11 Energiemethoden - WWW-Docs for B-TU
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75 11 Energiemethoden Energiemethoden beinhalten keine neuen Prinzipe, sondern sind vereinfachende Gesamtbetrachtungen an abgeschlossenen Systemen, die aus den bereits bekannten Axiomen folgen. Durch Projektion aller Kräfte auf die Bewegungsrichtung bilanzieren sie die verschiedenen Energie- und Arbeitsbeiträge für zwei verschiedene Systemzustände, aus denen man für bestimmte Systeme ohne Integration direkte Zusammenhänge zwischen Lage und Geschwindigkeit ablesen kann. Allerdings liefern Energiemethoden nur skalare Gleichungen und damit nur Aussagen über Beträge oder einzelne Größen. Die Trägheitseigenschaften eines Systems spiegeln sich in ihrer kinetischen Energie wider. Für den Massenpunkt und den Starrkörper ergeben sich einfache Beziehungen in Abhängigkeit seiner Masse, seines Trägheitstensors und seines Geschwindigkeitszustands. Die Gesamtenergie eines Systems erhält man durch Aufsummieren der Einzelenergien. Kräfte und Momente in Bewegungsrichtung leisten Arbeit am System und verändern damit die Energiebilanz. Die geleistete Arbeit lässt sich in Energiespeichern wie Federn in Form von potentieller Energie aufnehmen, speichern und wieder verlustfrei freisetzen. Eingeprägte Kräfte mit einer solchen Eigenschaft bezeichnet man als Potentialkräfte. Reaktionskräfte leisten bezogen auf das Gesamtsystem keine Arbeit, da sie senkrecht auf den Bewegungen stehen. Sie werden bei der Energiebetrachtung automatisch eliminiert und vereinfachen damit die Berechnungsaufgabe. Durch Differentiation der Arbeit bezüglich der Zeit erhält man die Leistung einer Kraft oder eines Moments. Das Verhältnis von Nutzleistung zu eingebrachter Leistung bezeichnet man als Wirkungsgrad eines Systems, der bei mechanischen Systemen nicht größer als eins sein kann. Bei hintereinander geschalteten Teilsystemen ergibt sich der Gesamtwirkungsgrad als Produkt der Einzelwirkungsgrade. Betrachtet man ein System an zwei verschiedenen Zeitpunkten, dann entspricht die Änderung der kinetischen Energie der von den Kräften geleisteten Arbeit. Im Unterschied zu den Impulsbetrachtungen am Gesamtsystem heben sich innere Kräfte bei Energiebetrachtungen nicht heraus, sondern sind in der Energiebilanz zu berücksichtigen. Treten nur Potentialkräfte auf, bleibt die Gesamtenergie konstant, man bezeichnet das System dann als konservativ. 76 11 Energiemethoden 11.1 Kinetische Energie Massenpunkt ³ v z Definition: T+ 1 mv 2 + 1 mv Tv+ 1 v Tp 2 2 2 Einheit: 1[Nm] + 1[J] m y x Starrkörper ³ dT+ 1 dmv 2 + 1 dmv Tv 2 2 Massenelement: w v + v OȀ ) w~ rȀ Starrkörperkinematik ³ v C dm OȀ z v OȀ O y x T+ 1 mv TOȀv OȀ * mv TOȀr~ȀC w) 1 w TI OȀw 2 2 Körper: Sonderfälle: ♦ OȀ 5 C Schwerpunkt ♦ OȀ 5 C und ebene Bewegung ♦ OȀ Fixpunkt oder Momentanpol å T+ 1 mv TCv C ) 1 w TI Cw 2 2 å T+ 1 m v 2Cx ) v 2Cy ) 1 I Czw 2 2 2 å T+ 1 w TI OȀw 2 ǒ Ǔ Mehrkörpersystem T+ 1 2 ŕ v dm + ȍ 12 ŕ v dm+ ȍ T 2 ƒK 2 i i Ki i i kinetische Energie des einzelnen Massenpunkts oder Körpers 11 Energiemethoden 77 11.2 Arbeit, Leistung und potentielle Energie Arbeit ³ F Z Kraft ³ ³ dW+ F·dr + F Tdr+ dr TF+ F cos ydr y 1 dr³ + ³ vdt Bahnkurve Integration über Bahnkurve 2 ŕ F dr 2 W 12 + Einheit: 1[Nm] + 1[J] T 1 ³ ³ ³ dö +w dt Z Moment M ³ ³ dW+ M·dö + M Tdö+ dö TM + M cos ydö y Integration über Drehbewegung ŕ M dö 2 W 12 + Einheit: 1[Nm] + 1[J] T 1 Z Kräftesystem: Aufsummieren der Einzelarbeiten W 12 + ȍŕ i 2 F Tidri ) ȍŕ j 1 2 M Tjdöj 1 Leistung Z allgemeine Definition P + dW dt Einheit: 1ƪNmńsƫ + 1ƪJńsƫ + 1[W] ♦ Kraft: dW + F Tdr + F Tvdt å P + F Tv ♦ Moment dW + M Tdö + M Twdt å P + M Tw Z Wirkungsgrad P Zufuhr System P Nutz h+ P Nutz P Zufuhr Einheit: [*] P Verlust Systemkette: h + h 1h 2AAAhn P0 h1 P V1 h2 P V2 AAA hn P Vn Pn 78 11 Energiemethoden Potentielle Energie Z lineare Feder Arbeit zum Spannen der Feder: W(s) + ŕ F(x)dx + ŕ s s 0 0 dx 2 cxdx + cs 2 F + cx F cs 2 in Feder gespeicherte Energie: U(s)+ cs 2 U(s) 0 potentielle Energie = Potential, Arbeit zu leisten: W 12 + ŕ s2 s1 ȡcs 2 cs 2ȣ (* cx)dx+ *ȧ 2 * 1ȧ Ȣ2 2Ȥ cx 0 s x s2 x dx s1 Vergleich W 12 + * DU+ * ƪ U(s 2) * U(s 1) ƫ Z konstante Gewichtskraft W 12 + z ȱdxȳ [00 *mg ]ȧdyȧ+ * mg 1 Ȳdzȴ ŕ 2 + * ƪmgz 2 * mgz 1ƫ ŕ z2 z2 dz z1 z1 å U(z) + mgz O Z allgemeine Definition Eine Kraft F ist eine Potentialkraft, wenn die geleistete Arbeit nicht vom Weg, sondern nur von den Endpunkten abhängt. Es existiert dann eine Potentialfunktion U(r), so dass gilt: 2 W 12 + * DU+ * ƪ U(r 2) * U(r 1) ƫ . 1 Bestimmung von U(r) + U(x, y, z): r1 å ēU dx ) ēU dy ) ēU dz + * F xdx * F ydy * F zdz ēx ēy ēz ēU + * F , y ēy r2 ³ dU + * dW + * F Tdr å ēU + * F x , ēx ³ ēU + * F z ēz ȱēUńēxȳ grad U +ȧēUńēyȧ+ * F ȲēUńēzȴ O 11 Energiemethoden 79 11.3 Energiebilanz Durch Integration der Grundgleichungen über die Bewegung kann ein skalarer Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit und Ort jeweils zu Beginn und am Ende der Bewegung gefunden werden. ³ Massenpunkt Impulssatz: F ³ v1 . mv + F ³ Skalarprodukt mit v (Elimination der Lagerreaktionen) m ³ v 1 Bahnkurve 2 ³ v2 Leistungsbilanz: die zeitliche Änderung der kinetischen Energie entspricht der Leistung der resultierenden Kraft dT + P dt Integration über Bahnkurve 1 → 2 Energiebilanz: die Änderung der kinetischen Energie entspricht der Arbeit der resultierenden Kraft T 2 * T 1 + W 12 80 11 Energiemethoden ³ dF (a) Abgeschlossene Massenpunktsysteme dm . Impulssatz für ein Massenelement dm: dmv + dF (a) ) dF (i) ³ dF (i) ³ Skalarprodukt mit v und Integration über System (Elimination der Bindungsreaktionen) ³ v abgeschlossenes System S dT + P (a) ) P (i) dt Integration über Bahnkurve 1 → 2 Leistungsbilanz: T 2 * T 1 + W (a) ) W (i) 5 W 12 Energiebilanz: 12 12 Abgeschlossene Mehrkörpersysteme Obige Bilanzgleichungen gelten analog unter Berücksichtigung der Leistung bzw. Arbeit der eingeprägten Momente Energieerhaltung eines konservativen Systems konservatives System: alle inneren und äußeren Kräfte sind Potentialkräfte ³ W 12 + W (a) ) W (i) + * ǒU 2 * U 1Ǔ 12 12 Energiebilanz: ³ T 2 * T 1 + * ǒU 2 * U 1Ǔ å T2 ) U 2 + T1 ) U 1 E2 + E1 Gesamtenergie des Systems bleibt konstant
