Erweiterte Beispiele 1 1/1 Gegeben ist das Dreieck ABC

Erweiterte Beispiele 1
1/1
Gegeben ist das Dreieck ABC [A(-20/-9), B(30/-9), C(12/15)]. Die Seitenmittelpunkte D, E,
F bilden ein Dreieck. Zeige, dass der Umkreis dieses Dreiecks den Inkreis des Dreiecks
ABC berührt und berechne die Koordinaten des Berührpunktes. Wie berechnet man den
Umkreismittelpunkt eines Dreiecks in R³ ?
[L:
kU: (x-8,5)²+(y-3)² = 156,25; kI: (x-10)²+(y-1)² = 100; T(16/-7)]
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Erweiterte Beispiele 2
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Zeigen Sie die Richtigkeit der folgenden zwei Sätze am Dreieck A(0/0,5), B(0/-3), C(6/5)
für den Eckpunkt A und die Seite a, bzw. für die Winkelsymmetrale wD und die
Streckensymmetrale ma. Fertigen Sie weiters eine Zeichnung an!
a) Der Abstand eines Eckpunktes vom Höhenschnittpunkt ist doppelt so groß wie der
Abstand des Umkreismittelpunktes von der dem Eckpunkt gegenüberliegenden Seite.
b) Eine Winkelsymmetrale und eine Streckensymmetrale der gegenüberliegenden Seite
schneiden einander auf dem Umkreis.
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Erweiterte Beispiele 3
1/1
In den Eckpunkten des Dreiecks ABC [A(-9/-5), B(5/-5), C(12/16)] werden an den Umkreis
die Tangenten gelegt. Jede Tangente wird mit der Trägergeraden der gegenüberliegenden
Dreieckseite geschnitten.
Zeige rechnerisch, dass diese drei Schnittpunkte auf einer Geraden liegen!
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Erweiterte Beispiele 4
1/1
Der Inkreis des Dreiecks ABC hat den Mittelpunkt I(0/2) und berührt die Seite AB im Punkt
P(6/-6). Weiters kennt man den Eckpunkt C(-10/12).
Berechne die Koordinaten der Eckpunkte A und B und zeige, dass C der
Höhenschnittpunkt ist. Der Schwerpunkt S teilt die Strecke HU im Verhältnis 2:1.
Verwende diesen Sachverhalt zur Berechnung des Umkreismittelpunktes U. (S kann
mittels Formel berechnet werden.) Skizze!
[L: a) A(-10/-18), B(30/12), U(10/-3);
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Erweiterte Beispiele 5
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Von einem gleichseitigen Dreieck ABC kennt man die Koordinaten der Eckpunkte
A(1/0/-2) und B(1/6/-8). Vom dritten Eckpunkt C weiß man, dass er in der xy-Ebene liegt
und die 1. Koordinate positiv ist.
a) Erkläre deine Lösungsstrategie zur Berechnung der Koordinaten von C mit einigen
Sätzen und eventuell einer Skizze.
b) Berechne die Koordinaten von C und die Gleichung der Ebene H, in der das Dreieck
ABC liegt!
c) Das Dreieck ABC ist Grundfläche eines geraden Prismas, das von der Ebene
H1: 4x+y+z= -16 geschnitten wird. Welchen Winkel schließen die Seitenkanten des
Prismas mit dieser Ebene ein? Berechne, um wieviel Prozent der Inhalt der
Schnittfläche A1B1C1 größer als die Fläche des Dreiecks ABC ist!
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Erweiterte Beispiele 6
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Von einem Würfel kennt man den Eckpunkt A und die Trägergerade g [A(4/3/4), I(14/11/2)]
auf der auch der Eckpunkt F liegt. Die Seitenfläche BCFG liegt in der Ebene H: x = -1. Für
die y-Koordinate des Punktes C gilt: yC d 0.
a) Berechne die Koordinaten der Eckpunkte des Würfels!
b) Welcher Körper ist durch die Eckpunkte ACFH festgelegt? Berechne das Volumen!
[L:
F(-1/-1/7), B(-1/3/4); C(-1/0/0)]
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Erweiterte Beispiele 7
1/1
Gegeben sind die Punkte A(3/2/-3), B(5/6/1) und C(6/2/0).
a) Welches spezielle Dreieck liegt vor? Berechnen Sie den Winkel bei A bzw. bei C.
Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene H1 durch die Punkte ABC.
b) Legen Sie durch D(0/4/0) eine Ebene H2, die zur (xz)-Ebene parallel ist und bestimmen
Sie die Schnittgerade s von H1 und H2 .
c) Berechnen Sie die Normalgerade n durch R(6/5/-3) auf H1 und bestimmen Sie den
Schnittpunkt F von n und H1. Berechnen Sie das Volumen der Pyramide mit der Spitze
R und dem Basisdreieck ABC.
[L: a) Gleichschenkl., rechtwinkl. Dreieck, H1: 2x+y-2z = 14;
b) H2: y = 4, s: X = (5,4,0) + r.(1,0,1) ,
c) n: X = (6,5,-3) + t.(2,1,-2) ; F(4/4/-1), V = 9 VE]
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Erweiterte Beispiele 8
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Ein Lichtstrahl geht von einer Lampe in P1(-2/-1/13) aus und fällt durch P2(2/-3/9) auf die
durch A(4/-5/-3), B(5/-1/-11) und C(7/-3/3) bestimmten Ebene H1.
a) Gib die Normalform der Gleichung der Ebene H1 an!
b) Bestimme den Punkt S1, in dem der Strahl auf H1 reflektiert wird!
c) Der reflektierte Strahl wird in S2(2/-1/3) an einer zweiten Ebene H2 erneut reflektiert und
geht danach durch den Punkt T(0/3/7). Gib die Gleichung der Ebene H2 an!
d) Zeige, dass der an H2 reflektierte Strahl durch T geht!
e) Wie lange braucht das Licht, um von P1 nach T zu gelangen
(Lichtgeschw.: 300 000 km/s, Abstände in dm)?
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Erweiterte Beispiele 9
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Drei Orte P, Q und R einer kleinen Landgemeinde, die mit drei weitgehend geradlinigen
Wegen miteinander verbunden sind, sollen eine gemeinsame Kläranlage erhalten. Diese
soll sich aus wirtschaftlichen Gründen in gleichem Abstand von den drei Wegen befinden.
Ein vor einigen Jahren errichtetes Wasserreservoir ist von allen drei Orten gleich weit
entfernt.
Zur leichteren Orientierung haben die Raumplaner markante Punkte in einem kartesischen
Koordinatensystem erfaßt: Ort P(-3km/1,5km), Q(9km/-2km), R(3km/6km)
a) Fertige eine Zeichnung im Maßstab 1 : 100 000 an und konstruiere die Lage der drei
Orte, der Kläranlage und des Wasserreservoirs!
b) Hat das Dreieck PQR eine besondere Eigenschaft? Stelle eine Vermutung auf und
beweise sie!
c) Berechne die Koordinaten des Wasserreservoirs und der Kläranlage!
d) Wie viele km Kanalrohre müssen zu jedem der drei Verbindungswege gelegt werden?
e) Wie hoch waren bei der Errichtung des Wasserreservoirs die Kosten für jeden Ort für
die Verlegung der Wasserleitung, wenn für 1 km Leitung 625 000 S verrechnet
wurden?
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Erweiterte Beispiele 10
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Gegeben ist das Viereck ABCD [A(-5/-4) B(10/-1) C(6/7) D(l/8)].
a) Zeige dass dieses Viereck ein Sehnenviereck ist.
b) Zeige, dass der an der Seite AC gespiegelte Punkt D Höhenschnittpunkt des Dreiecks
ABC ist.
c) Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks ABC.
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Erweiterte Beispiele 11
G
Die Gerade g: x
§ 3·
¨ ¸
¨ 2¸ k
¨1¸
© ¹
1/1
§ 1 ·
¨ ¸
¨ 2 ¸ und der Punkt P(8/4/-3) sind gegeben.
¨ 2¸
© ¹
a) Bestimme die Gleichung der Ebene, die durch g und P festgelegt ist, in parameterfreier
Form.
b) Wie weit liegt der Punkt P von der Geraden g entfernt?
c) Der Punkt P wird an der Geraden g gespiegelt. Welche Koordinaten hat der
Spiegelpunkt P*?
d) In welchen Punkten S1 und S2 wird die Kugel K: x3 + y3 + z3 -12x - 12y - 6z + 25 = 0
von der Geraden g geschnitten?
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Erweiterte Beispiele 12
G
Die Geraden c: [ 2y + x = 7], a: [ X
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§ 5·
§ 1·
¨ ¸ t ˜ ¨ ¸ ] und b: [y = x +2] schneiden sich in den
© 1¹
© 5¹
Punkten A(c ˆ b), B(c ˆ a), und C(a ˆ b) und schließen ein Dreieck ein.
a) Zeige, daß A(1/3) ,B(5/1) und C(4/6) die Eckpunkte sind!
b) Berechne die Gleichung der Winkelhalbierenden wD!
c) Berechne die Winkel des Dreiecks!
d) Berechne die Fläche des Dreiecks(ohne Heronsche Formel)
e) Fertige eine Skizze an!
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Erweiterte Beispiele 13
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In jedem Dreieck ist die Summe der Abstände des Umkreismittelpunkts von den
Dreiecksseiten gleich der Summe von Inkreis- und Umkreisradius.
Weise die Gültigkeit dieses Satzes rechnerisch für das Dreieck mit den Eckpunkten
A(-10/8), B(14/0) und C(20/18) nach!
Zeige dabei rechnerisch, dass das gegebene Dreieck rechtwinkelig ist, und verwende
diese Tatsache zur schnelleren Ermittlung des Umkreismittelpunkts und seines Abstands
von den Seiten! (Überlegung anhand einer entsprechenden Skizze des Dreiecks).
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Erweiterte Beispiele 14
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Das Dreieck ABC [A(5/10/6), B(-5/11/7), C] ist Basis einer Pyramide mit der Spitze
S(-2/0/11).
a) C ist der Schnittpunkt der Geraden g: X = (7/6/-3) + s (4/-6/-5) und der
Ebene E: 5x - 2y + 6z = 3. Berechne C!
b) Wie groß ist die Höhe? Welchen Volumsinhalt hat diese Pyramide?
c) Wie groß ist der Winkel zwischen der Seitenkante AS und der Grundfläche?
d) Wie lautet die Gleichung der Kugel, die man der Pyramide umschreibt?
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