Lösungsvorschläge - Physik

Übungen zu Experimentalphysik 4 - Lösungsvorschläge
Prof. S. Paul
Sommersemester 2005
Dr. Jan Friedrich
Nr. 5
Email [email protected]
Telefon 089/289-12586
Physik Department E18, Raum 3564
16.05.2005
http://www.e18.physik.tu-muenchen.de/teaching/phys4/
Aufgabe 9 : Drehimpuls und magnetisches Moment
a. Betrachten Sie ein Elektron, das sich klassisch auf einer Kreisbahn mit dem Bahndrehimpuls ~` bewegt. Welches magnetische Moment wird dadurch erzeugt? Wie groß ist das
magnetische Moment für ein Elektron auf der ersten Bohrschen Bahn?
(2 Punkte)
Lösung: Ein Elektron mit der Ladung q = −e, das sich auf einer Kreisbahn mit einer
Umlaufzeit T = 2πr/v bewegt, erzeugt einen Kreisstrom
I=
−ev
q
=
T
2πr
(1)
Das magnetische Moment ist
ˆ = −evr ~n
ˆ
~ = −ev πr2 ~n
µ
~ = IA
2πr
2
(2)
ˆ die Normale auf die von der Bahn umschlossene Fläche A ist. Mit dem Drehimpuls
wobei ~n
ˆ folgt
~` = ~r × p~ = m~r × ~v = mrv~n
−e ~
µ
~=
`
(3)
2m
Der Drehimpuls auf der ersten Bohrschen Bahn ist ` = ~. Damit ist das magnetische
Moment (Bohrsches Magneton):
µ=
−e
~ = −5, 6564 · 10−5 eV/T = −µB
2m
(4)
b. Welches Drehmoment wirkt auf das magnetische Moment in einem externen Magnetfeld
und was bewirkt es?
(1 Punkt)
Lösung: Das Drehmoment ist
~ =µ
~ = − e ~` × B
~ · sin α
~ = − e |~`| · |B|
M
~ ×B
2m
2m
(5)
Es bewirkt eine Drehimpulsänderung, die analog zum Kreisel zu einer Präzessionsbewegung
mit der Frequenz
~|
|M
e ~
ωp =
=−
|B| = ωL
(6)
2m
|~`| · sin α
führt (Larmorfrequenz).
1
c. Berechnen Sie das magnetische Moment
1
µ
~=
2
Z
d3 r ~r × ~j
einer mit konstanter Geschwindigkeit ω rotierenden geladenen Kugel in Abhängigkeit von
ihrem Drehimpuls ~`. Hinweis: Nehmen Sie an, dass Ladung und Masse der Kugel gleich
verteilt sind:
ρm (~r)
ρ(~r)
=
q
m
Vergleichen Sie das Ergebnis für ` = ~/2 mit dem gemessenen magnetischen Moment, das
durch den Spin des Elektrons verursacht wird. Wie wird in einer quantenmechanischen
Betrachtung der Unterschied berücksichtigt?
(2 Punkte)
Lösung:
1
µ
~=
2
Z
d3 r ~r × ρ~v
Da ~v immer senkrecht zu ~r steht, folgt
Z
Z
1q
q
q
q
3
µ=
d r ρm rv =
d 3 r ρm r 2 ω =
Θω =
`
2m
2m
2m
2m
(7)
(8)
q ~
= µB /2. Gemessen
wobei Θ das Trägheitsmoment der Kugel ist. Für ` = ~/2 ist µ = 2m
2
wird µe ≈ µB . In der Quantenmechanik wird dieser Unterschied berücksichtigt durch den
gyromagnetischen Faktor:
~
S
µ
~ S = g S µB ,
gS ≈ 2
(9)
~
Aufgabe 10 : Stern-Gerlach-Experiment
a. Skizzieren Sie den Aufbau eines Stern-Gerlach-Experiments, bei dem die Quantisierung
der z-Komponente des magnetischen Momentes von neutralen Silberatomen demonstriert
wird.
(2 Punkte)
Lösung:
Mittels eines Atomstrahlofens erzeugt man einen Strahl von neutralen Silberatomen. Silberatome deshalb, da hier die Bahndrehimpulse sich alle zu Null aufheben, so dass nur
noch die Spinkomponente des äußersten ungepaarten Elektrons (3s) zum Drehimpuls beiträgt. Der Strahl wird durch Blenden kollimiert und läuft anschließend durch ein inhomogenes Magnetfeld. Die Flugrichtung steht dabei senkrecht zum Magnetfeld und senkrecht
zum Magnetfeldgradienten. Ohne B-Feld orientieren sich die Spins frei im Raum. Im homogenen Magnetfeld dagegen präzedieren sie um die Magnetfeldlinien. Im inhomogenen
Magnetfeld erhält man eine zusätzliche Kraft auf die magnetischen Momente µs . Die
Größe dieser Kraft ist dabei eine Funktion der Orientierung des Dipols im Magnetfeld.
Aus der potentiellen Energie im Magnetfeld
~
Vmag = −~µ · B
2
(10)
folgt die ablenkende Kraft:
Fz = −
∂Vmag
∂Bz
dB
= µz
= µ cos α
∂z
∂z
dz
(11)
• Dipol parallel zum Feldgradienten → Ablenkung nach oben
• Dipol antiparallel zum Feldgradienten → Ablenkung nach unten
Ergebnis:
Klassisch sind alle Einstellungen von α zum Feld erlaubt, was zu einer kontinuierlichen
Lösung und somit einer gleichmäßig getroffenen Fläche auf dem Detektor führen sollte.
Beobachtet werden zwei scharfe Ablenkungslinien, die wie folgt interpretiert werden:
• Richtungsquantelung, nur zwei diskrete Einstellungsmöglichkeiten parallel und antiparalel sind möglich.
• Quantitative Auswertung liefert µz = ±µB
• Alle Atome mit einem ungepaarten s-Elektron liefern die gleichen Ergebnisse.
• Das s-Elektron hat Bahndrehimpuls l = 0, so dass nur der Spinmagnetismus gemessen wurde.
b. Der Magnet erzeuge ein starkes Feld auf einer Länge von l1 = 80 mm mit einem Gradienten dB/dz = 400 T/m. In l2 = 12.5 cm Entfernung vom Magneten betrage die
3
Aufspaltung der beiden Atomteilstrahlen ∆z = 2.2 mm. Wie groß ist die z-Komponente
des magnetischen Moments, wenn die Silberatome (M = 1.79 · 10−25 kg) eine Geschwindigkeit von v = 500 m/s haben?
(2 Punkte)
Lösung:
auf das Atom, was zu einer
Im inhomogenen Magnetfeld wirkt eine Kraft Fz = µz dB
dz
Beschleunigung a = Fz /M führt. Es durchläuft das Feld in der Zeit t = l1 /vx (Annahme:
kleine Ablenkung) und wird dadurch in z-Richtung auf die Geschwindigkeit vz = at
beschleunigt und um z1 = 12 at2 abgelenkt. Es tritt unter dem Winkel ϑ aus mit tan ϑ =
vz /vx . Auf dem Weg zum Detektor legt es in z-Richtung die Strecke z2 = l2 tan ϑ zurück.
Die gesamte Ablenkung ist somit
∆z = 2(z1 + z2 ) =
µz dB
l
dz 1
(l1 + 2l2 )
2
M vx
(12)
Daraus ergibt sich
∆z · M vx2
µz = dB
= 9.3 · 10−24 J/T ≈ µB
l (l + 2l2 )
dz 1 1
(13)
Aufgabe 11 : Normaler Zeeman-Effekt
a. Wie kann man klassisch die Aufspaltung der Energieniveaus im Magnetfeld verstehen
für ein Elektron, das mit dem Bahndrehimpuls ` um den Atomkern umläuft (der Spin
des Elektrons soll nicht berücksichtigt werden)? Wie kommt die Polarisation des bei
Übergängen emittierten Lichts zustande?
(3 Punkte)
Lösung: Das Elektron laufe in einem beliebigen Winkel zum Magnetfeld um den Kern.
Man betrachtet eine Projektion der Bewegung, also eine Oszillation. Diese Oszillation
wird in Komponenten parallel und senkrecht zum Magnetfeld zerlegt. Auf die parallele
Komponente (1) wird keine Kraft ausgeübt, die senkrechte zerlegt man wiederum in
zwei entgegengesetzte Zirkularbewegungen (2 und 3). Diese werden beim Einschalten
4
des Feldes beschleunigt bzw. verzögert. Ihre Frequenz ändert sich dabei gerade um die
Larmorfrequenz (vgl. Aufgabe 9):
∆ω =
e
µB
B=
B
2m
~
(14)
Bei Emission oder Absorption von Strahlung durch das Elektron spaltet eine Linie somit
in folgender Weise auf:
• Senkrecht zum Magnetfeld werden drei Linien beobachtet: eine mit der ursprünglichen
Frequenz (1) und zwei (2 und 3) um ±∆ω verschobene. Die Strahlung ist linear polarisiert.
• Parallel zum Magnetfeld beobachtet man nur die um ±∆ω verschobenen Linien. Das
Licht ist zirkular polarisiert.
b. Wie spaltet quantenmechanisch ein Energieniveau eines Elektrons mit der Drehimpulsquantenzahl ` im Magnetfeld auf?
(1 Punkt)
Lösung: Es spaltet in 2` + 1 Niveaus auf, die einen Abstand von ∆E = µB B haben,
d. h.
E = En + mµB B
(15)
Dabei läuft m von −` bis +`.
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