Graphenalgorithmen Übung – Blatt 3

Fakultät für Informatik
Lehrstuhl 11 / Algorithm Engineering
Dr. Markus Chimani
Wintersemester 2009/10
Graphenalgorithmen Übung – Blatt 3
Ausgabe: 18. November — Besprechung: 30. November
Aufgabe 3.1: Eulersche Polyederformel für planare Graphen
Gegeben ein zusammenhängender, eingebetteter Graph G = (V, E) mit |V | ≥ 3 und den
Faces F . Schon Euler wusste: |V | − |E| + |F | = 2. — Aber warum? Gib einen Beweis dazu
an.
Aufgabe 3.2: Maximale Kantenanzahl
Aus |V | − |E| + |F | = 2 kann man |E| ≤ 3 · |V | − 6 folgern. — Warum?
Aufgabe 3.3: Einbettung
Sei ein zusammenhängender, planarer Graph G = (V, E) kombinatorisch eingebettet, d.h. für
jeden Knoten v ∈ V liefert die Funktion A(v) eine gegen den Uhrzeigersinn sortierte zyklische
Liste der zu v inzidenten Kanten. Darüber hinaus kann man mit succ(e, v) und pred(e, v) den
zyklischen Nachfolger bzw. Vorgänger der Kante e um den Knoten v erhalten.
Wir möchten von einem gegebenen Knoten v ∈ V aus, alle zu v inzidenten Faces genau einmal
ablaufen. Wie geht das algorithmisch in linearer Zeit?
Hinweis 1: Beachte, dass der Knoten v auch ein Schnittknoten in G sein könnte. Insbesondere
kann er auch zu verschiedenen Knoten mit Grad 1 adjazent sein.
Hinweis 2: Ein Face abzulaufen bedeutet die (zyklische) Reihenfolge seiner Kanten anzugeben.
Solch ein Ablauf ist also i.A. ein Walk, d.h. wenn eine Kante 2x (einmal „pro Seite“) abgelaufen
wird, so ist sie auch 2x anzugeben.
Aufgabe 3.4: 6-fach Zusammenhängend und Planar
Kann ein 6-fach zusammenhängender Graph planar sein? Gib einen solchen an, bzw. erkläre
warum kein solcher Graph existieren kann.
Definition: Ein Graph G = (V, E) mit |V | > 6 ist 6-fach zusammenhängend genau dann
wenn es keine Knotenmenge U ⊂ V mit |U | < 6 gibt, durch deren Wegnahme G in mehrere
Zusammenhangskomponenten zerfallen würde.
Kurzvortrag 3.5: Einbettung mit minimaler Tiefe
Fasse die Problemstellung und den Algorithmus zusammen, die in dem Paper Minimum Depth
Graph Embedding von Maurizio Pizzonia und Roberto Tamassia (Proceedings ESA 2000, LNCS
1879, 356–367, Springer Verlag, 2000) vorgestellt werden.
Kurzvortrag 3.6: Außenplanare Graphen
Was sind outerplanar graphs und k-outerplanar graphs? Was haben sie für Eigenschaften (z.B.
Treewidth, etc.), wie lassen sie sich klassifizieren, usw.?