r - IAP TU-Darmstadt

Kapitel 3
Kräfte und Drehmomente
Kräfte
Messung und physikalische Bedeutung einer „Kraft“ :
Messung von Masse m
Messung von Beschleunigung a (Rückgriff auf Längen- und Zeitmessung)
 Aus der Messung von Masse und Beschleunigung wird geschlossen :
Auf den Körper wirkt eine Kraft :




F  ma  mr
 Konsequenzen :
a0 
F 0
d.h. ein freies Teilchen ändert seinen Bewegungszustand nicht.
und : Kraft ist Vektor, kann auch aus Summe von Kräften resultieren
(da auch gilt : Beschleunigung ist Vektor)


Fges   Fi
i
2
Kraft und Impuls
zunächst : Ursache der Kräfte ist hier jetzt (noch) nicht ergründet

 
wenn gilt : Fges   Fi  0
dann ist der Körper kräftefrei
i
Definition des Impulses :



p  mv





d
p  mv   m v  mv  m v  ma
dt
oft gilt :
 0
m
d.h. Massenerhaltung 
allgemein (auch ohne Massenerhaltung) gilt :

p  ma
 
F  p
3
Messung von Kräften
Messung von Kräften über Beschleunigungen ist i.d.R. unpraktisch
 Statische Methoden meist einfacher anwendbar
z.b. Verformung von (geeichten) Federn durch zu bestimmende Kraft
Beobachtung : Dehnung der Feder ist (in erster Näherung) proportional zu Kraft
Fx  D x  x0 
Hook‘sches Gesetz
stationärer Zustand ist
erreicht, sobald gilt :
D x  x0   Fext
x0
Anwendung zur Messung der Gewichtskraft :
x
Anheben der Masse m durch Feder, bis die Kraft in der
Dehnung der Feder die Gewichtskraft kompensiert :
D x  x0   mg

D  x  x0 
m
g


FG  mg
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Grundgleichungen der Mechanik : Newton‘sche Axiome
Jeder Körper verharrt im Zustand der Ruhe
oder der gleichförmigen geradlinigen
Bewegung, solange keine Kraft auf ihn wirkt.
1. Newton‘sches
Axiom


 Der Impuls eines kräftefreien Teilchens p  mv ist zeitlich konstant
Eine auf ein Teilchen wirkende Kraft führt
 
zur Änderung seines Impulses

Fp
2. Newton‘sches
Axiom
Einheit der Kraft : 1 kg·m/s2 = 1 Newton
Zwei Körper, die miteinander wechselwirken, üben
aufeinander gleich große, aber entgegengesetzt
gerichtete Kräfte aus (actio = reactio)
3. Newton‘sches
Axiom
5
Beispiel : Bewegung einer Rakete
Prinzip : Durch Ausstoßen von Masse (Gas, Treibstoff,…)
entsteht ein Impuls des Gases nach hinten. Wegen actio = reactio
erfährt der Körper der Rakete eine Kraft nach vorne. Das
funktioniert umso besser, je schwerer die ausgestoßene Masse ist
 Wasser als Treibstoff funktioniert viel besser als Gas
beachte : Bei der Rakete gilt keine Massenerhaltung
 Kraft durch
Teilchenausstoß :
F  p  m v  mv
Annahme : konstante AusströmGeschwindigkeit 
v
F m
m t 
vt 
 Beschleunigung der Rakete : aRakete t  
mt 
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Träge Masse & schwere Masse (Gewicht)
Eigenschaft eines Körpers der Masse m ohne Krafteinwirkung im
Bewegungszustand zu verharren  „Trägheit“  träge Masse mT
Gewicht einer Masse durch F = mg (Gravitation)  schwere Masse mS
Anmerkung : Messungen, die auf möglichen Unterschied
von Trägheit und Gewicht abzielen, zeigen : (mT - mS )/mT < 10-10
 Einstein postulierte mT  mS da beide Größen ununterscheidbar sind
In einem geschlossenen Fahrstuhl kann man nicht entscheiden, ob der Fahrstuhl in einem homogenen
Gravitationsfeld ruht (Abb. a) oder ob er sich mit der Beschleunigung a=−g in einem gravitationsfreien
Raum bewegt (Abb. b). Im letzten Fall wird man mit der Beschleunigung g nach unten gedrückt – genau wie
im Schwerefeld). Alle Experimente innerhalb des Fahrstuhls führen in beiden Fällen zu gleichen Resultaten. 7
Anmerkung : …zum Begriff des Beharrungsvermögen/der Masseträgheit
schnell ziehen
langsam ziehen
Gedankenexperiment : Betrachte eine Masse M an einer Feder; die Masse dehnt die Feder durch
die Gewichtskraft F1 = Mg. (links) Wenn man sehr schnell mit Kraft F2 zieht, dann muss zunächst
die Masse M beschleunigt werden, erst danach kann die Dehnung bzw. F1 durch die zusätzliche
Beschleunigung zunehmen. (rechts) Wenn man langsam zieht, dann wirkt die Kraft quasi direkt
auf die Feder und erhöht Dehnung bzw. F1 – ohne Verzögerung durch Beschleunigung der Masse
M. Die Überlegung zeigt, dass bei der schnellen Bewegung der Effekt auf die Feder quasi
verzögert eintritt, da erst die Masse beschleunigt werden muss; die Masse reagiert also „träge“
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Beispiel : Ortsabhängige Kraft : Bewegung im Schwerefeld
bisher angenommen : Konstante Wirkung der
Gravitation, d.h. Gewichtskraft mg soll nicht
variieren mit dem Abstand vom Erdmittelpunkt
 Gilt nur für kleine Entfernungsänderungen
Allgemeiner gilt für die Gravitationskraft :
 
mM
FG (r )  G 2 rˆ
r
mit : Masse m des Körpers; Erdmasse M;
Gravitationskonstante G
d.h. Kraft ist ortsabhängig : F = F(r)
gesucht : Lösung der Bewegungsgleichung
FG r 
M
a(r )  r 
 G 2
m
r
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Lösung der Differential-Gleichung :
„geschickte“ Umformung : r 
M
 v dv  G 2 dr
r


M
r  G 2
r
beachte : r = r(t)
dv
M
dv dv dr
dv

v
 G 2
 v
dt dr dt
dr
dr
r
 Trennung der Variablen  Integration möglich
1
 v dv  GM  r 2 dr
v 2 GM

 C1
2
r
mit der Integrationskonstanten C1
aus den Anfangs-/Randbedingungen
…liefert einen Zusammenhang zwischen v und r. beachte : v = v(r)
Anm.: Allgemeinste Lösung (z.B. auch freier Fall, senkrechter Wurf, etc.)
10
v 2 GM

 C1
2
r
Anfangsbedingung zur Bestimmung der Integrations-Konstanten C1 :
Auf der Höhe h = 0 bzw. r = Erd-Radius R0
sei die Anfangs-Geschwindigkeit v(R0) = v0 (z.b. beim senkrechten Wurf) :

v02 GM

 C1
2
R0

v02 GM
C1  
2
R0
Außerdem kennen wir die Erdbeschleunigung am Erdboden a(R0) = g
aus :
mM
FG R0   G
  mg
2
R0
Einsetzen liefert dann :
ergibt sich :
v 2 gR02 v02

  gR0
2
r
2
GM  gR02
beachte : v = v(r)
11
v 2 gR02 v02

  gR0
2
r
2
Wenn wir einen Körper mit v0 hochwerfen,
dann gilt am höchsten Punkt v(rmax) = 0

für :
rmax
R0

v02
1
2 R0 g

gR02 v02
0
  gR0
rmax 2
wir sehen : rmax variiert mit v0
Je näher v02/2 an R0g, umso größer wird rmax
 kin Energie
km
v0  2 R0 g  ...  11.2
s
 pot. Energie
wird rmax = 
2. Kosmische Geschwindigkeit
d.h. der Körper kann das Schwerefeld der Erde verlassen und in‘s All vorstoßen
(ohne auf die Erde zurückzufallen)  relevant für Raketen
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Reibung
► Reibung basiert auf Kräften bei der relativen Bewegung zweier Körper,
deren Oberflächen sich berühren  Mikrostruktur (Rauigkeit) der Oberfläche
determiniert Reibungskräfte
Oberfläche, abgebildet
mit Mikroskop
Haftreibung durch Verzahnung
einer Oberfläche mit Mikro-Rauigkeiten
„Verhakungs-Modell“ für die
Wechselwirkung von Oberflächen
(Vorstellung: zwei Bürsten)
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Haftreibung : Es wird eine bestimmte Mindest-Kraft benötigt wird, um einen
auf einer Oberfläche ruhenden Körper in Bewegung zu setzen. Bei geringerer
Kraft bleibt der Körper auf der Oberfläche haften (s.o. Verhakungsmodell)
Gleitreibung : Es wird eine Kraft benötigt wird, um einen bewegten Körper bei
konstanter Geschwindigkeit zu halten. Ohne zusätzliche Kraft kommt ein
gleichförmig bewegter Körper aufgrund Energie-Verlusten durch Gleitreibung
irgendwann zur Ruhe
exp. Beobachtung : Haftreibungskraft ist proportional zur Kraft (z.B. Gewicht), mit der
der Körper auf die Oberfläche drückt (d.h. in Richtung der Normalen zur Oberfläche)

FH  µH FN
mit der Normalkraft FN auf die Oberfläche
und dem Haftreibungskoeffizienten µH
äquivalent gilt für die Gleitreibungskraft :
mit dem Gleitreibungskoeffizienten µG
FG  µG FN
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Anmerkung : Gleitreibung ist stets schwächer als Haftreibung
Erklärung : Wenn zwei Oberflächen relativ zueinander ruhen, verzahnen sich die
Spitzen und Täler der Oberflächen so ineinander, dass ein relatives Minimum des
mittleren Abstands beider Grenzflächen auftritt, weil dies einem relativen Minimum der
Energie entspricht. Bei der Gleitbewegung gleiten die Flächen so aneinander vorbei,
dass dieses Minimum nicht eingenommen wird. Beim Gleitvorgang wird vor allem von
den Spitzen des „Rauigkeitsgebirges“ Material abgetragen.
Rollreibung : Die Rollreibung ist wesentlich kleiner als die Gleitreibung, weil beim
Abrollen die Unebenheiten im Rauigkeitsgebirge teilweise „übersprungen“ werden.
 Kugellager zur möglichst reibungsfreien Bewegung
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Drehimpuls
Definition :
  
 
L  r  p  m r  v 
verknüpft Ort mit Geschwindigkeit;
beschreibt die Stärke der Dynamik bei der Bewegung auf einer Bahn
eˆx
 
rp x
px
eˆ y
eˆz
y
z   ypz  zp y , zpx  xpz , xpy  ypx 
py
pz
Anmerkung : Später werden wir sehen, dass der Drehimpuls eine sehr sinnvolle
(und äußerst wichtige) physikalische Größe ist.
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Beispiel : Gradlinige Bewegung
Bahn des Objektes
Objekt mit
Masse m

v


r t 

 
L  m r  v  
b = Stoßparameter
( Abstand Bahn – Ursprung)
Bezugszentrum (Ursprung)

L  L  m r v sin   mvb
 Falls v = const. ist der Drehimpuls konstant
(unabhängig vom Ort auf der Bahn)
 Bei der unbeschleunigten, gradlinigen Bewegung
ist der Drehimpuls-Betrag eine Erhaltungsgröße
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Beispiel : Gleichförmige Kreisbewegung

v t 

r t 
Geschwindigkeit ist stets tangential an der Bahn
 bei der Kreisbewegung stehen Ortsvektor r
und Geschwindigkeit v stets senkrecht
 Drehimpuls L steht senkrecht auf der Ebene
der Kreisbewegung, d.h. || 

 
L  m r  v 
mit :
v r


L  L  mrv

L  m r 2   const.

2 
Vektor-Schreibweise : L  m r 
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Drehimpuls und Drehmoment
Wir betrachten die zeitliche Veränderung des Drehimpulses :
 d r  p   
 

L
 rp  rp
dt
 
 
 v  p   r  p
 
rp
   Kraft mal Hebelarm
 rF

 



 Drehmoment
 Definition :
 
DL
  
D  r F
 Die zeitliche Änderung des Drehimpulses
ist gleich dem wirkenden Drehmoment
vergleiche : Die zeitliche Änderung des
Impulses ist gleich der wirkenden Kraft
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Beispiel : Zentral-Felder
 

F (r )  f (r ) rˆ
 Drehmoment :
 Kraft-Vektor ist parallel (anti-parallel) zum Ortsvektor
  
D  r F  0
 
 Drehimpulsänderung : L  D  0
 In Zentralfeldern ist der Drehimpuls eine Erhaltungsgröße

v t 

r t 

v t 

r t 
z.B. Bewegung der Erde im Gravitationsfeld der Sonne (links : Kreisbahn als Näherung;
rechts : Ellipsenbahn. In beiden Fällen ist der Drehimpuls eine Erhaltungsgröße)
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