Unterlagen für Nutzenoptimierung

Nutzenoptimierung
Ziel: Haushalt sucht jenes Güterbündel, das bei gegebenen Einkommen und Preisen seinen Nutzen maximiert
Ann: gesamtes Einkommen wird konsumiert
2 Möglichkeiten:
1. grafisch
2. analytisch
ad (1) Einzeichnen der Budgetgerade ins Indifferenzkurvensystem → Tangentialpunkt der Budgetgerade
an Indifferenzkurve ist Punkt (=Bündel) mit optimalen
Nutzen
Achtung: gilt nur bei konvexen IK
• konkave IK: Minimum→Lösung ist Randoptimum
• lineare IK: Randoptimum
• konvexe IK: Budgetgerade ist Tangente an die IK,
d.h. Anstiege sind gleich
dx2
p1
=−
dx1
p2
(1)
GRS = umgekehrten Verhältnis der Preise
∂U
∂U
p
p
∂x
∂x
− ∂U1 = − 1 ⇒ ∂U1 = 1
p2
p2
∂x2
∂x2
(2)
Verhältnis der Grenznutzen = Verhältnis der Preise
subjektives Tauschverhältnis der Güter = Tauschverhältnis
der Güter am Markt
ad (2) u = u (x1, x2) → max
s.t. p1x1 + p2x2 = m
2 Möglichkeiten:
• durch umformen der NB
• mittels Lagrangeansatz:
L = u (x1, x2) − λ (p1x1 + p2x2 − m)
notwendige Bed. 1.Ordnung:
∂U
∂L
− λp1 = 0
=
∂x1
∂x1
(3)
∂U
∂L
− λp2 = 0
=
∂x2
∂x2
(4)
p1x1 + p2x2 − m = 0
(5)
aus (3) und (4)
∂U
∂x1
p1
=λ=
∂U
∂x2
bzw (2) :
∂U
p1
∂x1
=
∂U
p2
∂x2
p2
(6)
Interpretation von (6): Quotient aus Grenznutzen u.
Preis für alle Güter; gleich dem Lagrangemultiplikator.
Gibt Nutzenänderung an, wenn eine zusätzliche Einheit Geldes für Gut i ausgeben wird. λ = Grenznutzen
des Geldes
Beispiele:
(1) u (x1, x2) = ln x1 + ln x2
s.t. p1x1 + p2x2 = m
1
∂L
− λp1 = 0
=
∂x1
x1
∂L
1
− λp2 = 0
=
∂x2
x2
p1x1 + p2x2 − m = 0
p
x2
= 1 ⇒ p2x2 = p1x1
x1
p2
Einsetzen in NB:
m
m
x2 =
, x1 =
2p2
2 p1
(2) u (x1, x2) = xa1 xb2
s.t. p1x1 + p2x2 = m
x1 =
am
bm
, x2 =
(a + b) p1
(a + b) p2
(3) lineare Substitute: u (x1, x2) = ax1 + bx2
s.t. p1x1 + p2x2 = m