Das elektrische Feld eines Dipols

Das elektrische Feld eines Dipols
Feldlinien und Äquipotentiallinien eines Dipols
r
E
r
E
r
r
∆r
−q
ϑ
l
+q
ϑ
r
E
r
Wir interessieren uns für das vom Dipol erzeugte elektrische Feld im
Aufpunkt mit den Koordinaten r und ϑ . Dabei sei vorausgesetzt, dass
der Abstand der Dipolladungen l sehr klein gegen r sei. Das Feld berechnen wir aus dem Gradienten des Potentials. Das Potential ergibt
sich durch Summation der Potentiale zweier Punktladungen:
V(r ) =
Q
4πε0
1 
Q  2∆r 
 1
−
≅
 r − ∆r r + ∆r  4πε  r 2 
0
Hierbei wurde von der Tatsache Gebrauch gemacht, dass ∆r2<<r2.
Aus der letzten Skizze entnimmt man den Zusammenhang zwischen
∆r und ϑ zu l cos ϑ = 2∆r. Damit erhält man für das Potential des
Dipols in hinreichendem Abstand die Beziehung
r r
Q  l cos ϑ  p cos ϑ
p⋅ r
V(r ) =
=
=
2
2


4πε0  r  4πε0 r
4πε0 r 3
Das elektrische Feld erhält man aus dem Potential mittels der Relation
r
E = −gradV .
In Kugelkoordinaten schreibt sich der Gradient folgendermaßen:
grad U (r , ϕ ,θ ) =
∂U r
1 ∂U r 1 ∂U r
er +
eϕ +
eθ
∂r
r sin θ ∂ϕ
r ∂ϑ
Da das Problem bezüglich des Winkels ϕ rotationssymmetrisch ist und
daher V auch nicht von ϕ abhängt, erhält man das elektrische Feld
mittels der Relation
r
r
r
∂V r 1 ∂V r
E = −grad V(r, θ) = −
er −
eθ = E r e r + E ϑ eϑ
r ∂ϑ
∂r
Die Radialkomponente des Feldes Er ergibt sich zu
E r (r, ϑ) =
Q  l cos ϑ  p cos ϑ
=
2πε0  r 3  2πε0 r 3
die Azimutalkomponente zu
E ϑ (r, ϑ) =
p sin ϑ
4 πε 0 r 3
Den Betrag der Feldstärke erhält man mit E = E 2r + E ϑ2 zu
E=
p
2
ϑ +1
3
cos
3
4πε0 r
Der Betrag der Feldstärke nimmt mit der dritten Potenz des Abstandes
vom Dipol ab. In Richtung der Dipolachse ( ϑ = 0 ) ist die elektrische
Feldstärke maximal, das Potential gleich Null. Senkrecht zur Dipolachse ist der Betrag der elektrischen Feldstärke minimal. In Richtung
der Dipolachse trägt nur die Radialkomponente zum Feld bei, senkrecht dazu nur die Azimutalkomponente, die wegen der Drehung um
90° aber ebenfalls in Richtung der Dipolachse zeigt.