Eine Gleichung bzw

Wir unterscheiden vier Standard – Zahlbereiche, wobei jede Zahlenmenge in der darauf folgenden
enthalten ist, es sich in diesem Sinne also um echte Erweiterungen handelt.
1. Menge der natürlichen Zahlen: Historisch betrachtet wurden die natürlichen Zahlen in alten
Hochkulturen als erstes eingeführt (und auf verschiedene Arten dargestellt; denke etwa an die
römische Zahlendarstellung bzw. unser heutiges Dezimalsystem). Sie dienen dem Feststellen
von Häufigkeiten; mit ihrer Hilfe ist es möglich, die Anzahl bestimmter Objekte festzustellen
– eben zu zählen.
Die Menge der natürlichen Zahlen wird mit N abgekürzt und es gilt: N = 1,2,3,.....
In N können die Zahlen addiert und multipliziert werden, wobei die Multiplikation lediglich
eine Kurzschreibweise für bestimmte Additionen darstellt (3+3+3+3 = 43; 2+2+2+2+2 = 52).
Divisionen und Subtraktionen sind aber nur z.T. in N ausführbar (3-5N; 4:3N), sodass
viele „einfache Gleichungen“ in N nicht lösbar sind (z.B.: 3+x = 1  x = 1 – 3  N).
Deshalb erweitert man N in einem ersten Schritt auf Z, die 
2. Menge der ganzen Zahlen: mit diesen Zahlen kann man positive und negative Bestände wie
etwa Besitz und Schulden ausdrücken. Die Abkürzung ist Z und es gilt Z = ...,-2,-1,0,1,2,...
Subtraktionen sind in Z ohne Einschränkung ausführbar, sodass beliebige Gleichungen der Art
a + x = b in Z lösbar sind (x = b – a). Gleiches gilt für Gleichungen wie ax = b noch nicht,
denke etwa an Gleichungen wie 3x=5, welche in Z z.T. nicht lösbar sind ! Dazu erweitert man
den Zahlbereich weiter bis zur
3. Menge der rationalen Zahlen: Diese Zahlenmenge umfasst über N und Z hinaus alle Brüche.
Somit sind in Q auch beliebige Divisionen möglich , bis auf eine Ausnahme: die Division
durch 0. Eine Division durch 0 würde ja einer Teilung in 0 Teile entsprechen, was aber nicht
möglich ist (es ist ja nicht möglich „etwas“ in 0 Teile zu zerlegen und somit sozusagen zum
Verschwinden zu bringen !). Anders begründet: Divisionen entsprechen im Grunde
genommen ja nichts anderes, als Multiplikationen mit dem Kehrwert des Divisors, also jener
Zahl, welche mit dem Divisor multipliziert die Zahl 1 ergibt (3:2 = 3
1
1
, wobei  2  1
2
2
gilt). Da aber 0 mit einer beliebigen Zahl multipliziert immer 0 (und nie 1) ergibt, existiert zu
0 kein Kehrwert. Ist dieser aber nicht vorhanden, kann man damit auch keine Multiplikation
ausführen ! Somit ist die Division durch 0 nicht möglich !
Die Abkürzung für die Menge der rationalen Zahlen ist Q. Abgesehen davon, dass man in Q
(bis auf die oben angesprochene Ausnahme) dividieren und somit auch Gleichungen der Art
ax= b lösen kann (x =
b
; a0), braucht man die Brüche zum „Messen“ von Größen.
a
Überlege: Was bedeutet es überhaupt, eine Größe zu messen ?! Die Grundlage des Messens
stellt eine Einheit (=1) dar, und beim Messen stellt man fest, wie oft die Einheit in der zu
messenden Größe enthalten ist. Ist nun aber die zu messende Größe kein genaues Vielfaches
der zu messenden Größe, versucht man es mit einem kleineren Teil der Einheit. Ist etwa
1
20
der Einheit (= der zwanzigste Teil der Einheit) genau 13-mal in der zu messenden Größe
enthalten, entspricht dieser der Bruch
13
als Messwert.
20
Da nun aber nicht alle Stellen der Zahlengraden durch einen Bruch dargestellt werden können
(z.B. Wurzeln wie 2 , 3, 3 5 ,... ), braucht man eine weitere Zahlenmenge, um auch diese
Lücken im Sinne von Zahlen füllen zu können. Diese Menge ist
4. Die Menge der reellen Zahlen, abgekürzt mit R.