Natürliche Zahlen sind interessant - MA@TUM

Natürliche Zahlen sind interessant
N. N.
Technische Universität München
11. Oktober 2011
1
Interessante Zahlen
Vorbemerkungen
Der Zentrale Satz
2
Anwendungen
Pädagogik
Übersicht
1
Interessante Zahlen
Vorbemerkungen
Der Zentrale Satz
2
Anwendungen
Pädagogik
Grundlagen
Wir definieren die Menge der natürlichen Zahlen N. Die
natürlichen Zahlen erfüllen folgende Axiome:
Axiomatik der natürlichen Zahlen
N1 Die Zahl „0“ ist eine natürliche Zahl: 0 ∈ N
N2 Ist n eine natürliche Zahl, dann auch (n + 1):
n ∈ N ⇒ (n + 1) ∈ N
N3 Jede Menge M, die die beiden Axiome N1 und N2 erfüllt, ist
gleich der Menge der natürlichen Zahlen:
M=N
Grundlagen
Wir definieren die Menge der natürlichen Zahlen N. Die
natürlichen Zahlen erfüllen folgende Axiome:
Axiomatik der natürlichen Zahlen
N1 Die Zahl „0“ ist eine natürliche Zahl: 0 ∈ N
N2 Ist n eine natürliche Zahl, dann auch (n + 1):
n ∈ N ⇒ (n + 1) ∈ N
N3 Jede Menge M, die die beiden Axiome N1 und N2 erfüllt, ist
gleich der Menge der natürlichen Zahlen:
M=N
Grundlagen
Wir definieren die Menge der natürlichen Zahlen N. Die
natürlichen Zahlen erfüllen folgende Axiome:
Axiomatik der natürlichen Zahlen
N1 Die Zahl „0“ ist eine natürliche Zahl: 0 ∈ N
N2 Ist n eine natürliche Zahl, dann auch (n + 1):
n ∈ N ⇒ (n + 1) ∈ N
N3 Jede Menge M, die die beiden Axiome N1 und N2 erfüllt, ist
gleich der Menge der natürlichen Zahlen:
M=N
Grundlagen
Wir definieren die Menge der natürlichen Zahlen N. Die
natürlichen Zahlen erfüllen folgende Axiome:
Axiomatik der natürlichen Zahlen
N1 Die Zahl „0“ ist eine natürliche Zahl: 0 ∈ N
N2 Ist n eine natürliche Zahl, dann auch (n + 1):
n ∈ N ⇒ (n + 1) ∈ N
N3 Jede Menge M, die die beiden Axiome N1 und N2 erfüllt, ist
gleich der Menge der natürlichen Zahlen:
M=N
Wohlordnung
Definition
Eine lineare Ordnung einer Menge M ist eine reflexive, transitive
und antisymmetrische Relation 4, die zudem total ist
(d.h. für a, b ∈ M mit a 6= b gilt: a 4 b oder b 4 a).
Eine Wohlordnung einer Menge M ist eine lineare Ordnung mit der
Eigenschaft, dass jede nichtleere Teilmenge von M ein bzgl. dieser
Ordnung kleinstes Element hat.
Satz
Die Relation ≤ liefert eine Wohlordnung der natürlichen Zahlen N.
Beweis: Übung
Wohlordnung
Definition
Eine lineare Ordnung einer Menge M ist eine reflexive, transitive
und antisymmetrische Relation 4, die zudem total ist
(d.h. für a, b ∈ M mit a 6= b gilt: a 4 b oder b 4 a).
Eine Wohlordnung einer Menge M ist eine lineare Ordnung mit der
Eigenschaft, dass jede nichtleere Teilmenge von M ein bzgl. dieser
Ordnung kleinstes Element hat.
Satz
Die Relation ≤ liefert eine Wohlordnung der natürlichen Zahlen N.
Beweis: Übung
Wohlordnung
Definition
Eine lineare Ordnung einer Menge M ist eine reflexive, transitive
und antisymmetrische Relation 4, die zudem total ist
(d.h. für a, b ∈ M mit a 6= b gilt: a 4 b oder b 4 a).
Eine Wohlordnung einer Menge M ist eine lineare Ordnung mit der
Eigenschaft, dass jede nichtleere Teilmenge von M ein bzgl. dieser
Ordnung kleinstes Element hat.
Satz
Die Relation ≤ liefert eine Wohlordnung der natürlichen Zahlen N.
Beweis: Übung
Wohlordnung
Definition
Eine lineare Ordnung einer Menge M ist eine reflexive, transitive
und antisymmetrische Relation 4, die zudem total ist
(d.h. für a, b ∈ M mit a 6= b gilt: a 4 b oder b 4 a).
Eine Wohlordnung einer Menge M ist eine lineare Ordnung mit der
Eigenschaft, dass jede nichtleere Teilmenge von M ein bzgl. dieser
Ordnung kleinstes Element hat.
Satz
Die Relation ≤ liefert eine Wohlordnung der natürlichen Zahlen N.
Beweis: Übung
Wohlordnung
Definition
Eine lineare Ordnung einer Menge M ist eine reflexive, transitive
und antisymmetrische Relation 4, die zudem total ist
(d.h. für a, b ∈ M mit a 6= b gilt: a 4 b oder b 4 a).
Eine Wohlordnung einer Menge M ist eine lineare Ordnung mit der
Eigenschaft, dass jede nichtleere Teilmenge von M ein bzgl. dieser
Ordnung kleinstes Element hat.
Satz
Die Relation ≤ liefert eine Wohlordnung der natürlichen Zahlen N.
Beweis: Übung
Beispiele und Eigenschaften
Natürliche Zahlen
Beispiele für natürliche Zahlen:
0, 1, 2, . . .
−1, ∞ keine natürlichen Zahlen
Beispiele und Eigenschaften
Wohlordnungen
Die Wohlordnung ≤:
Für alle n ∈ N gilt: n ≤ (n + 1)
0 ≤ n für alle n ∈ N.
Übersicht
1
Interessante Zahlen
Vorbemerkungen
Der Zentrale Satz
2
Anwendungen
Pädagogik
Alle natürlichen Zahlen sind interessant
Satz (unbekannt, um 500 v.Chr.)
Alle natürlichen Zahlen sind interessant.
Beweisidee:
1
Beweis durch Widerspruch
2
Ausnutzen der Wohlordnung
Alle natürlichen Zahlen sind interessant
Satz (unbekannt, um 500 v.Chr.)
Alle natürlichen Zahlen sind interessant.
Beweisidee:
1
Beweis durch Widerspruch
2
Ausnutzen der Wohlordnung
Alle natürlichen Zahlen sind interessant
Satz (unbekannt, um 500 v.Chr.)
Alle natürlichen Zahlen sind interessant.
Beweisidee:
1
Beweis durch Widerspruch
2
Ausnutzen der Wohlordnung
Alle natürlichen Zahlen sind interessant
Satz (unbekannt, um 500 v.Chr.)
Alle natürlichen Zahlen sind interessant.
Beweisidee:
1
Beweis durch Widerspruch
2
Ausnutzen der Wohlordnung
Alle natürlichen Zahlen sind interessant
Beweis
Beweis durch Widerspruch:
1
Wir nehmen an, dass die Menge U ⊆ N der uninteressanten
Zahlen nicht leer ist
2
≤ ist eine Wohlordnung auf N
3
⇒ U hat ein kleinstes Element u
4
Als kleinste uninteressante Zahl ist u natürlich hochinteressant
5
Das ist ein Widerspruch zur Annahme
Alle natürlichen Zahlen sind interessant
Beweis
Beweis durch Widerspruch:
1
Wir nehmen an, dass die Menge U ⊆ N der uninteressanten
Zahlen nicht leer ist
2
≤ ist eine Wohlordnung auf N
3
⇒ U hat ein kleinstes Element u
4
Als kleinste uninteressante Zahl ist u natürlich hochinteressant
5
Das ist ein Widerspruch zur Annahme
Alle natürlichen Zahlen sind interessant
Beweis
Beweis durch Widerspruch:
1
Wir nehmen an, dass die Menge U ⊆ N der uninteressanten
Zahlen nicht leer ist
2
≤ ist eine Wohlordnung auf N
3
⇒ U hat ein kleinstes Element u
4
Als kleinste uninteressante Zahl ist u natürlich hochinteressant
5
Das ist ein Widerspruch zur Annahme
Alle natürlichen Zahlen sind interessant
Beweis
Beweis durch Widerspruch:
1
Wir nehmen an, dass die Menge U ⊆ N der uninteressanten
Zahlen nicht leer ist
2
≤ ist eine Wohlordnung auf N
3
⇒ U hat ein kleinstes Element u
4
Als kleinste uninteressante Zahl ist u natürlich hochinteressant
5
Das ist ein Widerspruch zur Annahme
Alle natürlichen Zahlen sind interessant
Beweis
Beweis durch Widerspruch:
1
Wir nehmen an, dass die Menge U ⊆ N der uninteressanten
Zahlen nicht leer ist
2
≤ ist eine Wohlordnung auf N
3
⇒ U hat ein kleinstes Element u
4
Als kleinste uninteressante Zahl ist u natürlich hochinteressant
5
Das ist ein Widerspruch zur Annahme
Übersicht
1
Interessante Zahlen
Vorbemerkungen
Der Zentrale Satz
2
Anwendungen
Pädagogik
Schülermotivation
Der bewiesene Satz hilft gerade jungen Menschen die Freude an
der Mathematik zu vermitteln:
Schülermotivation
Der bewiesene Satz hilft gerade jungen Menschen die Freude an
der Mathematik zu vermitteln:
Literaturhinweise
Bill Watterson
The Essential Calvin and Hobbes
Andrews McMeel Publishing, Riverside, 1988
Till Tantau
The BEAMER class
https://sourceforge.net/projects/latex-beamer/, Lübeck, 2006