Lagrange

Lagrange-Ansatz
1
Motivation
Die Präferenzen von Otto Optimal bezüglich Gut1 (Aktien von BMW) und Gut2 (Aktien von VW)
lassen sich mit Hilfe folgender Nutzenfunktion beschreiben:
u(x1 , x2 ) = 400x1 x22
Otto Optimal verdient 3000 Euro im Monat. Jede Einheit von Gut1 kostete 70 Euro, jede Einheit
von Gut2 50 Euro.
Wie lautet das optimale Konsumbündel aus Gut1 und Gut2 für Otto Optimal?
2
Lösung mit Hilfe des Lagrange-Ansatzes
Bei obiger Aufgabe handelt es sich um ein Optimierungsproblem, d.h. die Nutzenfunktion
muss unter gegebener Nebenbedingung
u(x1 , x2 )
optimiert werden.
Dazu benutzen wir die Lagrange-Funktion
L(x1 , x2 , λ),
welche sich aus der Dierenz der Nut-
zenfunktion und dem Produkt des neu eingeführten Parameters
λ
mit der Nebenbedingung er-
+
= Budget . Anschlieÿend müssen wir sie auf die Form Term = 0 bringen,
gibt. Die Nebenbedingung können wir oftmals wie folgt ausdrücken: Gesamtkosten(Produkt1 )
Gesamtkosten(Produkt1 )
sodass wir sie mit
λ
multiplizieren können.
Allgemein lautet die Lagrange-Funktion also:
L = u(x1 , x2 ) − λ(p1 x1 + p2 x2 − m)
• u:
Gibt den Nutzen an, den ein Individuum
• x1 :
Menge von Gut1
• x1 :
Menge von Gut2
• p1 :
Preis für Gut1
• p2 :
Preis für Gut2
• m:
Einkommen des Individuums
• λ:
aus dem Konsum von Gut1 und Gut2 bezieht.
Lagrange-Multiplikator
Um eine Lösung ermitteln zu können, müssen folgende drei Optimalitätsbedingungen
erfüllt sein:
1. Optimalitätsbedingung:
∂L
∂x1
!
=0
1
gleichzeitig
!
2. Optimalitätsbedingung:
∂L
∂x2
3. Optimalitätsbedingung:
∂L !
∂λ =
=0
0
Schritt 1: Aufstellen der Nutzenfunktion und Budgetbeschränkung
⇒
⇒
u(x1 , x2 ) = 400x1 x22
Budgetbeschränkung: 70x1 + 50x2 = 3000
Nutzenfunktion:
Schritt 2: Gegebene Gröÿen in die Lagrange-Funktion einsetzen
L = u(x1 , x2 ) − λ(p1 x1 + p2 x2 − m)
L = 400x1 x22 − λ(70x1 + 50x2 − 3000)
Schritt 3: Lagrange-Funktion nach x1
400x22
− 70λ = 0
| +70λ
400x22
|: 70
= 70λ
λ=
ableiten und gleich Null setzen
5, 71x22
Schritt 4: Lagrange-Funktion nach x2
800x1 x2 − 50λ = 0
ableiten und gleich Null setzen
| +50λ
|: 50
800x1 x2 = 50λ
λ = 16x1 x2
Schritt 5: Gleichsetzen der beiden λ-Ausdrücke
5, 71x22 = 16x1 x2
|: x2
5, 71x2 = 16x1
|: 5, 71
x2 = 2, 80x1
Schritt 6: Einsetzen von x2
in die Budgetbeschränkung
70x1 + 50x2 − 3000 = 0
70x1 + 50 · 2, 8x1 − 3000 = 0
70x1 + 140x1 − 3000 = 0
| +3000;
210x1 = 3000
zusammenfassen
|: 210
x1 = 14, 29
Schritt 7: Einsetzen von x1
in die Budgetbeschränkung
70x1 + 50x2 = 3000
70 · 14, 29 + 50x2 = 3000
1000, 3 + 50x2 = 3000
50x2 = 1999, 7
| −1000, 3
|: 50
x2 = 39, 99
2
Daraus folgt also die Lösung für unser Ausgangsproblem:
Otto Optimal maximiert seinen Nutzen, wenn er 14 Aktien von BMW und 40 Aktien von VW
erwirbt.
3
Übungsaufgaben
Die Präferenzen von Katja Kaureudig bezüglich Gut1 (Schuhe von Louboutin) und Gut2 (Schuhe
von Prada) lassen sich durch folgende Nutzenfunktion beschreiben:
u(x1 , x2 ) = 250x1 x22
Katja Kaureudig verdient 1400 Euro im Monat. Jede Einheit von Gut1 kostet 180 Euro und jede
Einheit von Gut2 150 Euro.
Wie lautet das optimale Kostenbündel aus Gut1 und Gut2 ?
Lösung:
Schritt 1: Aufstellen der Nutzenfunktion und Budgetbeschränkung
⇒
⇒
u(x1 , x2 ) = 250x1 x22
Budgetbeschränkung: 180x1 + 150x2 = 1400
Nutzenfunktion:
Schritt 2: Gegebene Gröÿen in die Lagrange-Funktion einsetzen
L = u(x1 , x2 ) − λ(p1 x1 + p2 x2 − m)
L = 250x1 x22 − λ(180x1 + 150x2 − 1400)
Schritt 3: Lagrange-Funktion nach x1
250x22 − 180λ = 0
250x22
| +180λ
|: 180
= 180λ
λ=
ableiten und gleich Null setzen
1, 39x22
Schritt 4: Lagrange-Funktion nach x2
500x1 x2 − 150λ = 0
ableiten und gleich Null setzen
| +150λ
|: 500
500x1 x2 = 150λ
λ = 3, 33x1 x2
Schritt 5: Gleichsetzen der beiden λ-Ausdrücke
1, 39x22 = 3, 33x1 x2
|: x2
1, 39x2 = 3, 33x1
|: 1, 39
x2 = 2, 4x1
3
Schritt 6: Einsetzen von x2
in die Budgetbeschränkung
180x1 + 150x2 − 14000 = 0
180x1 + 150 · (2, 4x1 ) − 1400 = 0
180x1 + 360x1 − 1400 = 0
| +1400;
540x1 = 1400
zusammenfassen
|: 540
x1 = 2, 59
Schritt 7: Einsetzen von x1
in die Budgetbeschränkung
180x1 + 150x2 = 1400
180 · 2, 59 + 150x2 = 1400
466, 67 + 150x2 = 1400
150x2 = 933, 33
| −466, 67
|: 150
x2 = 6, 22
Damit ergibt sich für Katja folgende Lösung: Sie maximiert ihren Nutzen, wenn sie sich 2 Paar
Schuhe der Marke Louboutin und 6 Paar Schuhe der Marke Prada kauft.
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