4. Kongruenz ohne Parallelen.

4. Kongruenz ohne Parallelen.
Den Griechen war bald klar, dass es bei einer solchen
fundamentalen Frage, wie der nach der Existenz eines
Pentagons, nicht mehr um noch so clevere geometrische Tricks gehen kann. Solche Tricks können auch
täuschen. Wie leicht solche Tricks tatsächlich zu einer
Täuschung führen können, werden wir am Ender dieser
Vorlesung sehen. Was jetzt nötig ist, ist eine wohl
fundierte logisch einwandfreie Geometrie.
In dieser Vorlesung beginnen wir mit der systematischen Aufstellung der Euklidischen Geometrie wie man
sie in [Euklid, Elemente] findet. Als erstes Lehrstück
dieser Systematik werden wir in dieser Vorlesung seKlaus Johannson, Geometrie (L2)
30
. Geometrie (L2)
hen, wie Euklid die Kongruenzsätze aus der Axiomatik
der Euklidischen Geometrie ableitet. Es gibt hier ein
paar kleine Eigenheiten wie z.B. der Versuch, wirklich
alles definieren zu wollen. Es wird z.B. auch versucht
zu definieren was ein Punkt und was eine Gerade ist.
Heute steht man (nach Hilbert) auf dem Standpunkt,
daß Punkt und Gerade in der Euklidischen Geometrie
undefinierbare Grundbegriffe sind. Aber davon abgesehen ist die Herleitung der Kongruenzsätze heute immer noch gültig.
Was uns hier besonders interessiert ist die Tatsache,
daß Euklid die Kongruenzsätze auf einem sehr fundamentalen Niveau herleitet. Natürlich wird in der Euklidischen Geometrie nicht mehr gemessen, nachdem ja
von den Pythagoräern festgestellt worden ist, daß nicht
alle geraden Strecken meßbar sind. Aber genauso bemerkenswert ist vielleicht die Tatsache, daß Euklid zur
Herleitung der Kongruenzsätze auch nicht die Existenz
und Eindeutigkeit von Parallelen voraussetzt. Es gibt
also in diesem Teil noch keine Parallelverschiebung.
Wir werden erst in der nächsten Vorlesung sehen, wie
Euklid die Existenz von Parallelen herleitet.
Die ”Kongruenz” stellt eine gewisse Äquivalenzrelation zwischen den geometrischen Objekten der Euklidischen Ebene dar. Eine andere, schwächere Äquivalenzrelation, an die man an dieser Stellle auch denken
Klaus Johannson, Geometrie (L2)
§4 Kongruenzsätze
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könnte, ist die ”Flächengleichheit”. Mit der beschäftigen wir uns aber erst in der übernächsten Vorlesung.
Wir beginnen mit der Euklidischen Axiomatik auf der
alle Argumente in der Euklidischen Geometrie letztlich
beruhen. Für eine moderne, aber auch sehr viel abstraktere Fassung dieser Axiomatik siehe [Hilbert,
Grundlage der Geometrie]
Die axiomatische Grundlegung der
Euklidischen Geometrie.
Wir wollen darauf achten, ob Euklid bei der Herleitung
der Kongruenzsätze das Parallelenaxiom oder gar die
Existenz von Paralellelen benutzt. Ansonsten wollen
wir natürlich sehen wie die Kongruenzsätze bewiesen,
d.h. streng logisch aus den Axiomen der Euklidischen
Geometrie hergeleitet werden.
An dieser Stelle bemerken wir noch, daß die Euklidischen Axiome (die wir hier kennenlernen und für das
Folgende zugrunde legen wollen) eine bestimmte, uns
zwar anschaulich sehr vertraute, aber doch nicht einzig
mögliche Geometrie, beschreiben. Es gibt im Gegenteil noch sehr viel andere sinnvolle Geometrien. Als
besonders wichtige Beispiele werden wir später noch
Klaus Johannson, Geometrie (L2)
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. Geometrie (L2)
die sphärische und die hyperbolische Geometrie behandeln. Die Euklidische Geometrie ist unter diesen Geometrien durch die Gültigkeit des Parallelenaxioams
ausgezeichnet.
Das Parallelenaxiom lautet im Originaltext (deutsche Version):
5. Gefordert soll sein daß, wenn eine gerade Linie
beim Schnitt mit zwei geraden Linien bewirkt, daß innen auf derselben Seite entstehende Winkel zusammen
kleiner als zwei Rechte werden, dann die zwei geraden
Linien bei Verlängerung ins unendliche sich treffen auf
der Seite, auf der die Winkel liegen, die zusammen
kleiner als zwei Rechte sind.
Die anderen Axiome sind viel kürzer. Sie lauten:
Gefordert soll sein:
1. daß man von jedem Punkte nach jedem Punkte die
Strecke ziehen kann.
2. daß man eine begrenzte gerade Linie zusammenhängend verlängern kann.
Klaus Johannson, Geometrie (L2)
§4 Kongruenzsätze
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3. daß man mit jedem Mittelpunkt und Abstand den
Kreis ziehen kann.
4. daß alle rechten Winkel einander gleich sind.
Zu den obigen Axiomen gehören noch verschiedene
Definitionen. Wie z.B.
5. Wenn eine gerade Linie, auf eine gerade Linie gestellt, einander gleiche Winkel bildet, dann ist jeder
der beiden gleichen Winkel ein Rechter.
23. Parallel sind gerade Linien, die in derselben Ebene liegen und dabei, wenn man sie nach beiden Richtungen ins unendliche verlängert, auf keiner einander
treffen.
Hier ist die vollständige Liste aller Definition, Postulate und Axiome aus [Euklid].
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. Geometrie (L2)
Die Aufstellung der Euklidischen Geometrie.
Definitionen.
1. Ein Punkt ist, was keine Teile hat,
2. Eine Linie breitenlose Länge.
3. Die Enden einer Linie sind Punkte.
4. Eine gerade LInie (Strecke) ist eine solche, die
zu den Punkten auf ihr gleichmässig liegt.
5. Eine Fläche ist, was nur Länge und Breite hat.
6. Die Enden einer Fläche sind Linien.
7. Eine ebene Fläche ist eine solche, die zu den geraden Linien auf ihr gleichmässig liegt.
8. Ein ebener Winkel ist die Neigung zweier Linien in
einer Ebene gegeneinander, die einander treffen, ohne
einander gerade fortzusetzen.
9. Wenn die den Winkel umfassenden Linien gerade
sind, heißt der Winkel geradlinig.
10. Wenn eine gerade Linie, auf eine gerade LInie
gestellt, einander gleiche Nebenwinkel bildet, dann is
jeder der beiden Winkel ein Rechter.
11. Stumpf ist ein Winkel, wenn er größer als ein
Rechter ist,
12. Spitz, wenn kleiner als ein Rechter.
Klaus Johannson, Geometrie (L2)
§4 Kongruenzsätze
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13. Eine Grenze ist das, worin etwas endigt.
14. Eine Figur ist, was von einer oder mehreren Grenzen umfasst wird.
15. Ein Kreis ist eine ebene, von einer einzigen Linie
[die Umfang (Bogen) heißt] umfaßte Figur mit der
Eigenschaft, daß alle von einem inerhalb der Figur
gelegenen Punkte bis zur Linie [zum Umfang des Kreises] laufende Strecken einander gleich sind;
16. Und Mittelpunkt ds Kreises heiß dieser Punkt.
17. Ein Durchmesser des Kreises ist jede durch den
Mittelpunkt gezogene, auf beiden Seiten vom Kreisumfang begrenzte Strecke; eine solche hat auch die Eigenschaft den Kreis zu halbieren.
18. Ein Halbkreis ist die vom Durchmesser und dem
durch ihn abgeschnittenen Bogen umfaßte Figur.
[und Mittelpunkt ist beim Halbkreis derselbe Punkte
wie beim Kreise].
19. Geradlinige Figuren sind solche, die von Strekken umfaßt werden,
dreiseitige die von drei,
vierseitige, die von vier,
vielseitige, die von mehr als vier Strecken umfaßten.
20. Von den dreisetigen Figuren ist ein gleichseitiges
Dreieck jede mit drei gleichen Seiten,
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. Geometrie (L2)
ein gleichschenkliges jede mit nur zwei gleichen Seiten,
ein schiefes jede mit drei ungleichen Seiten.
21. Weiter ist von den dreiseitigen Figuren ein rechtwinkliges Dreieck jede mit einem rechten Winkel,
ein stumpfwinkliges jede mit einem stumpfen Winkel,
ein spitzwinkliges jede mit drei spitzen Winkeln.
22. Von den vierseitigen Figuren ist ein Quadrat jede,
die gleichseitig und rechtwinklig ist,
ein längliches Rechteck jede, die zwar rechtwinklig
aber nicht gleichseitig ist,
ein Rhombus jede, die zwar gleichseitig aber nicht
rechtwinklig ist,
ein Rhomboid jede, in der die gegenüberliegenden
Seiten sowohl als Winkel einander gleich sind und die
dabei weder gleicseitig noch rechtwinklig ist;
die übrigen vierseitigen Figuren sollen Trapeze heißen,
23. Parallel sind gerade Linien, die in derselben Ebene liegen und dabei, wenn man sie nach beiden Seiten
ins unendliche verlängert, auf keiner einander treffen.
Postulate.
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§4 Kongruenzsätze
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Gefordert soll sein:
1. Daß man von jedem Punkt nach jedem Punkt die
Strecke ziehen kann,
2. Daß man eine begrenzte gerade Linie zusammenhängend gerade verlängern kann,
3. Daß man mit jedem Mittelpunkt und Abstand den
Kreis zeichnen kann,
4. Dass alle rechten Winkel einander gleich sind,
5. Und daß man, wenn eine gerade Linie beim Schnitt
mit zwei geraden Linien bewirkt, daß innen auf derselben Seite entstehende Winkel zusammen kleiner als
zwei Rechte werden, dann die zwei geraden Linien bei
Verlängerung ins unendliche sich treffen auf der Seite,
auf der die Winkel liegen, die zusammen kleiner als
zwei Rechte sind.
Axiome.
1. Was demselben gleich ist, ist auch einander gleich.
2. Wenn Gleichem Gleiches hinzugefügt wird, sind die
Ganzen gleich.
3. Wenn von Gleichem Gleiches weggenommen wird,
sind die Reste gleich.
4. Wenn Ungleichem Gleiches hinzugefügt wird, sind
die Ganzen ungleich.
Klaus Johannson, Geometrie (L2)
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. Geometrie (L2)
5. Die Doppelten von demselben sind einander gleich.
6. Die Halben von demselben sind einander gleich.
7. Was einander deckt, ist einander gleich.
8. Das Ganze ist größer als der Teil.
9. Zwei Strecken umfassen keinen Flächenraum.
Der Erste Kongruenzsatz (SWS).
Aufgabe. [Euklid I §1] Man konstruiere ein gleichseitiges Dreieck mit Grundseite AB.
C
D
E
A
B
Lösung.
Man ziehe (Post. 3) einen Kreis um A und einen
Kreis um B, jeweils mit AB als Radius.
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§4 Kongruenzsätze
39
Sei C einer der Schnittpunkte der Kreise.
Man ziehe (Post. 1) die Strecken CA und CB.
Dann ist (Def. 15,Ax. 1)
AC = AB = BC. ♦
Erster Kongruenzsatz.
[Euklid I §4] Seien
∆ABC und ∆DEF zwei Dreiecke mit
AB = DE, AC = DF und
6
BAC = 6 EDF.
Dann ist
BC = EF, und
6
ABC = 6 DEF,
A
B
6
ACB = 6 DF E.
D
C
E
F
Beweis.
Man lege ∆ABC auf ∆DEF und lege dabei
Klaus Johannson, Geometrie (L2)
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. Geometrie (L2)
den Punkt A auf D und die Strecke AB auf DE
Dann muß auch
der Punkt B den Punkt E decken,
denn AB = DE. Dann (Ax. 9)
deckt die Strecke AB die Strecke DE.
Also
liegt die Strecke AC auf der Strecke DF ,
denn
6
BAC = 6 EDF . Deshalb
deckt der Punkt C den Punkt F ,
denn AC = DF . B deckt aber E. Folglich muß
(Ax. 9)
die Strecke BC die Strecke EF decken.
Damit decken alle Seiten des einen Dreiecks die des
anderen.
Folglich muß
das Dreieck ∆ABC das Dreieck ∆DEF
Klaus Johannson, Geometrie (L2)
§4 Kongruenzsätze
41
decken und ihm gleich sein. Insbesondere müssen
alle Winkel von ∆ABC die entsprechenden Winkel
von ∆DEF decken
und ihnen gleich sein. ♦
Bemerkung. Man beachte hier den feinen Unterschied zwischen ”liegen” und ”decken”. Beide Begriffe sind hier wesentlich. Z.B. auf Strecken angewandt, hat man mit diesen Begriffen die Möglichkeit
mehr auszudrücken als nur eine evtl. Längengleichheit.
Die Begriffe selbst sind aber in der Euklidischen Axiomatik nicht definiert. Sie sind aus der Umgangssprache übernommen.
Bemerkung. In den obigen Beweisen sind absichtlich
alle Voraussetzungen herausgehoben, die benutzt werden. Man sieht so leicht, daß das Parallelnaxiom
(Post. 5) nirgends benutzt wurde. Alle Konstruktionen dieses Abschnitts könnte man ebenso z.B. in der
sphärischen Geometrie ausführen (siehe die 9. Vorlesung zur sphärischen Geometrie).
Klaus Johannson, Geometrie (L2)
42
. Geometrie (L2)
Der Zweite Kongruenzsatz (SSS)
Aufgabe. [Euklid I §2] Sei A ein Punkt und
sei BC eine gegebene Strecke. Man konstruiere eine
Strecke AL mit
AL = BC.
C
D
K
H
A
L
E
B
G
F
Bemerkung. Man kann BC nicht parallel verschieben, da es noch keine Parallelen gibt.
Lösung der Aufgabe.
Man ziehe die Strecke AB (Post. 1).
Klaus Johannson, Geometrie (L2)
§4 Kongruenzsätze
43
Man errichte das gleichseitige Dreieck ∆DAB [Euklid I §1].
Man verlängere DA, DB
AE, BF (Post. 2).
gerade um die Strecken
Man zeichne den Kreis CGH, mit B als Mittelpunkt
und BC als Abstand. (Post. 3)
Sei G der Schnittpunkt dieses Kreises mit der geraden
Linie DF .
Man zeichne den Kreis GKL, mit D als Mittelpunkt
und DG als Abstand (Post. 3).
Sei L der Schnittpunkt dieses Kreises mit der geraden
Linie DE.
Dann ist
BG = BC und DL = DG,
da B Mittelpunkt des Kreises CGH und D Mittelpunkt des Kreises GKL ist.
Also ist (Ax. 3, Ax. 1)
AL = BG = BC ♦
Dies war zu zeigen. ♦
Klaus Johannson, Geometrie (L2)
44
. Geometrie (L2)
Satz. [Euklid I §5] Sei ∆ABC ein gleichschenkliges
Dreieck (Def. 20) mit AB = AC. Dann ist
ABC = 6 ACB.
6
A
C
B
G
F
Beweis.
E
D
Es seien AB, AC um die geraden Linien BD, CE
verlängert (Post. 2).
Man wähle auf BD den Punkt F beliebig.
Man konstruiere den Punkt G auf AE mit
AG = AF.
(1)
(dies ist der Schnittpunkt von AE und dem Kreis um
A mit Radius AF ).
Schließlich ziehe man die Strecken F C, GB (Post. 1).
Klaus Johannson, Geometrie (L2)
§4 Kongruenzsätze
45
Dann ist
F A = GA, CA = BA und
6
F AC = 6 GAB.
Dann sind [Euklid I §4] die Dreiecke ∆F AC und
∆GAB kongruent. Insbesondere
F C = GB,
ACF = 6 ABG und 6 AF C = 6 AGB
(2)
Weiter ist (Ax. 3)
6
BF = CG,
da AF = AG (wegen (1)) und AB = AC (nach
Vor.). Somit
F C = GB, BF = CG und
6
BF C = 6 AF C = 6 AGB = 6 CGB
Also sind [Euklid I §4] die Dreiecke ∆BF C und
∆CGB kongruent. Insbesondere
6
F BC = 6 GCB und 6 BCF = 6 CBG.
(3)
und so wegen (2) und (3)
6
ABC = 6 ABG − 6 CBG = 6 ACF − 6 BCF
= 6 ACB. ♦
Klaus Johannson, Geometrie (L2)
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. Geometrie (L2)
Satz. [Euklid I §7] Es ist nicht möglich, über derselben Strecke AB und auf derselben Seite, zwei Paare
von Strecken AC, BC und AD, BD zu zeichnen mit
AC = AD und BC = BD.
C
A
D
B
Beweis.
Angenommen dies ist möglich.
Bemerkung. Mit dieser Annahme hätte man zwei
verschiedene Dreiecke ∆ABC und ∆ABD, über
derselben Grundlinie AB, deren Seiten paarweise
längengleich sind. Aber Achtung: Man darf jetzt
Klaus Johannson, Geometrie (L2)
§4 Kongruenzsätze
47
nicht einfach den Kongruenzsatz (SSS) verwenden, denn
wir sind ja erst noch dabei, ihn zu beweisen!
Man ziehe CD.
Dann wäre [Euklid I §5]
6
ACD = 6 ADC und
6
BCD = 6 BDC
(1)
da AC = AD und BC = BD (nach Voraussetzung).
Weiter ist
6
BCD < 6 ACD und
6
ADC < 6 BDC.
Also wäre (Ax. 8) und (1)
6
BCD < 6 BDC.
Dies ist ein Widerspruch zu (1). ♦
Klaus Johannson, Geometrie (L2)
48
. Geometrie (L2)
Zweiter Kongruenzsatz [Euklid I §8] Seien
∆ABC und ∆DEF zwei Dreiecke mit
AB = DE, AC = DF, BC = EF.
Dann ist auch
BAC = 6 EDF, 6 ABC = 6 DEF, 6 BCA = 6 EF D.
6
A
B
G
C
D
E
F
Beweis.
Man lege
das Dreieck ∆ABC auf das Dreieck ∆DEF
und lege dabei
den Punkt B auf den Punkt E sowie die Strecke
BC auf die Strecke EF .
Klaus Johannson, Geometrie (L2)
§4 Kongruenzsätze
49
Dann muss
der Punkt C den Punkt F decken,
denn BC = EF .
Dann gilt [Euklid, §7], dass
alle Seiten von ∆ABC Seiten von ∆DEF decken.
Somit ist
6
BAC = 6 EDF,
6
ABC = 6 DEF,
6
BCA
= 6 EF D. ♦
Klaus Johannson, Geometrie (L2)
50
. Geometrie (L2)
Eine Täuschung der Anschauung.
Hier ist ein kleiner Test. Er beruht auf dem 2. Kongruenzsatz und soll zeigen wie leicht man sich von der
Anschauung täuschen lassen kann, wenn man nicht
genau aufpasst.
G
D
α
A
F
E
γ
β
δ
C
B
6
Konstruiere die Figur so, daß:
DAC = R = rechter Winkel.
Klaus Johannson, Geometrie (L2)
§4 Kongruenzsätze
6
51
ACF < 6 DAB
AD = CF
BG = Mittelsenkrechte zu AC
EG = Mittelsenkrechte zu DF
Behauptung.
6
(DA, AB) = 6 (BC, CF ).
Dies wäre ein Widerspruch zu einer der Voraussetzungen der Konstruktion.
Und denoch:
DG = F G da EG Mitelsenkrechte von DF .
AG = CG da BG Mittelsenkrechte von AC.
AD = CF nach Konstruktion.
Also ∆(AGD) = ∆(CF G), denn alle drei Seiten sind
gleich
Demnach sind aber auch alle drei Winkel dieser Dreiecke gleich. Insbesondere α = γ. Aber β = δ da B
Mittelsenkrechte von AC. Damit ist
6
(AD, AB) = α + β = γ + δ = 6 (AD, AB).
Also ist die Behauptung ”bewiesen”.
Wo ist der Fehler?
Klaus Johannson, Geometrie (L2)