2.3.3. Simulation einer Folge unabhängiger, reellwertiger

2.3.3. Simulation einer Folge unabhängiger, identisch verteilter 1, reellwertiger Zufallsvariablen mit einer Dichte 2. Es sei mit Hilfe eines Computers eine Folge X1 , X2 , . . . von unabhängigen, reellwertigen Zufallsvariablen, die die
gleiche Verteilung P1 = PX1 = PX2 = . . . besitzen, zu simulieren. Hierbei sei angenommen, daß P1 eine Dichte f > 0 besitzt. Damit ist die Verteilungsfunktion 3 4
FP1 : R → (0, 1) von P1 stetig und streng monoton steigend. Als Konsequenz besitzt
: (0, 1) → R.
FP1 eine stetige und streng monoton steigende Umkehrfunktion FP−1
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Seien nun U1 , U2 , . . . unabhängige, [0, 1]-wertige, gleichverteilte 5 Zufallsvariablen. Dann sind auch FP−1
(U1 ), FP−1
(U2 ), . . . unabhängige, identisch verteilte Zu1
1
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fallsvariable . Da
(Uk ) ≤ y] =
P[FP−1
1
7
=
8
P[Uk ≤ FP1 (y)]
Z FP1 (y)
dx = FP1 (y),
(22)
y ∈ R, k = 1, 2, . . . ,
0
besitzen diese Zufallsvariablen die Verteilungsfunktion FP1 und somit die Verteilung
P1 9.
Wie in Abschnitt 2.1.1(c) sei jetzt x1 , x2 , . . . eine durch einen Computer erzeugte
unabhängige Folge in [0, 1] gleichverteilter“ Pseudozufallszahlen. Die Überlegungen
”
(x2 ),
(x1 ), FP−1
in (22) deuten an, daß durch die transformierten Zufallszahlen FP−1
1
1
. . . unabhängige Zufallsvariablen mit der Verteilung P1 simuliert werden können.
Die vorgestellte Simulationsmethode wird aufgrund der Verwendung der Inversen
der Verteilungsfunktion als Inversionsmethode bezeichnet 10.
Literatur
[1] C. Hesse. Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie. Vieweg 2003.
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Zufallsvariable X, Y, . . . , die alle die gleiche Verteilung besitzen, werden als identisch verteilt
bezeichnet, vgl. Abschnitt 2.2.5(a).
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Die Verteilungen der zu simulierenden Zufallsvariablen sollen eine Dichte bzgl. des Lebesguemaßes auf R besitzen, vgl. Abschnitt 1.9. Die Simulation von unabhängigen, identisch verteilten
diskreten Zufallsvariablen war in Abschnitt 2.1.1(c) diskutiert worden.
3Die Verteilungsfunktion eines Wahrscheinlichkeitsmaßes ist analalog zur Verteilungsfunktion
einer Zufallsvariablen zu definieren. Insbesondere ist unter der Verteilungsfunktion eines Wahrscheinlichkeitsmaßes µ die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen X mit der Verteilung PX = µ
zu verstehen.
Rx
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dy f (y) = FP1 (x) < 1, x ∈ R, vgl. Abschnitt 2.3.1(f). Die
Da f (y) > 0, y ∈ R, ist 0 < −∞
Werte 0 und 1 werden durch FP1 asymptotisch bei x ± ∞ angenommen, vgl. Abschnitt 2.3.1(c).
5Die Zufallsvariablen U , U , . . . besitzen somit die gleiche Verteilung, nämlich die Gleichver1
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teilung in [0, 1].
6Wenn X : (Ω, F, P) → (Ω′ , F′ ) eine Zufallsvariable und ϕ : (Ω′ , F′ ) → (Ω′′ , F′′ ) meßbar ist,
so ist ϕ ◦ X = ϕ(X) : (Ω, F, P) → (Ω′′ , F′′ ) eine Zufallsvariable.
7Da F
P1 streng monoton steigend ist.
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Vgl. Abschnitt 2.3.1(f). Hier wird außerdem benutzt, daß die Gleichverteilung auf [0, 1] die
Dichte I[0,1] (.) hat.
9Da die Verteilung einer reellwertigen Zufallsvariablen durch ihre Verteilungsfunktion eindeutig
bestimmt ist, vgl. Abschnitt 2.3.
10Eine Diskussion dieser und anderer Verfahren zur Simulation von Zufallsvariablen findet sich
in [1], Abschnitt 10.2. Dort wird insbesondere auch eine allgemeinere Form der Inversionsmethode
betrachtet, mit welcher die Simulation von reellwertigen Zufallsvariablen mit beliebiger Verteilung
möglich ist. Die in Abschnitt 2.1.1(c) vorgestellte Methode zur Simulation diskreter, reellwertiger
Zufallsvariablen ist übrigens auch eine Variante jener allgemeinen Inversionsmethode.
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