Die Inversion am Kreis

Die Inversion am Kreis
Die komplexwertige Funktion f : z 
1
hat als Definitionsmenge die Menge der komplexen
z*
Zahlen außer 0. Das gleiche gilt für die Wertemenge. Es wird die Zahlenebene ohne den
Ursprung auf sich abgebildet. Schreibt man die komplexe Zahl z in Polarform z  z  E() ,
dann ist
1
1
  E() .
*
z
z
Also gilt:
1. Originalpunkt z und Bildpunkt
1
haben das gleiche Argument , beide Zahlen liegen
z*
auf demselben vom Ursprung ausgehenden Strahl.
2. Die Beträge von Original- und Bildpunkt sind reziprok zueinander.
3. Die Abbildung ist drehsymmetrisch zum Ursprung.
4. Die Abbildung ist involutorisch

Die Abbildung mit Euklid:
Gegeben: Einheitskreis um O, Punkt z
1. Zeichne einen von O ausgehenden Strahl s durch z.
2. Zeichne dem Kreis um den Mittelpunkt von [Oz] durch O und z.
3. Bezeichne die Schnittpunkte dieses Kreises mit dem Einheitskreis mit F1 und F2. Die
Strecke [F1F2] schneidet den Strahl s in w.
Lässt man die Hilfslinien weg erhält man dieses Bild:

Ein Nachteil dieser Konstruktion ist, dass sie nur für Punkte z außerhalb des Kreises
funktioniert. Sie benötigt allerdings keine Rechnung! Eine andere Konstruktion für die
Inversion des Punktes P am Kreis k(M;r) geht folgendermaßen:
Zeichne einen Kreis um M durch den Punkt Q und einen Punkt P. Der Bildpunkt P‘ liegt auf
MP und auf dem Kreis um M mit Radius r ' 
r2
.
MP
Bzw. ohne Hilfslinien
Man kann nun untersuchen, was diese Abbildung mit geometrischen Figuren wie Gerade,
Kreis, Dreieck, Viereck macht.
1. Ursprungsgerade
Man zeichne eine Ursprungsgerade, binde z an diese Gerade und nehme die Ortslinie des
Bildes w auf.
Das Bild ist also dieselbe Gerade.
2. Gerade parallel zur Imaginärachse
Das Bild der Geraden {zRe(z ) = x0} im Abstand x0 unter der Abbildung f ist der Kreis

1
1


w w 
2x 0
2 x0







3. Gerade parallel zur Realachse
4. beliebige Gerade
Konstruiere ebenso die Bilder von Dreiecken, Kreisen, ...