
3/4
3
1/4
3/4
1
; 0.5 ; 2 ; 1 ; 1
23) 0
24) 0.6 ; 0.6
25) 0
½
26) f2 (y) =
2y für 0 ≤ y ≤ 1
;0
0 sonst
27) c, e
28)
1 1
;
4 2
29) c, e
30) a, b, c, d
31) b, d
½
32) f1 (x) =
3x2
0

 1 y für 0 ≤ y ≤ 2 1
für 0 ≤ x ≤ 1
2
; f2|1 (y | x) =
;
sonst

4
0 sonst
33) a, b, c, e

 1 y für 0 ≤ y ≤ 2
2
34) 0.04 ; f2|1 (y | x) =

0 sonst
35) a, c, d
36) b, c, e
37) 0.16
38) 0 ; 1
39) a, b, c, e
40) a, b, d
41) a, b
42) b, c, e
43) b, d, e
(
44) f2 (y) =

5 1
 1 (3 − x) für 0 ≤ x ≤ 2 5
− y für 2 ≤ y ≤ 4
4
; f1|2 (x | Y = 3) =
;
4 4

8
0
sonst
0
sonst
11 Paare von Zufallsvariablen
43
45) a, d, e
46) a, d, e
47)
5 9
;
12 20
48) 2 ;
1
4
49) 9 ; 1.5

0




 0.05xy
0.25x
50) F(x, y) =


 0.2y


1
51)
1
;0
3
52)
4
9
(
53) f2|1 (y | 0.5) =
für
x ≤ 0 oder y ≤ 0
für 0 ≤ x ≤ 4 ; 0 ≤ y ≤ 5
für
0 ≤ x ≤ 4; y > 5
für
0 ≤ y ≤ 5; x > 4
für
x > 4; y > 5
für
0
sonst
x\y
2
4
P1 (x)
1
0.2
0.2
0.4
3
0.1
0.5
0.6
P2 (y)
0.3
0.7
1.0
54)
0≤y≤1
2y
; 2.2 ; 3.4 ; 7.8 ; 0.32
55) a, c, e
56)
x\y
0
1
2
1
1/12
1/8
1/24
2
1/24
1/16
1/48
3
5/24
5/16
5/48
1
;
8
57) a, b, c, d
58) b, d, e
59) 0.25
60) a, b, c, e
½
61) f (x, y) =
62) b, e
xy für 0 ≤ x ≤ 1 ; 0 ≤ y ≤ 2
0 sonst
11 Paare von Zufallsvariablen
63)
44
3 11
;
4 16
64) a, c, d, e
65) Ja ; 0.6
66) a, c, d, e
67) 0.23
68) 0.5


 1 x für 0 ≤ x ≤ 4
 1 y für 0 ≤ y ≤ 4
8
8
69) f1 (x) =
; f2 (y) =
;


0 sonst
0 sonst

1
 x für 0 ≤ x ≤ 4
8
f1|2 (x | Y = 2) =

0 sonst
70)
3
4
71) a, b, c, d




1 (x − 8)2 2
1
− 
+y 
1
72) f (x, y) =
; ;8
2
9
·e
für −∞ < x, y < ∞ 4

6π
73) 15
74) 0.25 ; 0.159 ; pnorm(2,2,1)*pnorm(3,3,2)
75)
10
; [5.99,∞) ; nicht verwerfen ; 1-pchisq(10/9,2)
9
76) 4.762 ; [3.84,∞)
77) b, c, d
78) 36.42
79) 5.564 ; [16.81,∞) ; nicht verwerfen ; Nein
80) 6.25 ; [3.84,∞) ; verwerfen ; zwischen 0.012 und 0.013
81) [9.21,∞)
82)
24
; [5.99,∞) ; nicht verwerfen ; zwischen 0.7 und 0.8; 1-pchisq(24/35,2)
35
83) a, b, e
84)
15
; 4.61
8
85) 6.25 ; 5.99
11 Paare von Zufallsvariablen
86)
7
; 5.99
6
87) 12.59
88) 12.6 ; [9.21,∞)
89) b, d, e
45