Graphen-Algorithmen - Technische Universität München

WS 2008/09
Diskrete Strukturen
Prof. Dr. J. Esparza
Lehrstuhl für Grundlagen der
Softwarezuverlässigkeit und theoretische
Informatik
Fakultät für Informatik
Technische Universität München
http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0809
Kapitel IV – Graphentheorie
• Graphentheorie
– Grundlagen
– Bäume
– Eigenschaften von Graphen
– Graphen-Algorithmen
– Matchings
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Prof. Dr. J. Esparza – Institut für Informatik, TU München
Kapitel IV – Graphen; Algorithmen
• Wir präsentieren einige Grundverfahren der
algorithmischen Graphentheorie.
• Diese Verfahren werden als ``Bausteine´´ in vielen
Algorithmen verwendet.
• Die Verfahren beantworten auch einige
Grundfragen:
– Welche Knoten sind aus einem gegebenen Knoten
erreichbar?
– Welcher ist der kürzeste Weg zwischen zwei gegebenen
Knoten?
– Wie findet man einen optimalen Spannbaum?
(gewichtete Graphen)
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Kapitel IV – Graphen; Algorithmen
• Suchverfahren
Verfahren zum Durchlaufen aller Knoten
n
o
h
eines Graphen, die
aus einem gegebenen
d
b
Knoten erreichbar
root
a
c
sind.
e
i
4
m
g
q
j
p
r
f
k
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Kapitel IV – Graphen; Algorithmen
• Generischer Algorithmus Suche
– Zwei Datenstrukturen:
• Tabelle: speichert für jeden Knoten die Information, ob er
schon besucht wurde, und eventuell auch zusätzliche
Informationen.
Initialisierung: nur die Wurzel ist besucht worden.
• Worklist: enthält die schon besuchten, aber noch nicht
bearbeiteten Knoten.
Initialisierung: die Worklist enthält nur die Wurzel.
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Kapitel IV – Graphen; Algorithmen
• Generischer Suchalgorithmus
Initialisierung;
while die Worklist nicht leer ist
wähle einen Knoten v aus der Worklist;
falls v mindestens einen unbesuchten Nachbarn hat
wähle einen unbesuchten Nachbarn u von v;
markiere u als besucht;
(trage die zus. Inf. für u in die Tabelle ein);
trage u in die Worklist ein
andernfalls entferne v aus der Worklist
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Kapitel IV – Graphen; Algorithmen
13
o
d
4
1
e
p
15
11
17
m 12
a
q
j
18
r
root
9
i
7
3
b
14
n
h8
c
2
g6
16
f
k
5
7
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Kapitel IV – Graphen; Algorithmen
• Suchvarianten
8
Suchstrategie: Strategie zur Wahl von v.
– Kaotische Suche: Wähle v beliebig.
– Breitensuche: FIFO-Strategie (First In First Out).
Wähle v als der Knoten, der zuerst in die Worklist
kam (unter denjenigen, die zur Zeit in der Worklist
sind).
– Tiefensuche: LIFO-Strategie (Last In First Out).
Wähle v als der Knoten, der zuletzt in die Worklist
kam (unter denjenigen, die zur Zeit in der Worklist
sind).
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Kapitel IV – Graphen; Algorithmen
• Beispiel
o
n
h
d
m
b
root
a
e
i
c
g
q
j
p
r
f
k
9
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Kapitel IV – Graphen; Algorithmen
• Mögliche zusätzliche Informationen, die in der Tabelle
für jeden besuchten Knoten gespeichert werden
können:
– Vorgänger
Nachbarn, aus dem der Knoten besucht wurde.
(Im Algorithmus, der Vorgänger von u ist v.)
– Suchtiefe
• 0 für die Wurzel
• (1 + Suchtiefe des Vorgängers) für die anderen Knoten.
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– Suchnummer
Laufende Nummer für die besuchten Knoten.
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Kapitel IV – Graphen; Algorithmen
• Erweiterter Suchalgorithmus
Initialisierung;
nà 1; n[s] à n; d[s] à 0; für alle v2 V\{s} n[v],d[v] à 1;
while die Worklist nicht leer ist
wähle einen Knoten v aus der Worklist;
falls v mindestens einen unbesuchten Nachbarn hat
wähle einen unbesuchten Nachbarn u von v;
markiere u als besucht;
nà n+1; n[u]à n; d[u] à d[v]+1; pred[u] à v;
trage u in die Worklist ein
andernfalls entferne v aus der Worklist
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• Satz:
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Sei G=(V,E) mit Wurzel s eine Eingabe für den
generischen Suchalgoritmus.
1. Der Suchalgorithmus terminiert nach höchstens
|V| Durchläufe der while-Schleife.
2. Nach Terminierung sind alle aus s erreichbaren
Knoten von G als besucht markiert.
3. Wenn G zusammenhängend ist, dann bilden die
Vorgänger-Kanten {v, pred[v]}, v V \ {s} einen
Spannbaum von G.
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Kapitel IV – Graphen; Algorithmen
• Beweis:
1. Wir haben:
• Jeder Knoten von G kommt höchstens einmal in
die Worklist.
• Jede Ausführung der while-Schleife entfernt
einen Knoten aus der Worklist.
Es folgt, dass die while-Schleife höchstens |V|-Mal
ausgeführt wird.
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Kapitel IV – Graphen; Algorithmen
• Beweis:
2. Sei v einen aus s erreichbaren Knoten. Dann gibt es
einen Pfad s=v0 v1 … vn=v. Der Beweis ist durch
Induktion über n.
Basis: n=0. Dann v=s und s wird in der Initialisierung
als besucht markiert.
Schritt: n>0. Aus der Induktionsannahme folgt, dass
vn-1 irgendwann als besucht markiert wird. Es folgt,
dass irgendwann vn-1 in die Worklist kommt und
irgendwann aus der Worklist entfernt wird (nach
Terminierung ist die Worklist leer). Wenn vn-1 aus der
Worklist entfernt wird, sind alle Nachbarn von vn-1
schon markiert.
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• Beweis:
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3. Für jede Kante {v, pred[v]} gilt:
• pred[v] ist aus s durch Vorgänger-Kanten
erreichbar.
• pred[v] hat eine kleinere Suchnummer als v.
Es folgt, dass der Graph der Vorgänger-Kanten
zusammenhängend ist, und dass die VorgängerKanten keinen Kreis bilden. Damit ist dieser Graph ein
Baum.
Da G zusammenhängend ist und 2. gilt, gibt es für
jeden Knoten v von G eine Kante {v, pred[v]} . Damit
ist der Baum ein Spannbaum.
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Kapitel IV – Graphen; Algorithmen
• Breitensuche
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o
d
4
m 12
a
1
e
15
q
j
18
p
11
17
root
9
i
7
r
3
b
14
n
h8
c
2
g6
16
f
k
16
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5
l
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Kapitel IV – Graphen; Algorithmen
• Spannbaum der Breitensuche.
a
c
f
l
g
k m
n
d
b
h
e
o
q r
17
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i
p
j
Kapitel IV – Graphen; Algorithmen
• Breitensuche
Lemma:
In einer Breitensuche für G = (V,E) gilt:
1. Wenn u vor v aus der Worklist kommt, dann gilt
d[u] · d[v].
2. Zu jedem Zeitpunkt gibt es eine Zahl k, so dass für
alle Knoten v in die Worklist gilt: k · d[v] · k+1.
3. Wenn {u,v} 2 E, dann d[u] · d[v]+1.
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• Breitensuche
Satz:
Am Ende einer Breitensuche für G = (V,E) gilt:
1. d[v] ist die Länge des kürzesten s-v-Pfades in G.
Wenn es keinen s-v-Pfad gibt, dann d[v]=1
2. Für alle erreichbaren Knoten v, der s-v-Pfad im
Spannbaum der Suche ist ein kürzester s-v-Pfad.
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• Breitensuche
Beweis von 1:
– Es gibt einen s-v-Pfad der Länge d[v]:
Sei s=v0 v1 … vn=v der s-v-Pfad im Spannbaum. Die
Länge des Pfades ist n. Für alle 0· i <n, gilt: d[vi+1] =
d[vi]+1. Mit d[s]=0 folgt d[v]=n.
Für jeden s-v-Pfad s = v0 v1… vn = v gilt: d[v] · n.
Es gilt (Lemma, dritter Teil):
d[v] = d[vn] ≤ d[vn-1]+1 ≤ d[vn-2]+2 ≤ … ≤ d[v0]+k = k.
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• Breitensuche
Beweis von 2:
– Folgt aus dem Beweis von 1: der s-v-Pfad im
Spannbaum hat Länge d[v], und diese ist auch die
Länge des kürzesten s-v-Pfades.
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Kapitel IV – Graphen; Algorithmen
• Eine Implementierung von Breitensuche
Eingabe: Graph G = (V,E), Startknoten s V.
Ausgabe: Felder d[v], pred[v] für alle v V.
for all v V do
begin
if v = s then
d[v]
0;
else
d[v]
;
pred[v]
NULL;
end
…
// bearbeite alle Knoten aus V
// wenn wir am Startknoten sind
// setze seinen Abstand auf 0
// setze alle anderen Abstände auf
// setze alle Vorgänger auf „undefiniert“
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Fortsetzung nächste Seite
Kapitel IV – Graphen; Algorithmen
• Eine Implementierung von Breitensuche
…
Q new QUEUE;
Q.INSERT(s);
while not Q.IsEMPTY() do
begin
v Q.DEQUEUE();
for all u
(v) do
if d[u] = then
begin
d[u] d[v] + 1;
pred[u] v;
Q.INSERT(u);
end
end
// legt ein neues Objekt vom Typ Warteschlange an
// fügt das Element s in die Warteschlange ein
// teste, ob noch Elemente in der Queue
// hole nächstes Element aus der Queue
// betrachte alle Nachbarn von v
// der Knoten u ist noch unbesucht
// sein Abstand = Abstand Vorg. + 1
// sein Vorgänger ist v
// setze ihn in die Warteschlange
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Kapitel IV – Graphen; Algorithmen
• Tiefensuche
o
17
d
9
a
1
e
q
10
p
24
11
14
m
13
root
8
i
r
18
b
7
n 15
h 16
c
2
g
6
12
f
j
3
k
5
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l
4
Kapitel IV – Graphen; Algorithmen
• Spannbaum der Tiefensuche
a
c
f
l
k
q
b
g
n
h
i
p
m
e
j
r
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o
d
Kapitel IV – Graphen; Algorithmen
• Eine Implementierung von Tiefensuche
Eingabe: Graph G = (V,E), Sartknoten s
Ausgabe: Feld pred[v] für alle v V.
for all v V do
pred[v]
NULL;
…
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V.
// bearbeite alle Knoten aus V
// setze alle Vorgänger auf „undefiniert“
Fortsetzung nächste Seite
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Kapitel IV – Graphen; Algorithmen
• Algorithmus Tiefensuche (Fortsetzung)
…
S new STACK;
// legt ein neues Objekt vom Typ STACK an
v s;
repeat
if u
(v) \ {s} mit pred[u] = NULL then
// nicht besuchter Nachf. ?
S.PUSH(v)
// setze Element auf den Stack
pred[u] v;
// das Element ist Vorgänger von u
v u;
// mache mit u weiter
else if not S.IsEMPTY() then
v S.POP();
// hole Element vom Stack
else
v NULL;
until v = NULL;
// wiederhole bis Stack leer
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Kapitel IV – Graphen; Algorithmen
• Kürzeste Wege
– Gegeben sind ein Graph G = (V,E) und eine
Gewichtsfunktion w : E ℝ+ {+ }.
– O. B. d. A. sei G vollständig und damit auch
zusammenhängend.
– Sei u = v0, v1,..., vn = v ein Pfad in G. Die Länge dieses
n1
Pfades ist
 w(vi , vi 1).
i 0
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– d(u, v) sei die Länge eines kürzesten Pfades von u
nach v.
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Kapitel IV – Graphen; Algorithmen
• Kürzeste Wege
Problemstellungen:
– Gegeben u, v V , berechne d(u, v).
– Gegeben u V , berechne für alle v V die Länge
d(u, v) eines kürzesten Pfades von u nach v (sssp,
single source shortest path).
– Berechne für alle (u, v) V die kürzeste Entfernung
d(u, v) (apsp, all pairs shortest path).
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• Dijkstras Algorithmus für sssp.
F
V
for all v
F do
d[v]
p[v]
// d: aktuell kürzeste Pfade
null
// p: Vorgängerliste
d[s] = 0;
while F
// der Startknoten
do
bestimme u
F
F mit d[u] minimal;
F \ {u};
for all v
(u) do
if d[v] > d[u] + w(u,v) then
30
d[v]
d[u] + w(u,v)
p[v]
u
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• Satz:
Dijkstras Algorithmus berechnet d(s,v) für alle v 2 V; der
Zeitaufwand ist O(|V|2).
Beweis:
Zeitbedarf ist aus dem Algorithmus ersichtlich.
Es ist auch klar, dass nach Terminierung d[v] ¸ d(s,v) für alle
Knoten v gilt.
Für jeden Knoten v, sei tv der Zeitpunkt unmittelbar vor der
Entfernung von v aus F. Wir zeigen:
zum Zeitpunkt tv gilt d[v] · d(s,v).
Daraus folgt, dass d[v] · d(s,v) auch nach Terminierung gilt,
und damit d[v]=d(s,v). Der Beweis ist durch Widerspruch:
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Kapitel IV – Graphen; Algorithmen
Beweis (Forts.):
Annahme:
Es gibt einen Knoten v, für den zum Zeitpunkt tv gilt: d[v]
> d(s,v).
O.B.d.A. wählen wir v so, dass tv minimal ist.
Sei W einen kürzesten s-v-Weg . Wir betrachten den
Zeitpunkt tv.
Sei y der erste Knoten in W, der zu F gehört (mög. y = v).
Sei x der Vorgänger von y in W (mög. x= s).
Es gilt d[v] · d[y], weil v als nächstes von F entfernt wird.
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Kapitel IV – Graphen; Algorithmen
Beweis (Forts.):
Darüber hinaus:
1. d[x] = d(s,x). Weil x schon aus F entfernt wurde, und wegen
der Minimalität von v.
2. d[y]=d(s,y). Da W minimal ist, gilt d(s,y)=d(s,x)+d(x,y). Als x
von F entfernt wurde, wurde ein Update von d[y]
durchgeführt, mit dem Ergebnis d[y] · d(s,x)+d(x,y). Damit
gilt d[y] · d(s,y), und so d[y]=d(s,y).
3. d(s,y) · d(s,v). Weil W ein kürzester s-v-Weg ist, und W den
Knoten y besucht.
Aus (1)-(3) folgt: d[y] = d(s,y) · d(s,v) · d[v]. Damit gilt
d[y] · d[v], und so d[v]=d[y] und d[v]=d(s, v), in
Widerspruch zur Annahme.
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• Dijkstras Algorithmus
Beispiel:
34
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• Dijkstras Algorithmus
Beispiel:
4
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• Dijkstras Algorithmus
Beispiel:
2
4
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Kapitel IV – Graphen; Algorithmen
• Dijkstras Algorithmus
Beispiel:
2
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• Dijkstras Algorithmus
Beispiel:
2
4
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Kapitel IV – Graphen; Algorithmen
• Minimale Spannbäume
Beispiel:
Eine Firma plant eine Vernetzung seiner 5
Computer-Zentren. Die Leasing-Gebühren für die
Verbindung zweier Zentren verursachen Kosten.
Welche Verbindungen sollen geleast werden, so
dass bei minimalen Kosten alle Zentren miteinander
kommunizieren können.
Lösung: Wir modellieren das Problem als
gewichteten Graphen und konstruieren einen
39 Spannbaum mit minimaler Gewichtsumme.
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Kapitel IV – Graphen; Algorithmen
• Minimale aufspannende Bäume
Beispiel:
d
a
1200
c
b
e
40
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Kapitel IV – Graphen; Algorithmen
• Minimale aufspannende Bäume
Eine Lösung des vorhergehenden Beispiels.
d
Gewichtsumme: 3600
a
1200
c
b
e
41
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Kapitel IV – Graphen; Algorithmen
• Minimale Spannbäume
Der Algorithmus von Kruskal:
Eingabe: zusammenhängender Graph G = (V,E)
Gewichtsfunktion w: E R.
Ausgabe: Spannbaum (V,ET) mit minimalem Gewicht.
Sortiere die Kanten von E nach Gewicht in aufsteigender
Reihenfolge; sei L die sortierte Liste.
ET Ã ;;
while L ist nicht leer
entferne die erste Kante k von L;
wenn (V, ET [ {k}) kreisfrei dann ETÃ ET [ {k}
42
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Kapitel IV – Graphen; Algorithmen
• Der Algorithmus von Kruskal
Beispiel:
a
2
3
b
3
1
e
4
4
3
1
2
f
3
2
i
c
j
5
g
3
4
3
d
h
3
k
1
l
43
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Iteration Kante
Gewicht
1
{c,d}
1
2
{k,l}
1
3
{b,f}
1
4
{c,g}
2
5
{a,b}
2
6
{f,j}
2
7
{b,c}
3
8
{j,k}
3
9
{g,h}
3
10
{i,j}
3
11
{a,e}
3
Kapitel IV – Graphen; Algorithmen
• Traversierung von Wurzelbäumen
Seien T1, …, TnT die Teilbäume von T von links nach
rechts.
a
Trav(T)
b
f
e
k
j
44
n
c
o
Ausgabe Wurzel;
Trav(T1); … ; Trav(TnT).
d
g
h
m
l
i
Ergebnis:
a,b,e,j,k,n,o,p,f,c,d,g,l,m,h,i
p
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Kapitel IV – Graphen; Algorithmen
• Traversierung von Wurzelbäumen
Seien T1, …, TnT die Teilbäume von T von links nach
rechts.
a
Trav(T)
b
f
e
k
j
45
n
c
o
d
g
h
m
l
i
Trav(T1);
Ausgabe Wurzel;
Trav(T2); …; Trav(TnT).
Ergebnis:
j,e,n,k,o,p,b,f,a,c,l,g,m,d,h,i
p
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Kapitel IV – Graphen; Algorithmen
• Traversierung von Wurzelbäumen
Seien T1, …, TnT die Teilbäume von T von links nach
rechts.
a
Trav(T)
b
f
e
k
j
46
n
c
o
Trav(T1); … ; Trav(TnT);
Ausgabe Wurzel.
d
g
h
m
l
i
Ergebnis:
j,n,o,p,k,e,f,b,c,l,m,g,h,i,d,a
p
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Kapitel IV – Graphen; Algorithmen
• Preorder-Traversierung von Wurzelbäumen
Procedure preorder (Eingabe: Wurzelbaum T)
v
Wurzel von T;
Gebe Inhalt von v aus
for all u
(v) von links nach rechts do
// bearbeite alle Kinder
begin
T Teilbaum von T mit u als Wurzel
preorder(T);
// rekursiver Aufruf der Traversierung
end
47
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Kapitel IV – Graphen; Algorithmen
• Postorder-Traversierung von Wurzelbäumen
Procedure postorder (Eingabe: Wurzelbaum T)
v
Wurzel von T;
for all u
begin
(v) von links nach rechts do
// bearbeite alle Kinder
T Teilbaum von T mit u als Wurzel
postorder(T);
// rekursiver Aufruf der Traversierung
end
Gebe Inhalt von v aus
48
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Kapitel IV – Graphen; Algorithmen
• Inorder-Traversierung von Wurzelbäumen
Procedure inorder (Eingabe: Wurzelbaum T)
v Wurzel von T;
if IsLeaf(v) then
Gebe Inhalt von v aus
else
begin
l erstes Kind von v von links nach rechts;
T Teilbaum von T mit l als Wurzel;
inorder(T);
// rekursiver Aufruf der Traversierung
Gebe Inhalt von v aus
for all u
(v) \ { l } von links nach rechts do
begin
T Teilbaum von T mit u als Wurzel;
inorder(T);
end
end
49
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