12-1 Impuls

LZ F12.1 Impuls/B12.4 Arbeit, Energie, Leistung, Impuls
LZ F12.1 Impuls/B12.4.2 Impuls
13
4.6. Impuls
4.6.1 Einführung
Die Änderung der Geschwindigkeit eines Körpers ist um so größer, je länger die Kraft wirkt.
Der Einfluss der Zeit soll ausgehend vom Newtonschen Grundgesetz zur Untersuchung einer
weiteren physikalischen Größe genutzt werden:
F  ma
F  t  m  a  t
F  t  m  v
mit
a  t  v
Das Produkt aus Kraft und Zeitdauer ihrer Einwirkung auf einen Körper ist gleich dem
Produkt aus der Masse und der Geschwindigkeitsänderung des Körpers.
Das Produkt F  t kennzeichnet einen Prozess, der durch die Prozessgröße Kraftstoß erfasst
wird. Das Produkt m v ist der Impuls.
Der Impuls p ist eine vektorielle Zustandsgröße, die den Bewegungszustand eines Körpers
beschreibt. (analog der Geschwindigkeit v).
p  mv
Differentialrechnung:
[p] = 1 kg·m·s-1
Einheit:
p (t )  m  v(t )  m  a(t )  F (t )
Der auf einen Körper ausgeübte Kraftstoß führt demzufolge zu einer Änderung des Impulses.
Sowohl eine Geschwindigkeitsänderung v als auch eine Massenänderung m können den
Impuls eines Körpers ändern. Es gilt
p  m  v 
p  m  v
p  m  v
Beispiel: Eine Trägerrakete ist mit fünf Antriebssystemen mit je vier Triebwerken
ausgestattet. Jedes Triebwerk stößt Gase mit einer Geschwindigkeit von
m
vG = 3,2 km·s-1 aus und liefert einen Massenstrom von
 m = 80 kg·s-1.
t
Berechnen Sie die Schubkräfte der einzelnen Treibwerke FT und der gesamten
Rakete!
FT  t  m  vG 
FT  t  m  vG
m
FT 
 vG
t
FT  80 kgs1  3,2 103 m  s 1
FT  26 10 4 N
 FR  n  FT  20  26 104 N  5,2 MN
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14
4.6.2. Gesetz der Impulserhaltung
Einführendes Experiment
Zwei Gleiter (Luftkissenbahn) mit unterschiedlichen Massen m1 und m2 sind durch einen
Faden verbunden. Zwischen den Gleitern befindet sich eine zusammengedrückte Feder. Der
Faden wird durch eine Flamme durchgebrannt. Beide Wage stoßen sich voneinander ab.
Was lässt sich über die Geschwindigkeit der Gleiter sagen?
Es gilt nach dem 3. Satz von Newton:
F1   F2
F1  F2  0 
a
m1  a1  m2  a2
v1
v
 m2  2
t
t
m1  v1  m2  v2
m1  v1  m2  v2
m
v1   2  v2
m1
m1 
| mit F  m  a (a = a , da F  konstant)
v
...mittlere Beschleunigung
| mit a 
t
| t
| v0  0
Ist m1 = m2 so gilt: v1  v2 und mit v0 = 0 
v1  v2
Die Geschwindigkeiten sind gleich groß, aber entgegengesetzt gerichtet.
Betrachtet man die Impulse so gilt:
p1  p2  p1  p2  0  mit p0 = 0  p1  p2  0 
p0
Die Summe der Impulse nach dem Stoßvorgang pnach ist Null. Dies entspricht dem
Gesamtimpuls pvor vor dem Stoß (v = 0  mit p = 0).
Es gilt der Impulserhaltungssatz:
Der Gesamtimpuls eines abgeschlossenen mechanischen Systems ist eine Erhaltungsgröße.
p = konstant
bzw.
pvor = pnach
Anwendung:
z.B.:
Raketenantrieb;
bei der Kernspaltung wird der Urankern in zwei Bruchstücke gespalten;
Rückstoß;
etc.
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15
4.6.3. Stoßvorgänge
4.6.3.1 Begriffe
Als Stoß werden in der Physik all jene Prozesse bezeichnet, bei denen zwei oder mehrere
Körper während ihrer Bewegung kurzzeitig miteinander wechselwirken und dadurch ihren
Bewegungszustand verändern.
Einteilung

Elastischer Stoß
Die mechanische Energie des Systems
bleibt erhalten. Es gilt der
Energieerhaltungssatz der Mechanik.
Unelastischer Stoß
Die mechanische Energie des Systems
wird teilweise oder vollständig in andere
Energieformen umgewandelt.
Gerader Stoß
Die Körper bewegen sich vor und nach
dem Stoß auf der selben Geraden.
Schiefer Stoß
Die Körper verändern beim Stoßprozess
ihre Bewegungsrichtungen.
Zentraler Stoß
Die Verbindungsgerade der
Schwerpunkte steht senkrecht auf der
Berührungsfläche.
Dezentraler Stoß
Die Verbindungsgerade der
Schwerpunkte steht nicht senkrecht auf
der Berührungsfläche.
Bei allen Stoßvorgängen gilt der Impulserhaltungssatz!
In den folgenden Betrachtungen wird vom zentralen, geraden Stoß ausgegangen.
4.6.3.2 Der vollkommen elastische gerade zentrale Stoß (Vollelastischer zentraler Stoß)
Beim vollelastischen Stoß geht z.B. durch die Verformung keine Energie verloren. Es gilt der
Energieerhaltungssatz der Mechanik.
Die beteiligten Stoßpartner haben jeweils eine eigene Geschwindigkeit ui nach dem Stoß.
Vollelastischer Stoß zweier Körper
Herleitung der Berechnungsformel für die Geschwindigkeiten u1 und u2 der beiden Körper
nach dem Stoß in Abhängigkeit der Anfangsgeschwindigkeiten v1 und v2 und der Massen m1
und m2 .
Energieerhaltungssatz
Ekinvor  Ekinnach
Ekin1,vor  Ekin2 ,vor  Ekin1,nach  Ekin2 ,nach
m1 2 m2 2 m1 2 m2 2
 v1 
 v2 
 u1 
 u2 (1)
2
2
2
2
umformen

m1 (v12  u12 )  m2 (v22  u22 )
m1 (v1  u1 )(v1  u1 )  m2 (v2  u2 )(v2  u2 ) (1*)
Impulserhaltungssatz
pvor  pnach
p1,vor  p2,vor  p1,nach  p2,nach
m1  v1  m2  v2  m1  u1  m2  u2 (2)

m1 (v1  u1 )  m2 (v2  u2 ) (2*)
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Division der Gleichung (1*)
durch die Gleichung (2*)

oder
und nach u 2 auflösen
16
Einsetzen von (2*) in (1*)

m1 (v1  u1 )  (v1  u1 )  m2 (v2  u2 )(v2  u2 )
 m2 (v2  u2 )  (v1  u1 )  m2 (v2  u2 )(v2  u2 ) |: (m2 (v2  u2 ))
v1  u1  v2  u2
u2  v1  u1  v2
(3)
Einsetzen der Gleichung (3) in die Gleichung (2) und nach u1 auflösen
m1  v1  m2  v2
m1  v1  m2  v2
m1  v1  m2  v2
m1  v1  m2  v2  m2  v1  m2  v2
 m1  u1  m2  (v1  u1  v2 )
 m1  u1  m2  v1  m2  u1  m2  v2
 (m1  m2 )  u1  m2  v1  m2  v2
 (m1  m2 )  u1
m  v  2m2  v2  m2  v1
u1  1 1
m1  m2

u1 
m1  v1  m2  (2v2  v1 )
m1  m2
(4)

u2 
m2  v2  m1  (2v1  v2 )
m1  m2
(5)
Sonderfälle:
a) vollkommen elastischen Stoß zweier Körper mit gleicher Masse m1  m2  m :
m  2  v2  0
analog: u2 = v1
u1 
 v2
2m
d.h. Austausch der Geschwindigkeiten
b) vollkommen elastischen Stoß gegen eine Wand ( m2    v2  0 ):
m1
m
m1
 v2  2 (2v2  v1 )
 v2  2v2  v1
1
m2
m2
m2
Gleichung (4) mit
erweitern  u1 =

m1 m2
m1
m2

1
m2 m2
m2
m
mit 1  0  u1  2  v2  v1  u1  v1
m2
d.h. der Körper mit der Masse m1 wird vom Körper m2 reflektiert
(aus Gleichung (5)  u2  v2  u2  0 )
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17
4.6.3.3 Der vollkommen unelastische gerade zentrale Stoß (Unelastischer zentraler Stoß)
Nach dem Stoß bewegen sich die Stoßpartner mit der Gesamtmasse m1  m2  ...  mn  m und
der gemeinsamen Geschwindigkeit u weiter. Ein Teil der mechanischen Energie wird in
Verformungsarbeit (z.B. Wärme) umgewandelt. Der Energieerhaltungssatz der Mechanik gilt
hier nicht!
Impulserhaltungssatz
pvor
p1,vor  p2,vor
m1  v1  m2  v2
m1  v1  m2  v2
 pnach
 p1,nach  p2,nach
 m1  u1  m2  u2
 (m1  m2 )  u
u
mit
u  u1  u2
m1  v1  m2  v2
m1  m2
Energiebetrachtung:
Ekinvor  Ekinnach  E
Ekin1,vor  Ekin2 ,vor  Ekinnach  E
m1 2 m2 2 m1  m2 2
 v1 
 v2 
 u  E
2
2
2
E  Ekinvor  Ekinnach 
bzw.
m1 2 m2 2 m1  m2 2
 v1 
 v2 
u
2
2
2
1 m1  m2  (v2  v1 ) 2
E  
2
m1  m2
Herleitung!
Beispiel:
Ein Schmiedehammer (mH = 1,2 t) trifft mit der
Geschwindigkeit 6,0 ms-1 auf ein Werkstück (mW = 200 kg).
Dieses liegt auf einem Amboss ((mA = 20 t).
a) Berechnen Sie die gemeinsame Geschwindigkeit von
Hammer, Amboss und Werkstück nach dem Stoß.
b) Berechnen Sie die zur Verformung zur Verfügung
stehende Energie.
mH  vH  (mA  mW )  v A;W
1,2  103 kg  6,0m  s 1  0
u

 0,34m  s 1
3
3
3
mH  mA  mW
1,2  10 kg  20  10 kg  0,2  10 kg
mH 2 mA  mW 2
mH  mA  mW 2

E

E

E


v


v

u
kin
kin
H
A
,
W
vor
nach
zu b)
2
2
2
1,2 103 kg
1,2 103 kg  20 103 kg  0,2 103 kg

 (6,0ms 1 ) 2  0 
 (0,34ms1 ) 2
2
2
 21,6kJ  1,2kJ
 20kJ
zu a)
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Beispiel:
18
Das ballistische Pendel
Zur Bestimmung der Geschwindigkeit v1 eines Geschosses wird es in den Schwerpunkt eines
Pendelkörpers geschossen, in dem es stecken bleibt. Die gemeinsame Masse wird um die
Höhe h angehoben. Der Pendelkörper wird um die Strecke d bzw. x ausgelenkt. Aus der
Pendellänge l (Schwerpunktsabstand), der Auslenkung x und den beiden Massen m1 und m2
kann man die Geschwindigkeit des Geschosses berechnen.
Geschossmasse
Pendelmasse
Pendellänge
Auslenkung
m1  20,0 g ;
m2  2,00kg
l  2,00m ;
x = 0,600 m
a) geometrische Beziehung (Pythagoras):
Luftwiderstand vernachlässigt!
m1  m2  m  2,02kg
Aufhängung - Schwerpunkt
h  l  (l 2  x 2 )  0,09212... m
b) Energieerhaltungsatz für die Gesamtmasse m - nach dem Stoß
m 2
Ekin  E pot 
 u  m  g  h  u  (2  g  h)
2
c) Impulserhaltungssatz
(1)
m1  v1  m2  v2
m v
m  m2
u
; mit v2  0  u  1 1  v1 = 1
m1  m2
m1
m1  m2
m  m2
 ( 2  g  h)
(1) in (2): v1  1
m1
u
v1 =135,7849...
(2)
km
m
=489
h
s
Zusatzaufgaben:
Berechnen Sie die kin. Energie der Kugel mit der Masse m1 vor dem Stoß. (184,375...J,100%)
Berechnen Sie die kin. Energie von m1  m2 nach dem Stoß.
(1,8255...J, 1%)
Berechnen Sie den Bruchteil der kin. Energie der Kugel mit der Masse m1 , die beim Stoß in
Wärme umgewandelt wurde.
( E  182,55...J ,99%)
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19
4.6.4. Aufgaben
1.1
Berechnen Sie die Masse Treibstoff, die eine Rakete mit der (konstant angenommen)
Masse m = 272 t pro Sekunde mit der Relativgeschwindigkeit 2,30 km  s 1 ausstoßen
muss, um die Beschleunigung 12,0 m  s 2 zu erhalten.
[ m  1,42t  s 1 ]
2.0
Ein Knabe wirft einen Tennisball ( m  40g ) mit der Geschwindigkeit 20 m  s 1
2.1
(bezüglich des Knaben) auf die Rückwand eines mit 15 m  s 1 fahrenden LKW der
Masse mL = 7,5t.
Zeigen Sie durch zweimalige Berechnung (Näherung und exakt) der Geschwindigkeit
des Balles nach der elastischen Reflexion, dass die Näherung: „die Masse des LKWs ist
unendlich groß“ gerechtfertigt ist.
[uB = 10 m  s 1 = 10,000053 m  s 1 ]
3.0
3.1
4.0
4.1
5.0
5.1
Ein Mann (mM = 70 kg) springt aus einer Höhe von 0,80 m horizontal von einem Boot
(mB = 90 kg) ins Wasser und landet in einer Entfernung von 2,0 m vom Boot.
Berechnen Sie die Energie, die der Mann beim Sprung aufwenden musste.
[t = 0,40s; vB+ vM = 5,0 ms-1; vB = 2, l9ms-1; E = 0,49kJ]
Ein Mann (mM = 70 kg) springt vom 1,0 m hohen Rand eines ruhenden Bootes
(mB = 50 kg) horizontal so ab, dass er beim Absprung bezüglich des Bootes die relative
Geschwindigkeit von 4,0 ms-1 hat.
Berechnen Sie die Beträge der Geschwindigkeiten von Mann und Boot im Moment des
Absprungs sowie die Entfernung, die das Boot und der Mann beim Aufprall auf der
Wasseroberfläche haben (Reibung vernachlässigt).
[vB = 2, 3ms-1; x = 1,8 m]
Ein unaufmerksamer LKW-Fahrer übersieht bei einer Geschwindigkeit von 50 km  h 1
ein zum Glück unbesetztes parkendes Auto (mA = 0,90t). Die Masse des LKWs beträgt
einschließlich Fahrer 7,5 t.
Berechnen Sie die Verformungsarbeit die am Auto und am LKW verrichtet wurden,
wenn sich die beiden Fahrzeuge beim Unfall ineinander verkeilen.
[7,8104J]
6.1
Berechnen Sie die relative Geschwindigkeit, mit der eine Rakete den Treibstoff
ausstoßen muss, wenn sie pro Sekunde 0,30% ihrer Gesamtmasse ausstößt und dabei
der Betrag der Beschleunigung 12 m  s 2 sein soll. Die Masse der Rakete kann bei der
Rechnung als konstant angenommen werden.
[4,0 km  s 1 ]
7.0
Ein Mann mit der Masse 70 kg springt vom 1,0 m hohen senkrechten Kai in ein
ruhendes Boot der Masse 40 kg. Er landet auf dem in Wasserhöhe liegenden
Bootsboden in einer horizontalen Entfernung von 2,0 m vom Kai.
Berechnen Sie die Energie, die der Mann beim Aufsprung mit seinen Beinen auffangen
muss. (Das Eintauchen des Bootes beim Aufsprung wird vernachlässigt).
[0,96 kJ]
7.1
LZ F12.1 Impuls/B12.4 Arbeit, Energie, Leistung, Impuls
LZ F12.1 Impuls/B12.4.2 Impuls
20
nach AP 2007/III
2.0
Die Skizze zeigt den prinzipiellen
Aufbau
eines
Ionenantriebs
für
Raumsonden. Xenonatome gelangen
in das elektrische Feld zwischen einer
Glühkathode K und einer Anode A.
Hier werden die Xenonatome durch Zusammenstoß mit Elektronen ionisiert. Die
einfach positiv geladenen Xenonionen gelangen durch die Gitterelektrode G1 in ein
homogenes elektrisches Feld, das durch die Spannung UG verursacht wird. Nachdem
die Ionen die Spannung UG durchlaufen haben, verlassen sie das Triebwerk durch eine
zweite Gitterelektrode G2. Die gesamte Anordnung arbeitet im Vakuum. Ein Xenonion
hat die Masse mX = 2,18∙10-25 kg. Beim Eintritt in das elektrische Feld zwischen den
beiden Gittern ist die Geschwindigkeit der Xenonionen vernachlässigbar klein. Ein Ion
durchläuft hier die Spannung UG = 1,40 kV und wird mit der Geschwindigkeit ⃗
durch das Gitter G2 aus dem Triebwerk ausgestoßen. Der Ionenantrieb erzeugt eine
Schubkraft ⃗ , deren Betrag F stufenlos im Bereich von 20 mN bis 95 mN regulierbar
ist. Für die Geschwindigkeit ⃗ der ausgestoßenen Xenonionen gilt:
√
.
2.1
Erläutern Sie, wie die Schubkraft ⃗ zustande kommt.
2.2
Berechnen Sie die Anzahl N der Ionen, die pro Sekunde bei der maximalen Schubkraft
durch das Gitter G2 ausgestoßen werden.
2.3
[3 BE]
[5 BE]
Die Sonde befindet sich in einem gravitationsfreien Raum. Die Sonde und der Vorrat
an Xenongas besitzen die Gesamtmasse mS = 367 kg . Der Ionenantrieb erzeugt
10 Stunden lang die maximale Schubkraft mit dem Betrag Fmax = 95mN und
beschleunigt dabei die Sonde aus der Ruhe heraus auf die Endgeschwindigkeit ⃗ .
Bestätigen Sie, dass die Masse der Sonde für die Dauer des Beschleunigungsvorganges als konstant angesehen werden kann, und berechnen Sie den Betrag v E der
Endgeschwindigkeit ⃗ .
[6 BE]
LZ F12.1 Impuls/B12.4 Arbeit, Energie, Leistung, Impuls
LZ F12.1 Impuls/B12.4.2 Impuls
21
aus AP 2007/I
2.0
Der Betrag vG der horizontal gerichteten
Geschwindigkeit ⃗
eines Luftgewehr-
geschosses kann mit einem ballistischen
Pendel bestimmt werden. Das Geschoss
dringt mit der Anfangsgeschwindigkeit ⃗
in den Pendelkörper des ballistischen
Pendels ein und bleibt darin stecken. Durch den Stoß wird das Pendel mit der
Pendellänge l ausgelenkt; dabei ist α der maximale Auslenkwinkel.
2.1
Erläutern Sie die Energieumwandlung, die beim Eindringen des Geschosses in den
Pendelkörper auftritt.
2.2
[2 BE]
Bei der Durchführung des Versuchs werden folgende Größen gemessen:
Die Pendellänge l, der maximale Auslenkwinkel α des Pendels, die Masse mG des
Geschosses und die Masse m des Pendelkörpers. Bei der Auswertung der Messwerte
wird die Luftreibung vernachlässigt.
Zeigen Sie, dass für den Betrag vG der Geschwindigkeit ⃗ des Luftgewehrgeschosses
gilt:
√
Erläutern Sie dabei kurz die physikalischen Ansätze.
[7 BE]
Übung
Ein kleiner Ball der Masse m1 = 58g und ein großer Ball der Masse m2 = 244g
werden zusammen aus einer Höhe von h = 1,0 m fallen gelassen. Berechnen
1
Sie die Höhe, die die Bälle 1 und 2 nach Reflexion am Fußboden erreichen.
Annahme 1: Nach der Reflexion des großen Balls ist der kleine Ball in Ruhe
und es kommt zu einem vollkommen elastischen Stoß.
2
[2,6m; 38cm]
Annahme 2: Nach der Reflexion des großen Balls ist der kleine Ball noch im
freien Fall und es kommt zu einem vollkommen elastischen Stoß.
[7,9m; 5,4cm]
LZ F12.1 Impuls/B12.4 Arbeit, Energie, Leistung, Impuls
LZ F12.1 Impuls/B12.4.2 Impuls
22
2007/III
2007/I
******Ende von Kapitel 4. -Arbeit, Energie, Leistung, Impuls *****
2007-09-30
LZ F12.1 Impuls/B12.4 Arbeit, Energie, Leistung, Impuls
LZ F12.1 Impuls/B12.4.2 Impuls
23
Übung
Ein kleiner Ball der Masse m1 = 58g und ein großer Ball der Masse m2 = 244g
werden zusammen aus einer Höhe von h = 1,0 m fallen gelassen. Berechnen
1
Sie die Höhe, die die Bälle 1 und 2 nach Reflexion am Fußboden erreichen.
Annahme 1: Nach der Reflexion des großen Balls ist der kleine Ball in Ruhe
und es kommt zu einem vollkommen elastischen Stoß.
2
[2,6m; 38cm]
Annahme 2: Nach der Reflexion des großen Balls ist der kleine Ball noch im
freien Fall und es kommt zu einem vollkommen elastischen Stoß.
[7,9m; 5,4cm]
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LZ F12.1 Impuls/B12.4.2 Impuls
23
Übung
Ein kleiner Ball der Masse m1 = 58g und ein großer Ball der Masse m2 = 244g
werden zusammen aus einer Höhe von h = 1,0 m fallen gelassen. Berechnen
1
Sie die Höhe, die die Bälle 1 und 2 nach Reflexion am Fußboden erreichen.
Annahme 1: Nach der Reflexion des großen Balls ist der kleine Ball in Ruhe
und es kommt zu einem vollkommen elastischen Stoß.
2
[2,6m; 38cm]
Annahme 2: Nach der Reflexion des großen Balls ist der kleine Ball noch im
freien Fall und es kommt zu einem vollkommen elastischen Stoß.
[7,9m; 5,4cm]
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AP 2001/I
24
LZ F12.1 Impuls/B12.4 Arbeit, Energie, Leistung, Impuls
LZ F12.1 Impuls/B12.4.2 Impuls
AP 2001/I LSG
25