Übungen GK Mathe Q1

Übungen GK Mathe Q1
2 
1 
8 
 2
 
 
  
  
1) Gegeben sind die Geraden g : x    1  t   2  und h : x    1  s  1  sowie die Ebenen
3 
3
13 
 4
 
 
 
 
1 
 2
2 
 
 
  
E1: x1 + 2x2 – x3 = 3 und E 2 : x   4   s   2   t  1  .
1 
 2
13 
 
 
 
a) Berechne den Schnittpunkt und den Schnittwinkel der Geraden g und h.
b) Berechne den Schnittpunkt von g und E1 bzw. h und E1.
c) Berechne den Schnittpunkt von g mit E2.
d) Berechne die Schnittpunkte der Koordinatenachsen mit der Ebene E1 (die so genannten
Spurpunkte D1, D2, D3). Zeichne das Dreieck D1D2D3 in ein Koordinatensystem ein und berechne
die Seitenlängen, die Winkel, den Flächeninhalt.
e) Berechne den Schnittpunkt der x3-Achse mit E2.
f) Berechne eine Koordinatenform von E2.
2) Gegeben sind die Punkte A(2|2|2), B(3|7|9) und C(4|4|15).
a) Zeichne das Dreieck in ein geeignetes Koordinatensystem.
b) Berechne die Seitenlängen, die Winkel, den Flächeninhalt.
c) Ergänze das Dreieck durch einen Punkt D so, dass ABCD ein Parallelogramm bilden.
d) Berechne den Diagonalenschnittpunkt des Parallelogramms ABCD.
e) Berechne eine Parameter- und eine Koordinatengleichung der Ebene, in der A,B,C liegen.
3) Berechne die Lösungsmenge des LGS:
4x
 2y
z
 22
3x  2 y  3z  10
10x  2 y  5y  42
Gib 3 konkrete Lösungen an!
2 
  
4) Gib 3 verschieden Vektoren an, die senkrecht zu a    5  sind.
3 
 
Lösungen:
8 
 2
 
  
1) TIPPFEHLER in Aufgabe 1. Richtig wäre h : x    1  s  1  , dann schneiden sich g und h in
13 
 4
 
 
S(5|2|-3), sonst sind sie windschief! Der Winkel zwischen den Richtungsvektoren ist 21,1°.
b) g schneidet E1 in P(5|5|12), h ist in jedem Fall parallel zu E1.
c) g Schneidet E2 in S(7|9|18).
d) D1(3|0|0), D2(0|1,5|0), D3(0|0|-3). Das Dreieck ist gleichschenklig mit der Basis D1D3 und der
Länge 18 LE. Die Schenkel haben die Länge 11,25 LE. Die Winkel sind 78,5°, 50,8° und 50,8°
groß. Da die Höhe die Basis halbiert, kann man sie mit Pythagoras berechnen, bzw. den
Höhenfußpunkt als Mitte von D1D3 berechnen. Mit h = 2,60LE ist A = 5,51FE.
e) D3(0|0|33)
f) mögliche Gleichung E2: 12x1-11x2-x3=-33
2) a) Bei den großen Zahlen 1 Kästchen als LE auf der x2 – und x3Achse wählen!
b) Länge Strecke AB 8.6603 LE, Länge Strecke AC 13.3041 LE
Länge Strecke BC
6.7823 LE
Winkel Alpha 26.62 °, Winkel Beta 118.47 °, Winkel Gamma 34.91 °
Flächeninhalt des Dreiecks A = 25.817 FE, dazu muss man eine
Höhe mit Sinus ausrechnen!
3 
 
c) z.B.: OD  OC  BA    1 , also ist D(3|-1|8).
8 
 
d) Der Diagonalenschnittpunkt ist Mittelpunkt von AC:
Mb( 3 ; 3 ; 8.5 ) .
 2
1 
2 
 
 
  
e) E : x   2   r   5   s   2  ; E: 51x1 + x2 - 8x3 = 88
 2
7
13 
 
 
 
3) L  {( x;19  3,75x;16  3,5x ) | x  } konkrete: z.B. (0;19;16), (4;4;2), (1;15,25;12,5)…
 0
3 
5
10 
        
4) die einfachen mit einer Null: a   3 , b   0 , c   2 , d   4  oder etwa
5
  2
0
0 
 
 
 
 
 2  1
  
  1 , 1 ,…
  3  1
  