Brückenschaltungen (BRÜ)

Gruppe 8 (Montag)
Simone Lingitz; Sebastian Jakob
Brückenschaltungen (BRÜ)
Gruppe 8
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Gruppe 8 (Montag)
Simone Lingitz; Sebastian Jakob
1 Einführung
Dieser Versuch beschäftigt sich mit der Messung von Widerständen mit Hilfe der
Brückenschaltung. Im „alltäglichen“ Gebrauch werden Widerstände mit Hilfe von
Messgeräten bestimmt, indem man das Strommessgerät in den Stromkreis einbaut und das
Spannungsmessgerät parallel schaltet. Da aber nun auch durch das parallel geschaltete
Voltmeter ein Strom fließt, wird mit dem Amperemeter ein um diesen Teil verfälschter Strom
gemessen. Sollen nun aber hiervon nicht beeinflusste Ergebnisse ermittelt werden, so kann
auf eine andere Messvariante zurückgegriffen werden. Diese bedient sich der
Brückenschaltungen. Brückenschaltungen bestehen im allgemeinen aus vier Widerständen
(evtl. auch komplex) und einem Amperemeter. Jeweils zwei Widerstände sind in Serie
geschaltet und bilden mit den anderen beiden Widerständen wiederum eine Parallelschaltung.
An dieser Parallelschaltung liegt eine Spannung an, das Amperemeter ist mit dem Eingang
zwischen den beiden Wiederstände des ersten Teils der Parallelschaltung angeschlossen, der
Ausgang liegt an der Verbindungsstelle der anderen beiden Widerstände an. Die zwei
Widerstände des einen Astes der Parallelschaltung sind in der Praxis durch einen
Spannungsteiler (Potentiometer) ersetzt an dem das Verhältnis der beiden Widerstände
eingestellt werden kann. Im anderen Ast sitzen der zu messende Widerstand sowie ein
Widerstand bekannten Wertes. Von einer Abgeglichenen Brücke(nschalutung) kann
gesprochen werden, wenn das Amperemeter keinen Ausschlag anzeigt, d.h. die beiden
Messpunkte auf dem gleichen Potential liegen.
Nicht nur der „klassische“ ohmsche Widerstand kann mit dieser Schaltung bestimmt werden.
In einem Wechselstromkreis besitzen auch Spulen und Kondensatoren (zusätzlich zum
ohmschen) einen komplexen Widerstand. Dieser ist von der jeweiligen Kenngröße
(Induktivität bzw. Kapazität) und der Frequenz der anliegenden Wechselspannung abhängig.
Auch diese Impendanzen können mit Hilfe einer Brückenschaltung bestimmt werden, indem
anstelle des zu messenden Widerstandes das jeweilige Bauteil eingesetzt und an eine
Wechselspannung angeschlossen wird.
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2 Versuchsdurchführung und Auswertung
1. Aufgabe:
Abgleichbedingungen für die Schaltungen 6a):
Der komplexe Ersatzwiderstand Z1 von R1 und C1 berechnet sich durch
1
1
=
+ iω ⋅ C1 und
Z1 R1
i
. Die anderen
ω ⋅ C2
beiden Widerstände Z3 und Z4 entsprechen den ohmschen Widerständen R3 und R4.
der komplexe Ersatzwiderstand Z2 von R2 und C2 durch Z 2 = R2 −
Z2 Z4
=
Z1 Z 3
⎞
Z2 ⎛
i ⎞ ⎛ 1
⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ + iω ⋅ C1 ⎟⎟ =
= ⎜⎜ R2 −
ω ⋅ C 2 ⎠ ⎝ R1
Z1 ⎝
⎠
R2 ⎛
1 ⎞ C1
⎟+
+ i⎜⎜ R2ωC1 −
R1 ⎝
R1ωC 2 ⎟⎠ C 2
Die Abgleichbedingung (*) lautet ⇔
Da Z4 und Z3 real sind, muss der Imaginärteil dieser Formel Null sein, also:
R2ωC1 =
1
1
⇔ω2 =
.
R1ωC 2
R1C 2 R2 C1
Für den Realteil ergibt sich mit (*):
R4 R2 C1
.
=
+
R3 R1 C 2
Abgleichbedingungen für die Schaltungen 6b)
Mit Z1 und Z2 als komplexe Ersatzwiderstände für R1 und L1 bzw. R2 und L2 ergibt sich
1
1
i
; Z 2 = R2 + iωL2
=
−
Z 1 R1 ωL1
⎛ 1
Z2
1 ⎞ L2
i ⎞ R2 ⎛ 1
⎟⎟ =
⎟⎟ +
= (R2 + iωL2 ) ⋅ ⎜⎜ −
+ i ⎜⎜ ωL2 − R2
Z1
R
ω
L
R
R
ω
L
L1
1 ⎠
1
1 ⎠
⎝ 1
⎝ 1
Da der Imaginärteil dieser Gleichung wieder Null sein muss, muss gelten:
R
R
L
LL
1
1
ωL2 = R2
⇔ 1 2 = ω 2 . Für den Realteil gilt dann: 4 = 2 + 2 .
R3 R1 L1
R1
ωL1
R1 R2
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2. Aufgabe:
Widerstandsbestimmung mit einer Gleichspannungsbrücke
Bei der Schaltung für diesen Abschnitt des Versuches handelt es sich um eine sog.
„Wheatstonesche Brücke“, ihr Aufbau wurde bereits in der Einleitung beschrieben, zur
besseren Veranschaulichung hier das Schaltbild (Abbildung 2.1).
R?
Rvgl
Helipot
U
I
ist der zu bestimmende Widerstand
ist der gegebene Vergleichswiderstand mit bekannter Widerstandswert
ist das zum Abgleichen verwendete Potentiometer.
kennzeichnet die Gleichspannungsquelle die die Spannung U liefert
kennzeichnet das Amperemeter und den gemessenen Strom I
(in abgeglichenem Zustand: I=0)
Einschub Fehlerrechnung:
Der Fehler, der beim Abgleichen in die Messung einfließt richtet sich nach folgenden
Kriterien:
Die Skaleneinteilung des Helipolt ist auf 0,1% genau und die Ablesegenauigkeit ist ein
Skalenteil.
Der Vergleichswiderstand bzw. der vorgegebene Kondensator hat (laut Tutor) einen Fehler
von 1%.
Es handelt sich bei den angeführten Fehlern um systematische Fehler, d.h. die Fehler werden
linear addiert (laut ABW). Der zu bestimmende Widerstand (Kapazität, Induktivität analog)
berechnet sich aus der Formel R1 / R2 = A /(1000 − A) und der Fehler des zu bestimmenden
Widerstandes R2 ( C 2 und L2 analog) ergibt sich daher über folgende Formel und wurde der
Übersicht halber in die jeweiligen Tabellen bei den Messwerten eingefügt.
∆R2 / R2 = ∆R1 / R1 + ∆A / A + ∆(1000 − A) /(1000 − A) =
= ∆R1 / R1 + ∆A / A + ∆A /(1000 − A)
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Mittelwerte und Fehler werden nachfolgenden Formeln berechnet:
1 n
Mittelwert: x = ∑ xi , wobei n die Anzahl der Versuche ist.
n i =1
Der Fehler dieses Mittelwerts, also der statistische Fehler berechnet sich auf einem
Vertrauensniveau von 68,26% mit der Formel:
t
mit t=1,32 für n=3, t=1,20 für n=4, t=1,15 für n=5, t=1,11 für n=6.
∆x = s
n
a) Schiebewiderstand
Nun wird mit der Schaltung aus Abbildung 2.1 der Maximalwiderstand eines regelbaren
Widerstandes gemessen. Der zu messende Regelwiderstand wird an die Stelle R? in der
Schaltung eingebaut. Für den Vergleichswiderstand werden bei gleichbleibender Spannung in
drei unterschiedlichen Messdurchläufen drei verschiedene Werte gewählt.
Der 30 Ohm Widerstand setzt sich aus einer Serienschaltung eines 10Ohm und eines 20Ohm
Widerstandes zusammen.
Es können folgende Messwerte gewonnen werden:
Spannung U= 0,5V
Messung
Vergleichswiderstand [Ohm] Skalenwert
Widerstand [Ohm] Fehler [Ohm]
1
10
88
103,6
2,44
2
30
226
102,7
1,75
3
100
493
102,8
1,64
Der Mittelwert des gemessenen Widerstandes ergibt sich zu 103,1 Ohm und der Fehler des
Mittelwertes beträgt 0,37 Ohm.
Die Messwerte liegen nicht innerhalb der Messunsicherheit (aber nur knapp). Der zu große
Widerstand könnte von den Widerständen der Kabel kommen, die bei der Fehlerrechnung
nicht berücksichtigt wurden (die verwendeten Kabel waren sehr lang, da keine kürzeren mehr
zur Verfügung standen).
l
Aber bei genauerer Überlegung gilt für den Widerstand eines Leiters: R = ρ
A
2
Wobei ρ= 0.0175 Ω* mm /m der spezifische Widerstand (hier von Kupfer), l die Länge des
Leiters und A dessen Querschnitt sind, somit haben die Kabel von etwa 2m Länge und einem
Querschnitt von 1,5 mm2 einen Widerstand von R= 0,13Ω. Dieser Wert liegt in etwa um den
Faktor 4 bis 10 über den Werten der restlichen Kabel (Längenunterschiede), ist aber im
Vergleich zum zu messenden Widerstand vernachlässigbar. Der Fehler lässt sich durch eine
falsch justierte Skala auf dem zu messenden Widerstand erklären oder durch
Fertigungsschwankungen bei selbigem. Auch möglich ist eine Beeinflussung durch das nicht
bekannte Innenleben (Leiterquerschnitt, Materialien, kalte Lötstellen, etc.) der Steckplatte, auf
der die Messungen durchgeführt wurden.
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b) Glühbirne
Anstelle des regelbaren Widerstandes aus Teil b) wird nun eine Glühbirne eingesetzt. Auch
hier werden drei Messungen mit jeweils unterschiedlichen Vergleichswiderständen
durchgeführt. Die Messungen liefern:
Spannung U= 3V
Messung
Vergleichswiderstand [Ohm] Skalenwert
Widerstand [Ohm] Fehler [Ohm]
1
10
98
92,0
2,06
2
100
603
65,8
1,10
3
200
809
47,2
1,02
Hier ist eine Mittelwertbildung nicht sinnvoll, da die Werte zu sehr differieren.
Das Ergebnis lässt sich damit erklären, dass sich der Draht des Lämpchens mit zunehmendem
Stromfluss durch das Lämpchen erwärmt, also desto stärker, je kleiner der Vorwiderstand R2
ist und somit der Widerstand des Drahtes größer wird (Temperaturabhängigkeit siehe
Teilaufgabe c)).
c) Glühbirne
Hier wird nun die selbe Glühbirne wie in Abschnitt b) verwendet, die prinzipielle Schaltung
bleibt ebenfalls unverändert. Es werden nun zwei Messreihen mit unterschiedlichen
Vergleichswiderständen und jeweils unterschiedlichen Spannungen durchgeführt.
Der 200 Ohm Widerstand besteht aus zwei 100 Ohm Widerständen (Serienschaltung).
1-1
1-2
1-3
1-4
1-5
1-6
2-1
2-2
2-3
2-4
2-5
2-6
Vergleichswiderstand [Ohm] Spannung [V] Skalenwert Widerstand [Ohm] Fehler [Ohm] Strom [mA] Fehler [mA]
10
0,5
218
35,9
0,62
13,94
0,38
10
1
141
60,9
1,18
16,41
0,48
10
2
109
81,7
1,75
24,47
0,77
10
3
98
92,0
2,06
32,59
1,06
10
4
90
101,1
2,36
39,56
1,32
10
5
86
106,3
2,53
47,05
1,59
200
0,5
910
19,8
0,66
25,28
1,10
200
1
903
21,5
0,68
46,55
1,94
200
2
865
31,2
0,81
64,07
2,30
200
3
816
45,1
1,00
66,52
2,14
200
4
780
56,4
1,15
70,91
2,15
200
5
755
64,9
1,26
77,04
2,27
Der Strom ist der Quotient aus Spannung und Widerstand. I = U / R
Für ihn kann der Fehler folgendermaßen berechnet werden: ∆I / I = ∆U / U + ∆R2 / R2 . Der
Fehler für den Widerstand ergibt sich wieder aus der Formel von oben.
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Wird der Widerstand gegen den Strom aufgetragen, ergibt sich folgendes Diagramm:
Strom - Widerstand
Widerstand [Ohm]
120,0
92,0
100,0
101,1 106,3
81,7
80,0
60,9
60,0
56,4
45,1
31,2
35,9
40,0
21,5
64,9
19,8
20,0
0,0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Strom [mA]
Vergleichswiderstand 10 Ohm
Vergleichswiderstand 200 Ohm
Der Widerstand des Lämpchens steigt mit der Stärke des durchfließenden Stromes an. Er lässt
sich durch die Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstands des Drahtes und die
Temperaturabhängigkeit der abgeführten Heizleistung erklären. Je wärmer der Draht wird,
desto mehr Wärme wird auch abgestrahlt, d.h. mehr Energie wird in Wärme umgewandelt
und das ist genau das, was einen ohmschen Widerstand ausmacht also wird dieser größer.
Außerdem ist der Widerstand der Birne bei kleinerem Vergleichswiderstand größer vgl.
Teilaufgabe b).
3. Aufgabe:
Spulen
Als letzte Messung mit der Gleichspannungsbrückenschaltung wird der ohmsche Widerstand
zweier Spulen ermittelt. Die Schaltung wird wie in den vorhergegangenen Versuchen
aufgebaut. Aus der Messung ergeben sich:
Spannung U= 0,5V
VergleichsMessung
widerstand [Ohm] Skalenwert
Widerstand [Ohm] Fehler [Ohm]
1 (kleine Spule)
10
215
36,5
0,63
2 (große Spule)
10
943
0,604
0,0279
Dass diese Widerstandswerte so unterschiedlich sind liegt wahrscheinlich an den
unterschiedlichen Drahtlängen und/oder an den unterschiedlichen Drahtdurchmessern
l
( R = ρ ).
A
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4. Aufgabe:
Wechselspannungsbrücke
Für die Wechselspannungsbrücke wird die bisherige Schaltung dahingehend modifiziert, dass
zur Messung des Stromes I nun nicht mehr ein analoges Amperemeter, sondern ein
Oszilloskop mit vorangeschaltetem Operationsverstärker (eigene Stromversorgung ± 5V),
verwendet wird und anstelle der Gleichspannungsquelle ein Funktionsgenerator zum Einsatz
kommt, welcher ein Sinussignal produziert.
Zur besseren Veranschaulichung das Schaltbild:
Z1
Z2
FG
OSZ
ist der gegebene Vergleichswiderstand mit bekannter Widerstandswert
ist der zu bestimmende Widerstand
ist der Funktionsgenerator (Wechselspannung)
ist das Oszilloskop mit X-Eingang (Operationsverstärker) und Y-Eingang
(Funktionsgenerator)
Helipot ist das zum Abgleichen verwendete Potentiometer.
Z1 und Z2 sind komplexe Widerstände (Spulen bzw. Kondensatoren)
Zur besseren Abgleichung des Signals auf dem Oszilloskop (Lissajous-Figur) konnte noch ein
weiterer regelbarer Widerstand (im vorigen Versuch wurde der Widerstandwert bestimmt) in
Serie mit der großen Spule geschaltet werden.
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Bestimmung der Induktivität einer Spule
Nun werden anstelle der bisher verwendeten Widerstände Spulen in die Brückenschaltung
eingebaut. Das Abgleichen erfolgt wie bisher durch das nachjustieren des Helipot und durch
das richtige einstellen des Zusatzwiderstandes. Es wurde mehrmals die gleiche Messung
durchgeführt, damit der Messfehler, der aufgrund der ungenauen Darstellung des Signals mit
dem Oszilloskop festgestellt werden konnte. Somit ergeben sich die Messwerte, die in der
Tabelle aufgeführt werden.
Die unbekannte Induktivität errechnet sich aus:
L1/L2=A/(1000-A)
Vergleichsindukitvität [mH]
Messung
1
2
3
4
Skalenwert
2,3
2,3
2,3
2,3
Induktivität [mH] Fehler [mH]
621
3,77
622
3,78
619
3,74
620
3,75
0,19
0,19
0,19
0,19
Der systematische Fehler in der Tabelle wurde wie oben angeführt berechnet mit einem
Fehler für die Vergleichsinduktivität von 0,1mH.
Daraus ergibt sich ein Mittelwert von 3,76mH und ein Fehler des Mittelwertes von
0,012mH.
Induktivität der halben Spule
Diese Messung wurde nochmals, bei halbierter Windungszahl (Zwischen Buchse A(nfang)
und M(itte), statt wie bisher zwischen A(nfang) und E(nde)) durchgeführt.
Theoretisch ergeben sich folgende Werte:
L ∝ N2
Daraus folgt für die Kapazität der halben Spule:
Lhalb = L / 4 = 0,575mH
In der Praxis wurden gemessen:
Messung
Vergleichsindukitvität [mH] Skalenwert
1
3,76
2
3,76
3
3,76
4
3,76
5
3,76
Induktivität [mH] Fehler [mH]
877
0,53
878
0,52
877
0,53
878
0,52
878
0,52
0,04
0,04
0,04
0,04
0,04
Der Mittelwert ist 0,52mH und der Fehler des Mittelwertes beträgt 0,0014mH.
Das Ergebnis liegt fast innerhalb des systematischen Fehlers, ist also akzeptabel.
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Simone Lingitz; Sebastian Jakob
Bestimmung der Kapazität eines Kondensators
Als letztes Bauteil werden nun Kondensatoren in die Schaltung eingebaut.
Die unbekannte Kapazität errechnet sich aus:
C1 / C 2 = A / (1000 − A)
Auch bei dieser Messung werden beim gleichen zu bestimmenden Kondensator mehrere
Messungen durchgeführt um die Messungenauigkeit zu ermitteln.
Durch die Messreihe ergeben sich diese Daten:
Vergleichskapazität [µF]
Messung
1
2
3
4
5
6
Skalenwert
1
1
1
1
1
1
686
691
689
691
695
697
Widerstand [µF]
Fehler [µF]
2,18
2,24
2,22
2,24
2,28
2,30
0,04
0,04
0,04
0,04
0,04
0,04
Der systematische Fehler der Vergleichskapazität beträgt 1%.
Der systematisch Fehler der Kapazität errechnet sich, wie am Anfang angeführt.
Der Mittelwert mit Fehler ergibt sich zu 2,24 ± 0,02µF .
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