Beweis (Mathematik) – Wikipedia

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Beweis (Mathematik)
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Beispielhafter, schematischer Aufbau eines Beweises
Ein Beweis ist in der Mathematik die als fehlerfrei anerkannte Herleitung der Richtigkeit bzw.
der Unrichtigkeit einer Aussage aus einer Menge von Axiomen, die als wahr vorausgesetzt
werden, und anderen Aussagen, die bereits bewiesen sind. Um den Beweis klar vom gültigen
Schluss zu unterscheiden, spricht man auch vom axiomatischen Beweis.
Umfangreichere Beweise von mathematischen Sätzen werden in der Regel in mehrere kleine
Teilbeweise aufgeteilt, siehe dazu Satz und Hilfssatz.
In der Beweistheorie, einem Teilgebiet der mathematischen Logik, werden Beweise formal als
Ableitungen aufgefasst und selbst als mathematische Objekte betrachtet, um etwa die
Beweisbarkeit oder Unbeweisbarkeit von Sätzen aus gegebenen Axiomen selbst zu beweisen.
Inhaltsverzeichnis

1 Konstruktive und nicht-konstruktive Beweise
o 1.1 Existenzbeweise
o 1.2 Logische Ableitungen
2 Beweismethoden
o 2.1 Direkter Beweis
o 2.2 Indirekter Beweis
o 2.3 Vollständige Induktion
o 2.4 Vollständige Fallunterscheidung
o 2.5 Diagonalverfahren
o 2.6 Schubfachprinzip/Taubenschlagprinzip
o 2.7 Transfinite Induktion
3 Siehe auch
4 Literatur
5 Weblinks
6 Einzelnachweise





Konstruktive und nicht-konstruktive Beweise[Bearbeiten |
Quelltext bearbeiten]
Existenzbeweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Bei einem konstruktiven Existenzbeweis wird entweder die Lösung selbst genannt, deren
Existenz zu zeigen ist, oder ein Verfahren angegeben, das zur Lösung führt, das heißt, es wird
eine Lösung konstruiert.
Bei einem nicht-konstruktiven Beweis wird anhand von Eigenschaften auf die Existenz einer
Lösung geschlossen. Manchmal wird sogar indirekt die Annahme, es gäbe keine Lösung, zum
Widerspruch geführt, woraus folgt, dass es eine Lösung gibt. Aus solchen Beweisen geht nicht
hervor, wie man die Lösung gewinnt.
Ein einfaches Beispiel soll dies verdeutlichen.
Behauptung: Die Funktion
mit
besitzt im Intervall
mindestens eine Nullstelle
.
Konstruktiver Beweis: Sei
. Dann gilt
. Ferner liegt
die Behauptung bewiesen. Die Nullstelle ist sogar mit
im Intervall
angegeben.
. Damit ist
Nicht-konstruktiver Beweis:
ist stetig. Ferner ist
und
. Nach dem
Zwischenwertsatz für stetige Funktionen folgt die Behauptung. Über den Wert der Nullstelle
liefert dieser Beweis jedoch keine Information.
Logische Ableitungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Konstruktiv muss man vorsichtig mit dem Begriff des Widerspruchsbeweises (engl. proof by
contradiction) umgehen,[1] denn klassisch werden damit irreführend zwei verschiedene
Beweismethoden bezeichnet. Zunächst wird unter der Negation einer Aussage verstanden, dass
daraus ein Widerspruch folgt, also
1. Zu zeigen:
erhält
ist definiert als
ist falsch. Man nimm an, dass
, was konkret als
2. Zu zeigen:
äquivalent zu
gilt, folgert einen Widerspruch und
ist falsch definiert ist.
. Man nimm an, dass
Widerspruch und erhält
.
, also
falsch ist, also
, folgert einen
ist nicht falsch, was nur in klassischer Logik
ist.
Die erste Art wird Beweis einer Negation (original: proof of negation) genannt und ist
konstruktiv gültig (im Wesentlichen Modus Ponens).
Die zweite Art wird Beweis durch Widerspruch (original: proof by contradiction) genannt und ist
als Schema konstruktiv falsch.
Aussagen, für die die zweite Methode funktioniert, heißen auch stabil.[2] Das sind insbesondere
solche, die über endlich viele entscheidbare Möglichkeiten operieren. Eine natürliche Zahl, die
nicht ungerade ist, wobei ungerade nicht gerade bedeutet, ist auch konstruktiv gerade.
Wenn man eine Negation
beweist, nimmt man
an und folgert irgendwie einen
Widerspruch. Wenn man einen Widerspruch folgern muss, zeigt man sowohl
für irgendeine Aussage
.
Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten, in Formeln
aber die Aussage
als auch
ist nicht falsch.
, ist konstruktiv nicht beweisbar, wohl
1. Zu zeigen:
ist nicht falsch. Das ist eine Negation, also angenommen es gilt
falsch, die Aussage heiße jetzt
2. Dazu genügt es zu zeigen:
; finde einen Widerspruch.
, wegen und unter der vorigen Annahme
3. Für die Oder-Aussage reicht eine der beiden Seiten, wähle
4. Das Ziel ist wieder eine Negation, also angenommen
5. Mit
ist
genügt es zu zeigen:
.
.
; finde einen Widerspruch.
.
6. Für die Oder-Aussage reicht eine der beiden Seiten, wähle
Schritt 4. angenommen.
. Das wurde nämlich in
Beweismethoden[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Einige mathematische Sätze oder logische Schlussregeln lassen sich für eine Vielzahl von
Beweisen einsetzen und beeinflussen die Struktur des Beweises besonders stark. Die
systematische Vorgehensweise zur Anwendung dieser bezeichnet man dann als Beweismethode,
Beweisverfahren, Beweistechnik oder Beweisprinzip. Die Gültigkeit einer Beweismethode bedarf
selbst eines Beweises, im Rahmen der Axiome und der Logik gültig zu sein (etwa ist die
Reductio ad absurdum (s. u.) in der Grundform nicht in intuitionistischer Logik, und eine
transfinite Induktion über alle Kardinalzahlen nur unter Voraussetzung des Wohlordnungssatzes
möglich). Hier eine Auswahl von Standard-Beweismethoden:
Direkter Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Für einen direkten Beweis (direkter Schluss) nimmt man einen bereits als richtig bewiesenen
Satz und leitet, durch logische Schlussfolgerungen, daraus den zu beweisenden Satz ab.
Indirekter Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
→ Hauptartikel: Reductio ad absurdum
Bei einem indirekten Beweis (Reductio ad absurdum, Widerspruchsbeweis) zeigt man, dass ein
Widerspruch entsteht, wenn die zu beweisende Behauptung falsch wäre. Dazu nimmt man an,
dass die Behauptung falsch ist, und wendet dann die gleichen Methoden wie beim direkten
Beweis an. Wenn daraus ein Widerspruch entsteht, dann kann die Behauptung nicht falsch sein,
also muss sie richtig sein (Satz vom ausgeschlossenen Dritten). Wichtige (und keinesfalls
selbstverständliche!) Voraussetzung für die Gültigkeit eines Widerspruchsbeweises ist, dass im
zugrunde liegenden System die Aussage nicht zugleich wahr und falsch sein kann
(Widerspruchsfreiheit).
Ein klassisches Beispiel eines Widerspruchsbeweises ist der euklidische Beweis dafür, dass es
unendlich viele Primzahlen gibt.
Einfache Beweise, die sich dieser Möglichkeit der Schlussfolgerung nicht bedienen, werden in
Abgrenzung davon als direkte Beweise bezeichnet. Ein Beispiel:
Behauptung 1: Das Quadrat einer ungeraden natürlichen Zahl
Beweis: Es sei
wobei
Formel
ist stets ungerade.
eine ungerade natürliche Zahl. Dann lässt sich
darstellen als
,
eine natürliche Zahl oder Null ist. Daraus folgt mit Hilfe der ersten binomischen
.
Aus der Möglichkeit,
so darzustellen folgt, dass
ungerade ist.
Nun ein Beispiel für eine reductio ad absurdum, wobei die vorherige Behauptung verwendet
wird:
Behauptung 2: Ist die Wurzel aus einer geraden natürlichen Zahl
diese gerade.
Beweis: Angenommen,
1 auch
eine natürliche Zahl, so ist
wäre ungerade. Dann ist wegen der bereits bewiesenen Behauptung
ungerade, und das ist ein Widerspruch zu der Voraussetzung, dass
Also ist die getroffene Annahme falsch, das heißt,
gerade ist.
ist gerade.
Ein weiteres klassisches Beispiel:
Behauptung 3: Die Zahl
ist irrational.
Beweis: Angenommen, diese Zahl wäre rational. Dann kann man sie als Bruch
darstellen,
wobei
und
natürliche Zahlen und ohne Beschränkung der Allgemeinheit teilerfremd
sind (sonst kann man den Bruch soweit kürzen, bis das der Fall ist). Daraus folgt durch
Quadrieren
, also
Folglich ist
eine gerade Zahl. Da die Wurzel aus einer geraden Quadratzahl auch gerade ist
(Behauptung 2), ist
selbst gerade, also ist
letzten Gleichung erhält man
Das zeigt, dass
und somit auch
eine natürliche Zahl. Durch Umformung der
gerade natürliche Zahlen sind. Also sind
und
beide gerade und haben somit beide den Teiler 2. Damit sind
und
nicht teilerfremd –
im Widerspruch zu der Annahme ihrer Teilerfremdheit. Also ist auch die ursprüngliche
Annahme,
sei rational, falsch.
Vollständige Induktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Veranschaulichung der vollständigen Induktion
Der Beweis durch vollständige Induktion ist ein oft angewendetes Verfahren zum Beweis von
Sätzen der Form „Für jede natürliche Zahl
für
gilt ...“. Dazu zeigt man zuerst, dass die Aussage
(oder auch einen anderen Anfangswert
) gilt, und danach, dass sie immer auch für
gilt, wenn sie für ein
gilt. Die vollständige Induktion lässt sich mit einem DominoEffekt veranschaulichen. Man stellt die Steine so auf, dass, wenn einer umfällt, auch immer der
nächste umfällt (
→
), und stößt den ersten Stein um (
).
Ein einfaches Beispiel:
Behauptung: Es gilt für alle natürlichen Zahlen
:
Beweis:
1. Die Behauptung gilt für
:
2. Die Behauptung sei für ein
Da die Behauptung für
ist eine wahre Aussage.
gültig. Für
untersucht man die Summe
gültig ist, folgt
Also gilt die Behauptung auch für
bewiesen.
, damit ist die Aussage nach dem Induktionsprinzip
Vollständige Fallunterscheidung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Bei einem Beweis durch vollständige Fallunterscheidung (engl. proof by exhaustion „durch
Ausschöpfung“) wird jeder der möglichen Fälle einzeln betrachtet. Die Zahl der möglichen Fälle
muss daher endlich sein.
Behauptung: Jede Primzahl
hat die Form
mit einer natürlichen Zahl
Beweis: Man unterscheidet folgende vier Fälle für die Zahl
eintritt:
.
, von denen immer genau einer
1.
2.
3.
4.
Im ersten dieser Fälle ist
durch 4 teilbar und damit keine Primzahl, im dritten Fall ist
durch 2 teilbar und somit ebenfalls keine Primzahl. Also muss einer der Fälle zwei oder vier
eintreten, das heißt
hat die Form
mit einer natürlichen Zahl
.
Es sei angemerkt, dass die Fallunterscheidung zwar vollständig sein muss, aber die untersuchten
Fälle sich nicht gegenseitig ausschließen müssen.
Diagonalverfahren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Die Diagonalverfahren wurden von Georg Cantor zum Beweis zweier spezieller Aussagen
entwickelt. Sie haben sich seitdem als allgemeine Beweismethoden bewährt.
Das erste Cantorsche Diagonalverfahren ist ein direkter Beweis für die Abzählbarkeit einer
Menge. Es wird gezeigt, dass man jedem Element der zu untersuchenden Menge eine natürliche
Zahl zuordnen kann.
Das zweite Cantorsche Diagonalverfahren ist ein indirekter Beweis für die Überabzählbarkeit
einer Menge. Es wird also das Gegenteil angenommen, nämlich dass die Menge abzählbar sei.
Dann wird aus dieser Annahme ein Widerspruch hergeleitet, sodass sie fallen gelassen werden
muss.
Schubfachprinzip/Taubenschlagprinzip[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
→ Hauptartikel: Schubfachprinzip
Das Schubfachprinzip geht auf den deutschen Mathematiker Dirichlet zurück und kann sehr
anschaulich formuliert werden: Verteilt man
Gegenstände auf
Schubfächer, dann
befinden sich in mindestens einem Schubfach mindestens zwei Gegenstände.
Transfinite Induktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Bei der transfiniten Induktion wird die vollständige Induktion auf beliebige wohlgeordnete
Klassen verallgemeinert.
Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]



Beweis (Logik)
Ableitung (Logik)
Quod erat demonstrandum
Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]


Martin Aigner, Günter M. Ziegler: Das BUCH der Beweise. Springer, Berlin 2004, ISBN
3-540-40185-7
Wolfgang Rautenberg: Einführung in die Mathematische Logik. 3. Auflage.
Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0578-2, doi:10.1007/978-3-83489530-1.
Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Beweis – Lern- und Lehrmaterialien
Wikibooks: Beweisarchiv – Lern- und Lehrmaterialien

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

Die Zeit: Obst in Formeln (zur Problematik eines Beweises mit Computer)
Zusammenfassung der Beweismethoden für Schüler
Die wichtigsten Beweise der Schulmathematik
Landesbildungsserver BW: Dynamische Arbeitsblätter zu geometrischen Beweisen
Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
1. ↑ Bauer, Andrej: Five Stages of Constuctive Mathematics. Bulletin of the American
Mathematical Society, veröffentlicht am 3. Oktober 2016 auf [1]
2. ↑ Schwichtenberg, Wainer: Proofs and Computations. Cambridge 2012
Abgerufen von
„https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Beweis_(Mathematik)&oldid=162529186“
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