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Übungen zu Geometrie
F. Hofbauer
I. Elementargeometrie
A. Einleitung
Winkelberechnungen
1. Man zeige, dass die Winkelsumme in einem konvexen Viereck gleich 3600 und einem konvexen
n-Eck gleich (n − 2) · 1800 ist. Wie groß sind die Winkel im regelmäßigen n-Eck. Hinweis:
konvex bedeutet, dass alle Winkel < 1800 sind.
2. Auf jeder Seite eines unregelmäßigen konvexen Fünfecks, dessen Winkel > 900 sind, wird ein
Dreieck errichtet, dessen Schenkel die Verlängerungen der benachbarten Fünfeckseiten sind.
(Es entsteht ein fünfzackiger Stern.) Seien α1 , α2 , α3 , α4 und α5 die Winkel an den Spitzen
der aufgesetzten Dreiecke. Man zeige α1 + α2 + α3 + α4 + α5 = 1800 . (analog für ein n-Eck.)
3. Sei ABCD ein Viereck. Sei gA die Gerade durch A, die die beiden Außenwinkel beim Eckpunkt
A halbiert. Entsprechend seien gB , gC und gD definiert. Diese vier Geraden bilden ein Viereck.
Man zeige, dass in diesem Viereck die Summe einander gegenüberliegender Winkel gleich 1800
ist.
4. Wie letztes Beispiel. Die Geraden gA , gB , gC und gD halbieren jedoch die Innenwinkel anstatt
die Außenwinkel.
5. Sei ABCD ein Rechteck, sei M der Mittelpunkt der Seite BC und N der der Seite CD. Sei P
der Schnittpunkt der Geraden ℓ(B, N ) und ℓ(D, M ). Man zeige, dass ] M AN = ] DP N gilt.
Hinweis: Sei φ = ] BM A = ] CM D und ψ = ] DN A = ] CN B. Winkel berechnen . . .
Kongruenzüberlegungen
6. Durch einen Punkt P auf der Diagonale eines Parallelogramms werden Parallelen zu den Seiten
des Parallelogramms gezogen. Man zeige, dass von den vier entstehenden Teilparallelogrammen die beiden flächengleich sind, die nicht von der Diagonale durchschnitten werden. Hinweis: Ein Parallelogramm wird durch eine Diagonale in zwei zueinander kongruente und daher
flächengleiche Dreiecke zerlegt.
7. Sei ABCD ein Parallelogramm, sodass der Winkel α bei A und C spitz ist. Sei M der Mittelpunkt der Diagonale AC. Wir wählen P auf ℓ(C, D) so, dass ] M P C = α gilt. Man zeige
|AP | = |BP |.
Orientierter Abstand
8. Seien A, B und C beliebige Punkte auf einer Gerade. Welche der folgenden Gleichungen sind
richtig: AB + BC + CA = 0, AB = AC + BC, AB − AC = CB,
9. Seien A, B, C und D beliebige Punkte auf einer Gerade. Welche der folgenden Gleichungen
AB
BA AB
sind richtig: CD
= DC
, AD = 1 + DB
AD , AB · AC = |AB| · |AC|, |AB · AC| = |AB| · |AC|,
10. Die vier Punkte A, B, C und D liegen auf einer Gerade. Man zeige, dass DA · BC + DB ·
CA + DC · AB = 0 gilt.
Dreiecksflächen
11. Sei P ein beliebiger Punkt im Innern eines gleichseitigen Dreiecks. Die Summe der Normalabstände von P zu den Seiten des Dreiecks ist gleich der Höhe des Dreiecks.
12. Sei ABCD ein Quadrat mit Seitenlänge 1. Sei E der Mittelpunkt der Seite AB und F der
Mittelpunkt der Seite BC. Die Strecken AF und EC teilen das Quadrat in vier Teile. Man
berechne die Flächen dieser Teile. Hinweis: Man zeichne noch die Diagonale BD ein. Welche
Dreiecke sind flächengleich? Welche Dreiecke kann man zu einem Dreieck zusammenfassen,
dessen Fläche bekannt ist?
13. Sei ABCD ein Parallelogramm. Sei P ein beliebiger Punkt der Seite CD. Sei R der Schnittpunkt der Strecke AP mit der Diagonale BD. Man zeige #ADR = #BRP . Hinweis: Es gilt
#CBD = 12 F und #ADP + #BCP = 12 F , wobei F die Fläche des Parallelogramms ist.
B. Strahlensatz
Anwendungen des Strahlensatzes und seiner Umkehrung
14. Sei M der Schnittpunkt der beiden Diagonalen eines Parallelogramms. Dann ist M der Mittelpunkt beider Diagonalen.
Es gilt auch die Umkehrung. Hat ein Viereck die Eigenschaft, dass der Schnittpunkt M der
Diagonalen der Mittelpunkt beider Diagonalen ist, dann ist das Viereck ein Parallelogramm.
15. Sei ABCD ein konvexes Viereck und M der Schnittpunkt seiner Diagonalen. Man zeige
|M B|
#ABC
|M D| = #ADC . Hat ein Viereck die Eigenschaft, dass beide Diagonalen die Fläche des Vierecks
halbieren, dann ist das Viereck ein Parallelogramm.
16. Seien g und h nicht parallele Gerade. Seien P1 , P2 und P3 Punkte auf der Gerade g und Q1 ,
Q2 und Q3 Punkte auf der Gerade h, jedoch keiner dieser Punkte liege auf beiden Geraden.
Man zeige: Wenn ℓ(P2 , Q1 ) parallel zu ℓ(P3 , Q2 ) und ℓ(P1 , Q2 ) parallel zu ℓ(P2 , Q3 ) liegt, dann
liegt auch ℓ(P1 , Q1 ) parallel zu ℓ(P3 , Q3 ). (Satz von Pappos)
17. Seien g1 , g2 und g3 verschiedene Gerade, die einander in einem Punkt S schneiden. Seien P1
und Q1 Punkte auf g1 , seien P2 und Q2 Punkte auf g2 und seien P3 und Q3 Punkte auf g3 .
Man zeige: Wenn ℓ(P1 , P2 ) parallel zu ℓ(Q1 , Q2 ) und ℓ(P2 , P3 ) parallel zu ℓ(Q2 , Q3 ) liegt, dann
liegt auch ℓ(P1 , P3 ) parallel zu ℓ(Q1 , Q3 ). (Satz von Desargues)
18. Seien k1 und k2 verschieden große Kreise, sodass der eine ganz außerhalb des anderen liegt.
Seien M1 und M2 ihre Mittelpunkte und g die Gerade durch M1 und M2 . Diese beiden
Kreise haben vier gemeinsame Tangenten. Zwei dieser Tangenten gehen zwischen den Kreisen
hindurch. Ihr Schnittpunkt B liegt auf g. Die anderen beiden Tangenten liegen außen an den
Kreisen. Ihr Schnittpunkt A liegt ebenfalls auf g, jedoch nicht zwischen den Kreisen, sondern
AM1 BM2
= −1 gilt.
außerhalb beim kleineren Kreis. Man zeige, dass AM
2 BM1
19. Man zeige, dass die Seitenmitten eines beliebigen Vierecks die Eckpunkte eines Parallelogramms
sind. Hinweis: Umkehrung des Strahlensatzes.
20. Sei △ ABC ein Dreieck und s die Schwerlinie durch C. Sei P ein Punkt auf s und h die
Gerade durch P parallel zur Seite AB. Sei Q der Schnittpunkt von h mit ℓ(B, C) und R der
Schnittpunkt von h mit ℓ(A, C). Man zeige |P Q| = |P R|.
Ähnliche Dreiecke
21. In einem Dreieck △ ABC sei D der Fußpunkt der Höhe durch C, E der Fußpunkt der Höhe
|BF | |CD|
|AE|
durch A und F der Fußpunkt der Höhe durch B. Man zeige, dass |CD|
|AC| = |AB| , |BC| = |AB|
|BF |
und |AE|
|AC| = |BC| gilt.
22. Seien M1 und M2 die Mittelpunkte zweier Kreise k1 und k2 , die einander nicht schneiden. Seien
P1 und Q1 die Schnittpunkte des Kreises k1 mit den Tangenten vom Punkt M1 aus an den
Kreis k2 . Seien P2 und Q2 die Schnittpunkte des Kreises k2 mit den Tangenten vom Punkt M2
aus an den Kreis k1 . Dann gilt |P1 Q1 | = |P2 Q2 |. Hinweis: Man zeichne die Gerade ℓ(M1 , M2 )
und suche ähnliche Dreiecke.
Menelaos und Ceva
23. Seien A, B, C und D vier Punkte in der Ebene. Sei E der Schnittpunkt der Geraden ℓ(A, C)
A EB
und ℓ(B, D) und F der Schnittpunkt der Geraden ℓ(A, B) und ℓ(C, D). Man zeige FF B
· ED ·
F D EC
F C · EA = 1. Hinweis: Satz von Menelaos zweimal anwenden.
24. Umkehrung des Satzes von Menelaos: Sei △ ABC ein Dreieck. Sei D ein Punkt auf ℓ(A, B),
DA EB F C
sei E ein Punkt auf ℓ(B, C), und F einer auf ℓ(C, A). Wenn DB
· EC · F A = 1 gilt, dann liegen
25.
26.
27.
28.
die Punkte D, E und F auf einer Gerade. Hinweis: Es ist nicht möglich, dass ℓ(D, E) parallel
zu ℓ(C, A) liegt (indirekter Beweis mit Strahlensatz).
Sei △ ABC ein Dreieck mit Seitenmitten Ma , Mb und Mc . Sei g eine Gerade, die ℓ(B, C)
im Punkt Pa , ℓ(A, C) im Punkt Pb und ℓ(A, B) im Punkt Pc schneidet. Sei Qa der an Ma
gespiegelte Punkt Pa . Sei Qb der an Mb gespiegelte Punkt Pb . Sei Qc der an Mc gespiegelte
Punkt Pc . Dann liegen die Punkte Qa , Qb und Qc auf einer Gerade.
Man zeige den Satz von Ceva für parallele Geraden. Sei △ ABC ein Dreieck. Sei D auf der
Geraden ℓ(A, B), sei E auf der Geraden ℓ(B, C) und F auf der Geraden ℓ(C, A) so gewählt
(jedoch keine Eckpunkte), dass die Geraden ℓ(A, E), ℓ(B, F ) und ℓ(C, D) parallel sind. Dann
DA EB F C
gilt DB
· EC · F A = −1. Hinweis: Strahlensatz
Sei △ ABC ein Dreieck mit Seitenmitten Ma , Mb und Mc . Sei P ein Punkt. Sei Pa der
Schnittpunkt der Geraden ℓ(P, A) und ℓ(B, C) und Qa der an Ma gespiegelte Punkt Pa . Sei
Pb der Schnittpunkt der Geraden ℓ(P, B) und ℓ(A, C) und Qb der an Mb gespiegelte Punkt Pb .
Sei Pc der Schnittpunkt der Geraden ℓ(P, C) und ℓ(A, B) und Qc der an Mc gespiegelte Punkt
Pc . Dann schneiden die Geraden ℓ(A, Qa ), ℓ(B, Qb ) und ℓ(C, Qc ) einander in einem Punkt.
Sei △ ABC ein Dreieck und P ein Punkt. Sei A1 der Schnittpunkt von ℓ(A, P ) mit ℓ(B, C),
B1 der von ℓ(B, P ) mit ℓ(A, C) und C1 der von ℓ(C, P ) mit ℓ(A, B). Weiters sei A2 der
Schnittpunkt von ℓ(B1 , C1 ) mit ℓ(B, C), B2 der von ℓ(A1 , C1 ) mit ℓ(A, C) und C2 der von
ℓ(A1 , B1 ) mit ℓ(A, B). Man zeige, dass die Punkte A2 , B2 und C2 auf einer Geraden liegen.
Hinweis: Menelaos und Ceva.
C. Pythagoras
Ebene Figuren
29. Man bestimme die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks und die Abschnitte, in die sie durch den
Höhenschnittpunkt unterteilt wird.
30. Sei ABCD ein Quadrat mit Seitenlänge a. Sei k der Kreis, der durch die Eckpunkte A und B
geht und die Seite CD berührt. Man berechne den Radius dieses Kreises.
31. Sei ABCD ein Quadrat mit Seitenlänge a. Die Punkte E auf der Seite BC und F auf der Seite
CD werden so gewählt, dass das Dreieck △ AEF gleichseitig ist. Man berechne die Seitenlänge
dieses Dreiecks.
32. Sei AB der Durchmesser eines Halbkreises und C ein Punkt auf AB. Aus diesem Halbkreis
werden zwei Halbkreise mit Durchmessern AC und CB herausgeschnitten. Die verbleibende
Figur heißt Arbelos. Sei D der Schnittpunkt der Senkrechten auf AB durch C mit dem ersten
Halbkreis. Dann ist die Fläche des Arbelos gleich der Fläche des Kreises mit Durchmesser CD.
(Archimedes)
33. Sei ABCD ein Quadrat mit Seitenlänge a. Sei E der Mittelpunkt der Seite CD. Die Strecken
AC und BE schneiden einander im Punkt S. Man berechne die Längen der Seiten des Dreiecks
△ ABS und dessen Fläche. Hinweis: Strahlensatz
34. √
Sei a die Seite eines dem Einheitskreis eingeschriebenen regelmäßigen n-Ecks. Man zeige, dass
√
2 − 4 − a2 die Seite eines dem Einheitskreis eingeschriebenen regelmäßigen 2n-Ecks ist.
Man berechne die Seite des regelmäßigen 8-Ecks und 16-Ecks.
35. Sei√a die Seite eines dem Einheitskreis umgeschriebenen regelmäßigen n-Ecks. Man zeige, dass
4
2
a ( 1 + a /4 − 1) die Seite eines dem Einheitskreis umgeschriebenen regelmäßigen 2n-Ecks ist.
Man berechne die Seite des regelmäßigen 8-Ecks und 16-Ecks.
Körper im Raum
36.
37.
38.
39.
Man
Man
Man
Man
bestimme die Länge der Diagonale eines Würfels.
bestimme die Höhe eines regelmäßigen Tetraeders.
berechne den Radius der Umkugel eines regelmäßigen Tetraeders.
berechne den Radius der Inkugel eines regelmäßigen Tetraeders.
40. Wir sind im R3 . Sei A = (a, 0, 0), B = (0, b, 0) und C = (0, 0, c), wobei a, b und c alle > 0 sind.
Zusammen mit O = (0, 0, 0) bilden diese Punkte die Ecken eines rechtwinkeligen Tetraeders.
Wir betrachten die Flächeninhalte der vier Dreiecke: R = #ABC, U = #ABO, V = #ACO
und W = #BCO. Man zeige, dass R2 = U 2 + V 2 + W 2 gilt. Hinweis: Man berechne die Höhe
k durch O im Dreieck △ ABO und daraus die Höhe h durch C im Dreieck △ ABC.
Berührende Kreise
41. Zwei Kreise mit Radien r1 und r2 berühren einander von außen und haben die Gerade g als
gemeinsame Tangente, die die beiden Kreise in verschiedenen Punkten berührt. Ein weiterer
Kreis mit Radius s berührt die beiden Kreise von außen und auch die Tangente g. Man zeige,
dass √1s = √1r1 + √1r2 gilt.
42. Sei ABCD ein Quadrat mit Seitenlänge a. Man berechne den Radius des Inkreises des Dreiecks
△ ABC.
43. Sei ABCD ein Quadrat mit Seitenlänge a. Sei k ein Halbkreis mit AB als Durchmesser, der im
Innern des Quadrats liegt. Man berechne den Radius des Kreises, der k, BC und CD berührt.
44. Sei ABCD ein Quadrat mit Seitenlänge a. Sei kA der Viertelkreis mit Mittelpunkt A, der den
Punkt B mit dem Punkt D verbindet. Ebenso sei kB der Viertelkreis mit Mittelpunkt B, der
den Punkt A mit dem Punkt C verbindet. Diese beiden Viertelkreise teilen das Quadrat in
vier Teile. Jedem dieser Teile wird ein Kreis eingeschrieben, der die Begrenzungslinien berührt.
Man berechne die Radien dieser Kreise.
45. Sei AB ein Durchmesser eines Kreises k. Sei C ein beliebiger Punkt auf AB und g die
Senkrechte auf AB durch C. Sei D ein Schnittpunkt von g und k. Sei l ein Kreis, der
die Strecken CB und CD und den Kreis k von innen berührt. Der Punkt, in dem l die Strecke
CB berührt, sei U . Man zeige, dass |AU | = |AD| gilt.
46. Sei AB eine Strecke und C ein Punkt auf AB. Der Kreis k1 habe AB als Durchmesser.
Seinen Radius bezeichnen wir mit r1 . Der Kreis k2 habe AC als Durchmesser. Seinen Radius
bezeichnen wir mit r2 . (Die Kreise berühren einander in A.) Der Kreis k3 berührt die Strecke
AB, den Kreis k2 von außen und den Kreis k1 von innen. Gesucht ist der Radius von k3 .
47. Sei C ein Punkt auf AB. Die Halbkreise k über AB, k1 über AC und k2 über CB bilden den
Arbelos. Sei g die Senkrechte auf AB durch C. Sei l1 der Kreis, der g, k und k1 berührt und
l2 der Kreis, der g, k und k2 berührt. Dann sind l1 und l2 flächengleich.
48. Im Arbelos aus Beispiel 47 wurde bereits die gemeinsame Tangente g im Punkt C an die
Halbkreise k1 und k2 eingeführt. Sei D ihr Schnittpunkt mit dem großen Halbkreis k. Die
Halbkreise k1 und k2 haben neben g eine zweite gemeinsame Tangente h. Sie berührt k1
im Punkt U und k2 im Punkt V . Man zeige, dass |U V | = |CD| gilt (Pythagoras). Ist S
der Schnittpunkt der Tangenten ℓ(C, D) und ℓ(U, V ), dann gilt |SU | = |SC| = |SV | = |SD|.
Weiters liegen die Punkte A, U und D auf einer Gerade (△ M1 U S und △ M1 CS sind kongruent,
△ M1 CS und △ ACD sind ähnlich, △ AM1 U ist gleichschenkelig), ebenso die Punkte B, V
und D.
Zum Satz von Carnot
49. Sei ABCD ein Rechteck und P ein Punkt. Man zeige |P A|2 − |P B|2 + |P C|2 − |P D|2 = 0.
50. Man zeige, dass die Strecken AB und CD genau dann aufeinander senkrecht stehen, wenn
AC 2 − AD2 = BC 2 − BD2 gilt.
51. Sei △ ABC ein gleichseitiges Dreieck und P ein Punkt. Seien Pa , Pb und Pc die Fußpunkte
der Lote von P auf die Geraden ℓ(B, C), ℓ(A, C) und ℓ(A, B). Man zeige APc + BPa + CPb =
Pc B + Pa C + Pb A. Hinweis: Satz von Carnot, gleichseitiges Dreieck!
52. Sei △ ABC ein Dreieck mit Seitenmitten Ma , Mb und Mc . Sei P ein Punkt. Seien Pa , Pb und
Pc die Fußpunkte der Lote von P auf die Geraden ℓ(B, C), ℓ(A, C) und ℓ(A, B). Sei Qa der
an Ma gespiegelte Punkt Pa und ga die Senkrechte auf ℓ(B, C) durch Qa . Sei Qb der an Mb
gespiegelte Punkt Pb und gb die Senkrechte auf ℓ(A, C) durch Qb . Sei Qc der an Mc gespiegelte
Punkt Pc und gc die Senkrechte auf ℓ(A, B) durch Qc . Dann schneiden die Geraden ga , gb und
gc einander in einem Punkt.
53. Sei △ ABC ein Dreieck und D, E und F beliebige Punkte. Die Senkrechte durch D auf ℓ(A, B),
die Senkrechte durch E auf ℓ(B, C) und die Senkrechte durch F auf ℓ(C, A) schneiden einander
in einem Punkt genau dann, wenn |AD|2 − |DB|2 + |BE|2 − |EC|2 + |CF |2 − |F A|2 = 0 gilt.
Hinweis: Sei D∗ der Fußpunkt des Lots von D auf ℓ(A, B). Dann gilt |AD∗ |2 − |D∗ B|2 =
|AD|2 − |DB|2 .
D. Dreieck
Schwerlinie, Streckensymmetrale, Winkelsymmetrale
54. Ein beliebiges Dreieck wird durch die Schwerlinien in sechs flächengleiche Teile geteilt. Hinweis:
Man suche Dreiecke mit gleich langer Basis und gemeinsamer Höhe.
55. Sei △ ABC ein Dreieck und M der Mittelpunkt der Seite AB. Sei P ein beliebiger Punkt auf
CQ
der Schwerlinie CM . Sei Q der Schnittpunkt von ℓ(B, P ) und ℓ(A, C). Dann gilt PCP
M = 2 QA .
Hinweis: Parallele durch M zu ℓ(B, P ). Strahlensatz.
56. Zwei Kreise berühren einander von außen im Punkt P . Eine gemeinsame Tangente berührt
den einen Kreis im Punkt U , den anderen im Punkt V . Man zeige ] U P V = 900 . Hinweis:
Welche Dreiecke sind gleichschenkelig?
57. Man zeige: Die sechs Symmetrieebenen der Kanten eines unregelmäßigen Tetraeders schneiden
einander in einem Punkt (Mittelpunkt der Umkugel).
58. In einem Viereck bezeichnen wir die Ecken der Reihe nach mit A, B, C und D. Man zeige,
dass für ein Tangentenviereck |AB| + |CD| = |BC| + |DA| gilt. Ein Tangentenviereck ist ein
Viereck, das einen Inkreis hat.
59. Sei △ ABC ein Dreieck mit Winkeln α, β und γ. Man drücke den Winkel, den die Winkelsymmetralen durch die Eckpunkte B und C miteinander bilden, durch α, β und γ aus.
60. Sei △ ABC ein beliebiges Dreieck, I der Inkreismittelpunkt und Ia , Ib und Ic die Ankreismittelpunkte. Man drücke die Winkel des Dreiecks △ Ia Ib I durch α, β und γ aus. Hinweis:
Beispiel 59. Die innere und äußere Winkelsymmetrale durch einen Eckpunkt stehen senkrecht
aufeinander.
61. Sei △ ABC ein beliebiges Dreieck und Ia , Ib und Ic die Ankreismittelpunkte. Man drücke die
Winkel des Dreiecks △ Ia Ib Ic durch α, β und γ aus.
62. Sei △ ABC ein Dreieck. Seien U und V die Fußpunkte der Lote von C auf die Symmetralen
der Innenwinkel bei A und bei B. Seien P und Q die Fußpunkte der Lote von C auf die
Symmetralen der Außenwinkel bei A und bei B. Dann liegen die vier Punkte P , Q, U und
V auf einer Gerade. Auch die Mittelpunkte der Seiten AC und BC liegen auf dieser Gerade.
Hinweis: Es helfen Rechtecke und deren Diagonalen.
63. Seien A und B Punkte auf einem Kreis k. Wir nehmen an, dass die Tangenten in den Punkten A
und B an den Kreis k einander im Punkt C schneiden. Man zeige, dass der Inkreismittelpunkt
des Dreiecks △ ABC auf k liegt.
Besondere Punkte mit Ceva und Carnot
64. Sei △ ABC ein Dreieck und D der Schnittpunkt der Symmetrale eines Außenwinkels bei C mit
|AC|
AD
ℓ(A, B). Man zeige, dass DB
= − |BC|
gilt. Hinweis: Die Parallele zu AC durch B schneidet
die Symmetrale des Außenwinkels in einem Punkt E. Man wende den Strahlensatz an und
zeige |BE| = |BC|.
65. Sei D der Schnittpunkt der Symmetrale eines Außenwinkels bei C mit ℓ(A, B). Sei E der
Schnittpunkt der Symmetrale eines Außenwinkels bei A mit ℓ(B, C). Sei F der Schnittpunkt
der Symmetrale eines Außenwinkels bei B mit ℓ(A, C). Dann liegen die Punkte D, E und F
auf einer Gerade. Hinweis: Beispiel 64 und Beispiel 24.
66. Seien Qa , Qb und Qc die Punkte, in denen ein Ankreis eines Dreiecks △ ABC die (Verlängerungen der) drei Dreiecksseiten berührt. Man zeige mit Hilfe der Umkehrung des Satzes
von Ceva, dass die drei Geraden ℓ(A, Qa ), ℓ(B, Qb ) und ℓ(C, Qc ) einander in einem Punkt
schneiden. Hinweis: |AQb | = |AQc |, |BQa | = |BQc | und |CQa | = |CQb |.
Zentrische Streckung, Eulergerade
67. Sei △ ABC ein Dreieck mit Höhenschnittpunkt H und Umkreismittelpunkt U . Seien Ma , Mb
und Mc die Seitenmittelpunkte. Man zeige |U Mc | = 12 |CH| (natürlich gilt auch |U Ma | =
1
1
2 |AH| und |U Mb | = 2 |BH|). Hinweis: Zentrische Streckung mit dem Schwerpunkt als Zentrum und mit Faktor − 12 .
68. Sei ABCD ein Parallelogramm. Sei P ein Punkt auf der Diagonale AC. Weiters seien E auf
AB und G auf CD so gewählt, dass E, P und G auf einer Gerade liegen. Ebenso seien F auf
BC und H auf AD so gewählt, dass F , P und H auf einer Gerade liegen. Man zeige, dass EH
und F G parallel sind. Hinweis: Strahlensatz und zentrische Streckung mit Zentrum P .
69. Sei △ ABC ein beliebiges Dreieck mit Inkreismittelpunkt I und Umkreismittelpunkt U . Man
zeige, dass I der Höhenschnittpunkt und U der Mittelpunkt des Neunpunktkreises für das
Dreieck △ Ia Ib Ic sind. Weiters zeige man, dass U der Mittelpunkt der Strecke IV ist, wobei
V der Umkreismittelpunkt des Dreiecks △ Ia Ib Ic ist. Hinweis: Eulergerade für △ Ia Ib Ic .
E. Peripheriewinkelsatz
Umkreis, Höhen, Winkelsymmetralen
70. In einem Viereck bezeichnen wir die Winkel der Reihe nach mit α, β, γ und δ. Ein Sehnenviereck ist ein Viereck, dessen vier Eckpunkte auf einem Kreis liegen. Man zeige, dass ein
Viereck genau dann ein Sehnenviereck ist, wenn α + γ = 1800 gilt. (Es gilt dann auch
β + δ = 1800 , da die Winkelsumme im Viereck ja 3600 ist.)
71. Sei △ ABC ein Dreieck und U der Umkreismittelpunkt. Man bestimme die Winkel in den
Dreiecken △ ABU , △ BCU und △ ACU .
72. Seien Ma , Mb und Mc die Seitenmitten und Ha , Hb und Hc die Höhenfußpunkte eines Dreiecks
△ ABC. Seien a, b und c die Seitenlängen, U der Umkreismittelpunkt und r der Umkreisradius.
c|
a|
a|
c|
a|
b|
b|
b|
= |AH
= |U M
. Analog gilt |BH
= |BH
= |U M
und |CH
= |CH
=
Man zeige |AH
c
b
r
c
a
r
b
a
|U Mc |
. Hinweis: Die Dreiecke △ ABHb , △ ACHc und △ U Ma B sind ähnlich.
r
73. Sei △ ABC ein Dreieck. Ein Kreis, der durch A und B läuft, schneide die Seite AC im Punkt
F und die Seite BC im Punkt E. Man bestimme die Winkel im Dreieck △ F EC. Sei V der
Umkreismittelpunkt des Dreiecks △ F EC. Man zeige, dass ℓ(C, V ) senkrecht auf ℓ(A, B) steht.
74. Sei △ ABC ein Dreieck mit α ̸= β. Sei Wc der Schnittpunkt der Winkelsymmetrale durch C
mit der Seite AB. Sei P der Schnittpunkt der Gerade ℓ(A, B) mit der Tangente im Punkt C
an den Umkreis. Man zeige |P C| = |P Wc |. Hinweis: Tangentenwinkelsatz.
75. In einem spitzwinkeligen Dreieck △ ABC sei D der Fußpunkt der Höhe durch C, E der
Fußpunkt der Höhe durch A und F der Fußpunkt der Höhe durch B. Man zeige ] BED =
] CEF = α, ] AF D = ] CF E = β und ] ADF = ] BDE = γ. Hinweis: Die Punkte D und
E liegen auf dem Kreis mit Durchmesser AC.
76. Sei △ ABC ein spitzwinkeliges Dreieck und H der Höhenschnittpunkt. Das Dreieck, dessen
Ecken die Höhenfußpunkte sind, heißt Höhenfußpunktdreieck. Mit Hilfe von Beispiel 75 zeige
man, dass H der Inkreismittelpunkt des Höhenfußpunktdreiecks ist.
77. Sei △ ABC ein spitzwinkeliges Dreieck. Das Dreieck, dessen Ecken die Höhenfußpunkte sind,
heißt Höhenfußpunktdreieck. Das Dreieck, dessen Seiten die Tangenten an den Umkreis in den
Punkten A, B und C sind, heißt Tangentendreieck. Man zeige, dass die einander entsprechenden Seiten des Höhenfußpunktdreiecks und des Tangentendreiecks zueinander parallel liegen.
Hinweis: Tangentenwinkelsatz, Beispiel 75.
78. Sei △ ABC ein Dreieck, E ein Punkt auf BC und F einer auf AC. Sei w̃γ die Gerade durch
C, die die beiden Außenwinkel bei C halbiert. Sei N der Schnittpunkt ̸= C von w̃γ mit dem
Umkreis von △ BCF und M der Schnittpunkt ̸= C von w̃γ mit dem Umkreis von △ ACE.
Dann sind die Dreiecke △ AEM und △ BF N gleichschenkelig und zueinander ähnlich. (Thebault) Hinweis: Drücke die Winkel der Dreiecke △ AEM und △ BF N mit Hilfe des Peripheriewinkelsatzes durch γ aus.
79. Zum Südpolsatz: Man zeige, dass der Eckpunkt A und der Ankreismittelpunkt Ic gleichen
Abstand vom Südpol P haben. Hinweis: Man zeige, dass das Dreieck △AP Ic gleichschenkelig
ist. Die innere und äußere Winkelsymmetrale durch A stehen aufeinander senkrecht.
80. Sei △ ABC ein Dreieck mit Ankreismittelpunkten Ia und Ib . Sei Q der Schnittpunkt ̸= C der
äußeren Winkelsymmetrale durch den Eckpunkt C mit dem Umkreis. Dann hat Q gleichen
Abstand zu den vier Punkten A, B, Ia und Ib . (Nordpolsatz) Hinweis: Vorgangsweise analog
zum Beweis des Südpolsatzes.
81. Es sei I der Inkreismittelpunkt eines Dreiecks △ ABC und k ein Kreis durch die Punkte A und
B. Dieser Kreis schneide die Gerade ℓ(A, I) in den Punkten A und P , die Gerade ℓ(B, I) in
den Punkten B und Q, die Gerade ℓ(A, C) in den Punkten A und R und die Gerade ℓ(B, C) in
den Punkten B und S, wobei die Punkte A, B, P , Q, R und S paarweise verschieden sind und
R beziehungsweise S im Innern der Strecken AC und BC liegen. Man zeige, dass die Geraden
ℓ(P, S), ℓ(Q, R) und ℓ(C, I) einander in einem Punkt schneiden. (ÖMO 2015) Hinweis: Winkel
bei den Punkten R und S berechnen.
Kreise
82. Seien A, B, C und D vier Punkte und P der Schnittpunkt der Geraden ℓ(A, B) und ℓ(C, D),
wobei diese fünf Punkte alle voneinader verschieden seien. Wenn P A·P B = P C ·P D gilt, dann
liegen die vier Punkte A, B, C und D auf einem Kreis. (Umkehrung des Sehen-Sekantensatzes)
Hinweis: Die Dreiecke △ P AC und △ P DB sind ähnlich, Peripheriewinkelsatz. Oder: Vorgangsweise wie bei der Umkehrung des Strahlensatzes.
83. Sei AB eine Strecke und C ein Punkt auf AB. Sei k1 der Kreis mit Durchmesser AC und k2
der Kreis mit Durchmesser CB (sie berühren einander in C). Sei g eine gemeinsame Tangente
der beiden Kreise, jedoch nicht die durch C. Sie berührt k1 im Punkt P und k2 im Punkt Q.
Man zeige, dass die Punkte A, P , Q und B auf einem Kreis liegen. Hinweis: Wir bezeichnen
] BAP mit α. Man drücke die Winkel des Vierecks AP QB durch α aus.
84. Der Kreis k1 mit Mittelpunkt M und der Kreis k2 mit Mittelpunkt N schneiden einander
in den Punkten P und Q. Die Gerade g durch M und P schneide k2 im Punkt U und die
Gerade h durch N und P schneide k1 im Punkt V , wobei U und V ungleich P sind. Man
zeige, dass die Punkte M , V , U , N und Q auf einem Kreis liegen. Hinweis: Die Dreiecke
△ M N P und △ M N Q sind sind zueinander kongruent. Die Dreiecke △ U N P und △ V M P
sind gleichschenkelig.
85. Seien k1 und k2 zwei Kreise, die einander in den Punkten A und B schneiden. Sei g eine Gerade
durch A und h eine durch B, jedoch sei keine der Geraden eine Tangente an einen der Kreise.
Seien G1 und G2 die Schnittpunkte ̸= A der Gerade g mit k1 und k2 . Seien H1 und H2 die
Schnittpunkte ̸= B der Gerade h mit k1 und k2 . Man zeige, dass die Strecke G1 H1 parallel
zur Strecke G2 H2 liegt.
86. Sei △ ABC ein Dreieck mit Seitenlängen a, b und c. Auf den Verlängerungen der Seiten AC
und BC tragen wir von C aus nach außen die Strecke der Länge c ab und erhalten so die Punkte
Ca und Cb . Auf den Verlängerungen der Seiten BA und CA tragen wir von A aus nach außen
die Strecke der Länge a ab und erhalten so die Punkte Ab und Ac . Auf den Verlängerungen der
Seiten AB und CB tragen wir von B aus nach außen die Strecke der Länge b ab und erhalten
so die Punkte Ba und Bc . Man zeige, dass die Punkte Ab , Ac , Ba , Bc , Ca und Cb auf einem
Kreis liegen. (Satz von Conway) Hinweis: Gleichschenkelige Dreiecke helfen beim Bestimmen
der Winkel.
87. Sei ABCD ein Sehnenviereck mit Umkreis k. Seien kAB , kBC , kCD und kDA die Bögen, in die
k durch die Punkte A, B, C und D geteilt wird. Sei P der Mittelpunkt von kAB , Q der von
kBC , R der von kCD und S der von kDA . Man zeige, dass ℓ(P, R) senkrecht auf ℓ(Q, S) steht.
88. Sei △ ABC ein Dreieck mit |AC| = |BC|. Wir wählen zwei Punkte U und V auf der Seite AB.
Seien P und Q die Schnittpunkte der Geraden ℓ(C, U ) und ℓ(C, V ) mit dem Umkreis. Man
zeige, dass die vier Punkte P , Q, U und V auf einem Kreis liegen.
89. Zwei Kreise k1 und k2 schneiden einander in den Punkten P und Q. Seien g und h zwei
Gerade durch P , sodass ℓ(P, Q) den Winkel zwischen g und h halbiert. Seien G1 und G2 die
Schnittpunkte ̸= P von g mit k1 und k2 . Seien H1 und H2 die Schnittpunkte ̸= P von h mit k1
und k2 . Dann sind die beiden Dreiecke △ QG1 G2 und △ QH1 H2 kongruent. Hinweis: Haben
zwei Sehnen in einem Kreis gleiche Peripheriewinkel, dann sind sie gleich lang.
90. Der Kreis k1 mit Mittelpunkt M und der Kreis k2 mit Mittelpunkt N schneiden einander in
den Punkten P und Q. Eine Gerade g durch P schneidet k1 im Punkt A und k2 im Punkt B,
wobei A und B ungleich P sind. Sei R der Schnittpunkt der Geraden ℓ(A, M ) und ℓ(B, N ).
Man zeige, dass M , R, Q und N auf einem Kreis liegen und ebenso A, R, Q und B. Hinweis:
Sei ] P M Q = 2α, ] P N Q = 2β und ] AP Q = γ. Damit berechne man die anderen Winkel.
Man erhält ] M QN = ] M RN = ] ARB = ] AQB = 1800 − α − β.
Lote
91. Sei △ ABC ein Dreieck mit Höhenschnittpunkt H. Sei F der Fußpunkt der Höhe durch C
und M der Mittelpunkt der Seite AB. Sei K der Mittelpunkt der Höhe durch A und L der
Mittelpunkt der Höhe durch B. Dann liegen die fünf Punkte F , M , K, H und L auf einem
Kreis. Hinweis: Strahlensatz und Satz von Thales.
92. Sei △ ABC ein Dreieck und F der Fußpunkt der Höhe durch C. Seien P und Q die Fußpunkte
der Lote von F auf die Seiten AC und BC. Sei g eine Parallele zur Seite AB und U und V
ihre Schnittpunkte mit ℓ(B, C) und ℓ(A, C). Dann liegen die vier Punkte P , Q, U und V auf
einem Kreis.
93. Sei △ ABC ein Dreieck, H der Fußpunkt der Höhe durch C und M der Mittelpunkt der Seite
AB. Seien F und G die Fußpunkte der Lote von A und von B auf die Winkelsymmetrale wγ .
Dann liegen die vier Punkte H, F , M und G auf einem Kreis. Hinweis: Bestimme ] GF H
(Peripheriewinkelsatz) und ] GM H (ist D der Schnittpunkt von ℓ(B, G) und ℓ(A, C), dann
gilt |BG| = |DG| und M G ∥ AC).
94. Sei △ ABC ein Dreieck und F der Fußpunkt der Höhe durch C. Seien P und Q die Fußpunkte
der Lote von F auf die Seiten AC und BC. Seien U und V die Fußpunkte der Lote von F
auf die Höhen durch A und durch B. Dann liegen die vier Punkte P , Q, U und V auf einer
Gerade. Hinweis: Zeige ] F P Q = ] F P U .
95. Sei △ ABC ein Dreieck und Mb und Mc die Mittelpunkte der Seiten AC und AB. Sei P der
Fußpunkt des Lots von A auf die Symmetrale des Innenwinkels bei B. Sei Q der Fußpunkt
des Lots von A auf die Symmetrale des Innenwinkels bei C. Dann liegen die vier Punkte Mb ,
Mc , P und Q auf einer Gerade. Hinweis: Zeige ] AMc Mb = β und ] AMc P = β (Satz von
Thales).
96. Sei △ ABC ein Dreieck und F und G die Punkte, in denen der Inkreis die Seiten AC und
BC berührt. Sei P der Fußpunkt des Lots von A auf die Symmetrale des Innenwinkels bei B.
Sei Q der Fußpunkt des Lots von B auf die Symmetrale des Innenwinkels bei A. Dann liegen
die vier Punkte F , G, P und Q auf einer Gerade. Hinweis: Zeige ] AF P = 21 (α + β) und
] GF C = 900 − 12 γ.
97. Sei △ ABC ein spitzwinkeliges Dreieck und Wc der Schnittpunkt der Winkelsymmetrale durch
C mit der Seite AB. Seien Pa und Pb die Fußpunkte der Lote von Wc auf ℓ(B, C) und ℓ(A, C).
Weiters sei F der Fußpunkt der Höhe durch C. Dann gilt ] Pa F C = ] Pb F C.
98. Sei ABCD ein Viereck, dessen Diagonalen senkrecht aufeinander stehen. Sei U der Schnittpunkt der Diagonalen und P , Q, R und S die Fußpunkte der Lote von U auf ℓ(A, B), ℓ(B, C),
ℓ(C, D) und ℓ(D, A). Man zeige, dass die Punkte P , Q, R und S auf einem Kreis liegen.
99. Sei ABCD ein Viereck. Seien A∗ und B ∗ die Fußpunkte der Lote von den Eckpunkten A und
B auf die Gerade ℓ(C, D). Seien C ∗ und D∗ die Fußpunkte der Lote von den Eckpunkten C
und D auf die Gerade ℓ(A, B). Dann hat das Viereck A∗ B ∗ C ∗ D∗ dieselben Winkel wie das
Viereck ABCD.
100. Sei ABCD ein Viereck. Seien A∗ und C ∗ die Fußpunkte der Lote von den Eckpunkten A und
C auf die Gerade ℓ(B, D). Seien B ∗ und D∗ die Fußpunkte der Lote von den Eckpunkten B
und D auf die Gerade ℓ(A, C). Dann hat das Viereck A∗ B ∗ C ∗ D∗ dieselben Winkel wie das
Viereck ABCD.
F. Inkreis, Ankreise, Fläche
Gleichungen und Ungleichungen
101. Für jedes Dreieck gilt F 2 = ϱϱa ϱb ϱc , wobei ϱ der Inkreisradius und ϱa , ϱb und ϱc die Ankreisradien sind.
102. Für jedes Dreieck gilt ϱ1a + ϱ1b + ϱ1c = ϱ1 .
103. Für jedes Dreieck gilt ϱa ϱb + ϱa ϱc + ϱb ϱc = s2 , wobei s der halbe Umfang ist.
104. Für jedes Dreieck gilt ϱa + ϱb + ϱc − ϱ = 4r, wobei r der Umkreisradius ist.
105. Seien a, b und c die Längen der Seiten eines Dreiecks. Dann gilt abc ≥ 8(s − a)(s − b)(s − c),
wobei s = 21 (a + b + c) ist (Schur-Ungleichung). Hinweis: Sei x = s − a, y = s − b und z = s − c.
√
Daraus werden a, b und c berechnet. Es gilt x + y ≥ 2 xy, . . .
106. Sei r der Umkreisradius und ϱ der Inkreisradius
√ eines Dreiecks. Dann gilt r ≥ 2ϱ (Ungleichung
F
abc
von Euler). Hinweis: r = 4F , ϱ = s , F = s(s − a)(s − b)(s − c), Beispiel 105.
107. Sei r der Umkreisradius und ϱc ein Ankreisradius. Man zeige ϱc < 4r. Hinweis: r = abc
4F ,
F
2
ϱc = s−c , Heronformel, c = 2s − a − b. Es gilt s − a − b < 0 und s − ab > 0 wegen s > a und
s > b.
1
108. Sei F die Fläche und s der halbe Umfang eines Dreiecks. Dann gilt F ≤ 3√
s2 . Gleichheit
3
gilt nur, wenn das Dreieck gleichseitig ist. Hinweis: geometrisch-arithmetische Ungleichung:
(xyz)1/3 ≤ 13 (x + y + z) mit x = s − a, y = s − b und z = s − c.
109. Für die Ankreisradien und die Höhen eines Dreiecks gilt ϱ1a + ϱ1b + ϱ1c = h1a + h1b + h1c .
110. Seien Ma , Mb und Mc die Seitenmitten eines Dreiecks △ ABC. Sei ϱ der Inkreisradius,
U der Umkreismittelpunkt und r der Umkreisradius. Ist △ ABC spitzwinkelig, dann gilt
|U Ma | + |U Mb | + |U Mc | = r + ϱ. Für ein stumpfwinkeliges Dreieck ist einer der links stehenden Summanden mit einem Minuszeichen zu versehen. (Satz von Carnot) Hinweis: Wir
multiplizieren die zu beweisende Gleichung mit a + b + c. Es gilt ϱ(a + b + c) = 2F =
|U Ma |a + |U Mb |b + |U Mc |c. Jetzt Beispiel 72.
111. Sei I der Mittelpunkt und ϱ der Radius des Inkreises eines Dreiecks. Weiters sei Ia der Mittelpunkt und ϱa der Radius des Ankreises an die Seite BC. Die Punkte, in denen diese beiden
Kreise die (Verlängerung der) Seite AB berühren, bezeichnen wir mit P und Pa . Man zeige,
ϱ
dass die Dreiecke △IP B und △BPa Ia zueinander ähnlich sind. Man schließe, dass s−b
= s−c
ϱa
gilt. Hinweis: Bei den Berührpunkten haben die Dreiecke rechte Winkel. Die innere und äußere
Winkelsymmetrale im Punkt B stehen senkrecht aufeinander.
ϱ
F
112. Es gilt ϱ = Fs und ϱa = s−a
. Nach Beispiel 111 gilt s−b
= s−c
ϱa . Man eliminiere ϱ und ϱa aus
diesen Gleichungen und berechne dadurch F . Das gibt einen anderen Beweis der Heronschen
Flächenformel.
Weitere besondere Punkte
113. Sei k der Inkreis und ka , kb und kc die drei Ankreise eines Dreiecks △ ABC. Sei Ta der Punkt,
in dem kb die Verlängerung der Seite BC berührt, und Tb der Punkt, in dem ka die Verlängerung der Seite AC berührt. Weiters sei Tc der Punkt, in dem k die Seite AB berührt. Mit
Hilfe von der Umkehrung des Satzes von Ceva zeige man, dass die die drei Geraden ℓ(A, Ta ),
ℓ(B, Tb ) und ℓ(C, Tc ) einander in einem Punkt schneiden.
114. Seien Ia , Ib und Ic die Ankreismittelpunkte. Mit Hilfe der Umkehrung des Satzes von Carnot
zeige man, dass die Senkrechte durch Ia auf ℓ(B, C), die Senkrechte durch Ib auf ℓ(A, C) und
die Senkrechte durch Ic auf ℓ(A, B) einander in einem Punkt V (Bevanpunkt) schneiden.
115. Sei V wie in Beispiel 114. Durch Berechnen geeigneter Winkel zeige man, dass Ia , Ib und Ic
den gleichen Abstand von V haben.
116. Seien I der Inkreismittelpunkt und Ia , Ib und Ic die Ankreismittelpunkte. Mit Hilfe der
Umkehrung des Satzes von Carnot zeige man, dass die Senkrechte durch I auf ℓ(A, B), die
Senkrechte durch Ib auf ℓ(B, C) und die Senkrechte durch Ia auf ℓ(A, C) einander in einem
Punkt W schneiden.
117. Sei W wie in Beispiel 116. Durch Berechnen geeigneter Winkel zeige man, dass I, Ia und Ib
den gleichen Abstand von W haben.
II. Trigonometrie
G. Dreieck
Gleichungen und Ungleichungen
118. Für die Winkel α, β und γ eines Dreiecks gilt tan α + tan β + tan γ = tan α tan β tan γ und
cot α2 +cot β2 +cot γ2 = cot α2 cot β2 cot γ2 . Hinweis: tan(1800 −φ) = − tan φ, cot(900 −φ) = tan φ
tan α+tan β
und tan(α + β) = 1−tan
α tan β .
119. Für die Winkel eines Dreiecks gilt cos α+cos β +cos γ ≤ 23 . Hinweis: Cosinussatz, Beispiel 105.
120. Für ein beliebiges Dreieck zeige man F = 2r2 sin α sin β sin γ.
α−β
α−β
α+β
121. Man zeige sin α + sin β = 2 sin α+β
2 cos 2 und sin α − sin β = 2 sin 2 cos 2 . Hinweis: Sei
φ = α+β
und ψ = α−β
2
2 . Dann gilt α = φ + ψ und β = φ − ψ. Summensatz.
α+β
a−b
122. Für ein beliebiges Dreieck gilt tan α−β
(Tangenssatz). Weitere Formeln erhält
2 = a+b tan 2
sin α−sin β
man durch zyklisches Vertauschen. Hinweis: Aus dem Sinussatz ergibt sich a−b
a+b = sin α+sin β .
Dann Beispiel 121.
√
√
(s−b)(s−c)
s(s−a)
und cos α2 =
123. Für ein beliebiges Dreieck gilt sin α2 =
bc
bc . Weitere Formeln
α
α
erhält man durch zyklisches Vertauschen. Hinweis: sin2 α2 = 1−cos
und cos2 α2 = 1+cos
.
2
2
Jetzt Cosinussatz.
124. Für ein beliebiges Dreieck gilt (b + c) sin α2 = a cos β−γ
und (b − c) cos α2 = a sin β−γ
(Moll2
2
weidsche Formeln). Weitere Formeln erhält man durch zyklisches Vertauschen. Hinweis: Sumβ−γ
mensatz für cos β−γ
2 und sin 2 . Dann Beispiel 123.
125. In jedem Dreieck gilt s = 4r cos α2 cos β2 cos γ2 und s − a = 4r cos α2 sin β2 sin γ2 . Hinweis: r = abc
4F ,
Beispiel 123, Heronsche Flächenformel.
126. Für ein beliebiges Dreieck zeige man ϱ = 4r sin α2 sin β2 sin γ2 .
Sätze über das Dreieck
127. Sei △ ABC ein Dreieck und D der Schnittpunkt der Winkelsymmetrale durch C mit der Seite
|AD|
|AC|
AB. Mit Hilfe des Sinussatzes zeige man |DB|
= |BC|
. Hinweis: Es gilt sin φ = sin(1800 − φ).
128. Sei △ ABC ein Dreieck und M und N Punkte auf der Seite AB, sodass die Winkel ] ACM
|AC|2
AM ·AN
und ] BCN gleich sind. Mit Hilfe des Sinussatzes zeige man BM
·BN = |BC|2 .
129. Auf den Seiten eines Dreiecks △ ABC werden außen Dreiecke △ BCA1 , △ CAB1 und △ ABC1
aufgesetzt, sodass der Winkel bei A gleich φ, der bei B gleich ψ und der bei C gleich χ
ist. Wir nehmen an, dass diese Winkel zwischen 00 und 900 liegen. Man zeige, dass die
drei Geraden ℓ(A, A1 ), ℓ(B, B1 ) und ℓ(C, C1 ) einander in einem Punkt schneiden. Hinweis:
Sei A2 der Schnittpunkt von ℓ(B, C) und ℓ(A, A1 ). Analog seien B2 und C2 definiert. Es
AC2 BA2 CB2
= 1 zu zeigen. Durch mehrmaliges Anwenden des Sinussatzes zeige man
genügt C
2 B A2 C B2 A
BA2
A2 C
=
|AB| sin χ sin(β+ψ)
|AC| sin ψ sin(γ+χ) .
Dreidimensionale Körper
130. Man bestimme den Winkel zwischen der Diagonale und einer Kante eines Würfels.
131. Man bestimme den Winkel zwischen zwei Seitenflächen eines regelmäßigen Tetraeders.
Ebene Figuren
132. Sei ABCD ein Quadrat mit Seitenlänge 1. Über der Seite AB wird im Innern des Quadrats ein
gleichschenkeliges Dreieck mit Basiswinkel 150 errichtet. Seine Spitze sei P . Man zeige, dass
das Dreieck △ CDP gleichseitig ist. Hinweis: Man berechne |CP | mit Hilfe des Cosinussatzes.
133. Es seien a = 4, b = 5 und c = 6 die Längen der Seiten eines Dreiecks. Dann gilt γ = 2α.
134. In einem Dreieck gelte α = 2β. Man zeige, dass dann auch a2 = b2 + bc gilt. Hinweis: Alle
drei Winkel lassen sich durch β ausdrücken. Der Sinussatz liefert zwei Gleichungen, aus denen
man β eliminiert. (sin 2β = 2 sin β cos β, sin 3β = 3 sin β cos2 β − sin3 β)
135. In einem Dreieck gelte α = β + 900 . Man zeige, dass dann auch c2 (a2 + b2 ) = (a2 − b2 )2
gilt. Hinweis: Alle drei Winkel lassen sich durch β ausdrücken. Der Sinussatz liefert zwei
Gleichungen, aus denen man β eliminiert. (sin(900 ± β) = cos β, cos 2β = cos2 β − sin2 β)
136. Seien A, B, C und D aufeinanderfolgende Eckpunkte eines regelmäßigen Siebenecks. Sei P der
Schnittpunkt der Geraden ℓ(A, C) und ℓ(B, D). Dann gilt |AB| + |AP | = |AD|. Hinweis: Sei
0
φ = 180
7 . Die in den Dreiecken mit Eckpunkten P , A, B, C und D auftretenden Winkel sind
Vielfache von φ.
137. Sei k ein Halbkreis mit Durchmesser P Q und g die Tangente im Punkt Q. Seien A und
B Punkte auf k und C der Schnittpunkt der Tangenten in den Punkten A und B. Sei U
der Schnittpunkt von ℓ(P, A) mit g, sei V der Schnittpunkt von ℓ(P, B) mit g und sei W
der Schnittpunkt von ℓ(P, C) mit g. Man zeige |U W | = |V W |. Hinweis: Wir können als
Halbkreis den Einheitskreis im Koordinatensystem oberhalb der x-Achse wählen. Dann gilt
A = (cos α, sin α) und B = (cos β, sin β) mit 00 < α < β < 1800 .
138. Satz von Napoleon: Auf die Seiten eines Dreiecks △ ABC mit Seitenlängen a, b und c werden außen gleichschenkelige Dreiecke mit Basiswinkel 300 aufgesetzt.
Spitzen D, E und F
√ 2 Die
b
c2
bc
bc
√
dieser Dreiecke bilden ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge
3 + 3 − 3 cos α + 3 sin α.
Setzt man die gleichschenkeligen Dreiecke √
innen auf, so bilden deren Spitzen U , V und W
b2
c2
bc
bc
√
ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge
3 + 3 − 3 cos α − 3 sin α. Man zeige, dass
#ABC = #DEF − #U V W gilt.
139. Sei △ ABC ein gleichseitiges Dreieck. Sei P ein Punkt auf dem Bogen des Umkreises zwischen A und B. Dann gilt |P C| = |P A| + |P B|. (Satz von Pompeiu) Hinweis: Sei U der
Umkreismittelpunkt und r der Umkreisradius: |U P | = |U A| = |U B| = |U C| = r.
H. Viereck
Sehnenviereck
140. Seien a, b, c und d die Längen der Seiten eines Sehnenvierecks und α der von den Seiten a
2
2
−c2 −d2
und b eingeschlossene Winkel. Man zeige, dass cos α = a +b
gilt. Hinweis: Der von den
2ab+2cd
0
Seiten c und d eingeschlossene Winkel beträgt 180 − α. Es gilt cos(1800 − α) = − cos α. Sei
e die Längen der Diagonale, die das Viereck in zwei Dreiecke teilt, eines mit Seitenlängen a, b
und e, das andere mit Seitenlängen c, d und e. Man wende den Cosinussatz auf diese beiden
Dreiecke an.
141. Seien a, b, c und d die Längen der Seiten eines Sehnenvierecks und e die Länge der Diagonale,
die das Viereck so teilt, dass auf einer Seite a und b, auf der anderen Seite c und d liegen. Man
zeige e2 = (ac+bd)(ad+bc)
. Hinweis: Cosinussatz und Beispiel 140.
ab+cd
142. Seien a, b, c und d die Längen der Seiten eines Sehnenvierecks und e und f die der Diagonalen.
Mit Hilfe von Beispiel 141 zeige man ef = ac + bd. (Satz von Ptolemäus)
143. Seien a, b, c und d die Längen der Seiten eines Sehnenvierecks und F seine Fläche. Man zeige,
dass dann 16F 2 = (2ab + 2cd)2 − (a2 + b2 − c2 − d2 )2 gilt. Hinweis: Sei β der von den Seiten
a und b eingeschlossene Winkel. Dann ist 1800 − β der von den Seiten c und d eingeschlossene
Winkel. Es gilt sin β = sin(1800 − β). Man erhält F als Summe zweier Dreiecksflächen. Dann
Beispiel 140.
144. Seien a, b, c und d die Längen der Seiten eines Sehnenvierecks mit Umkreisradius r und Fläche
F . Sei e die Länge der Diagonale, die das Viereck so teilt, dass auf einer Seite a und b, auf
e
der anderen Seite c und d liegen. Man zeige r = (ab+cd)e
. Hinweis: Man zeige sin β = 2r
mit
4F
Hilfe des Peripheriewinkelsatzes. Dann berechne man F als Summe zweier Dreiecksflächen wie
in Beispiel 143.
√
145. Mit Hilfe von Beispiel 143 zeige man, dass F = (s − a)(s − b)(s − c)(s − d) für die Fläche F
eines Sehnenvierecks mit Seitenlängen a, b, c und d gilt, wobei s = 21 (a + b + c + d) der halbe
Umfang ist. (Formel von Brahmagupta)
Andere Vierecke
146. Seien a und b die Längen der Seiten und e und f die Längen der Diagonalen eines Parallelogramms. Man zeige 2a2 + 2b2 = e2 + f 2 . Hinweis: Man berechne e und f mit Hilfe des
Cosinussatzes. Es gilt cos(1800 − α) = − cos α.
147. Sei ABCD ein Viereck. Man zeige, dass die Diagonalen AC und BD genau dann senkrecht
aufeinander stehen, wenn |AB|2 + |CD|2 = |BC|2 + |DA|2 gilt. Hinweis: Durch viermaliges
Anwenden des Cosinussatzes zeige man |AB|2 + |CD|2 − |BC|2 − |DA|2 = ±2|AC| · |BD| cos φ,
wobei φ ein Winkel ist, den die Diagonalen AC und BD einschließen (cos(1800 −φ) = − cos φ).
Stewarts Formel
148. Sei △ ABC ein Dreieck mit Seitenlängen a, b und c. Sei s die Länge der Schwerlinie durch den
2
2
2
Eckpunkt C. Man zeige mit Hilfe von Stewarts Formel, dass s2 = a2 + b2 − c4 gilt.
149. Sei △ ABC ein Dreieck mit Seitenlängen a, b und c, mit Umkreismittelpunkt U , Umkreisradius
r und Schwerpunkt S. Man zeige |U S|2 = r2 − 19 (a2 + b2 + c2 ). Hinweis: Sei M der Mittelpunkt
von AB und s = |CM | die Länge der Schwerlinie durch C. Man drücke |U S|2 durch s, r = |U C|
2
und |U M | aus (S teilt die Schwerlinie im Verhältnis 1:2). Pythagoras: |U M |2 = r2 − c4 .
150. Sei ABCD ein Viereck mit Seitenlängen a, b, c und d und Diagonallängen e und f . Sei M
der Mittelpunkt der Diagonale AC und N der der Diagonale BD. Sei p der Abstand dieser
Mittelpunkte. Man zeige a2 + b2 + c2 + d2 = e2 + f 2 + 4p2 . Hinweis: Beispiel 148 für △ ABD
mit Schwerlinie AN , für △ CBD mit Schwerlinie CN und für △ ACN mit Schwerlinie M N .
151. Man beweise den Sehnensatz mit Stewarts Formel.
I. Komplexen Zahlen
Rechenübungen
152. Man berechne (1 − i)3 , (1 + i)(1 − i)(2 + i), i71 ,
153. Man berechne (3 + 4i)−1 , 1−2i
√
√ 2+i
154. Man berechne 2 + i2 3
155. Man berechne die dritten Wurzeln aus i
√
156. Man berechne die vierten Wurzeln aus −8 + i8 3
157. Man löse in C: z 2 − (6 − 2i)z + 8 + 2i = 0
Eulerformel
158.
159.
160.
161.
162.
163.
164.
Man schreibe als Summe: cos2 α sin α, sin3 α cos 2α
Man schreibe sin4 α als Summe.
Für die Winkel eines Dreiecks gilt sin α + sin β + sin γ = 4 cos α2 cos β2 cos γ2 .
Für die Winkel eines Dreiecks gilt cos α + cos β + cos γ = 1 + 4 sin α2 sin β2 sin γ2
Für die Winkel eines Dreiecks gilt cos2 α + cos2 β + cos2 γ + 2 cos α cos β cos γ = 1
Für die Winkel eines Dreiecks gilt cot α cot β + cot β cot γ + cot γ cot α = 1
Gilt α + β + γ = 3600 , dann auch cos2 α + cos2 β + cos2 γ − 2 cos α cos β cos γ = 1.
165. Gilt α + β + γ = 900 , dann auch sin2 α + sin2 β + sin2 γ + 2 sin α sin β sin γ = 1
Betrag
166. Für eine komplexe Zahl z bezeichne ℜ(z) den Realteil von z (ist z = p + iq, dann ℜ(z) = p).
Für komplexe Zahlen w und z zeige man ℜ(w + z) = ℜ(w) + ℜ(z) und ℜ(z) ≤ |z|.
1
167. Seien w und z komplexe Zahlen und u = w+z
|w + z|. Mit Hilfe der Formel |z1 z2 | = |z1 | · |z2 |
zeige man |u| = 1. Es gilt |w + z| = (w + z)u = wu + zu = ℜ(wu + zu), da wu + zu eine
reelle Zahl ist. Mit Hilfe von Beispiel 166 zeige man |w + z| ≤ |w| + |z|. (Für w + z = 0 ist die
Ungleichung |w + z| ≤ |w| + |z| trivial.)
J. Geometrie mit komplexen Zahlen – Drehstreckungen
Quadrate - Drehung um 90 Grad
168. Über den Seiten AC und BC eines Dreiecks △ ABC errichten wir nach außen die Quadrate
ACC1 A1 und BB2 C2 C. (Die über C liegenden Punkte sind C1 und C2 .) Die Mittelpunkte
dieser Quadrate seien M1 und M2 . Sei D der Mittelpunkt der Strecke AB und E der der
Strecke C1 C2 . Man zeige, dass das Viereck DM2 EM1 ein Quadrat ist.
169. Sei ABCD ein konvexes Viereck. Über den Seiten AB und CD errichten wir nach außen
Quadrate ABKL und CDM N . Die Mittelpunkte der Strecken AC, BD, KM und N L bilden
ein Quadrat (wenn sie nicht zusammenfallen).
170. Sei A1 A2 A3 A4 ein Quadrat. An jeder Ecke dieses Quadrats wird ein beliebiges Quadrat
angehängt. Das sind die vier Quadrate A1 B1 C1 D1 , A2 B2 C2 D2 , A3 B3 C3 D3 und A4 B4 C4 D4 .
Die Ecken werden jeweils im Gegenuhrzeigersinn beschriftet. Sei M1 der Mittelpunkt der
Strecke D1 B2 , M2 der der Strecke D2 B3 , M3 der der Strecke D3 B4 und M4 der der Strecke
D4 B1 . Man zeige, dass die Strecken M1 M3 und M2 M4 gleich lang sind und senkrecht aufeinander stehen.
171. Über den Seiten eines Dreiecks △ ABC errichten wir nach außen die Quadrate ABB1 A1 ,
BCC2 B2 und CAA3 C3 . (Die über B liegenden Punkte sind B1 und B2 . Die über C liegenden
Punkte sind C2 und C3 .) Weiters bilden wir die Parallelogramme BB1 U B2 und CC2 V C3 .
Man zeige, dass das Dreieck △ U AV gleichschenkelig und rechtwinkelig ist.
Gleichseitige Dreiecke
172. Über den Seiten BC und AC eines Dreiecks △ ABC werden gleichseitige Dreiecke errichtet
(beide innen oder beide außen). Seien Sa und Sb ihre Spitzen und Ma und Mb die Mittelpunkte
der Strecken Sa C und Sb C. Weiters sei Mc der Mittelpunkt der Seite AB. Das Dreieck
△ Ma Mb Mc ist dann gleichseitig.
173. Über jeder Seite eines Dreiecks △ ABC wird nach außen und nach innen ein gleichseitiges
Dreieck errichtet. Die Spitzen der Dreiecke außen seien A1 , B1 und C1 . Die Spitzen der
Dreiecke innen seien A2 , B2 und C2 . Man zeige, dass der Mittelpunkt der Strecke AA1 gleich
dem Mittelpunkt der Strecke B2 C2 ist, und dass der Mittelpunkt der Strecke AA2 gleich dem
Mittelpunkt der Strecke B1 C1 ist.
Sei Ma der Mittelpunkt der Strecke B1 C1 , Mb der Mittelpunkt der Strecke A1 C1 und Mc der
Mittelpunkt der Strecke A1 B1 . Dann sind die Dreiecke △ Ma Mb C, △ Ma Mc B und △ Mb Mc A
gleichseitig. Die Mittelpunkte dieser drei Dreiecke bilden ebenfalls ein gleichseitiges Dreieck.
174. Über der Seite AB eines Quadrats ABCD wird im Innern des Quadrats ein gleichseitiges
Dreieck errichtet. Sei S seine Spitze. Seien Mc und Md die Mittelpunkte der Strecken SC
und SD. Weiters sei M der Mittelpunkt des Quadrats. Das Dreieck △ Mc Md M ist dann
gleichseitig.
175. Sei △ A1 A2 A3 ein gleichseitiges Dreieck. An jeder Ecke dieses Dreiecks wird ein beliebiges
gleichseitiges Dreieck angehängt. Das sind die drei Dreiecke A1 B1 C1 , A2 B2 C2 und A3 B3 C3 .
Die Ecken werden jeweils im Gegenuhrzeigersinn beschriftet. Sei M1 der Mittelpunkt der
Strecke C1 B2 , M2 der der Strecke C2 B3 und M3 der der Strecke C3 B1 . Man zeige, dass das
Dreieck △ M1 M2 M3 gleichseitig ist.
Basiswinkel 30 Grad und 45 Grad
176. Über jeder Seite eines konvexen Vierecks wird nach außen ein gleichschenkeliges Dreieck mit
Basiswinkel 450 errichtet. Je zwei gegenüberliegende Spitzen dieser Dreiecke verbinden wir
durch eine Strecke. Diese beiden Strecken sind gleich lang und stehen senkrecht aufeinander
(Satz von Aubel). Weiters gilt: Die vier Mittelpunkte benachbarter Spitzen sind die Eckpunkte
eines Quadrats.
177. Setzt man auf die vier Seiten eines Parallelogramms gleichschenkelige Dreiecke mit Basiswinkel
450 , dann bilden die Spitzen dieser vier Dreiecke ein Quadrat. (Satz von Thebault)
178. Sei ABCD ein Parallelogramm. Zu beiden Seiten beider Diagonalen werden gleichschenkelige Dreiecke mit Basiswinkel 450 errichtet. Man zeige, dass die Spitzen dieser Dreiecke ein
Parallelogramm bilden, das kongruent zum ursprünglichen ist und zu diesem um 900 verdreht
liegt.
179. Sei △ ABC ein Dreieck. Über der Seite BC als Basis errichten wir nach innen ein gleichschenkeliges Dreieck mit Basiswinkel 300 . Über den Seiten AB und AC errichten wir nach
außen Dreiecke, die bei A einen rechten und bei B bzw. C einen Winkel von 300 haben. Man
zeige, dass die Spitzen der aufgesetzten Dreiecke ein gleichseitiges Dreieck bilden.
180. Sei ABCD ein Parallelogramm. Über den Seiten AB und CD als Basis werden nach außen
gleichschenkelige Dreiecke mit Basiswinkel 300 errichtet. Über der Seite AD wird nach außen
ein gleichseitiges Dreieck errichtet. Man zeige, dass die Spitzen der aufgesetzten Dreiecke ein
gleichseitiges Dreieck bilden.
181. Sei △ ABC ein Dreieck. Auf den Seiten dieses Dreiecks als Basis werden außen gleichschenkelige
Dreiecke mit Basiswinkel 450 aufgesetzt. Seien P , Q und R die Spitzen dieser Dreiecke. Auf den
Seiten des Dreiecks △ P QR als Basis werden innen gleichschenkelige Dreiecke mit Basiswinkel
450 aufgesetzt. Man zeige, dass ihre Spitzen die Seitenmitten des Dreiecks △ ABC sind. (Satz
von Neuberg)
Ähnliche Dreiecke
182. Über den Seiten eines Dreiecks △ ABC errichten wir nach außen ähnliche Dreiecke △ BCD,
△ CAE und △ ABF (die Winkel bei den erstgenannten Eckpunkten sind gleich, die bei den
zweitgenannten und die bei den drittgenannten). Man zeige, dass die Schwerpunkte der
Dreiecke △ ABC und △ DEF gleich sind. Ist M der Mittelpunkt der Seite AB und N der der
Strecke DF , dann liegt EC parallel zu M N und ist doppelt so lang wie M N .
183. Über den Seiten AB und BC eines Parallelogramms ABCD errichten wir nach außen ähnliche
Dreiecke △ P AB und △ BCQ (die Winkel bei den erstgenannten Eckpunkten sind gleich, die
bei den zweitgenannten und die bei den drittgenannten). Man zeige, dass das Dreieck △ P DQ
ähnlich zu den beiden aufgesetzten ist.
184. Über den vier Seiten eines beliebigen Vierecks ABCD errichten wir ähnliche Dreiecke △ ABE,
△ CBF , △ CDG und △ ADH (die Winkel bei den erstgenannten Eckpunkten sind gleich, die
bei den zweitgenannten und die bei den drittgenannten), wobei das erste und das dritte Dreieck
innen und das zweite und das vierte außen sitzen. Man zeige, dass das Viereck △ EF GH ein
Parallelogramm ist.
Anderes
185. Sei △ ABC ein gleichseitiges Dreieck. Eine Gerade g parallel zu ℓ(B, C) schneidet AB im
Punkt P und AC im Punkt Q. Sei D der Mittelpunkt des gleichseitigen Dreiecks △ AP Q und
E der Mittelpunkt der Strecke CP . Man zeige, dass 300 , 600 und 900 die Winkel im Dreieck
△ BDE sind.
186. Sei △ ABC ein Dreieck. Auf der Seite BC dieses Dreiecks als Basis wird außen ein gleichschenkeliges Dreiecke mit Basiswinkel 300 aufgesetzt, dessen Spitze wir P nennen. Auf der
Seite AC wird außen ein gleichseitiges Dreieck aufgesetzt, dessen Spitze wir Q nennen. Weiters
sei M der Mittelpunkt der Seite AB. Man zeige, dass 300 , 600 und 900 die Winkel im Dreieck
△ QP M sind.
187. Sei ABCDEF ein reguläres Sechseck. Sei M der Mittelpunkt der Strecke AC und K der
Mittelpunkt der Seite EF . Man zeige, dass das Dreieck △ M DK gleichseitig ist.
K. Geometrie mit komplexen Zahlen – Betrag und Dreiecksungleichung
188. Es gilt |BC|·|P B|·|P C|+|AC|·|P A|·|P C|+|AB|·|P A|·|P B| ≥ |BC|·|AC|·|AB| für ein Dreieck
△ ABC und einen beliebigen Punkt P . (Gleichheit gilt, wenn △ ABC nicht stumpfwinkelig
und P der Höhenschnittpunkt ist.) Hinweis: (v − w)(v − p)(w − p) + (w − u)(u − p)(w − p) +
(u − v)(u − p)(v − p) = (v − u)(w − v)(u − w).
189. Sei ABCD ein Viereck. Man zeige e2 f 2 = a2 c2 + b2 d2 − 2abcd cos(α + γ), wobei die Standardbezeichnungen verwendet wurden. Hinweis: Seien u, v, w und z die komplexen Zahlen, die den
Eckpunkten entsprechen. Sei t = (w − u)(v − z), p = (v − w)(z − u) und q = (v − u)(z − w). Es
gilt t = p − q. Cosinussatz für das Dreieck mit Seiten p, q, t gibt |t|2 = |p|2 + |q|2 − 2|p|· |q| cos φ,
wobei φ = arg p − arg q = arg(z − u) − arg(v − u) + arg(v − w) − arg(z − w) = α + γ.
III. Koordinaten
L. Vektoren
190. Man zeige, dass die Fläche des Dreiecks mit den Ecken (a1 , a2 ), (b1 ,b2 ) und (c1 , c2 ) gleich dem
(
)
1 a1 a2 Betrag von 21 a1 (b2 − c2 ) + b1 (c2 − a2 ) + c1 (a2 − b2 ) = 12 1 b1 b2 ist.
1 c1 c2
191.
192.
193.
194.
195.
196.
197.
198.
199.
200.
Man berechne die Fläche des Dreiecks mit den Ecken (−1, 2, 0), (0, 3, 3) und (2, 2, 1).
Man berechne den Winkel beim Eckpunkt (−1, 2, 0) des Dreiecks in Beispiel 191.
Man berechne den Abstand des Punktes (1, −2) von der Geraden 2x − y = 4.
Man berechne den Schnittpunkt der Geraden 2x + y = 4 und 5x − 2y = 1.
Welche Lage haben die Geraden −21x + 28y = 16 und 15x − 20y = 9 zueinander? Welche die
Geraden 6x − 9y = 12
7 und 14x − 21y = 4?
Gesucht ist die Gleichung der Ebene durch die drei Punkte (−1, 2, 0), (0, 3, 3) und (2, 2, 1).
Die Ecken der Grundfläche eines Parallelepipeds bezeichnen wir der Reihe nach mit A, B, C
und D, die darüberliegenden Ecken der Deckfläche mit E, F , G und H, wobei E über A liegt.
Es sei A = (4, 1, 0), B = (3, 5, −1), D = (6, 0, 1) und E = (5, 0, 6). Man berechne die anderen
Ecken des Parallelepipeds.
Die Ecken eines Parallelepipeds bezeichnen wir wie in Beispiel 197. Es sei B = (4, 1, 2), D =
(2, 5, 3), E = (3, 2, 6) und G = (7, 6, 9). Man berechne die anderen Ecken des Parallelepipeds.
Wir setzen die Volumsformel für einen Quader als bekannt voraus. Sei V das Volumen eines
Quaders ABCDEF GH, dessen Grundfläche ein Parallelogramm ist, das heißt ABCD und
EF GH sind kongruente Parallelogramme, wobei das zweite durch Parallelverschieben aus dem
ersten hervorgeht, wobei senkrecht zu diesem verschoben wird. Sei G die Fläche des Parallelogramms ABCD (Grundfläche) und h = |AE| (Höhe). Man zeige V = G · h. Hinweis: Seien
C̃ und D̃ auf ℓ(C, D) so gewählt, dass AB C̃ D̃ ein Rechteck ist, und G̃ und H̃ auf ℓ(G, H) so,
dass EF G̃H̃ ein Rechteck ist. Die Körper (Quader mit dreieckiger Grundfläche) ADD̃EH H̃
und BC C̃F GG̃ sind kongruent.
Sei V das Volumen eines Parallelepipeds ABCDEF GH. Sei G die Fläche des Parallelogramms
ABCD (Grundfläche) und h der Normalabstand des Punktes E von der Ebene, in der das
Parallelogramm ABCD liegt (Höhe). Man zeige V = G · h. Hinweis: Ausgangspunkt ist
Beispiel 199. Man kann so beginnen: E ∗ und H ∗ auf ℓ(E, H) und F ∗ und G∗ auf ℓ(F, G) mit
−−→∗ −−−→∗ −−→∗ −−→∗
EE = HH = F F = GG geeignet wählen.
201. Man berechne das Volumen des Parallelepipeds aus Beispiel 197.
202. Man zeige, dass die Seitenmitten eines beliebigen Vierecks die Eckpunkte eines Parallelogramms
sind. Seien M1 und M2 die Mittelpunkte der beiden Diagonalen dieses Parallelogramms. Seien
D1 und D2 die Mittelpunkte der beiden Diagonalen des gegebenen Vierecks. Sei M der Mittelpunkt der Strecke D1 D2 . Man zeige M = M1 = M2 . Hinweis: Seien a, b, c und d die
Ortsvektoren zu den Eckpunkten des Vierecks. Man kann dann der Reihe nach die gefragten
Mittelpunkte berechnen: Sind u und v die Ortsvektoren zu zwei Punkten, dann ist 21 (u + v)
der Ortsvektor zum Mittelpunkt.
203. Welchen Punkt erhält man, wenn man den Punkt (3, 2) auf die Gerade x − 2y = 4 projiziert?
Welchen Punkt erhält man, wenn man den Punkt (3, 2) an der Geraden x − 2y = 4 spiegelt?
M. Standardlage
204. Für ein Dreieck in Standardlage berechne man die Höhenfußpunkte Ha , Hb und Hc .
205. Sei △ ABC ein Dreieck und g die Trägergerade der Höhe durch C. Sei P ein beliebiger Punkt
auf g und K und L die Mittelpunkte der Strecken P A und P B. Sei hK die Gerade durch K
senkrecht auf ℓ(B, C) und hL die Gerade durch L senkrecht auf ℓ(A, C). Dann schneiden die
Geraden hK , hL und g einander in einem Punkt.
206. Sei △ ABC ein Dreieck, D ein Punkt auf AB und E ein Punkt auf BC. Sei H der Höhenschnittpunkt des Dreiecks △ ABC und H ∗ der des Dreiecks △ DBE. Seien K und L die
Mittelpunkte der Strecken AE und CD. Dann steht HH ∗ senkrecht auf KL.
207. Sei △ ABC ein Dreieck und D der Schnittpunkt der Winkelsymmetrale durch C mit der Seite
AB. Seien U , V und W die Umkreismittelpunkte der Dreiecke △ ABC, △ ACD und △ BCD.
Dann gilt |U V | = |U W |.
208. Sei △ ABC ein Dreieck und wα , wβ und wγ die Winkelsymmetralen. Seien R und S die
Schnittpunkte von wα und wβ mit dem Umkreis. Dann steht ℓ(R, S) senkrecht auf wγ . Hinweis:
Der Südpolsatz vereinfacht die Berechnung von R und S.
209. Sei △ ABC ein Dreieck und F der Fußpunkt der Höhe durch C. Sei g die Gerade durch F
senkrecht auf ℓ(B, C) und P der Schnittpunkt von g mit ℓ(B, C). Sei h die Gerade durch C
Q|
|F B|
senkrecht auf ℓ(A, P ) und Q ihr Schnittpunkt mit g. Dann gilt |F
|F P | = |AB| .
210. Sei ABCD ein Quadrat und E ein Punkt auf ℓ(A, B). Sei F der Schnittpunkt der Geraden
ℓ(B, C) und ℓ(D, E). Sei G der Schnittpunkt der Geraden ℓ(A, F ) und ℓ(C, E). Man zeige,
dass die Geraden ℓ(B, G) und ℓ(D, E) aufeinander senkrecht stehen. Hinweis: Wie legt man
ein Quadrat am einfachsten in ein Koordinatensystem?
211. Sei △ ABC mit |AC| = |BC|. Die Punkte P auf AB, Q auf BC und R auf AC werden so
gewählt, dass P QCR ein Parallelogramm ist. Sei S der Schnittpunkt der Gerade ℓ(A, B) mit
der Symmetrale der Strecke QR. Man zeige, dass die Dreiecke △ QRS und △ ABC ähnlich
sind.
212. Sei △ ABC ein Dreieck mit Höhenschnittpunkt H. Sei M der Mittelpunkt der Seite AB und
g die Gerade durch H senkrecht auf HM . Seien P und Q die Schnittpunkte der Gerade g mit
ℓ(A, C) und ℓ(B, C). Dann haben P und Q gleichen Abstand von H.
213. Sei △ ABC ein Dreieck und F der Fußpunkt der Höhe durch C. Seien P auf ℓ(B, C) und Q
auf ℓ(A, C) so gewählt, dass die drei Geraden ℓ(F, C), ℓ(A, P ) und ℓ(B, Q) einander in einem
Punkt schneiden. Man zeige, dass ] P F C = ] QF C gilt. (Satz von Blanchet)
214. Sei △ ABC ein Dreieck mit Höhenschnittpunkt H und Umkreismittelpunkt U . Sei F der
Fußpunkt der Höhe durch C und g die Gerade durch F senkrecht auf U F . Sei P der Schnittpunkt der Geraden g und ℓ(A, C) (existiert nicht, wenn α = 450 oder α = 1350 ). Dann ist ein
Winkel zwischen den Geraden ℓ(P, H) und ℓ(F, H) gleich α.
215. Sei △ ABC ein Dreieck und Hb und Hc die Fußpunkte der Höhen durch B und C. Sei K der
Mittelpunkt der Strecke Hb Hc . Weiters seien Pa und Pb die Fußpunkte der Lote von Hc auf
ℓ(B, C) und ℓ(A, C). Dann liegen die Punkte K, Pa und Pb auf einer Gerade.
216. Sei △ ABC ein Dreieck und N der Schnittpunkt des Umkreises mit der Symmetrale der Seite
AB, der auf derselben Seite von AB liegt wie C (Nordpol). Sei h die Halbgerade, die von A
ausgeht und durch C läuft. Sei P der Punkt auf h, für den |AP | = 12 (|AC| + |BC|) gilt. Dann
steht ℓ(N, P ) senkrecht auf h. (Archimedes, Broken Chord Theorem)
217. Sei △ ABC ein Dreieck mit Umkreismittelpunkt U und Höhenschnittpunkt H. Seien Ha und
Hb die Fußpunkte der Höhen durch A und durch B und sei M der Mittelpunkt der Seite AB.
Sei R der Schnittpunkt der Höhe durch C mit der Geraden ℓ(Ha , Hb ) und T der Schnittpunkt
der Geraden ℓ(U, C) und ℓ(A, B). Man zeige, dass ℓ(H, M ) und ℓ(R, T ) parallel liegen.
IV. Lineare Abbildungen, Kegelschnitte, lineare Gleichungssysteme
N . Lineare Abbildungen und Isometrien
Matrizen
7 −3
1 3
3
t
), A = ( −4
218. Sei x = ( −1
2 ) und B = ( −5 2 ). Man berechne Ax, x A, AB und BA.
219. Für die Matrizen aus Beispiel 218 berechne man det A, det B und det AB.
220 – 223. Man berechne Eigenwerte und Eigenvektoren für folgende Matrizen
5 2
3 1
2 5
( 21 61 ), ( −2
1 ), ( −2 1 ), ( −2 0 ).
224. Sei A = ( ab cb ) eine Matrix und λ1 und λ2 ihre Eigenwerte, das sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms det(λI2 − A) = λ2 − (a + c)λ + ac − b2 . Man zeige: Ist det A > 0, dann
haben λ1 und λ2 gleiches Vorzeichen. Ist det A < 0, dann haben λ1 und λ2 verschiedenes
Vorzeichen. Ist det A = 0, dann gilt λ1 = 0 oder λ2 = 0.
Isometrien
−1 0
√1 1 −1
225. Die Matrizen ( 01 −1
0 ), ( 0 −1 ) und 2 ( 1 1 ) sind Matrizen von Drehungen um den Nullpunkt.
Um welchen Winkel wird gedreht?
226. Man bestimme die Drehung um den Punkt (1, 2) mit Winkel 600 .
( α)
2 , dann ist S
227. Steht der Vektor u senkrecht auf cos
α,u eine Spiegelung um die Gerade durch
sin α
2
(
α)
2 .
den Punkt 12 u mit Richtungsvektor cos
sin α
2
6
228. Die Abbildung x 7→ 15 ( 34 −4
3 )x + ( 2 ) ist eine Drehung. Man berechne den Punkt, um den
gedreht wird.
√
229. Die Abbildung x 7→ 12 ( √13 −13 )x + ( 48 ) ist eine Schubspiegelung. Man berechne die Spiegelungsgerade und den Schubvektor.
O. Kegelschnitte
Gleichungen von Kegelschnitten und von Tangenten bestimmen
230. Man bestimme die Gleichung der Ellipse in Hauptlage durch die Punkte (2, 2) und (1, 4).
231. Man bestimme die Gleichung der Parabel in Hauptlage, die durch den Punkt (4, 16) geht.
232. Man bestimme die Gleichung der Hyperbel in Hauptlage, die Brennweite 3 hat und durch den
Punkt (4, 1) geht.
233. Man bestimme die Gleichung der Parabel in Hauptlage, die die Gerade x − 2y = 2 als Tangente
hat.
234. Man bestimme die Gleichung der Hyperbel in Hauptlage, die die beiden Geraden 2x + y = 1
und 4x − 3y = 1 als Tangenten hat.
√
235. Man bestimme die Gleichung der Hyperbel in Hauptlage, die durch den Punkt ( 10, 4) geht
und die Gerade x − 12 y = 1 als Tangente hat.
236 – 241. Gesucht sind die Gleichungen der Tangenten vom Punkt P aus an den Kegelschnitt.
3y 2
x2
P = (5, 1)
7 + 7 =1
x2
7
+
3y 2
7
=1
P = (−1, 3)
3x2
11
2
2
− 16y
11
3x − 2y 2
y2 = x
y 2 = 2x
=1
P = (1, 18 )
=1
P = (−1, −2)
P = (−3, 1)
P = (1, 32 )
Sätze über Kegelschnitte
242. Seien G1 und G2 zwei Punkte (die man auf die x-Achse legen kann). Man bestimme die Menge
aller Punkte (x, y), deren Abstände zu den Punkten G1 und G2 Verhältnis v haben.
243. Seien k1 und k2 zwei Kreise mit Mittelpunkten M1 und M2 , sodass k2 innerhalb von k1 liegt.
Man zeige, dass die Mittelpunkte aller Kreise, die k1 von innen und k2 von außen berühren,
auf einer Ellipse liegen, deren Brennpunkte M1 und M2 sind. Ebenso liegen die Mittelpunkte
aller Kreise, die k1 von innen berühren und von k2 von innen berührt werden, auf einer Ellipse,
deren Brennpunkte M1 und M2 sind, die aber eine andere Hauptachse hat.
244. Was passiert, wenn im letzten Beispiel die Kreise k1 und k2 einander schneiden? Wo liegen
dann die Mittelpunkte der Kreise, die sowohl k1 als auch k2 berühren? Und was passiert, wenn
k2 ganz außerhalb von k1 liegt?
245. Sei g eine Gerade und k ein Kreis mit Mittelpunkt M und Radius r. Seien g1 und g2 die
Geraden, die parallel zur Geraden g liegen und von dieser Abstand r haben. Sei p1 die Parabel
mit Brennpunkt M und Leitlinie g1 . Sei p2 die Parabel mit Brennpunkt M und Leitlinie g2 .
Man zeige, dass der Mittelpunkt eines Kreises, der k und g berührt, auf p1 oder p2 liegt. (Es
gibt zwei Fälle: g schneidet k und g schneidet k nicht.)
246. Seien F1 und F2 zwei Punkte. Sei e eine Ellipse und h eine Hyperbel mit Brennpunkten F1
und F2 . Sei P einer der vier Schnittpunkte von e und h. Man zeige, dass der Schnittwinkel
von e und h im Punkt P ein rechter ist. Hinweis: Tangentenkonstruktion
247. Sei p die Polare eines Punktes P bezüglich eines Kegelschnitts. Ein Punkt Q liegt genau dann
auf p, wenn die Polare von Q durch P geht.
248. Sei P ein Punkt außerhalb einer Ellipse mit Brennpunkten F1 und F2 . Seien B1 und B2 die
Berührpunkte der Tangenten von P an die Ellipse. Man zeige ] B1 P F1 = ] B2 P F2 . (Satz von
Poncelet) Es gilt auch ] B1 F2 P = ] P F2 B2 . Hinweis: Die Spiegelpunkte U und V von F1 an
den Tangenten haben gleichen Abstand von F2 , das heißt F2 liegt auf der Symmetrale der Srecke
U V . Die Verbindungslinien von F2 zu den Spiegelpunkten gehen durch die Berührpunkte.
249. Sei P ein Punkt auf der Leitlinie einer Parabel mit Brennpunkt F . Man zeige, dass die
Symmetrale der Strecke P F eine Tangente an die Parabel ist.
250. Sei △ ABC ein Dreieck und p die Parabel mit Brennpunkt C und Leitlinie ℓ(A, B). Man zeige,
dass die Symmetralen der Dreiecksseiten AC und BC Tangenten an die Parabel p sind.
251. Sei P ein Punkt auf der Leitlinie l einer Parabel mit Brennpunkt F . Man zeige, dass die
Tangenten von P aus an die Parabel senkrecht aufeinander stehen. Man zeige, dass die
Verbindungslinie der beiden Berührpunkte dieser Tangenten durch F geht. Hinweis: Wie
konstruiert man die Tangente von einem Punkt aus an die Parabel?
252. Seien t1 , t2 und t3 Tangenten an eine Parabel. Sie bilden ein Dreieck. Man zeige, dass der
Brennpunkt der Parabel auf dem Umkreis des Dreiecks liegt. Hinweis: Tangentenkonstruktion,
zweite Steinergerade (ein Punkt liegt genau dann auf dem Umkreis eines Dreiecks, wenn . . . )
253. Auf der Parabel y 2 = 2px mit Scheitel S = (0, 0) seien die Punkte A und B so gewählt, dass
AS senkrecht auf BS steht. Man zeige, dass die Gerade ℓ(A, B) durch den Punkt (2p, 0) geht.
Hinweis: Rechnung im Koordinatensystem.
254. Wir legen die Tangenten von einem Punkt P aus an eine Parabel. Seien B1 und B2 die
Berührpunkte der Tangenten und M der Mittelpunkt der Strecke B1 B2 . Sei K der Mittelpunkt
der Strecke M P . Man zeige, dass K auf der Parabel liegt. Hinweis: Rechnung mit Hilfe der
Polare.
255. Sei △ ABC ein Dreieck mit Seitenlängen a, b, c und halbem Umfang s. Sei wγ die Winkelsymmetrale durch C. Für die Normalabstände dA und dB der Eckpunkte A und B von wγ
gilt dann d2A = ab (s − a)(s − b) = ab c −(a−b)
und d2B = ab (s − a)(s − b) = ab c −(a−b)
. Für
4
4
˜
˜
die Normalabstände dA und dB der Eckpunkte A und B von der Winkelsymmetrale w̃γ der
2
2
2
2
Außenwinkel bei C gilt d˜2A = ab s(s − c) = ab (a+b)4 −c und d˜2B = ab s(s − c) = ab (a+b)4 −c .
Hinweis: Beispiel 123.
256. Seien F1 und F2 die Brennpunkte einer Ellipse (Hyperbel) und t die Tangente in einem Punkt
P . Seien d1 und d2 die Normalabstände der Brennpunkte F1 und F2 von der Tangente t. Indem
man Beispiel 255 auf das Dreieck △ F1 F2 P anwendet, berechne man d1 und d2 für Ellipse und
Hyperbel. In beiden Fällen gilt d1 d2 = b2 , wobei b die Länge der kleinen Halbachse ist.
2
2
2
2
Hauptachsentransformation
257 – 264. Für folgende Kurven zweiter Ordnung führe man die Hauptachsentransformation durch
und bestimme, um welchen Kegelschnitt es sich handelt.
9x2 + 24xy + 16y 2 − 40x − 95y − 25 = 0
5x2 + 8xy + 5y 2 − 22x
√ − 14y +
√ 17 = 0
8x2 − 4xy + 5y 2 + 4 5x − 10 5y − 11 = 0
32
44
4xy − 3y 2 + √
x− √
y − 28 = 0
5
5
2
2
4x + 24xy + 11y − 50y − 5 = 0
xy + x − 5y − 3 = 0
6xy + 8y 2 − 12x − 26y + 11 = 0
x2 − 6xy + 9y 2 + 4x − 12y + 3 = 0
Flächen zweiter Ordnung
265. Sei A der Punkt (1, 0, 0) und ε die y-z-Ebene. Sei v ∈ (0, ∞). Man bestimme die Menge aller
|P A|
= v gilt.
Punkte P = (x, y, z), für die d(P,ε)
(0)
( −1 )
(0)
(1)
266. Es seien 0 + t a und 0 + t b mit a2 + b2 = 1 Parameterdarstellungen der Geraden
b
0
a
0
g und (
h. )
Man (bestimme
die Menge aller Punkte P = (x, y, z), für die d(P, g) = d(P, h) gilt.
)
1
0
267. Es sei 0 + t 1 eine Parameterdarstellungen der Geraden g und ε die Ebene mit Gleichung
0
0
x = −1. Sei v ∈ (0, ∞). Man bestimme die Menge aller Punkte P = (x, y, z), für die d(P,g)
d(P,ε) = v
gilt.
268. Die Gerade g sei die x-Achse und ε sei die y-z-Ebene. Sei v ∈ (0, ∞). Man bestimme die
Menge aller Punkte P = (x, y, z), für die d(P,g)
d(P,ε) = v gilt.
P. Lineare Gleichungssysteme
269. Man berechne den Schnittpunkt der drei Ebenen x + 2y + z = 2, 3x + 5y + z = 9 und
7x + 12y + 2z = 22.
270 – 272. Man löse
x1 + 2x2 + x3 = 2
−3x1 − 5x2 − x3 = −1
−7x1 − 12x2 − 2x3 = 3
9x1 + 3x2 − 6x3 = 0
3x1 + 17x2 + 2x3 = −12
−6x1 + 2x2 + 30x3 = 22
+ 2x2 − 4x3 + x4
x1 − 2x2 + 5x3 + 2x4
x1
+ 2x3 + x4
−2x1 + 4x2 − 8x3 − x4
2x1 − 3x2 − x3 + 3x4
6x1 − 9x2 − x3 + 6x4
8x1 − 9x2 − 2x3 + 7x4
4x1
− 2x3 + 2x4
3x1 + 2x2
+
9x1 + 6x2 − 4x3 +
−3x1
+ 4x3 −
6x1 + 6x2 + x3 +
= −2
= 0
= 3
= −4
273 – 275. Man löse
2x1 − x2 − 3x3 = 3
4x1 + x2 − 4x3 = 9
6x1 + 3x2 − 5x3 = 15
=
=
=
=
2
7
6
4
5x4
7x4
x4
8x4
=
=
=
=
3
1
5
8
276 – 279. Gesucht sind Eigenwerte und Eigenvektoren
( −1
4
2
1 −2
1 0
1 −1
) (2
, 1
−3 4
2 0
1 0 2
) (3
, 1
−4 2
−2 0
1 −4 −2
)
.
280. Man bestimme die Gleichung des Kegelschnitts durch die fünf Punkte (1, 3), (1, −1), (−2, 4),
(−2, 2), (2, 2).
281. Sei △ ABC ein Dreieck in Standardlage, das weder gleichschenkelig noch rechtwinkelig ist.
Sei H der Höhenschnittpunkt und S der Schwerpunkt dieses Dreiecks. Man berechne die
Hyperbel durch die fünf Punkte A, B, C, H und S. Diese Hyperbel heißt Kieperthyperbel.
Hinweis: Ansatz ax2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0. Man kann mit einer beliebigen Konstanten
multiplizieren. Man versuche es mit f = 1.
V. Anhang
A. Strahlensatz und Satz von Pythagoras
282. Sei AB der Durchmesser eines Halbkreises. Sei t die Tangente im Punkt B an den Halbkreis
und s die in einem anderen Punkt D. Sei T der Schnittpunkt von s und t. Sei g die Gerade
durch D senkrecht auf AB, E ihr Schnittpunkt mit AB und F ihr Schnittpunkt mit ℓ(A, T ).
Dann gilt |DF | = |F E|. (Archimedes)
283. Sei k ein Kreis mit Durchmesser AB und C ein weiterer Punkt auf k. Seien tA , tB und tC
die Tangenten in den Punkten A, B und C an den Kreis. Den Schnittpunkt von tA und tC
bezeichnen wir mit P , den von tB und tC mit Q, den von ℓ(A, Q) und ℓ(B, P ) mit R und
den von ℓ(C, R) und ℓ(A, B) mit S. Man zeige, dass ℓ(C, R) senkrecht auf ℓ(A, B) steht und
dass |CR| = |CS| gilt. Hinweis: Legt man von einem Punkt die beiden Tangenten an einen
Kreis, dann sind die Abschnitte bis zu den Berührpunkten gleich lang. Strahlensatz und dessen
Umkehrung.
284. In Beispiel 283 sei M der Mittelpunkt und r der Radius des Kreises k. Dann gilt ] P M Q = 900
und r2 = |AP | · |BQ|. Hinweis: ] AM P = ] CM P , ] BM Q = ] CM Q, Höhensatz im
rechtwinkeligen Dreieck.
285. Sei k ein Kreis mit Durchmesser AB und C ein weiterer Punkt auf k. Seien tA , tB und tC
die Tangenten in den Punkten A, B und C an den Kreis. Den Schnittpunkt von tA und
ℓ(B, C) bezeichnen wir mit U , den von tB und ℓ(A, C) mit V . Man zeige, dass die Geraden
ℓ(A, B), tC und ℓ(U, V ) parallel liegen oder einander in einem Punkt schneiden. (Kann man
auch analytisch lösen.)
286. Sei AB eine Sehne in einem Kreis k. In dem kleineren Teil, den AB von k abschneidet, wird
ein Kreis l eingeschrieben (es gibt viele solche Kreise), der AB im Punkt P und k im Punkt
Q berührt. Sei g die Senkrechte auf AB durch den Mittelpunkt M des Kreises k. Sei R der
Schnittpunkt von g mit dem Kreisbogen von A nach B, der nicht durch Q geht. Dann liegen
die Punkte Q, P und R auf einer Gerade. Hinweis: Sei N der Mittelpunkt des Kreises l. Es
gilt |M Q| = |M R|, |N Q| = |N P | und ] RM Q = ] P N Q. Daher auch ] N QP = ] M QR.
287. Sei AB eine Sehne im Kreis k. Sei L ein Punkt auf der Sehne AB. Seien k1 und k2 zwei Kreise,
die beide den Kreis k von innen die Sehne AB im Punkt L berühren, jedoch auf verschiedenen
Seiten der Sehne AB liegen. Seien r1 und r2 die Radien der Kreise k1 und k2 . Man zeige, dass
r1
r2 unabhängig von der Position des Punktes L auf der Sehne AB ist.
288. Sei k ein Kreis mit Mittelpunkt M . Die Tangenten von einem Punkt P außerhalb des Kreises
berühren den Kreis k in den Punkten A und B. Sei BC der Durchmesser des Kreises k, der
durch B geht, und F der Fußpunkt des Lotes von A auf BC. Die Gerade ℓ(P, C) geht dann
durch den Mittelpunkt der Strecke AF . Hinweis: Sei Q der Schnittpunkt von ℓ(B, P ) und
ℓ(A, C). Nun sind M P und ℓ(A, C) parallel (beide senkrecht auf AB oder Umkehrung des
BP
1
Strahlensatzes). Aus dem Strahlensatz folgt BQ
= BM
BC = 2 . Somit ist CP Schwerlinie im
Dreieck △ CBQ. Sie halbiert AF , da AF parallel zu BQ liegt (beide senkrecht zu BC).
B. Peripheriewinkelsatz
289. Sei △ ABC ein Dreieck. Sei N der Schnittpunkt der Symmetrale der Seite AB mit dem
Umkreis, der auf derselben Seite von AB liegt wie C. Sei F der Fußpunkt des Lots von N auf
ℓ(A, C). Dann gilt |AF | = 12 (|AC| + |BC|). (Archimedes) Hinweis: Wir verlängern die Seite
AC über C hinaus um die Länge der Seite BC und erhalten so den Punkt D. Es gilt dann
] ADB = γ2 . Es gilt auch ] AN B = γ. Somit ist N der Mittelpunkt des Kreises durch A, B
und D und AD ist eine Sehne in diesem Kreis, also ist F der Mittelpunkt von AD.
290. Sei ABCD ein Sehnenviereck, dessen Diagonalen senkrecht aufeinander stehen. Sei M der
Schnittpunkt der Diagonalen und g die Gerade durch M senkrecht auf AB. Sei S der Schnittpunkt der Geraden g und ℓ(C, D). Dann gilt |SD| = |SM | = |SC|. (Brahmagupta) Hinweis:
Sei φ = ] CAB und ψ = ] DBA = 900 − φ. Daraus kann man die Winkel in den Dreiecken
△ CM S und △ DM S berechnen.
291. Sei ABCD ein Sehnenviereck. Seien Ma , Mb , Mc und Md die Inkreismittelpunkte der Dreiecke
△ ABD, △ ABC, △ CDB und △ CDA. Das Viereck Ma Mb Mc Md ist dann ein Rechteck.
Hinweis: Sei φ = ] ADB = ] ACB. Es gilt ] AMa B = ] AMb B = 900 + φ2 . Somit liegen
A, Ma , Mb und B auf einem Kreis. Berechne ] AMa Mb und ] Ma Mb B. Ebenso erhält man
] BMb Mc und ] Mb Mc C und so weiter.
292. Sei △ ABC ein Dreieck mit Umkreis k. Sei g die Gerade ℓ(A, B) und h die Tangente an k im
Punkt C. Wir nehmen an, dass g und h einander im Punkt P schneiden. Sei w die Symmetrale
des Winkels ] AP C. Sie schneidet die Seite AC des Dreiecks in einem Punkt U und die Seite
BC in einem Punkt V . Man zeige, dass |CU | = |CV | gilt. Hinweis: Wir nehmen an, dass A
näher bei P liegt als B. Aus dem Tangentenwinkelsatz folgt ] P CA = ] ABC. Die Dreiecke
△ P V B und △ P U C sind ähnlich. Es folgt ] P V B = ] P U C und daraus ] U V C = ] V U C.
293. Sei △ ABC ein (spitzwinkeliges) Dreieck mit Umkreismittelpunkt U . Seien Ha , Hb und Hc
die Höhenfußpunkte. Man zeige, dass ℓ(U, C) senkrecht auf ℓ(Ha , Hb ) steht (natürlich auch
ℓ(U, A) senkrecht auf ℓ(Hb , Hc ) und ℓ(U, B) senkrecht auf ℓ(Ha , Hc )). Hinweis: Seien Ga und
Gb die Spiegelpunkte des Höhenschnittpunkts H an den den Seiten BC und AC. Es gilt
|Ga C| = |Gb C|. Berechne Winkel ] ACH, ] ACGb , ] BCH, ] BCGa , ] ACU , ] BCU , . . .
Es folgt, dass ℓ(U, C) senkrecht auf ℓ(Ga , Gb ) steht. Strahlensatz.
294. Sei △ ABC ein (spitzwinkeliges) Dreieck mit Höhenschnittpunkt H. Sei g eine Gerade durch
H und ga , gb und gc die Bilder von g bei Spiegelung an ℓ(B, C), an ℓ(A, C) und an ℓ(A, B).
Man zeige, dass der Schnittpunkt P von ga und gb existiert und auf dem Umkreis liegt. Ist P
das Bild von H bei Spiegelung an ℓ(A, C), dann ist gb Tangente an den Umkreis. Hinweis: Die
Bilder von Ha und Hb von H bei Spiegelung an ℓ(B, C) und ℓ(A, C) liegen auf dem Umkreis und
auf ga beziehungsweise gb . Man berechne ] Ha CHb und ] DP E, wobei D der Schnittpunkt
von g mit ℓ(B, C) und E der von g mit ℓ(A, C) ist. Daraus ergibt sich ] Ha P Hb .
295. Aus Beispiel 294 ergibt sich ein Satz von Carnot: Unter den Voraussetzungen von Beispiel 294
schneiden die drei Geraden ga , gb und gc einander in einem Punkt, der auf dem Umkreis liegt.
296. Das Dreieck △ ABC habe bei C einen rechten Winkel. Die Punkte D auf AC, E auf AB und
F auf BC seien so gewählt, dass das Viereck CDEF ein Quadrat ist. Sei H der Fußpunkt
der Höhe durch C. Man zeige, dass HD den Winkel ] AHC halbiert und HF den Winkel
] BHC. Hinweis: Die Punkte C, D, E, F und H liegen auf einem Kreis.
297. Sei ABCD ein Parallelogramm. Sei U ein Punkt auf AB und V einer auf CD. Weiters sei
P ein Punkt auf U V . Die Umkreise der Dreiecke △ AU P und △ CV P schneiden einander in
einem Punkt Q ungleich P (wenn sie nicht zufällig einander berühren). Man zeige, dass Q auf
der Diagonale AC liegt. Hinweis: Man zeige ] AQP + ] P QC = 1800 .
298. Sei ABCD ein Parallelogramm. Seien P und R die Fußpunkte der Lote vom Eckpunkt B
auf die Geraden ℓ(A, D) und ℓ(C, D). Sei Q der Fußpunkt des Lots vom Eckpunkt B auf
die Diagonale AC und sei M der Mittelpunkt dieser Diagonale. Dann liegen die vier Punkte
P , M , Q und R auf einem Kreis. Hinweis: Im Fall α < 900 zeige man ] RM P = 2α mit
299.
300.
301.
302.
Hilfe von Symmetrieüberlegungen (Spiegelung an den Parallelen zu den Seiten durch M ) und
] RQP = 2α mit Hilfe des Peripheriewinkelsatzes.
Zwei Kreise k1 und k2 schneiden einander in den Punkten A und B. Auf dem Bogen des Kreises
k1 , der innerhalb von k2 liegt, wählen wir einen Punkt C und zeichnen dort die Tangente g
an den Kreis k1 . Seien P und Q die Schnittpunkte der Tangente g mit dem Kreis k2 . Dann
gilt ] P AC = ] QBC und ] P BC = ] QAC. Hinweis: Sei ] ACP = φ und ] P AC = α.
Andere Winkel lassen sich dann durch φ und α ausdrücken. Tangentenwinkelsatz, um ] ABC
zu berechnen. Das Viereck ABQP ist ein Sehnenviereck.
Zwei Kreise k1 und k2 schneiden einander in den Punkten A und B. Sei g eine Gerade,
die den Kreis k2 in den Punkten P und Q schneidet und den Bogen des Kreises k1 , der
innerhalb von k2 liegt, in den Punkten C und D. Dann gilt ] P AC = ] QBD und ] P BC =
] QAD. (Verallgemeinerung von Beispiel 299) Hinweis: Die Vierecke ABQP und ABDC sind
Sehnenvierecke.
Sei ABCD ein Sehnenviereck und S der Schnittpunkt seiner Diagonalen. Seien E, F , G und
H die Fußpunkte der Lote von S auf ℓ(A, B), ℓ(B, C), ℓ(C, D) und ℓ(D, A). Dann hat das
Viereck EF GH, falls es konvex ist, einen Inkreis mit Mittelpunkt S. (Ist es nicht konvex,
dann gibt es einen Kreis, der die Trägergeraden der vier Seiten berührt.) Hinweis: Es gilt
] CAD = ] DBC (Sehnenviereck). Die Vierecke SEAH und SEBF haben einen Umkreis.
Es folgt ] SEH = ] SAH = ] CAD und ] SEF = ] SBF = ] DBC, also ] SEH = ] SEF .
Sei ABCD ein konvexes Viereck. Seien gA , gB , gC und gD die Symmetralen der Außenwinkel.
Seien E, F , G und H der Reihe nach die Schnittpunkte von gA mit gB , von gB mit gC , gC mit
gD und von gD mit gA . Dann ist das Viereck EF GH ein Sehnenviereck (Beispiel 3). Sei hE
die Senkrechte auf ℓ(A, B) durch E, hF die Senkrechte auf ℓ(B, C) durch F , hG die Senkrechte
auf ℓ(C, D) durch G und hH die Senkrechte auf ℓ(D, A) durch H. Seien P , Q, R und S der
Reihe nach die Schnittpunkte von hH mit hE , von hE mit hF , hF mit hG und von hG mit
hH . Dann hat das Viereck P QRS einen Inkreis. Hinweis: Durch Berechnen geeigneter Winkel
zeige man |HP | = |EP |, |EQ| = |QF |, |F R| = |RG| und |GS| = |SH|. Es folgt, dass die
Seitensymmetralen des Vierecks EF GH die Winkelsymmetralen des Vierecks P QRS sind. Da
EF GH ein Sehnenviereck ist, schneiden sie einander in einem Punkt.
C. Inkreis, Ankreise
303. Sei △ ABC ein Dreieck und P der Punkt, in dem der Inkreis die Seite AB berührt. Dann
liegen der Mittelpunkt K der Strecke CP , der Inkreismittelpunkt I und der Mittelpunkt M
der Seite AB auf einer Gerade. Hinweis: Sei Q der an M gespiegelte Punkt P und F der
|CF |
|IP |
Fußpunkt der Höhe durch C. Man rechne nach, dass |F
Q| = |P M | gilt (mit entsprechenden
Formeln für den Inkreisradius, für den Abstand des Berührpunkts P von einem Eckpunkt, . . . ).
Es folgt, dass M I und QC parallel liegen (Umkehrung Strahlensatz). Der Strahlensatz ergibt
jetzt, dass ℓ(M, I) die Strecke CP in √
deren Mittelpunkt triﬀt.
2
2
2
304. Für ein Dreieck gilt a + b + c ≥ 4 3F + (a − b)2 + (a − c)2 + (b − c)2 (Hadwiger-FinslerUngleichung). Hinweis: Heronsche Flächenformel, a = y + z, b = x + z, c = x + y einsetzen.
Es gilt x = s − a > 0, y = s − b > 0, z = s − c > 0.
D. Trigonometrie
sin(δ−φ)
sin φ
305. Seien φ und ψ Winkel zwischen 00 und 1800 und δ beliebig. Wenn sin
ψ = sin(δ−ψ) gilt, dann
folgt φ = ψ. Hinweis: Summensatz.
306. Seien α, β und γ die Winkel eines Dreiecks, das heißt α + β + γ = 1800 . Auf den Seiten
eines gleichseitigen Dreiecks △ U V W werden außen Dreiecke aufgesetzt: Das Dreieck △ V W A
hat Winkel 600 + γ3 bei V und 600 + β3 bei W . Das Dreieck △ W U B hat Winkel 600 + α3
bei W und 600 + γ3 bei U . Das Dreieck △ U V C hat Winkel 600 + β3 bei U und 600 + α3 bei
V . Man zeige, dass △ ABC die Winkel α, β und γ hat und dass die Seiten der aufgesetzeten
Dreiecke diese Winkel dritteln. (Das ergibt einen Beweis für den Satz von Morley.) Hinweis:
Winkel berechnen. Zuerst in den aufgesetzten Dreiecken, dann in △ U BC (dazu Sinussatz für
△ U V C und △ U W B, dann Sinussatz für △ U BC und schließlich Beispiel 305 mit φ = ] U BW ,
ψ = ] U BC und δ = β3 + γ3 ). Ebenso in △ V AC und △ W AB.
307. Sei ABCD ein Quadrat mit Seitenlänge 4r. Seien k1 und k2 Kreise mit Radius r, die die Seite
AB und einander berühren, sodass k1 auch noch AD und k2 auch BC berührt. Neben ℓ(D, A)
gibt es eine zweite Tangente t1 von D an den Kreis k1 . Ebenso gibt es neben ℓ(C, B) eine
zweite Tangente t2 von C an den Kreis k2 . Sei l der Inkreis des Dreiecks, dessen Seiten von t1 ,
t2 und CD gebildet werden. Man zeige, dass l ebenfalls Radius r hat.
308. Sei △ ABC ein gleichseitiges Dreieck und P Q eine Strecke. Seien u, v und w die Längen der
Projektionen der Strecke P Q auf ℓ(A, B), ℓ(B, C) und ℓ(A, C). Man zeige, dass eine der drei
Zahlen u, v und w die Summe der beiden anderen ist. Hinweis: Man zeichne vom Punkt P aus
drei Halbgeraden, die parallel zu den Seiten des Dreiecks △ ABC liegen und einen Winkel ≤ 900
mit P Q einschließen. Sei α der Winkel zwischen P Q und der nächstgelegenen Halbgerade. Man
berechne u, v und w mit Hilfe von α.
309. Sei P ein Punkt im Innern eines Kreises k. Drei Geraden, die durch P gehen und Winkel
von 600 einschließen, schneiden k in den Punkten A1 , A2 , A3 , A4 , A5 und A6 , wobei diese
Schnittpunkte entlang des Kreises nummeriert werden. Man zeige, dass |P A1 |+|P A3 |+|P A5 | =
|P A2 | + |P A4 | + |P A6 | gilt. Hinweis: Sei M der Mittelpunkt des Kreises k. Wir können die
Bezeichnung der Punkte auf k so wählen, ] A1 M P minimal ist. Sei F1 der Fußpunkt des Lots
von M auf A1 A4 . Dann gilt |A1 F1 | = |F1 A4 | und |P A1 | − |P A4 | = 2|F1 P |. Ähnliches gilt für
die beiden anderen Sehnen. Ist α = ] A1 M P , dann sind ] A2 M P und ] A6 M P gleich 600 + α
und 600 − α.
310. Sei AB ein fester Durchmesser eines Kreises k und d eine Zahl kleiner als |AB|. Sei U V eine
bewegliche Sehne der Länge d und K ihr Mittelpunkt. Seien F und G die Fußpunkte der Lote
von U und V auf AB. Das Dreieck △ F KG ist dann gleichschenkelig. Bewegt man die Sehne
U V , dann sind die dadurch entstehenden Dreiecke △ F KG alle zueinander ähnlich. Hinweis:
Sei M der Mittelpunkt von k, α = ] U M K = ] V M K und φ = ] AM K oder = ] BM K.
Sei H der Fußpunkt des Lots von K auf AB. Dann ist H der Mittelpunkt von F G. Berechne
|KH| und |F G|. Man sieht, dass |KH|
|F G| nur von d, α und dem Radius des Kreises abhängt.
311. Sei k ein Kreis mit Mittelpunkt M und P ein Punkt, der nicht auf k liegt und ungleich M
ist. Sei g die Senkrechte auf M P durch P . Sei h eine beliebige Gerade durch P , die k in
den Punkten H1 und H2 schneidet. Weiters seien t1 und t2 die Tangenten in H1 und H2 an
den Kreis k und T1 und T2 die Schnittpunkte von t1 und t2 mit g. Man zeige, dass P der
Mittelpunkt der Strecke T1 T2 ist. Hinweis: Sei δ = ] M H1 H2 = ] M H2 H1 und φ = 900 − δ
der Winkel zwischen den Tangenten t1 und t2 und der Sehne H1 H2 . Sei α = ] P M H1 und
β = ] P M H2 . Jetzt Sinussatz, zuerst für die Dreiecke △ M P H1 und △ M P H2 , und dann für
die Dreiecke △ P H1 T1 und △ P H2 T2 .
312. Für die Winkel eines Dreiecks gilt
cot2 α + cot2 β + cot2 γ ≥ 1 (Gleichheit nur für gleichseitiges Dreieck).
313. Für die Winkel (alle ̸= 900 ) eines konvexen Vierecks gilt
tan α+tan β+tan γ+tan δ
= cot α + cot β + cot γ + cot δ.
tan α tan β tan γ tan δ
E. Geometrie mit komplexen Zahlen
314. Seien A, B, C, D und E Punkte, die in dieser Reihenfolge auf einem Kreis mit Radius r
liegen. Es gelte |AB| = |BC| = |DE| = r, aber |CD| und |EA| seien beliebig. Sei P der
Mittelpunkt der Strecke CD und Q der Mittelpunkt der Strecke EA. Das Dreieck △ BP Q ist
dann gleichseitig.
315. Sei △ ABC ein Dreieck und φ ein Winkel. Sei D der Punkt, den man durch Drehung des
Punktes C im Gegenuhrzeigersinn um den Punkt A um den Winkel φ erhält. Sei E der Punkt,
den man durch Drehung des Punktes C im Uhrzeigersinn um den Punkt B um den Winkel
1800 − φ erhält. Sei M der Mittelpunkt der Strecke DE. Man zeige, dass M unabhängig von
C ist und auf dem Kreis mit Durchmesser AB liegt.
316. Über jeder Seite eines Dreiecks △ ABC wird nach außen ein gleichseitiges Dreieck errichtet.
Ihre Spitzen seien A1 , B1 und C1 . Ebenso wird über jeder Seite ein gleichschenkeliges Dreieck
mit Basiswinkel 300 errichtet. Ihre Spitzen seien A2 , B2 und C2 . Seien Sa , Sb und Sc die
Schwerpunkte der Dreiecke △ AB1 C1 , △ BA1 C1 und △ CA1 B1 . Das Sechseck A2 Sc B2 Sa C2 Sb
ist dann regulär.
0
317. Sei n ≥ 3 und φ = 360
n . Sei A0 A1 . . . An−1 ein n-Eck und zwar das aﬃne Bild eines regulären
n-Ecks (Bild unter einer linearen Abbildung). Auf den Seiten dieses n-Ecks werden gleichseitige
Dreiecke mit Basiswinkel 900 − φ2 aufgesetzt (Winkel φ an der Dreieckspitze). Man zeige, dass
die Spitzen der aufgesetzten Dreiecke ein reguläres n-Eck bilden. (Für n = 3: Napoleon, für
n = 4: Thebault.) Hinweis: Die Punkte (cos kφ, sin kφ) bilden ein reguläres n-Eck. In der
komplexen Ebene sind ak = u cos kφ + v sin kφ mit 0 ≤ k ≤ n − 1 die Eckpunkte eines aﬃnen
v
v
)eikφ + ( u2 − 2i
)e−ikφ . Vielleicht
Bildes, wobei u, v ∈ C beliebig sind. Es gilt auch ak = ( u2 + 2i
sin φ
hilft auch die Formel cot φ2 = 1−cos
φ.
F. Standardlage
318. Sei △ ABC ein Dreieck und N der Schnittpunkt des Umkreises mit der Symmetrale der Seite
AB, der auf derselben Seite von AB liegt wie C (Nordpol). Sei d > 0. Die Punkte P auf AC
und Q auf BC seien so gewählt, dass |AP | = |BQ| = d gilt. Dann liegen die vier Punkte P ,
Q, C und N auf einem Kreis.
319. Sei △ ABC ein Dreieck mit Höhenschnittpunkt H. Sei k ein Kreis durch A und C. Sei P der
Schnittpunkt ̸= C von k mit ℓ(B, C) und Q der Schnittpunkt ̸= A von k mit ℓ(A, B). Sei G der
Höhenschnittpunkt des Dreiecks △ QBP und M der Schnittpunkt von ℓ(A, P ) und ℓ(C, Q).
Dann liegen die drei Punkte H, M und G auf einer Gerade. Hinweis: △ ABC und △ P BQ
−→
−→
−1
sind ähnlich (Peripheriewinkelsatz). Es gilt BP = t ac ( −v
w ) und BQ = ta( 0 ) für ein t ∈ R.
320. Sei △ ABC ein Dreieck mit Umkreismittelpunkt U und Inkreismittelpunkt I. Sei a = |BC|.
Vom Eckpunkt B aus wird auf ℓ(A, B) in Richtung A die Strecke der Länge a abgetragen. Das
ergibt den Punkt P . Vom Eckpunkt C aus wird auf ℓ(A, C) in Richtung A die Strecke der
Länge a abgetragen. Das ergibt den Punkt Q. Man zeige, dass ℓ(P, Q) auf ℓ(U, I) senkrecht
steht. Weiters gilt |P Q| = 2|U I| sin α. Hinweis: Für jedes Dreieck in Standardlage gelten die
t
Gleichungen 2au + 2bv − tu − tv = t(b − a) und (t − 2c)w + t uv
w = w (ab + au − bv), wobei
t = a + b + c der Umfang des Dreiecks ist.
G. Kegelschnitte
321. In einem spitzwinkeligen Dreieck △ ABC sei D der Fußpunkt der Höhe durch C, E der
Fußpunkt der Höhe durch A und F der Fußpunkt der Höhe durch B. Weiters sei p die Parabel
mit Brennpunkt D und Leitlinie ℓ(E, F ). Man zeige, dass ℓ(A, C), ℓ(B, C), ℓ(A, E) und ℓ(B, F )
Tangenten an p sind. Hinweis: Tangentenkonstruktion (der Spiegelpunkt des Brennpunkts bei
Spiegelung an einer Tangente liegt auf der Leitlinie) und Beispiel 75.
322. Sei h eine gleichseitige Hyperbel (beide Halbachsen haben Länge 1) und P ein Punkt auf h.
Sei Q der am Mittelpunkt der Hyperbel gespiegelte Punkt P . Sei k der Kreis durch Q mit
Mittelpunkt P . Dieser Kreis hat neben Q drei weitere Schnittpunkte A, B und C mit der
Hyperbel. Man zeige, dass das Dreieck △ ABC gleichseitig ist.
Hinweis: Statt in einem x-y-Koordinatensystem arbeiten wir in der komplexen Ebene mit der
Variablen z = x + iy. Die Gleichung von h ist z 2 + z̄ 2 = 2 (hat Mittelpunkt 0). Die Gleichung
von k ist (z − p)(z̄ − p̄) = 4pp̄, wobei p2 + p̄2 = 2 gilt. Wir verschieben 0 nach p, für z ist
z + p einzusetzen, die Gleichung von h wird zu z 2 + 2zp + z̄ 2 + 2z̄ p̄ = 0 und die von k wird
zu z z̄ = 4pp̄. Elimination von z̄ aus diesen beiden Gleichungen ergibt (z + 2p)(z 3 + 8pp̄2 ) = 0.
Die Nullstellen sind die vier Schnittpunkte von h und k (um p verschoben). Die Punkte A, B
und C entsprechen den Nullstellen von z 3 + 8pp̄2 =√0. Ist a eine Nullstelle, dann sind b = aλ
und c = aλ2 die beiden anderen, wobei λ = − 12 + i 23 = eiφ ist mit φ = 1200 .