Natürliche Zahlen sind interessant

Natürliche Zahlen sind interessant
N. N.
Technische Universität München
6. März 2013
Übersicht
Grundlagen
Wir definieren die Menge der natürlichen Zahlen N. Die
natürlichen Zahlen erfüllen folgende Axiome:
Axiomatik der natürlichen Zahlen
N1 Die Zahl „0“ ist eine natürliche Zahl: 0 ∈ N
N2 Ist n eine natürliche Zahl, dann auch (n + 1):
n ∈ N ⇒ (n + 1) ∈ N
N3 Jede Menge M, die die beiden Axiome N1 und N2 erfüllt, ist
gleich der Menge der natürlichen Zahlen:
M=N
Grundlagen
Wir definieren die Menge der natürlichen Zahlen N. Die
natürlichen Zahlen erfüllen folgende Axiome:
Axiomatik der natürlichen Zahlen
N1 Die Zahl „0“ ist eine natürliche Zahl: 0 ∈ N
N2 Ist n eine natürliche Zahl, dann auch (n + 1):
n ∈ N ⇒ (n + 1) ∈ N
N3 Jede Menge M, die die beiden Axiome N1 und N2 erfüllt, ist
gleich der Menge der natürlichen Zahlen:
M=N
Grundlagen
Wir definieren die Menge der natürlichen Zahlen N. Die
natürlichen Zahlen erfüllen folgende Axiome:
Axiomatik der natürlichen Zahlen
N1 Die Zahl „0“ ist eine natürliche Zahl: 0 ∈ N
N2 Ist n eine natürliche Zahl, dann auch (n + 1):
n ∈ N ⇒ (n + 1) ∈ N
N3 Jede Menge M, die die beiden Axiome N1 und N2 erfüllt, ist
gleich der Menge der natürlichen Zahlen:
M=N
Grundlagen
Wir definieren die Menge der natürlichen Zahlen N. Die
natürlichen Zahlen erfüllen folgende Axiome:
Axiomatik der natürlichen Zahlen
N1 Die Zahl „0“ ist eine natürliche Zahl: 0 ∈ N
N2 Ist n eine natürliche Zahl, dann auch (n + 1):
n ∈ N ⇒ (n + 1) ∈ N
N3 Jede Menge M, die die beiden Axiome N1 und N2 erfüllt, ist
gleich der Menge der natürlichen Zahlen:
M=N
Wohlordnung
Definition
Eine lineare Ordnung einer Menge M ist eine reflexive, transitive
und antisymmetrische Relation 4, die zudem total ist
(d.h. für a, b ∈ M mit a 6= b gilt: a 4 b oder b 4 a).
Eine Wohlordnung einer Menge M ist eine lineare Ordnung mit der
Eigenschaft, dass jede nichtleere Teilmenge von M ein bzgl. dieser
Ordnung kleinstes Element hat.
Satz
Die Relation ≤ liefert eine Wohlordnung der natürlichen Zahlen N.
Beweis: Übung
Wohlordnung
Definition
Eine lineare Ordnung einer Menge M ist eine reflexive, transitive
und antisymmetrische Relation 4, die zudem total ist
(d.h. für a, b ∈ M mit a 6= b gilt: a 4 b oder b 4 a).
Eine Wohlordnung einer Menge M ist eine lineare Ordnung mit der
Eigenschaft, dass jede nichtleere Teilmenge von M ein bzgl. dieser
Ordnung kleinstes Element hat.
Satz
Die Relation ≤ liefert eine Wohlordnung der natürlichen Zahlen N.
Beweis: Übung
Wohlordnung
Definition
Eine lineare Ordnung einer Menge M ist eine reflexive, transitive
und antisymmetrische Relation 4, die zudem total ist
(d.h. für a, b ∈ M mit a 6= b gilt: a 4 b oder b 4 a).
Eine Wohlordnung einer Menge M ist eine lineare Ordnung mit der
Eigenschaft, dass jede nichtleere Teilmenge von M ein bzgl. dieser
Ordnung kleinstes Element hat.
Satz
Die Relation ≤ liefert eine Wohlordnung der natürlichen Zahlen N.
Beweis: Übung
Wohlordnung
Definition
Eine lineare Ordnung einer Menge M ist eine reflexive, transitive
und antisymmetrische Relation 4, die zudem total ist
(d.h. für a, b ∈ M mit a 6= b gilt: a 4 b oder b 4 a).
Eine Wohlordnung einer Menge M ist eine lineare Ordnung mit der
Eigenschaft, dass jede nichtleere Teilmenge von M ein bzgl. dieser
Ordnung kleinstes Element hat.
Satz
Die Relation ≤ liefert eine Wohlordnung der natürlichen Zahlen N.
Beweis: Übung
Wohlordnung
Definition
Eine lineare Ordnung einer Menge M ist eine reflexive, transitive
und antisymmetrische Relation 4, die zudem total ist
(d.h. für a, b ∈ M mit a 6= b gilt: a 4 b oder b 4 a).
Eine Wohlordnung einer Menge M ist eine lineare Ordnung mit der
Eigenschaft, dass jede nichtleere Teilmenge von M ein bzgl. dieser
Ordnung kleinstes Element hat.
Satz
Die Relation ≤ liefert eine Wohlordnung der natürlichen Zahlen N.
Beweis: Übung
Beispiele und Eigenschaften
Natürliche Zahlen
Beispiele für natürliche Zahlen:
0, 1, 2, . . .
−1, ∞ keine natürlichen Zahlen
Beispiele und Eigenschaften
Wohlordnungen
Die Wohlordnung ≤:
Für alle n ∈ N gilt: n ≤ (n + 1)
0 ≤ n für alle n ∈ N.
Übersicht
Alle natürlichen Zahlen sind interessant
Satz (unbekannt, um 500 v.Chr.)
Alle natürlichen Zahlen sind interessant.
Beweisidee:
1
Beweis durch Widerspruch
2
Ausnutzen der Wohlordnung
Alle natürlichen Zahlen sind interessant
Satz (unbekannt, um 500 v.Chr.)
Alle natürlichen Zahlen sind interessant.
Beweisidee:
1
Beweis durch Widerspruch
2
Ausnutzen der Wohlordnung
Alle natürlichen Zahlen sind interessant
Satz (unbekannt, um 500 v.Chr.)
Alle natürlichen Zahlen sind interessant.
Beweisidee:
1
Beweis durch Widerspruch
2
Ausnutzen der Wohlordnung
Alle natürlichen Zahlen sind interessant
Satz (unbekannt, um 500 v.Chr.)
Alle natürlichen Zahlen sind interessant.
Beweisidee:
1
Beweis durch Widerspruch
2
Ausnutzen der Wohlordnung
Alle natürlichen Zahlen sind interessant
Beweis
Beweis durch Widerspruch:
1
Wir nehmen an, dass die Menge U ⊆ N der uninteressanten
Zahlen nicht leer ist
2
≤ ist eine Wohlordnung auf N
3
⇒ U hat ein kleinstes Element u
4
Als kleinste uninteressante Zahl ist u natürlich hochinteressant
5
Das ist ein Widerspruch zur Annahme
Alle natürlichen Zahlen sind interessant
Beweis
Beweis durch Widerspruch:
1
Wir nehmen an, dass die Menge U ⊆ N der uninteressanten
Zahlen nicht leer ist
2
≤ ist eine Wohlordnung auf N
3
⇒ U hat ein kleinstes Element u
4
Als kleinste uninteressante Zahl ist u natürlich hochinteressant
5
Das ist ein Widerspruch zur Annahme
Alle natürlichen Zahlen sind interessant
Beweis
Beweis durch Widerspruch:
1
Wir nehmen an, dass die Menge U ⊆ N der uninteressanten
Zahlen nicht leer ist
2
≤ ist eine Wohlordnung auf N
3
⇒ U hat ein kleinstes Element u
4
Als kleinste uninteressante Zahl ist u natürlich hochinteressant
5
Das ist ein Widerspruch zur Annahme
Alle natürlichen Zahlen sind interessant
Beweis
Beweis durch Widerspruch:
1
Wir nehmen an, dass die Menge U ⊆ N der uninteressanten
Zahlen nicht leer ist
2
≤ ist eine Wohlordnung auf N
3
⇒ U hat ein kleinstes Element u
4
Als kleinste uninteressante Zahl ist u natürlich hochinteressant
5
Das ist ein Widerspruch zur Annahme
Alle natürlichen Zahlen sind interessant
Beweis
Beweis durch Widerspruch:
1
Wir nehmen an, dass die Menge U ⊆ N der uninteressanten
Zahlen nicht leer ist
2
≤ ist eine Wohlordnung auf N
3
⇒ U hat ein kleinstes Element u
4
Als kleinste uninteressante Zahl ist u natürlich hochinteressant
5
Das ist ein Widerspruch zur Annahme
Übersicht
Schülermotivation
Der bewiesene Satz hilft gerade jungen Menschen die Freude an
der Mathematik zu vermitteln:
Schülermotivation
Der bewiesene Satz hilft gerade jungen Menschen die Freude an
der Mathematik zu vermitteln:
Literaturhinweise
Bill Watterson
The Essential Calvin and Hobbes
Andrews McMeel Publishing, Riverside, 1988
Till Tantau
The BEAMER class
https://sourceforge.net/projects/latex-beamer/, Lübeck, 2006