RS, 31.5.2009 Skizze einer Musterlösung zur Geometrie

RS, 31.5.2009
Skizze einer Musterlösung
zur Geometrie-Aufgabe der Staatsexamensklausur 2/2008
Handeln, Konstruieren und Beweisen im Geometrieunterricht
Zum Satz von der Winkelsumme im Dreieck gibt es (neben anderen) die folgenden
Hinführungen:
(1) Zeichne am Computer-Bildschirm mit einer dynamischen Geometrie-Software (z. B. mit
DYNAGEO-EUKLID ) ein Dreieck. Bestimme mit dem Programm die Maße der Innenwinkel
des Dreiecks und deren Summe S. Verändere nun durch Ziehen an den Dreiecksecken die
Form des Dreiecks und beobachte dabei die Summe S.
(2) Schneide aus Papier ein Dreieck aus. Reiße dessen Ecken ab. Lege diese zu einem
gestreckten Winkel zusammen.
(3) Schneide aus Papier ein Dreieck aus. Falte, wie in den Figuren angegeben.
C
N
A
M
B
(4) Zeichne ein Dreieck ABC. Laufe einmal den Rand ab: von der Ausgangsstellung in A
über B und C wieder nach A in die Ausgangsstellung. Bestimme, um wie viel man sich
insgesamt gedreht hat. Berechne daraus die Winkelsumme im Dreieck ABC.
(5) Ergänze ein Dreieck ABC zu einem Parallelogramm ABCD. Konstruiere ein Parkett mit
dem Grundbaustein ABCD. Zeichne in das Parkett die zur Geraden AC parallelen
Gitterlinien ein. Markiere gleich große Winkel in der entstehenden Figur. Untersuche die
Winkel, deren Scheitel in einem Gitterpunkt zusammenstoßen.
Aufgabenstellung:
a) Was sollte jeder Schüler über den Satz von der Winkelsumme im Dreieck (allgemeiner:
im Vieleck) wissen? Begründen Sie Ihre Antwort.
Jeder Schüler sollte wissen, dass die Innenwinkel im Dreieck zusammen einen
gestreckten Winkel bilden, oder anders: Die Summe der Innenwinkel im Dreieck
beträgt 180°.
Vielecke lassen sich durch Diagonalen in Dreiecke zerlegen, so ergibt sich für nEcke als Winkelsumme die Formel (n-2)•180.
Auch eine Hinführung zu diesen Aussagen sollte jedem Schüler bekannt sein.
Als Begründung für das Formelwissen gilt die Bedeutung dieser Fakten im Alltag
(z.B. beim Basteln, Werkeln, Orientierung in der Landschaft).
Kenntnis der Hinführung macht die/den Lernende(n) unabhängig von Autoritäten.
Aufgabenstellung:
b) Vergleichen Sie die Hinführungen (1) bis (5) unter wenigstens folgenden Aspekten:
− Veranschaulichen des Satzes
− Handlungsorientierung des Geometrieunterrichts
− Einsicht gewinnen in die Allgemeingültigkeit des Satzes
− Zugänglichkeit für Hauptschüler, Realschüler, Gymnasiasten
− Unterstützen von Zielen des Geometrieunterrichts
− Verträglichkeit mit den Forderungen aus a).
Als Satz wird hier nur der über die Innenwinkelsumme im Dreieck betrachtet. Die
Innenwinkelsumme im Viereck erfordert weitere Betrachtungen.
Die anschaulichste Hinführung ist möglicherweise die Hinführung (2). Hier wird die
Innenwinkelsumme im Dreieck handelnd hergestellt (gleichzeitig Antwort bzgl.
Handlungsorientierung). Durch die Beutung des Rechnens und die Distanzierung
mittels DGS erscheint Hinführung (1) am wenigsten anschaulich.
Hinführung (2) und (3) folgen am ehesten einer Handlungsorientierung des GeoU.
Hinführung (4) kann sehr handlungsorientiert unerrichtet werden, wenn man die
Schüler tatsächlich große Dreiecke (etwa auf dem Schulhof) abgehen lässt.
Mit entsprechenden Kommentaren und Begleitaktivitäten lassen sich alle Hinführung
nutzen, um die Allgemeingültigkeit zu verdeutlichen. Alle sind geeignet, zu einem
Beweis ausgebaut zu werden.
Wegen der Buchstaben-Rechnungen in Hinführung (4) dürfte diese am ehesten für
Gymnasiasten zugänglich sein.
Mit allen Hinführungen lassen sich Ziele des Geometrie-Unterrichts, insbesondere
die Analyse des uns umgebenden Raumes, verfolgen.
Allgemeine Zeichenfähigkeiten werden am ehesten bei Hinführung (5) geschult.
Die Schulung der Logik wird wahrscheinlich am ehesten durch Hinführung (4) – mit
entsprechender Erweiterung – möglich sein.
Die Verträglichkeit mit den Forderungen aus a) entscheidet sich am ehesten an der
Verallgemeinerbarkeit auf n-Ecke. Hier ist Hinführung (1) optimal, da keine
Zusatzmaßnahmen ergriffen werden müssen. Hinführung (2) ist schwer
verallgemeinerbar, Hinführung (3), (4) und (5) wohl kaum.
Aufgabenstellung:
c) Wie kommt man im Unterricht von den Hinführungen (1), (2) und (4) zur Winkelsumme
in einem Vieleck?
Hinführung (1) ist durch Zeichnen von Vielecken verallgemeinerbar. Schwierig ist
dann das Erkennen der Formel.
Hinführung (2) lässt sich dann einigermaßen verallgemeinern, wenn bereits ein
Winkelbegriff für Winkelmaße über 360° entwickelt ist.
Hinführung (4) dürfte kaum verallgemeinerbar sein, sobald man nicht-konvexe
Vielecke (n>3) zulässt. Sonst, für konvexe Vielecke sind die gleichen Algebra-nahen
Überlegungen wie für Dreiecke erforderlich.