1 Mechanik

Formelsammlung Physik von Abass Eidizadeh
1 Mechanik
1
MECHANIK
Kräfte zur Änderung seines Zustands gezwungen wird.
Kraft
2. Newtonsche Axiom
Ein Körper erfährt eine Kraft, wenn er seiF =m·a
ne Geschwindigkeit in Betrag oder Richtung ändert. Ohne Kraft ändert ein Körper 3. Newtonsche Axiom
seine Bewegung nicht.
F 1 = −F 2
Für die Kraft F gilt:
Kraft erzeugt Gegenkraft
F =m·a
Translationsgesetze
m = Masse
a = Beschleunigung
Strecke [s] = m, M eter
Die Einheit ist:
[F ] =
Zeit [t] = s, Sekunde
kg · m
= N, N ewton
s2
m
∆s
, [v] =
∆t
s
m
Beschleunigung [a] = 2
s
Geschwindigkeit v =
Für die Gewichtskraft FG gilt:
geradlinige Bewegung
FG = m · g
g ist die
Erdbeschleunigung
g ≈ 10
m
s2
• gleichförmige Bewegung ⇒ Kräftefrei
s=v·t
Für die Kraft einer Feder gilt das Hooksche
Gesetz:
v = konstant
F =D·x
D ist die Federkonstante, [D] =
x ist die Auslenkung der Feder.
N
m
=
a=0
kg
s2
• gleichförmig beschleunigte Bewegung
⇒ konstante Kräfte
Vektoriell gilt für die Kraft:
s = 12 at2
F~ = m · ~a
v = at
Newtonsche Axiome
a = konstant
1. Newtonsche Axiom oder TrägheitsEs gilt folgende Beziehung:
prinzip
Ein Körper verharrt im Zustand der Rudv
d2 s
he oder der gleichförmigen Translation (Bea=
= 2 oder a = v̇ = s̈
wegung), sofern er nicht durch einwirkende
dt
dt
1
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Drehmoment
2
OBERFLÄCHENENERGIE
• stabil
• labil
Das Drehmoment (Drehkraft) T :
• indierent
T =r·F
Der Schwerpunkt
Für [T ] = N m, N ewtonmeter
Der Schwerpunkt ist die Vereinigung der
r ist der Abstand von der angreifenden Gesamtmasse:
P
Kraft zur Drehachse.
m · ~r
Vektoriell ist das Drehmoment ein
produkt(Kreuzprodukt):
i
P
Vektor-
i
i
i
mi
Das Hebelgesetz
T~ = ~r × F~
Daher gilt für eine angreifende Kraft über Für einen Hebel im Gleichgewicht gilt die
II. Grundgleichung der Statik. Daher gilt
einen Winkel α :
für zwei an einem Hebel wirkende Drehmomente:
T~ 1 = T~ 2
T = r sin α F
Der Vektor T~ gibt die Drehrichtung des Als Betrag der Vektoren gilt daher:
Drehmoments an. Ermitteln kann man das
r1 sin α1 F 1 = r2 sin α2 F 2
durch die Rechte-Hand-Regel
Einarmiger Hebel: Die Drehmomente
greifen auf einer Seite der Drehachse an.
Zweiarmiger Hebel: Die Drehmomente
greifen auf beiden Seiten der Drehachse
an.
Statik
I. Grundgleichung der Statik:
n
X
F~ i = 0
i=0
2 Oberächenenergie
Die Summe aller angreifenden Kräfte ist
0.
Arbeit und Energie
II. Grundgleichung der Statik:
n
X
Arbeit ist gleich Energie.
T~ i = 0
Für die Arbeit W gilt:
i=0
Die Summer aller angreifenden Drehmomente ist 0.
W = F~ · ~s
Gleichgewichte:
für [W ] = N m = J, Joule
2
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3
SCHWINGUNGEN
Die Arbeit W ist somit ein Skalarprodukt Für den Binnendruck ∆p gilt das Laplacezweier Vektoren. Daher gilt für eine angrei- Gesetz:
2σ
fende Kraft F über einen Winkel α:
∆p =
R
R= Radius
σ = Oberächenenergie
W = F cos α s
Formen der Arbeit:
Bei einer Seifenblase gilt auf Grund der
doppelten Oberäche: ∆p = 4σ
R
Potenzielle Energie W pot = m · g · h
(=Hubarbeit)
Kinetische Energie W kin = 21 m · v 2
Oberächenenergie
Auÿerdem:
Potenzielle Energie der Feder
W pot =
1
2
Die Oberächenenergie σ ist die Änderung
der Energie pro Fläche
Dx2
Für die Energie gilt der Energieerhaltungssatz wonach die Gesamtenergie W ges
im System stets konstant bleibt.
[σ] =
Leistung
σ=
J
m2
=
dW
dA
N
m
Auÿerdem gelten für Flüssigkeiten folgende
Kräfte:
Die Leistung P ist Arbeit pro Zeit:
• Kohäsionskräfte
J
W
, [p] = = W, W att
P =
t
s
• Adhäsionskräfte
Oberächenenergie wird durch Detergenzien und Surfactant herabgesetzt.
Impuls
Für den Impuls p~ gilt:
3 Schwingungen
p~ = m · ~v , [p] = N s, N ewtonsekunde
Rotationsbewegung
Analog zur Energie gilt hier der Impulserhaltunssatz.
Eine Kreisbewegung eines Körpers um eine
Achse wird beschrieben von seinem Radius r und dem von der Bewegung einschlieÿenden Winkel ϕ. Für die Kreisbewegung
gelten:
Druck
Druck p ist Kraft pro Fläche A:
Der Weg s = r · ϕ
F
p=
A
[p] =
Die Winkelgeschwindigkeit:
N
= P a, P ascal
m2
ω=
3
∆ϕ
∆t
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Die Bahngeschwindigteit v = r · ω
3
SCHWINGUNGEN
• Kreisf requenz ω =
2πf
Die Winkelbeschleunigung ω̇
2π
T
oder ω =
• [ω] = s−1
Das Drehmoment T = rF sin α
4. Phasendierenz ϕ Zeitliche Verschiebung eines Schwingungszustandes
von einem festgelegten Anfangswert.
Die Phase wird als Zeit oder Winkel
angegeben.
Der Drehimpuls
~ =Θ·ω
L
~
für das Trägheitsmoment Θ = mr2
Die Kinetische Energie E kin = Θ2 ω 2
Schwingungsgleichung
Schwingung
Für eine sinusförmige harmonische, d.h.
nur durch eine Frequenz beschreibbare
Eine Schwingung ist eine periodische sta- (ideale) Schwingung gilt für die Elongatitionäre Bewegung eines Ozillators (z.B. on y zu einer bestimmten Zeit t:
Pendel). Die Schwingung lässt sich als
y(t) = A · sin(ωt + ϕ)
Kreisbewegung projizieren, daher lassen
sich die Gesetzmäÿigkeiten der Kreisbewe- Für eine Schwingung gilt auÿerdem der
gung auf die Schwingung anwenden. Die Energieerhaltungssatz, wonach die SchwinSchwingung hat folgende ihn beschreibende gungsenergie (potenziell, kinetisch) zeitlich
Eigenschaften:
konstant bleibt.
1. Die Amplitude A maximale Aus- Federozillator
lenkung der Schwingung, gemessen
von der Abzisse. Eine Schwingung Für die Feder als Ozillator gilt das Hookwird durch Auftragung der Auslen- sche Gesetz. Daher folgt für die rücktreikung (Elongation) zu der Zeit t dar- bende Kraft einer jeden Schwingung bei
der Feder:
gestellt.
F D = −D · y
2. Die Periode Die Periode oder Schwin- Für die Kreisfrequenz ergibt sich bei diesem
gungsdauer T beschreibt die Zeit die Fall:
r
für eine komplette Schwingung erforD
ω=
derlich ist. T = f −1
m
3. Die Frequenz Beschreibt die Anzahl
von Schwingungen pro Zeit. Kann Gedämpfte Schwingung
auch angegeben werden als Kreisfrequenz ω
Für eine gedämpfte Schwingung gilt, das
1
die Amplitude exponentiell abnimmt. Die
• F requenz f = T
Frequenz bleibt während der gedämpften
• [f ] = s−1 , 1Hz, Hertz (Wird Schwingung konstant!
nicht für die Kreisfrequenz very(t) = A · e−βt sin(ωt + ϕ)
wendet)
4
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ULTRASCHALL
4 Ultraschall
Für β als Dämpfungskonstante.
ω=
4
p
ω02 − β 2
Wellen
ω 0 ist die Eigenfrequenz der ungedämpften
freien Schwingung. Es gilt für die Eigen- Eine Welle ist ein zeitlicher und räumlifrequenz gegenüber der gedämpften Fre- cher veränderlicher Zustand. Es stellt eine
Bewegung mehrerer miteinander verbundequenz:
ner Ozillatoren (z.B. Teilchen) dar. Für die
ω D < ω 0 ⇐⇒ f D < f 0
Wellenbewegung wird deniert:
• Wellenlänge λ analog zur Periode
Für ω 0 = β wird ω 0 = 0 es kommt zum
aperiodischen Grenzfall. Für β > ω 0 liegt
der Kriechfall vor.
• Raumfrequenz oder Wellenzahl k =
2ϕ
λ
analog zur Kreisfrequenz.
Es gilt die Wellengleichung:
Erzwungene Schwingung
y(t, x) = A · sin(
Wird ein Ozillator durch einen Erreger angeregt, so liegt eine erzwungene Schwingung vor. Der Erreger besitzt eine Erregerfrequent ω e . Der Resonator hat hingegen
seine Eigenfrequenz ω 0 . Am Anfang der Erregung liegt eine Einschwingzeit vor, nach
der der Resonator in die stationäre Phase übergeht. Folgende Fälle können auftretten:
2πt
T
|{z}
+
Zeitabhängig
2πx
λ
|{z}
)
Ortsabhängig
Für die Ausbreitungsgeschwindigkeit c
gilt:
c=
λ
=f ·λ
T
Man unterscheidet zwei Formen der Welle:
• Transversalwelle: Auslenkung senk-
• ω e < ω 0 ⇒ A ≈ Ae Bei einer Pha-
recht zur Ausbreitung
sendierenz der beiden Ozillatoren von
null.
• Longitudinalwelle: Auslenkung par-
allel zur Ausbreitung
• ω e ≈ ω 0 ⇒ A = max Resonanz: maxi-
male Amplitude. Die Erregerfrequenz
ist hier die Resonanzfrequenz des Resonators ω R
Akustik
• ω e > ω 0 ⇒ A ≈ 0 Bei einer Phasendif- Schall ist eine mechanische Schwingung in
ferenz von π (Gegenphasig)
einem Fluid (Gas oder Flüssigkeit). Sie ist
Durch Auftragung von A/Ae gegen ω e eine Longitudinalwelle. Folgende Kenngrö-
lässt sich eine Resonanzkurve erstellen, aus ÿen lassen sich für den Schall denieren:
der die Resonanzfrequenz abgelesen werden Schallschnelle Ist die Geschwindikeit der
kann.
schwingenden Teilchen:
Bei einer sehr hohen Resonanz kommt es
dy
v=
zur Resonanskatastrophe.
dt
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4
ULTRASCHALL
Schallgeschwindikeit Ist abhängig vom
• Tonhöhe = Frequenz
Medium. Für Gase und Flüssigkeiten
Schalldruck
gilt:
s
Eine Schallwelle erzeugt ortsabhängig einen
K
c=
Druck. Daraus lässt sich allgemein ein
ρ
Schalldruckpegel L der Welle errechnen:
K ist die Steigkeit des Stoes, ρ die Dichp
te. Anstatt der Steigkeit wird, da besser
L = 20 · lg
für [L] = dB, Dezibel
p0
messbar, die Kompressibilität χ = K −1 angegeben, sodass gilt:
Der Referenzwert p0 liegt bei 20µP a
r
c=
Daraus lässt sich das Hörfeld erstellen.
Das Hörfeld ist die Auftragung des Schalldruckes gegen die Frequenz. Dabei gilt für
die Laustärke mit der Einheit phon:
1
χ·ρ
Schallgeschwindikeiten:
• In Luft c = 330m/s
1 phon = 1 dB bei f = 1kHz
• In Wasser c = 1500m/s
Die Kurven aus der Auftragung stellen dabei sog. Isophone dar. Alle Punkte eines
Isophons führen zum gleichen Lautstärke
empnden. Dadurch lässt sich die Empndlichkeit des Ohres für bestimmte Frequenzen ablesen. Im Ohr ndet dabei eine Wanderwelle statt, wobei die Ohrknöchelschen
als Hebel fungieren.
Schallintensität Ist ein Maÿ für die Schallenergie. Sie ist proportional zur Dichte:
I∼ρ
Wellenwiderstand des Mediums Gibt
an, wie groÿ der Schalldruck sein muss, um
eine bestimmte Geschwindigkeitsamplitude
im Medium zu erzeugen. Der WellenwiderSonographie
stand R lautet:
Bei der Sonographie wird die Schallreekg
R = c · ρ [R] = 2
xion von Ultraschall benutzt (Echolotms
Prinzip). Für die senkrechte SchallreexiLuft hat einen geringen Widerstand, bei on von einem Medium in ein unterschiedliGeweben ist der Widerstand hoch (un- ches zweites Mediums gilt folgende Beziegefähr wie Wasser), daher kommt es zur hung der Intensitäten des Schalls vor und
Schallreexion.
nach der Reexion zu den Widerständen
der Medien:
Hörfeld
Das Hörfeld des Menschen kann Schall der
Frequenz von 16Hz bis 16kHz wahrnehmen. Schall kleiner als 16Hz wird als Infraschall bezeichnet, gröÿer als 16kHz als
Ultraschall. Es gilt folgende Beziehung zwischen den physikalischen und physiologischen Gröÿen:
I reektiert
=
I0
R1 − R2
R1 + R2
2
Daher muss bei der Sonographie ein Kontaktgel zur Einkopplung der Schallwellen
aufgetragen werden, auf Grund der Widerstandsdierenz zwischen Luft und Organ.
Bei einer nicht senkrechten Reexion gilt:
Einfallswinkel=Ausfallswinkel.
• Lautstärke = Schalldruck
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Bei der Sonographie wird nach dem
Echolot-Prinzip ein sog. A-Bild erzeugt.
Dies ist die Auftragung der Intensität des
reektierten Schalls zur Laufzeit. Berechnung der Laufzeit des Reex-Signals:
5
ELEKTRISCHE STRÖME
Duplex-Sonographie Der Doppler-Eekt
wird in der Duplex-Sonographie zur Bestimmung der mittleren Strömungsgeschwindikeit des Blutes, durch Messung
der Geschwindikeit der Blutteilchen verwendet:
∆s = c · ∆t
v≈±
∆f
·c
f0
Je länger die Laufzeit, desto tiefer liegt der
Sto. Je intensiver das Reex-Signal, desto
dichter der Sto. Das B-Bild ist die bildliche Darstellung des A-Bildes durch Grau- 5 Elektrische Ströme
stufentransformation der Intensität und
der Laufzeit zu einem zweidimensionalem Im weiteren wird die elektrische Stromstärke
Bild. Technisch wird der Ultraschall bei der nur als Strom bezeichnet.
Sonographie durch Schwingungen von Kristallen erzeugt (Piezo-Eekt). Nach dem
Piezo-Eekt kommt es unter Druck in be- Grundgröÿen
stimmten Kristallen (Piezo-Kristalle) zur
Entstehung einer Spannung, bzw. kann Strom I
durch Anlegen einer Spannung der Kristall verformt und damit zum Schwingen ge- Die elektrische Stromstärke I beschreibt
bracht werden.
die gerichtete Bewegung von Ladungsträgern der Ladung Q pro Zeit.
Schallabsorption Für die Schallabsorption in homogenen Medien entscheidend ist
der Dämpfungskoezient, der abhängig ist
von Substanz und Frequenz der Schallwelle.
I=
dQ
dt
[I] = A, Ampere
Der Doppler-Eekt Bei einer relativen [Q] = C, Coulomb, 1C = 1As (Amperese-
Bewegung zwischen Sender einer Schallwelle und dem Empfänger zueinander kommt
es zu einer Änderung der Frequenz und
Wellenlänge der Schallwelle. Dabei gilt:
Frequenzanstieg vor dem Sender und Frequenzabnahme hinter dem Sender. Folgende Beziehung ergibt sich:
kunde)
Als Ladungsträger können sowohl Ionen
mit ihrer spezischen Ladung wie auch
Elektronen (z.B. aus einem Leiter) mit ihrer elektrischen Elementarladung e = 1, 6 ·
10−19 C fungieren.
Spannung U
v
∆f
≈±
f0
c
Die treibende Kraft des Stromes wird be∆f = Relative Frequenzänderung
schrieben durch die Spannung. Die Spanf 0 = Grundfrequenz
nung wird auch Potentialdierenz genannt,
v = Relativgeschwindigkeit zwischen Sen- da sie die Dierenz der Potentiale zweier
der und Emfänger
Messpunkte widergibt.
c = Schallgeschwindigkeit
[U ] = V, Volt
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ELEKTRISCHE STRÖME
Trägt man den Strom als Funktion der Eine Spannungsquelle trennt den Plus- vom
Spannung auf, erhält man die Strom- Minus-Pol.
Spannungskennlinie, der Widerstand ist die
Der Strom ieÿt im physikalischen
Steigung dieser Kennlinie.
Stromkreis vom Minus-Pol zum PlusPol (echte Stromrichtung der Elektronen).
Widerstand R
Beim technischen Stromkreis verwendet
Für den Widerstand R gilt:
man die Konvention, das der Strom vom
Plus-Pol zum Minus-Pol ieÿt.
U
R=
[R] =
V
A
I
Kirchhosche Gesetze
= Ω, Ohm
Das oben beschriebene Verhältnis der
Grundgröÿen zueinander ist das Ohmsche
Gesetz. Für I ∼ U gilt, das der Widerstand konstant ist, es liegt ein ohmscher Widerstand vor. Sobald die Funktion den Bereich der Proportionalität verlässt, da R nicht mehr konstant ist, wird
der Widerstand als nicht-ohmisch bezeichnet. Es liegt dabei bei einem Widerstand
ein Spannungsverlust entlang des Leiters bei ieÿendem Strom vor. Jeder Widerstand geht ab einer kritischen Spannung
in den nicht-ohmischen Bereich über.
Der Kehrwert des Widerstandes ist der
Leitwert G. Seine Einheit wird gemessen
in Siemens (S).
Der Widerstand ist Abhängig von der Beweglichkeit µ der Teilchen. Die Beweglichkeit ergibt sich aus Stöÿen zwischen
den Ladungsträgern, dabei gilt, das die Geschwindigkeit der Ladungsträger proportional zum Quotienten von Kraft und Ladung
ist: v ∼ F/Q. Es gilt demnach:
Netzwerke
Unter einem Netzwerk versteht man die
Zusammenschaltung mehrere Widerstände
miteinander. Dabei sind folgende Strukturen zu unterscheiden:
• Knoten: Kreuzungspunkte mehrere
Leitungsbahnen
• Maschen: geschlossene Leitungsbah-
nen
1. Kirchhosches Gesetz: Knotenregel
Das erste Kirchhosche Gesetz beschreibt
das Gesetz der Ladungserhaltung. In einem
Leiter kann weder Ladung entstehen noch
verschwinden. Daher müssen alle Ladungen
die in einen Knoten reingehen auch wieder
herauskommen. Die zuströmenden Ladungen in einen Knoten bekommen ein positives Vorzeichen, die abieÿenden ein negatives. Es gilt:
X
F
v =µ·
Q
I hin =
X
I weg
Also gilt für das 1. Kirchhosche Gesetz:
Bei einer zeitlich konstanten Spannung
Ii = 0
spricht man von Gleichspannung, bei
i
zeitlicher Veränderung von einer Wechselspannung (Analog dazu: Gleichstrom, 2. Kirchhosches Gesetz: MaschenreWechselstrom).
gel
X
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FLÜSSIGKEITSSTRÖMUNGEN
Das zweite Kirchhosche Gesetz beschreibt Der Gesamtwiderstand ergibt sich als Sumden Energieerhaltungssatz. Demnach he- me der Einzelwiderstände:
ben sich alle auftretenen Spannungen im
RGesamt = R1 + R2
Netz auf.
X
Ui = 0
D.h. der Gesamtwiderstand ist gleich
der Summe der Einzelwiderstände zusamDie Spannungsquelle hat eine Stromrich- men.
tung die mit der Zählrichtung überein- Messungen
stimmt. Die Spannungsquelle stellt eine
Spannungserhöhung da, während ein Wi- Bei Messungen von Strom muss der Amderstand einen Spannungsabfall zur Folge peremeter in Reihe geschaltet sein. Um syshat. Ein Widerstand hat eine Zählrichtung tematische Messfehler gering zu halten, hat
entgegeben der Stromrichtung. Spannun- der Amperemeter einen niedrigen Innengen mit der Zählrichtung bekommen ein widerstand. Bei Messungen der Spannung
positvies Vorzeichen. Spannungen entgegen muss der Voltmeter parallel geschaltet werden. Um Messfehler zu vermeiden, hat ein
der Zählrichtung ein negatives.
Voltmeter einen hohen Innenwiderstand.
i
Schaltungen
6 Flüssigkeitsströmungen
Parallelschaltung
Druck
Bei einer Parallelschaltung gilt, das die
Spannung an allen Punkten gleich bleibt, Druck ist Kraft pro einer Fläche A.
während der Strom sich aufteilt, sodass für
F
den Gesamtstrom gilt: I Gesamt = I 1 + I 2
p=
A
Für den Gesamtwiderstand gilt, das sein
Kehrwert, aus der Summe der Kehrwerte
der Einzelwiderstände hervorgeht.
1
=
[p] =
N
= P a, P ascal
m2
Kompressibilität
1
1
+
R1 R2
Die Kompressibilität gibt die relative Volumenänderung bei Druckänderung an. FlüsD.h. der Gesamtwiderstand ist stets kleiner sigkeiten sind annährend inkompressibel,
als die Summe der Einzelwiderstände.
d.h. sie ändern ihr Volumen nicht bei
Druckänderung.
Reihenschaltung
RGesamt
Hydrostatischer
druck)
Bei einer Reihenschaltung gilt, das der
Strom an allen Punkten gleich ist, während die Spannung sich aufteilt und die
Gesamtspannung sich als Summe der Einzelspannungen darstellt (Spannungsteiler).
Druck
(Schwere-
Der Druck, der durch die Schwerkraft auf
Fluide (Flüssigkeiten und Gase) wirkt (z.B.
Luftdruck, Tiefendruck). Die Bestimmung
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FLÜSSIGKEITSSTRÖMUNGEN
des Schweredrucks läuft über eine Säule In einem Rohr mit der Kreisäche A gilt für
(Säulenmanometer). Für den Schweredruck eine mittlere Geschwindigkeit v der Teilgilt das Pascalsche Gesetz:
chen in der Strömung:
p=
FG
=ρ·g·h
A
I =A·v
Die Dichte ρ ist bei einer inkompressiblen Flüssigkeit überall in der Säule gleich.
Dementsprechend ist der Schweredruck nur
Abhängig von der Höhe, also unabhängig
von der Gefäÿform. Für den Schweredruck
(auch beim Blutdruck) wird die Einheit
mmHg benutzt, da früher der Druck durch
eine Quecksilbersäule gemessen wurde. Es
gilt zum Umrechnen:
1 T orr = 1mmHg = 1, 33hP a = 133
Auÿerdem gilt bei einem Rohr von unterschiedlichem Durchmesser und damit
unterschiedlichen Geschwindigkeiten der
Flüssigkeit und Kreisächen für eine Flüssigkeit:
A1
v1
=
v2
A2
Es liegt nach Bernouille eine höhere mittlere Strömungsgeschwindigkeit an Querschnittsverengungen vor.
Druckdierenz ∆p
N
m2
Analog zur Spannung lässt sich die DruckDer Luftdruck beträgt 1013, 25hP a. Auÿer- dierenz einer Flüssigkeitsströmung von
dem gilt für die Einheit bar:
Punkt A zu Punkt B bei einem höheren
Druck bei A denieren: ∆p
1 bar = 1000hP a = 750mmHg
Sie stellt die Kraft der Strömung dar. Für
die Durchblutung von Gefäÿen z.B. kann
Beim Blutdruck messen wird der Blut- man die Volumenstromstärke als Funktidruck des Herzens und der hydrostatische on der Druckdierenz auftragen. Durch die
Druck gemessen. Daher ändern sich die Kurven für die jeweiligen Gefäÿe lässt sich
Blutdruckwerte, je nachdem ob am Fuÿ feststellen, das alle Gefäÿe bei einem kritioder Arm gemessen wird. Bei erhobenen schen Verschlussdruck ∆pkrit. sich verschlieArm können sogar durch den Verschluss- ÿen.
druck die Werte sich ändern.
Strömungswiderstand R
Grundgröÿen
Volumenstromstärke I
Analog zum elektr. Strom lässt sich die
Volumenstromstärke I denieren, als das
von der Flüssigkeitsströmung transportierte Volumen (Teilchen) pro Zeit.
I=
m3
dV
, [I] =
dt
s
Analog zum elektr. Widerstand lässt sich
ein Strömungswiderstand als Wechselwirkung zwischen Teilchen des Flüssigkeit mit
der Röhrenwand, bzw. als innere oder äuÿere Reibungen zwischen den Teilchen denieren:
R=
Ns
∆p
, [R] = 5
I
m
Hier gilt das ohmsche Gesetz für Flüssigkeitsströmungen. Gilt die Beziehung I ∼
∆p ist der Widerstand konstant. Solche
10
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FLÜSSIGKEITSSTRÖMUNGEN
Flüssigkeiten werden Newtonsche Flüs- Gesetz von Hagen-Poiseuille
sigkeiten genannt.
Für eine laminare Strömung einer newDer Strömungswiderstand ist abhängig von
tonschen Flüssigkeit in einem kreisrunden
der Viskosität.
Rohr der Länge l und dem Radius r gilt
für den Widerstand R:
Strömungsgeschwindigkeit
Für die mittlere Strömungsgeschwindigkeit
v gelten folgende Beziehungen:
I = ∆p/R also I = dV /dt
v =I ·t
·t
v = ∆p
R
8·η·l 1
· 4
π
r
Daraus ergibt sich: I ∼ r4 und es folgt die
Abhängigkeit des Strömungswiderstands
vom Radius:
R ∼ r−4
4
v=
R=
∆p · r · π
·t
8η · l
Strömungsarten
Laminare Strömung
Flüssigkeiten ieÿen entlang sog. Stromächen. Liegen alle Stromächen parallel liegt eine laminare Flüssigkeit vor.
Die Stromächen ieÿen als Ganzes in eine Richtung. Für die Geschwindigkeit der
Stromächen in einem kreisrunden Rohr
gilt, das sie je näher sie dem Mittelpunkt
des Rohres kommen, desto schneller ieÿen
(Parabloidale Form der Strömungsächen
im Querschnitt). Die Geschwindigkeit ist
also Abhängig vom Radius, es gilt: v = v(r)
und daher auch für v(r) = max bei r = 0
(Röhrenmitte) und v(r) = 0 am Gefäÿrand
(Adhäsionskräfte in Abhängigkeit der Viskosität). Viskose (zähüssige) Flüssigkeiten
mit einem langsamen Strom neigen mehr
dazu laminar vorzuliegen.
Das bedeutet, das kleine Veränderungen im
Radius des Rohres groÿe Änderungen des
Widerstandes zufolge haben.
Beispiel: Ein Blutgefäÿ vom Radius r verstopft. Sein Radius verringert sich um die
Hälfte r = 1/2. In der Formel eingesetzt
ergibt dies: (1/2)4 = 1/16. Da der Widerstand vom Kehrwert des Radius proportional abhängt, ergibt dies eine Erhöhung
des Widerstandes vom Blutgefäÿes um den
Faktor 16! (Der vordere Term des Gesetzes
kann als Konstant gehandelt werden).
Das Gesetz von Hagen-Poiseuille ist strenggenommen im Blutkreislauf nicht gültig,
da dort elastische Fasern vorliegen, die
Windkesselfunktion eine Rolle spielt und
Blut durch seine ortsabhängige Viskosität
und daher veränderlichem Widerstand eine
nicht-newtonsche Flüssigkeit ist.
Kontinuitätsgleichung
Für inkompressible Flüssigkeiten gilt, das
sie bei verringertem Röhrenquerschnitt
schneller strömen:
Viskosität
I 1 = v 1 · A1 = I 2 = v 2 · A2
Die Viskosität η beschreibt die ZähüssigA2
v1 = v2
keit eines Fluids, die durch innere ReibunA1
gen von strömenden Teilchen zueinander
Für A2 > A1 gilt das v 1 > v 1 .
entsteht. η wird in N s/m2 oder P a · s angegeben.
Satz von Bernoulli
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Nach dem Satz von Bernoulli ist in strömenden Fluiden der Druck geringer als
in ruhenden. D.h. es liegt ein Druckabfall
dort vor, wo die Strömungsgeschwindigkeit
v gröÿer ist (Energieerhaltung). Bei Strömungen liegt ein Druckabfall vor. Es gilt
für eine Flüssigkeit der Dichte ρ:
7
SPEKTRALANALYSE
Netzwerke
Für verzweigte Röhrensysteme gelten analog zu elektrischen Netzwerken die Kirschhoschen Gesetze (Knoten- und Maschenregel) wie auch die Gesetze der
Reihen- und Parallelschaltung. Rechnerisch muss nur der elektrische Strom
1
p + ρ · v 2 = konstant
durch den Volumenstrom ersetzt werden,
2
sowie die Spannung U durch die DruckdifBei idealen Flüssigkeiten, d.h. Reibung in ferenz ∆p.
Flüssigkeit wird vernächlässigt, gibt es ein
Druckabfall bei Strömung in der Röhre. Der
Satz von Bernoulli kommt beim Auftrieb 7 Spektralanalyse
von Flugzeugen zu tragen und bei der Stimmerzeugung (Phonation) an den Stimmbändern.
Licht
Turbulente Strömung
Fluide geringer Viskosität und schnellem
Strom neigen zu Turbulenzen. Turbulenzen sind Verwirbelungen der Stromächen,
die nicht mehr mehr parallel, sondern Hintereinander oder Nebeneinander verlaufen.
Dies geschieht bei Überschreitung einer
Grenzgeschwindigkeit, daher setzen Turbulenzen in der Röhrenmitte ein oder bei Hindernissen (Herzklappe). Die Wirbel führen
zu Reibungsächen was zu Energieverlust
führt.
Reynoldszahl
Die dimensionslose Reynoldszahl gibt Auskunft über das Eintretten von Turbulenzen.
Bei Überschreitung eines kritischen Wertes
(ungefähr 1000) der Reynoldszahl tritt mit
einer gewissen Wahrscheinlichkeit Turbulenz ein. Für ein kreisrundes Rohr des Radius r und der Dichte des Flüssigkeit ρ gilt
bei einer spitzen Flüssigkeitsströmungsgeschwindigkeit v für die Reynoldszahl Re:
Re =
r·v·ρ
η
Licht ist eine elektromagnetische Welle aus
Lichtteilchen (Photonen), das nicht an Materie gebunden ist, wie z.B. Schall (WelleTeilchen-Dualismus des Lichts). Daher lassen sich die Wellengesetze auf das Licht anwenden:
c=f ·λ
Für die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum
c0 = 3 · 108 m/s. Die Lichtgeschwindigkeit ist abhängig von der Materie. In Luft
gilt ungefähr c0 . Die Lichtwelle ist gequantelt. Für die Quantenenergie W des Lichts
gilt:
W =h·f =h·
c
λ
h ist das Plancksche Wirkungsquantum.
Es ist eine Naturkonstante mit dem Wert:
6, 626 · 10−34 Js.
Das Licht lässt sich durch durch Auftragung der Energie gegen die Wellenlänge
in ein Elektromagnetisches Spektrum aufteilen. Wellenlänge von 400nm bis 700nm
sind das für uns sichtbare Licht. Wellenlängen unter 400nm werden als Ultraviolettes Licht (UV) bezeichnet. Über 700nm
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als Infrarotes Licht (IR). IR Licht entspricht Wärmestrahlung. Es ist langwellig
und hat eine geringe Energie. Kurzwelliges UV-Licht hat eine hohe Energie. Das
sichtbare Licht ist aufgeteilt in verschiedene spektrale Farben (Farbspektrum), dabei ist kurzwellig eher Blau und langwellig
eher Rot. Es ergibt sich das additive Farbsystem. Alle Farben zusammen ergibt weiÿes Licht, keine Farbe (also kein Licht) ist
schwarz.
Materie ist in der Lage Licht zu absorbieren oder emmitieren. Absorbtion und
Emmitierung von Licht funktioniert auf
Teilchenebene durch Sprünge von Elektronen auf energetisch höhere Schalen und
deren Rückkehr in ihre Ursprungsschale.
Farbige Materie absorbiert Licht eines bestimmten Farbbereiches. Das nicht absorbierte Licht wird reektiert und vom Auge
als Farbe des Stoes wahrgenommen, die
absorbierte Farbe wird als Komplementärfarbe bezeichnet, da es das Spektrum
komplementieren würde. Bei der Spektralanalyse macht man sich die Eigenschaft der Absorption und Emittierung von
Licht durch Materie zu nutze. Jedes Element erzeugt dadurch ein sog. Linienspektrum (absorbierte und emmitierte Strahlen,
es entstehen Lücken im Spektrum). Dieses
diskrete Spektrum ist ein Charakteristikum
für Stoe.
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SPEKTRALANALYSE
sion zur verwendeten Wellenlänge des Lichtes. Die Transmission T ist der Quotient
der Intensität des Lichts I 0 (Leistung des
Lichts pro Fläche senkrecht zur Strahlung)
vor dem Einfall in den Sto zur Intensität des Lichts nach Absorption I durch den
Sto.
T =
I
I0
Die Transmission wird üblicherweise in
Prozent angegeben. Um das Licht in sein
Spektrum aufzuteilen, um nur bestimmte Wellenlänge auf die Probe zukommen
zu lassen, wird das Licht einer Lampe
durch ein Spektralapparat geschickt, das
das Licht in seine Spektralfarben aufteilt.
Hier wird ein Prisma verwendet, also ein
Prismenspektralapparat.
Dispersion
Das Auftrennen des Lichts in sein Spektrum ist durch ein Prisma auf Grund der
Brechung und Dispersion möglich. Für die
Brechung ist die Brechzahl n als Quotient
von der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum
zu der Geschwindigkeit des Lichts in gegebener Materie entscheidend:
n=
c0
c
n ist ungefähr 1 in Luft.
Die Brechung erfolgt nach dem Brechungsgesetz von Snellius:
Analyseverfahren
Da die Absorptionsfähigkeit eines Stoffes spezisch ist, macht man sich dieses
bei der Stoanalyse zu nutze. Jeder Sto
hat einen spezischen Absorptionsmaximum bei einer bestimmten Wellenlänge des
Lichts. Zur Ermittlung dieser Wellenlänge wird ein Absorptionsspektrum ermittelt. Dies ist die Auftragung der Transmis-
sin α1
n2
=
sin α2
n1
Die Brechung des Lichts in sein Farbspektrum erfolgt dadurch, das das Licht dank
Prima durch verschiedene Brechzahlen gehen muss und es durch die Dispersion,
also der Abhängigkeit der Brechzahl von
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MEMBRANSPANNUNG
der Wellenlänge, das Licht in seine verschiedenen Wellenlängen aufgeteilt wird.
Es ändert sich also der Brechungswinkel
mit der Wellenlänge. Das Auösungsvermögen des Spektralapparats ist abhängig
von der Breite des schmalen Spalt, wo das
Licht austritt.
leicht für einen bekannten Sto unbekannter Konzentration durch die gemessene Extinktion die Konzentration des Stoes berechnen.
Lambert-Beersches-Gesetz
Transportvorgänge
Das nun in seine Spektralfarben zerlegte Licht lässt sich monochromatisieren (eine Wellenlänge wird durchgelassen). Dieses Licht kann auf die Probe mit der Konzentration c und der Schichtdicke d des
Gefäÿes, in dem es sich bendet, geleuchtet werden. Es ist festzustellen, das die
Transmission exponentiell abhängig ist von
der Schichtdicke und der Konzentration des
Stoes:
Diusion
T (d, c) = e−k·c·d
Dies ist das Lambert-Beersche-Gesetz. Die
Transmission nimmt also exponentiell mit
der Schichtdicke (bzw. Konzentration) ab.
k ist der Absorptionskoezient. Der Absorptionskoezient ist abhängig von der
Wellenlänge oder der Frequenz des Lichts.
Bei d = k−1 ist T ≈ 37% = 1/e. k−1 entspricht ungefähr 16mm der sog. Absorptionslänge δ . Die Halbwertsdicke d1/2 ist
die Dicke, bei der noch 50% der Strahlung
durchgelassen wird. Da gilt: k = δ −1 gilt
für die Halbwertsdicke d1/2 = 0.7 · δ .
Die in der Biochemie und Photometrie üblichere Form des Gesetzes lautet wie folgt:
E = − lg T = − lg
I
=k·c·d
I0
8 Membranspannung
Als Diusion wird die ungerichtete brownsche Molekularbewegung von Teilchen bezeichnet, die eine Verteilung der Teilchen
im Raum zur Folge hat. Diese Verteilung
führt bei Konzentrationsgradienten oder
elektrischen Gradienten zum Ausgleich der
Potentiale. Die Diusion ist bestrebt chemische Potentiale auszugleichen. Die Diffusion ist Temperaturabhängig. Es lässt
sich denieren die Diusionsstromdichte
j als Teilchen pro Zeit in einer Fläche
T eilchen/(Zeit · F laeche). Für den Teilchenstrom J der Diusion durch eine Fläche A gilt, das sie proportional zu einem
Konzentrationsgefälle ist bei einem zeitlich
konstanten Diusionsuss:
J = −A · D ·
∆c
∆x
D ist der Diusionskoezient. Für D gilt,
das es bei steigender Molekülmasse sinkt,
bei steigender Temperatur steigt und bei
abfallender Viskosität ebenfalls steigt. Das
negative Vorzeichen kommt daher, das es
ein Konzentrationsgefälle ist. Dies ist das
1. Ficksche Gesetz.
E ist dabei die Extinktion, daher wird k Das 2. Ficksche Gesetz beschreibt eine Be-
auch als Extinktionskoezient bezeichnet. ziehung zwischen zeitlichen und örtlichen
Daher lässt sich durch dieses Verfahren Konzentrationsunterschieden.
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MEMBRANSPANNUNG
Bei Membranen spielen Diusionen auch Membranspannung
eine Rolle. Für eine Membran wird über seine Durchlässigkeit für Ionen die Permeabilität P angegeben in Abhängigkeit von der Bei einer selektiv permeablen Membran
Membrandicke d und dem Diusionskoe- kann durch den Transport von Ladungsträzienten der Membran DM :
gern auf den beiden Seiten der Membran
jeweils unterschiedliche Ladungen auftauDM
P =
chen, welches verschiedene Potenziale erd
zeugen. Durch die entstehende PotenzialFür den Diusionsstrom ergibt sich daher dierenz zwischen den beiden Seiten der
bei einer Auÿenkonzentration ca zu einer Membran liegt eine elektrische Spannung
Innenkonzentration ci :
vor. Bei einer Auÿenkonzentration ca und
einer Innenkonzentration ci einer IonenJ M = −A · P (ca − ci ) = −P · A · ∆c
sorte bei einer selektiv permeablen MemTypische Membrandicke bei Zellen: 10nm. bran ergibt sich für die MembranspanFolgende Permeabilitäten (Durchlässigkei- nung U M (Potenzialdierenz) die Nernstten für bestimmt Stoe) können bei Mem- Gleichung:
branen charakterisiert werden:
• semipermeabel: Durchlässig nur für
UM =
das Lösungsmittel
k B · T ca
ln
z·e
ci
• selektiv permeabel: Durchlässig nur
k B : Boltzmann-Konstante 1, 3807·10−23 J/k
T : Temperatur in Kelvin (0◦ C = 273.15K)
37◦ C = 310K
Osmose
e: Elementarladung (Ladung eines ElekOsmose ist die Diusion durch eine se- trons): 1, 602 · 10−19 C = J/V
mipermeable Membran eines Lösungsmit- z : Wertigkeit des Ions
tels. Das Lösungsmittel ist bestrebt einen c: Konzentration in mol/L
für eine Ionensorte
Konzentrationsausgleich vorzunehmen. Osmose entsteht durch Konzentrationsausgleich und Druckdierenz, es liegen also zwei treibend Kräfte vor. Für den
durch die Osmose entstandenen osmotischen Druck posm gilt das Van't hosche
Gesetz:
n
·R·T
V
= ∆c · R · T
posm =
posm
Mit der universellen Gaskonstante R =
8, 3J/(K ·mol). Das Resultat kann eine Polarisierung des System zwischen den Bereichen vor und hinter dem Membran sein,
was wiederum zu einer Spannung führt
(Membranspannung).
Die Nernst-Spannung beschreibt dabei den
Zustand des Gleichgewichts zwischen Diffusionsstrom und der Spannung. Es gilt die
Konvention das die Auÿenmembran in Zellen geerdet ist (U=0V).
Bei physiologischen Membranen gilt, das
sie nicht vollständig selektiv permeabel sind. Da nun weitere Ionensorten für die Potentialbildung von Bedeutung sind, muss man eine Erweiterung
der Nernst-Gleichung, die GoldmannGleichung verwenden. Bei einer dominierenden Ionensorte ist die Nernst-Gleichung
wieder ertragbar.
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Stomengenberechnung
Beziehung zwischen der Stomengendichte
n in mol, der Masse m in Gramm und der
molaren Masse M in g/mol:
n=
m
M
Für die Konzentration c in mol/L gilt in
einem Volumen V in Liter:
c=
n
V
Für Mol gilt, das 1 Mol 6 · 1023 (AvogadroZahl N A ) Teilchen entspricht.
n=
N
NA
Für die Dichte ρ in kg/m3 eines Stoes
gilt:
ρ=
m
V
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MEMBRANSPANNUNG