Die geradlinig gleichförmige Bewegung

2.1 Das Zeit-Ort-Gesetz der geradlinig gleichförmigen Bewegung
Wie lassen sich geradlinig gleichförmige Bewegungen beschreiben?
Die Schüler sehen einen Film zur geradlinig gleichförmigen Bewegung:
http://www.kunischschule.com/11-2-01-Geschwindigkeit.swf
Zur Beschreibung einer geradlinig gleichförmigen Bewegung gibt es 4 Darstellungsmöglichkeiten.
1. Veranschaulichung der Bewegung.
Dazu stellen wir zuerst fest, an welchem Ort r0 sich der Körper zum Zeitpunkt t  0s befindet.
t  0s
r0  500m
Der Anfangsort r0 hängt vom gewählten Ortsnullpunkt ab. In unserer Darstellung ist der Zug zum
Zeitpunkt t  0s vom gewählten Ortsnullpunkt 500m entfernt. Also ist der Anfangsort r0  500m .
Häufig wird der Ortsnullpunkt an den Anfangsort r0 der beobachteten Bewegung gesetzt, so dass
r0  0m ist.
Mit Hilfe der bekannten Geschwindigkeit v  67
m
200m
oder v 
können wir markieren, wo der
s
3s
Zug sich zu späteren Zeitpunkten befindet.
t  0s
r0  500m
t  3s
r  700m
2. Bewegungstabelle
Zeit t in s
0
3
6
Ort r in m
500
700
900
t  6s
r  900m
r0  500m ablesen. Die konstante
Geschwindigkeit v ergibt sich, indem man eine Ortsdifferenz r durch die dazugehörige Zeitspanne
t teilt:
Aus der Bewegungstabelle lässt sich der Anfangsort
v
r 700m  500m 900m  700m



t
3s  0s
6s  3s

200m
m
 67
3s
s
3. Der Zeit-Orts-Graph der geradlinig gleichförmigen Bewegung
Den Anfangsort r0  500m kann man aus dem Diagramm ablesen. In der Mathematik nennt man
r0  500m den y-Achsenabschnitt. Die Geschwindigkeit des Zuges ergibt sich mit Hilfe eines
Steigungsdreieckes, das beliebig groß sein darf.
v
r 400m 200m
m


 67
t
6s
3s
s
4. Das Zeit-Ort-Gesetz der geradlinig gleichförmigen Bewegung
Dazu betrachten wir den oben dargestellten Graphen der geradlinig gleichförmigen Bewegung. Der
Graph der geradlinig gleichförmigen Bewegung ist eine Gerade. In der Mathematik wurden Geraden
durch die Gleichung y  m  x  b beschrieben. Dabei war m die Steigung der Geraden und b der yAchsenabschnitt. In unserem physikalischen Sachverhalt ist x  t , y  r , die Steigung
m  v  67
m
und der y-Achsenabschnitt b  r0  500m .
s
Zeit-Ort-Gesetz der geradlinig gleichförmigen Bewegung
r  v  t  r0
In unserem Beispiel gilt: r  67
m
 t  500m .
s
1) Im folgenden Diagramm sind die Graphen für drei geradlinig gleichförmige Bewegungen
abgebildet.
a) Bei welcher Bewegung ist die Geschwindigkeit am größten.
b) Bestimme die Geschwindigkeit für alle drei Bewegungen.
2) Ein Körper bewegt sich geradlinig gleichförmig. Zum Zeitpunkt t = 0 sec befindet er sich am
Ortsnullpunkt. Er hat die Geschwindigkeit v  12
Zeichne den t-r-Graphen dieser Bewegung.
m
.
s
3) Zeige, dass folgende Beziehung gilt: 1
m
km
.
 3,6
s
h
4) Betrachte das nachstehende t-r-Diagramm für drei geradlinige Bewegungen.
Was kannst du über die Bewegungen sagen? Bestimme die Durchschnittsgeschwindigkeiten für alle
drei Bewegungen in den Einheiten 1
5)
a)
b)
c)
m
km
und 1 und stelle die Zeit-Ort-Gleichungen auf.
s
h
Ein Auto legt bei konstanter Geschwindigkeit eine Distanz von 240km in 3 Stunden zurück.
Bestimme die Geschwindigkeit des Autos.
Welche Strecke legt das Auto in 40 Minuten zurück?
Welche Zeit benötigt das Auto für 150km?
6) Im Alltag hört man oft: „Geschwindigkeit = Weg durch Zeit” oder als Formel v 
Formel mit unserer Definition v 
r
.
t
s
. Vergleiche die
t
7) Hans und Karl veranstalten ein Wettrennen. Hans kann mit der Höchstgeschwindigkeit
vHans  8
m
m
rennen. Karl kann mit der Höchstgeschwindigkeit vKarl  6
s
s
rennen. Hans lässt
Karl beim Start einen Vorsprung von 20m. Nach welcher Zeit hat Hans Karl eingeholt, wenn beide
ihre Höchstgeschwindigkeit konstant beibehalten?
1)
a) Bei der Bewegung a ist die Geschwindigkeit am größten, weil der Graph dort am steilsten
verläuft. In einem bestimmten Zeitintervall wird also bei der Bewegung a der längste Weg
zurückgelegt.
b) Bewegung a:
Zum Zeitintervall 0s;3s  gehört das Ortsintervall 0m;30m . v 
r 30m  0m
m

 10
t
3s  0s
s
Bewegung b:
Zum
Zeitintervall
0s;10s
gehört
das
Ortsintervall
0m;25m .
r 25m  0m
m

 2,5
t 10s  0s
s
v
Bewegung c:
Zum Zeitintervall 0s;10s  gehört das Ortsintervall 0m;5m .
v
r 5m  0m
m

 0,5
t 10s  0s
s
2) Hinweis: Zum Zeitpunkt t = 1 s befindet sich der Körper am Ort r = 12 m.
3)
Es gilt 1
Also:


km 1km 1000m 1000 m 10 m



   .
h
1h
3600s 3600 s 36 s
km 10 m 36
1
 

h 36 s
10
36 km
m

1
10 h
s
km
m
3,6
1
h
s
4)
a) Bewegung a: Zum Zeitpunkt t=0s befindet sich der Körper am Ortsnullpunkt r0  0km . Die
Bewegung ist gleichförmig.
Berechnung der Durchschnittsgeschwindigkeit mit dem Zeitintervall 0h;1h und dem
Ortsintervall 0km;70km : v 
r 70km  0km 70km
km
m


 70
 19,4 .
t
1h  0h
1h
h
s
Zeit-Ort-Gleichung: r  v  t  r0  70
km
km
 t  0km  70
t
h
h
Bewegung b: Zum Zeitpunkt t=0s befindet sich der Körper am Ort r0  50km . Die Bewegung ist
gleichförmig.
Berechnung der Durchschnittsgeschwindigkeit mit dem Zeitintervall 0h;1h und dem
r 70km  50km 20km
km
m


 20
 5,6 .
t
1h  0h
1h
h
s
km
Zeit-Ort-Gleichung: r  v  t  r0  20
 t  50km
h
Bewegung c: Zum Zeitpunkt t=0s befindet sich der Körper am Ort r0  90km . Die Bewegung ist
Ortsintervall 50km;70km:
v
gleichförmig. Der Körper bewegt sich zurück zum Ortsnullpunkt.
Berechnung der Durchschnittsgeschwindigkeit mit dem Zeitintervall
Ortsintervall 90km;80km :
v
0h;0,4h
und dem
r 80km  90km  10km
km
m


 25
 6,9 .
t
0,4h  0h
0,4h
h
s
Man beachte das Minuszeichen im Ergebnis.
Zeit-Ort-Gleichung: r  v  t  r0  25
km
 t  90km
h
5)
r 240km 240 km
km


 80
t
3h
3 h
h
r
b) Aus v 
folgt r  v  t
t
1
2
20 Minuten sind
Stunde, 40 Minuten also
Stunden. Einsetzen der Werte ergibt:
3
3
km 2
2 km
km h
r  v  t  80
 h  80 
 h  53,3
  53,3km .
h 3
3 h
h 1
r
c) Aus r  v  t folgt t 
. Einsetzen der Werte ergibt:
v
r 150km 150 km
t 


 1,9h
km 80 km
v
80
h
h
6) Bei der geradlinig gleichförmigen Bewegung ist r der Weg s zwischen zwei Orten, also r  s .
a) v 
Die „Alltagsformel” müsste in allgemeingültiger Form „Geschwindigkeit = Weg durch Zeitspanne”
oder als Formel v 
t unterscheiden.
s
lauten, da wir zwischen dem Zeitpunkt t und der Zeitspanne
t
7) Wir veranschaulichen das Problem mit Hilfe der folgenden Abbildung:
0m
Hans
20m
Karl
40m
Die dargestellte Situation gilt für t  0s .
60m
Für Hans gilt das Zeit-Ort-Gesetz: rHans  vHanst  0m  vHanst
Für Karl gilt das Zeit-Ort-Gesetz: rKarl  vKarlt  20m
Wenn Hans Karl einholt gilt: rHans  rKarl oder vHanst  vKarlt  20m
Wir lösen die letzte Gleichung nach t auf:
vHanst  vKarlt  20m  vKarlt

vHanst  vKarlt  20m

(vHans  vKarl )  t  20m : (vHans  vKarl )

t
20m
vHans  vKarl
Einsetzen der Werte ergibt: t 
20m
20
20m


 10s
vHans  vKarl 8 m  6 m 2 m
s
s
s
Ergebnis: Nach 10 Sekunden hat Hans Karl eingeholt.