Konvergenz nach Verteilung Zentraler Grenzwertsatz

Übungsblatt 5
Empirische Methoden (MA)
SS 2011
Willi Mutschler
[email protected]
Konvergenz nach Verteilung
1. Sei (XT )T ∈N eine Folge von Zufallsvariablen, wobei die Verteilungsfunktionen des
T-ten Folgengliedes, FT , gegeben sind durch



0,
falls x < 0,


FT (x) := x1−1/T , falls 0 ≤ x < 1,



1,
falls 1 ≤ x,
für alle T ∈ N. Zeigen Sie, dass (XT ) konvergent nach Verteilung gegen eine Zufallsvariable X ist und bestimmen Sie deren Verteilungsfunktion F .
Solution: Für 0 < x < 1 :
lim FT (x) = lim
T →∞
T →∞
x
x1/T
=
x
=x
1
Die Folge (Xt )t∈N konvergiert somit nach Verteilung gegen eine auf dem Intervall
[0; 1] rechteck-verteilte Zufallsvariable X mit folgender Verteilungsfunktion F



0, falls x < 0,


F (x) := x, falls 0 ≤ x < 1,



1, falls 1 ≤ x,
L
Man schreibt kurz XT → X.
Zentraler Grenzwertsatz
2. Sei (Xt )t∈N eine Folge von unabhängig und identisch verteilten Zufallsvariablen mit
Erwartungswert µ und Varianz σ 2 > 0. Für T ∈ N setzen wir
X T :=
T
1X
Xt
T t=1
(a) Zeigen Sie, dass E[X T ] = µ und V ar[X T ] = σ 2 /T .
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Solution:
"
#
T
T
T
1X
1X
1X
E[X T ] = E
Xt =
E[Xt ] =
µ=µ
T t=1
T t=1
T t=1
"
#
" T
#
T
T
T
X
1X
1
1 X 2
1 X
V ar[X T ] = V ar
Xt = 2 V ar
V ar[Xt ] = 2
σ
Xt = 2
T t=1
T
T t=1
T t=1
t=1
=
σ2
→ 0 für T → ∞
T
X T ist somit konvergent nach Wahrscheinlichkeit gegen µ, d.h. konsistent. Achtung: Konsistenz hat nichts mit Erwartungstreue zu tun! Ein Schätzer kann
• konsistent und erwartungstreu sein,
• konsistent und verzerrt sein,
• inkonsistent und erwartungstreu sein,
• inkonsistent und verzerrt sind.
iid
(b) Seien X1 , . . . , XT ∼ N (µ, σ 2 ). Bestimmen Sie die Verteilung von
XT .
PT
t=1
Xt bzw.
Solution:
T
X
Xt ∼ N (T µ, T σ 2 )
t=1
T
σ2
1X
Xt ∼ N (µ, )
XT =
T t=1
T
X T standardisiert ergibt:
X T − E[X T ]
XT − µ √ XT − µ
q
= q
= T
∼ N (0, 1)
σ
σ2
V ar[X T ]
T
(c) Geben Sie den zentralen Grenzwertsatz für unabhängig und identisch verteilte
Zufallsvariablen an und erläutern Sie den Zusammenhang zu Aufgabenteil (b).
Solution: Sei (Xt )t∈N eine Folge von unabhängig und identisch verteilten Zufallsvariablen mit Erwartungswert µ und Varianz σ 2 > 0, dann gilt:
√ XT − µ L
T
→ N (0, 1)
σ
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Wir können X1 , X2 , . . . als einfache Stichprobe aus einer bestimmten Verteilung betrachten. Der zentrale Grenzwertsatz besagt dann, dass das standardisierte Stichprobenmittel approximativ standard-normalverteilt ist, wenn T hinrei√ ”
chend“ groß ist. Bei Aufgabenteil (b) haben wir bereits gezeigt, dass T X Tσ−µ ∼
N (0, 1) ist, wenn X1 , . . . , XT selbst unabhängig und identisch normalverteilt
sind. Der Zentrale Grenzwertsatz verlangt hingegen nur, dass die Zufallsvariablen unabhängig und identisch verteilt sind. Er trifft auch nur eine Aussage über
die asymptotische Verteilung, wohingegen Aufgabenteil (b) zeigt, dass bei bereits normalverteilten Variablen die Verteilung schon für endliche T ∈ N gilt. Es
gibt noch viele andere Zentrale Grenzwertsätze, die Abhängigkeit und heterogene
Verteilung zulassen, beilspielsweise den Zentralen Grenzwertsatz für Martingaldifferenzenfolgen.
Martingaldifferenzenfolgen
3. Sei (εT )T ∈Z ein Gausscher White Noise-Prozess WN(0,1) und sei (XT )T ∈Z ein weiterer
stochastischer Prozess mit
XT := εT
wobei 0 < α0 und 0 < α1 <
p
q
α0 + α1 XT2 −1
für alle T ∈ Z,
1/3 ist.
(a) Zeigen Sie, dass (XT ) eine Martingaldifferenzenfolge ist.
Solution: Die Bedingung für Martingaldifferenzenfolgen lautet E[XT |Ωt−1 ] = 0,
wobei Ωt die zum Zeitpunkt t verfügbare Informationsmenge bezeichnet. Es gibt
also keine Funktion, egal ob linear oder nichtlinear, die den Wert der Martingaldifferenzenfolge mithilfe der vergangenen Werte prognostizieren kann. Hier:
q
E[XT |XT −1 , XT −2 , . . . ] = E[εT ]E[ α0 + α1 XT2 −1 |XT −1 , XT −2 , . . . ]
da εT unabhängig von XT −1 ist
= 0 denn E[εT = 0]
Die Folge (XT ) ist somit eine Martingaldifferenzenfolge bezüglich sich selbst.
(b) Sei T ∈ N hinreichend groß“. Bestimmen Sie approximativ die Verteilung von
”
XT . Hinweis: Der Prozess ist stationär und hat endliche dritte und vierte Momente.
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Solution: Für alle T ∈ Z gilt:
q
E[XT ] = E[εT ]E[ α0 + α1 XT2 −1 ] = 0, da εT unabhängig von XT −1 ist
V ar[XT ] = E[XT2 ] − (E[XT ])2 = E[XT2 ] = E[ε2T (α0 + α1 XT2 −1 )]
= E[ε2T ](α0 + α1 E[XT2 −1 ]) da εT unabhängig von XT −1 ist
| {z }
=1
= α0 + α1 V ar[XT −1 ]
Der Prozess ist schwach stationär, also folgt:
V ar[XT ] = γ0 = α0 + α1 γ0 = V ar[XT −1 ]
α0
V ar[XT ] =
1 − α1
Nach dem Zentralen Grenzwertsatz für Martingaldifferenzenfolgen (die Voraussetzung überprüfen wir jetzt nicht) gilt dann für ein hinreichend großes T ∈ N:
X T − E[X T ]
XT
XT
a
q
=q
∼ N (0, 1)
=q
α0
V ar[XT ]
V ar[X T ]
T (1−α1 )
T
√
α0
a
T · X T ∼ N 0,
1 − α1
Empirische Aufgabe
4. Laden Sie das Workfile macro.wf1 von der Kurshomepage. Diese enthält verschiedene
makroökonomische Daten. Die Aufgabe wird es sein verschiedene Modelle zu schätzen
und zu spezifizieren. Versuchen Sie für jedes der folgenden Modelle eine geeignete LagSpezifikation zu finden. Die i-ten Verzögerungen erhalten Sie mit Daten(-i). Nutzen
Sie auch gegebenenfalls die Möglichkeit Variablen zu transformieren mithilfe des Logarithmus log() oder der Differenzenbildung d(). Nutzen Sie dazu die ökonomische
Theorie, sowie t- bzw. F-Tests, das adjustierte R2 , die verschiedenen Informationskriterien und betrachten Sie auch die Residuen und das Residuenkorrelogram! Gehen
Sie von einer maximalen Lag-Länge von 4 aus.
(a) Schätzen Sie für Spanien ein Modell der Phillips-Kurve, welches die Inflationsrate
HICP_ES unter anderem durch die Arbeitslosenquote HUN_ES erklärt. Nehmen Sie
auch die Veränderung des Öl-Preises als erklärende Variable auf.
Solution: Zunächst das Mega-Modell“ schätzen: ls HICP ES c HICP ES(-1)
”
HICP ES(-2) HICP ES(-3) HICP ES(-4) HUN ES HUN ES(-1) HUN ES(-2) HUN ES(-
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3) HUN ES(-4) d(OL ES) d(OL ES(-1)) d(OL ES(-2)) d(OL ES(-3)) d(OL ES(4))
Danach sukzessive nicht signifikante Variablen heraus nehmen und dabei die Informationskriterien vergleichen. Werden diese kleiner, so ist dies eine Verbesserung des Modells! Dies solange durchführen bis man ein geeignetes Modell gefunden hat. Dann sich die Residuen angucken und per Residuenkorrelogramm
überprüfen, ob es noch Autokorrelation gibt (alle Balken sollten sich innerhalb
der Striche befinden!).
(b) Schätzen Sie für Italien ein Modell für Okuns Gesetz, welches die Veränderung
der Arbeitslosenquote d(HUN_IT) unter anderem durch das Wachstum des realen
BIP (als Proxi dafür kann man d(GNP_IT) verwenden) erklärt.
Solution: Siehe oben!
(c) Schätzen Sie für Deutschland ein Modell der Fischer-Gleichung, welche den langfristigen nominalen Zinssatz IR10Y_DE unter anderem über den realen Zinssatz
und die Inflationsrate HICP_DE erklärt. Nehmen Sie dabei an, dass der Realzins
konstant ist.
Solution: Siehe oben!