Beweis (Mathematik) – Wikipedia
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Beweis (Mathematik) aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie Wechseln zu: Navigation, Suche Dieser Artikel wurde auf der Qualitätssicherungsseite des Portals Mathematik eingetragen. Dies geschieht, um die Qualität der Artikel aus dem Themengebiet Mathematik auf ein akzeptables Niveau zu bringen. Bitte hilf mit, die Mängel dieses Artikels zu beseitigen, und beteilige dich bitte an der Diskussion! (Artikel eintragen) Beispielhafter, schematischer Aufbau eines Beweises Ein Beweis ist in der Mathematik die als fehlerfrei anerkannte Herleitung der Richtigkeit bzw. der Unrichtigkeit einer Aussage aus einer Menge von Axiomen, die als wahr vorausgesetzt werden, und anderen Aussagen, die bereits bewiesen sind. Um den Beweis klar vom gültigen Schluss zu unterscheiden, spricht man auch vom axiomatischen Beweis. Umfangreichere Beweise von mathematischen Sätzen werden in der Regel in mehrere kleine Teilbeweise aufgeteilt, siehe dazu Satz und Hilfssatz. In der Beweistheorie, einem Teilgebiet der mathematischen Logik, werden Beweise formal als Ableitungen aufgefasst und selbst als mathematische Objekte betrachtet, um etwa die Beweisbarkeit oder Unbeweisbarkeit von Sätzen aus gegebenen Axiomen selbst zu beweisen. Inhaltsverzeichnis 1 Konstruktive und nicht-konstruktive Beweise o 1.1 Existenzbeweise o 1.2 Logische Ableitungen 2 Beweismethoden o 2.1 Direkter Beweis o 2.2 Indirekter Beweis o 2.3 Vollständige Induktion o 2.4 Vollständige Fallunterscheidung o 2.5 Diagonalverfahren o 2.6 Schubfachprinzip/Taubenschlagprinzip o 2.7 Transfinite Induktion 3 Siehe auch 4 Literatur 5 Weblinks 6 Einzelnachweise Konstruktive und nicht-konstruktive Beweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Existenzbeweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Bei einem konstruktiven Existenzbeweis wird entweder die Lösung selbst genannt, deren Existenz zu zeigen ist, oder ein Verfahren angegeben, das zur Lösung führt, das heißt, es wird eine Lösung konstruiert. Bei einem nicht-konstruktiven Beweis wird anhand von Eigenschaften auf die Existenz einer Lösung geschlossen. Manchmal wird sogar indirekt die Annahme, es gäbe keine Lösung, zum Widerspruch geführt, woraus folgt, dass es eine Lösung gibt. Aus solchen Beweisen geht nicht hervor, wie man die Lösung gewinnt. Ein einfaches Beispiel soll dies verdeutlichen. Behauptung: Die Funktion mit besitzt im Intervall mindestens eine Nullstelle . Konstruktiver Beweis: Sei . Dann gilt . Ferner liegt die Behauptung bewiesen. Die Nullstelle ist sogar mit im Intervall angegeben. . Damit ist Nicht-konstruktiver Beweis: ist stetig. Ferner ist und . Nach dem Zwischenwertsatz für stetige Funktionen folgt die Behauptung. Über den Wert der Nullstelle liefert dieser Beweis jedoch keine Information. Logische Ableitungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Konstruktiv muss man vorsichtig mit dem Begriff des Widerspruchsbeweises (engl. proof by contradiction) umgehen,[1] denn klassisch werden damit irreführend zwei verschiedene Beweismethoden bezeichnet. Zunächst wird unter der Negation einer Aussage verstanden, dass daraus ein Widerspruch folgt, also 1. Zu zeigen: erhält ist definiert als ist falsch. Man nimm an, dass , was konkret als 2. Zu zeigen: äquivalent zu gilt, folgert einen Widerspruch und ist falsch definiert ist. . Man nimm an, dass Widerspruch und erhält . , also falsch ist, also , folgert einen ist nicht falsch, was nur in klassischer Logik ist. Die erste Art wird Beweis einer Negation (original: proof of negation) genannt und ist konstruktiv gültig (im Wesentlichen Modus Ponens). Die zweite Art wird Beweis durch Widerspruch (original: proof by contradiction) genannt und ist als Schema konstruktiv falsch. Aussagen, für die die zweite Methode funktioniert, heißen auch stabil.[2] Das sind insbesondere solche, die über endlich viele entscheidbare Möglichkeiten operieren. Eine natürliche Zahl, die nicht ungerade ist, wobei ungerade nicht gerade bedeutet, ist auch konstruktiv gerade. Wenn man eine Negation beweist, nimmt man an und folgert irgendwie einen Widerspruch. Wenn man einen Widerspruch folgern muss, zeigt man sowohl für irgendeine Aussage . Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten, in Formeln aber die Aussage als auch ist nicht falsch. , ist konstruktiv nicht beweisbar, wohl 1. Zu zeigen: ist nicht falsch. Das ist eine Negation, also angenommen es gilt falsch, die Aussage heiße jetzt 2. Dazu genügt es zu zeigen: ; finde einen Widerspruch. , wegen und unter der vorigen Annahme 3. Für die Oder-Aussage reicht eine der beiden Seiten, wähle 4. Das Ziel ist wieder eine Negation, also angenommen 5. Mit ist genügt es zu zeigen: . . ; finde einen Widerspruch. . 6. Für die Oder-Aussage reicht eine der beiden Seiten, wähle Schritt 4. angenommen. . Das wurde nämlich in Beweismethoden[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Einige mathematische Sätze oder logische Schlussregeln lassen sich für eine Vielzahl von Beweisen einsetzen und beeinflussen die Struktur des Beweises besonders stark. Die systematische Vorgehensweise zur Anwendung dieser bezeichnet man dann als Beweismethode, Beweisverfahren, Beweistechnik oder Beweisprinzip. Die Gültigkeit einer Beweismethode bedarf selbst eines Beweises, im Rahmen der Axiome und der Logik gültig zu sein (etwa ist die Reductio ad absurdum (s. u.) in der Grundform nicht in intuitionistischer Logik, und eine transfinite Induktion über alle Kardinalzahlen nur unter Voraussetzung des Wohlordnungssatzes möglich). Hier eine Auswahl von Standard-Beweismethoden: Direkter Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Für einen direkten Beweis (direkter Schluss) nimmt man einen bereits als richtig bewiesenen Satz und leitet, durch logische Schlussfolgerungen, daraus den zu beweisenden Satz ab. Indirekter Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] → Hauptartikel: Reductio ad absurdum Bei einem indirekten Beweis (Reductio ad absurdum, Widerspruchsbeweis) zeigt man, dass ein Widerspruch entsteht, wenn die zu beweisende Behauptung falsch wäre. Dazu nimmt man an, dass die Behauptung falsch ist, und wendet dann die gleichen Methoden wie beim direkten Beweis an. Wenn daraus ein Widerspruch entsteht, dann kann die Behauptung nicht falsch sein, also muss sie richtig sein (Satz vom ausgeschlossenen Dritten). Wichtige (und keinesfalls selbstverständliche!) Voraussetzung für die Gültigkeit eines Widerspruchsbeweises ist, dass im zugrunde liegenden System die Aussage nicht zugleich wahr und falsch sein kann (Widerspruchsfreiheit). Ein klassisches Beispiel eines Widerspruchsbeweises ist der euklidische Beweis dafür, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Einfache Beweise, die sich dieser Möglichkeit der Schlussfolgerung nicht bedienen, werden in Abgrenzung davon als direkte Beweise bezeichnet. Ein Beispiel: Behauptung 1: Das Quadrat einer ungeraden natürlichen Zahl Beweis: Es sei wobei Formel ist stets ungerade. eine ungerade natürliche Zahl. Dann lässt sich darstellen als , eine natürliche Zahl oder Null ist. Daraus folgt mit Hilfe der ersten binomischen . Aus der Möglichkeit, so darzustellen folgt, dass ungerade ist. Nun ein Beispiel für eine reductio ad absurdum, wobei die vorherige Behauptung verwendet wird: Behauptung 2: Ist die Wurzel aus einer geraden natürlichen Zahl diese gerade. Beweis: Angenommen, 1 auch eine natürliche Zahl, so ist wäre ungerade. Dann ist wegen der bereits bewiesenen Behauptung ungerade, und das ist ein Widerspruch zu der Voraussetzung, dass Also ist die getroffene Annahme falsch, das heißt, gerade ist. ist gerade. Ein weiteres klassisches Beispiel: Behauptung 3: Die Zahl ist irrational. Beweis: Angenommen, diese Zahl wäre rational. Dann kann man sie als Bruch darstellen, wobei und natürliche Zahlen und ohne Beschränkung der Allgemeinheit teilerfremd sind (sonst kann man den Bruch soweit kürzen, bis das der Fall ist). Daraus folgt durch Quadrieren , also Folglich ist eine gerade Zahl. Da die Wurzel aus einer geraden Quadratzahl auch gerade ist (Behauptung 2), ist selbst gerade, also ist letzten Gleichung erhält man Das zeigt, dass und somit auch eine natürliche Zahl. Durch Umformung der gerade natürliche Zahlen sind. Also sind und beide gerade und haben somit beide den Teiler 2. Damit sind und nicht teilerfremd – im Widerspruch zu der Annahme ihrer Teilerfremdheit. Also ist auch die ursprüngliche Annahme, sei rational, falsch. Vollständige Induktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Veranschaulichung der vollständigen Induktion Der Beweis durch vollständige Induktion ist ein oft angewendetes Verfahren zum Beweis von Sätzen der Form „Für jede natürliche Zahl für gilt ...“. Dazu zeigt man zuerst, dass die Aussage (oder auch einen anderen Anfangswert ) gilt, und danach, dass sie immer auch für gilt, wenn sie für ein gilt. Die vollständige Induktion lässt sich mit einem DominoEffekt veranschaulichen. Man stellt die Steine so auf, dass, wenn einer umfällt, auch immer der nächste umfällt ( → ), und stößt den ersten Stein um ( ). Ein einfaches Beispiel: Behauptung: Es gilt für alle natürlichen Zahlen : Beweis: 1. Die Behauptung gilt für : 2. Die Behauptung sei für ein Da die Behauptung für ist eine wahre Aussage. gültig. Für untersucht man die Summe gültig ist, folgt Also gilt die Behauptung auch für bewiesen. , damit ist die Aussage nach dem Induktionsprinzip Vollständige Fallunterscheidung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Bei einem Beweis durch vollständige Fallunterscheidung (engl. proof by exhaustion „durch Ausschöpfung“) wird jeder der möglichen Fälle einzeln betrachtet. Die Zahl der möglichen Fälle muss daher endlich sein. Behauptung: Jede Primzahl hat die Form mit einer natürlichen Zahl Beweis: Man unterscheidet folgende vier Fälle für die Zahl eintritt: . , von denen immer genau einer 1. 2. 3. 4. Im ersten dieser Fälle ist durch 4 teilbar und damit keine Primzahl, im dritten Fall ist durch 2 teilbar und somit ebenfalls keine Primzahl. Also muss einer der Fälle zwei oder vier eintreten, das heißt hat die Form mit einer natürlichen Zahl . Es sei angemerkt, dass die Fallunterscheidung zwar vollständig sein muss, aber die untersuchten Fälle sich nicht gegenseitig ausschließen müssen. Diagonalverfahren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Die Diagonalverfahren wurden von Georg Cantor zum Beweis zweier spezieller Aussagen entwickelt. Sie haben sich seitdem als allgemeine Beweismethoden bewährt. Das erste Cantorsche Diagonalverfahren ist ein direkter Beweis für die Abzählbarkeit einer Menge. Es wird gezeigt, dass man jedem Element der zu untersuchenden Menge eine natürliche Zahl zuordnen kann. Das zweite Cantorsche Diagonalverfahren ist ein indirekter Beweis für die Überabzählbarkeit einer Menge. Es wird also das Gegenteil angenommen, nämlich dass die Menge abzählbar sei. Dann wird aus dieser Annahme ein Widerspruch hergeleitet, sodass sie fallen gelassen werden muss. Schubfachprinzip/Taubenschlagprinzip[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] → Hauptartikel: Schubfachprinzip Das Schubfachprinzip geht auf den deutschen Mathematiker Dirichlet zurück und kann sehr anschaulich formuliert werden: Verteilt man Gegenstände auf Schubfächer, dann befinden sich in mindestens einem Schubfach mindestens zwei Gegenstände. Transfinite Induktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Bei der transfiniten Induktion wird die vollständige Induktion auf beliebige wohlgeordnete Klassen verallgemeinert. Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Beweis (Logik) Ableitung (Logik) Quod erat demonstrandum Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Martin Aigner, Günter M. Ziegler: Das BUCH der Beweise. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-40185-7 Wolfgang Rautenberg: Einführung in die Mathematische Logik. 3. Auflage. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0578-2, doi:10.1007/978-3-83489530-1. Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Beweis – Lern- und Lehrmaterialien Wikibooks: Beweisarchiv – Lern- und Lehrmaterialien Die Zeit: Obst in Formeln (zur Problematik eines Beweises mit Computer) Zusammenfassung der Beweismethoden für Schüler Die wichtigsten Beweise der Schulmathematik Landesbildungsserver BW: Dynamische Arbeitsblätter zu geometrischen Beweisen Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] 1. ↑ Bauer, Andrej: Five Stages of Constuctive Mathematics. Bulletin of the American Mathematical Society, veröffentlicht am 3. Oktober 2016 auf [1] 2. ↑ Schwichtenberg, Wainer: Proofs and Computations. Cambridge 2012 Abgerufen von „https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Beweis_(Mathematik)&oldid=162529186“ Kategorien: Mathematischer Grundbegriff Beweis (Mathematik) Wartungskategorie: Wikipedia:Qualitätssicherung Mathematik Navigationsmenü Meine Werkzeuge Nicht angemeldet Diskussionsseite Beiträge Benutzerkonto erstellen Anmelden Namensräume Artikel Diskussion Varianten Ansichten Lesen Bearbeiten Quelltext bearbeiten Versionsgeschichte Mehr Suche Volltext Artikel Navigation Hauptseite Themenportale Von A bis Z Zufälliger Artikel Mitmachen Artikel verbessern Neuen Artikel anlegen Autorenportal Hilfe Letzte Änderungen Kontakt Spenden Werkzeuge Links auf diese Seite Änderungen an verlinkten Seiten Spezialseiten Permanenter Link Seiteninformationen Wikidata-Datenobjekt Artikel zitieren Drucken/exportieren Buch erstellen Als PDF herunterladen Druckversion In anderen Projekten Commons In anderen Sprachen Afrikaans Alemannisch Aragonés ال عرب ية Azərbaycanca Башҡортса Žemaitėška Беларуская Беларуская (тарашкевіца) Български Bosanski Català Čeština Dansk Ελληνικά English Esperanto Español ف ار سی Suomi Français Nordfriisk 贛語 Galego עברית हिन्दी Hrvatski Magyar Bahasa Indonesia Íslenska Italiano 日本語 Patois La .lojban. ქართული Қазақша 한국어 Latina Lietuvių Latviešu Македонски മലയാളം Bahasa Melayu Plattdüütsch Nederlands Norsk nynorsk Norsk bokmål Occitan ਪੰ ਜਾਬੀ Polski پ نجاب ی Português Română Русский Русиньскый Sicilianu Srpskohrvatski / српскохрватски සිංහල Simple English Slovenčina Slovenščina Српски / srpski Svenska தமிழ் ไทย Tagalog Türkçe Татарча/tatarça Українська اردو Tiếng Việt Winaray ייד ִיי 中文 文言 Bân-lâm-gú 粵語 Links bearbeiten Diese Seite wurde zuletzt am 11. Februar 2017 um 13:42 Uhr geändert. Abrufstatistik Der Text ist unter der Lizenz „Creative Commons Attribution/Share Alike“ verfügbar; Informationen zu den Urhebern und zum Lizenzstatus eingebundener Mediendateien (etwa Bilder oder Videos) können im Regelfall durch Anklicken dieser abgerufen werden. Möglicherweise unterliegen die Inhalte jeweils zusätzlichen Bedingungen. Durch die Nutzung dieser Website erklären Sie sich mit den Nutzungsbedingungen und der Datenschutzrichtlinie einverstanden. Wikipedia® ist eine eingetragene Marke der Wikimedia Foundation Inc. Datenschutz Über Wikipedia Impressum Entwickler Stellungnahme zu Cookies Mobile Ansicht
