wb-Klausur ws 93/94 - Hochschule Darmstadt

HOCHSCHULE DARMSTADT
Grundlagen der
Elektrotechnik
FB: EIT
Prüfer: Prof. Dr. Hoppe
Datum: 9. 7. 09
Klausurdauer: 120 Min.
Hilfsmittel: eigeneFormelsammlung, Taschenrechner, Geodreieck, Zirkel
Name:
Vorname:
Matrikelnummer:
Unterschrift:
HINWEISE:

Überprüfen Sie, ob Sie 6 Aufgabenblätter und 1 Deckblatt erhalten haben. Alle
Blätter sind abzugeben.

Die 4 Aufgaben zählen jeweils 25 Punkte. Sie können in beliebiger Reihenfolge
bearbeitet werden. Beginnen Sie zweckmäßigerweise mit den Aufgaben, die Sie
sicher beherrschen.

Bei Aufgabe 1 und 2 stehen jeweils 2 Auswahlmöglichkeiten offen. Bearbeiten Sie
die Auswahlmöglichkeit, die Ihnen am besten liegt. Sie müssen nur eine der
Wahlmöglichkeiten lösen. Sollten Sie für Aufgabe 1 und/oder 2 beide Varianten
gerechnet haben, werden Ihnen die Punkte der jeweils für Sie besseren Wahl
gutgeschrieben.

Die Klausur ist bestanden, wenn 40 Punkte erreicht werden.

Ab 86 Punkten gibt es ein „Sehr gut“ (1).

Viel Erfolg!
Klausur Grundlagen der Elektrotechnik h_da, SS007, Prof. Dr. Hoppe
1
1. Aufgabe: Wechselstromlehre
Es gibt zwei Aufgaben zur Auswahl:
Auswahl 1:
Wir betrachten eine Parallelschaltung aus einem Widerstand R und einer Spule L mit 20
Ohm und 20 mH. Die Frequenz f wird zwischen 50 Hz und 500 Hz verändert. Zeichnen
Sie von dieser Schaltung die


Ortskurve für die Admittanz Y
Ortskurve für die Admittanz Z
Y, Z
und beziffern Sie diese Kurven mit der Frequenz f
Lösung:
Die Admittanz der Schaltung ist
1
1
1
j

 
R j L R  L
1
1
Re(Y )  
 50mS
R 20
Y
und ihre Ortskurve stellt eine im 4. Quadranten liegende Parallele zur Ordinatenachse dar,
die durch den Punkt 50mS geht.
Zur Bezifferung rechnen wir jetzt zunächst einen bestimmten Punkt aus und zwar den für
50Hz.
Y (50Hz ) 
1
j

 (50  j159)mS
20 2  50Hz  20mH
Diesen Punkt tragen wir ein und erhalten auf der Ortskurve den Punkt für 50Hz. Dann
zeichnen wir eine Hilfsgerade (HG) ein.
Klausur Grundlagen der Elektrotechnik h_da, SS007, Prof. Dr. Hoppe
2
Sinn der Hilfsgerade ist es, eine lineare Teilung zu ermöglichen, denn die HG liegt parallel
zur Abszisse. Wir erhalten die oben gezeigte Teilung der Ortskurve für die Admittanz.
Die Ortskurve der Impedanz stellt die Endpunkte der Zeiger der Funktion
Z
1
1

 R  j L
Y 1 1
R j L
dar. Es handelt sich um einen Halbkreis, der durch den Ursprung geht und dessen
Durchmesser aus dem Minimalwert der Admittanz bestimmt werden kann, denn dort wo
die Admittanz minimal wird, wird der Impedanz maximal:
Z max 
1
1

 20
Ymin 50mS
Die minimale Impedanz erhalten wir für f = 0Hz und das ist Z = 0.
Der Radius des Halbkreises ist damit 10. Wir erhalten die oben gezeigte Ortskurve. Zur
Bezifferung brauchen wir nur die Strahlen für die verschiedenen Frequenzwerte der
Admittanz zu spiegeln. Am einfachsten geht dies, wenn wir die HG an der Abszisse
spiegeln und die Strahlen vom Ursprung zu den einzelnen Frequenzwerten mit dem
Halbkreis zum Schnitt bringen (siehe oben).
Klausur Grundlagen der Elektrotechnik h_da, SS007, Prof. Dr. Hoppe
3
Auswahl 2:
Konstruieren Sie für die folgende Schaltung mit R = 50 undRp = 200  bei Cp = 1 nF
die Ortskurve des komplexen Widerstands in Abhängigkeit von der Keisfrequenz, wobei
0 = 106/s gewählt werden soll. Maßstab: 1 mS = 1cm, 100  = 5 cm.
Lesen Sie aus der Ortskurve die Kreisfrequenz ab, bei der der Scheinwiderstand Z =
120Ohm beträgt. Kontrollieren Sie das Ergebnis rechnerisch.
R
Rp
Cp
Lösung
Wir betrachten die Parallelschaltung aus Widerstand RP und Kondensator CP, dann ist die
Ortskurve der Admittanz Yp eine parallel zur Ordinatenachse verlaufende Gerade und die
Impedanz Zp ein durch den Ursprung verlaufender Kreis, dessen Mittelpunkt bei 100
liegt. Da der Widerstand R in Reihe mit der Parallelschaltung liegt, verschiebt sich der
Halbkreis um 50 nach rechts und wir erhalten die komplette Ortskurve der Schaltung.
Zur Bezifferung der Ortskurve beziffern wir zuerst die Ortskurve der Impedanz der
Parallelschaltung Zp. Dazu betrachten wir noch mal die Ortskurve der Admittanz Yp. Diese
ist eine Gerade und diese ist linear geteilt. Uns interessiert aber der Frequenzmaßstab für
die Impedanz Zp. Da hier die gleichen Phasenwinkel nur mit inversem Vorzeichen
anzutragen sind, ist der Maßstab für Zp der nach unten gekippte Maßstab für die
Admittanz. Auf diesem Maßstab tragen wir nun einen speziellen Frequenzwert an, z.B.
den für 0 = 106/s. Dazu müssen wir den zugehörigen Phasenwinkel 0 ausrechnen.
Y1 
Z1 
1
 jC p
Rp
Rp
R (1  j R pC p )
1
1


 p
2
1
Y1
1   R p C p 
 jC p 1  j R p C p
Rp
 0  arctan( 0 R p C p )  arctan( 106  200 10 9 )  arctan( 0, 2)  11,3
10  arctan( 100 R p C p )  arctan( 107  200 10 9 )  arctan( 2,0)  63, 4
Danach können wir die Vielfachen dieser Frequenz auf dem Maßstab eintragen und die
zugehörigen Frequenzwerte durch Verlängern der Zeiger bis zum Schnitt mit der Z 1-Ortskurve ermitteln.
Wir erhalten folgendes Bild (leider ist der erste Winkel um 1Grad zu groß geraden,
deshalb habe ich noch mal den Winkel für 100 angetragen und das ist gerade der Punkt
an dem der Z-Zeiger die OK schneidet):
Klausur Grundlagen der Elektrotechnik h_da, SS007, Prof. Dr. Hoppe
4
Nun können wir die Impedanz mit dem betrag 120 antragen, indem wir einen Kreis mit
entsprechendem Radius um den Urstprung schlagen. Der Schnittpunkt mit der Ortskurve
entspricht einer Kreisfrequenz von 100
Zur rechnerischen Kontrolle setzen wir diesen Wert ein und berechnen den Betrag von Z:
Y1 
1
 jC p
Rp
Z  R
R p (1  j R p C p )
1   R p C p 
2
100  2,0
200(1  j 2,0)
1  22
Re( Z )  90
Z  50 
Im( Z )  80
Betrag: 120,4 Ohm
Klausur Grundlagen der Elektrotechnik h_da, SS007, Prof. Dr. Hoppe
5
2. Aufgabe: Magnetfeld
Es gibt zwei Aufgaben zur Auswahl:
Auswahl 1:
Ein sehr langer Leiter führt die elektrische Stromstärke I. Welcher magnetische Fluss Φ
durchflutet die dargestellte Fläche A?
H
I
ρ
l
ρi
ρa
Werte:
I = 5A,
ρi = 0,2m,
ρa=1,2m,
A
l = 1m,
µ0 = 1,257*10-6A/m
Lösung
Es gilt für B im Abstand ρ vom Leiter:
B
I µ0
2 
Es gilt:

  a I µ0

I µ0 l a d
   B  dA  
l d 
2  i 
A
i 2  
Klausur Grundlagen der Elektrotechnik h_da, SS007, Prof. Dr. Hoppe
6

µ0 I l
ln  ia  µ0 I l (ln  a  ln  i )
2
2

µ0 I l  a
ln
 1,792 * 10 6 Vs
2
i
Auswahl 2:
Gegeben sei der folgende magnetische Kreis:
l2, A
Θ = I*N
=2 000A
d
l1, A
l1 = 45*10-3 m,
l2 = 95*10-3 m,
A = 100*10-6 m²
d soll so bestimmt werden, dass B im Luftspalt den Wert 0,628T annimmt. Es soll
angenommen werden, dass im Luftspalt keine Feldlinienaufweitung auftritt.
Magnetisierungskennlinie:
B[T]
H[A/m]
0
0
0,628
170
0,942
380
1,256
900
1,5
2400
Lösung
Es handelt sich um eine Variante der in der Vorlesung angegebenen Aufgabentypen. Das
Lösungsverfahren muss neu ermittelt werden!
Klausur Grundlagen der Elektrotechnik h_da, SS007, Prof. Dr. Hoppe
7
Ersatzschaltbild:
Φ
V1
Rm
(l1+l2, A)
V2
Rml
(2d, A)
Θ = 2000A
Berechnung von d:
Mit Hilfe des Durchflutungssatzes kann folgende Beziehung angegeben werden:
  H Fe (l1  l 2 )  H L 2d
(a)
Die Berechnung von d aus (a) bedingt die Bestimmung von H FE und HL. Diese Größen
können leicht berechnet werden, da im gesamten magnetischen Kreis gleiche
Querschnitte A vorausgesetzt werden, so dass B überall im Kreis den gleichen Wert
aufweisen muss.
Es gilt:
HL 
B
0
B  0,628T ;  0  1,257 * 10 6
 499,6 * 10 3 A
H FE  170 A
m

m
(aus der Magnetisie rungskennlinie! )
Nun kann d aus (a) berechnet werden:
d
  H FE (l1  l 2 )
 1,978mm
2H L
Klausur Grundlagen der Elektrotechnik h_da, SS007, Prof. Dr. Hoppe
8
3. Aufgabe: Elektrisches Feld
Drei Punkladungen Q1 = 2,5*10-8 As, Q2 = 1,5*10-8 As und Q3 = -2,0*10-8 As sitzen auf den Ecken eines
gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge a = 10 cm in Luft 0 = 8,85*10-12 As/Vm. Legen Sie den
Koordinatenursprung eines kartesischen Koordinatensystems in die Mitte des Dreiecks und berechnen
Sie:
1. Die Beträge der drei elektrischen Feldstärken, die von den Ladungen in der Mitte des Dreiecks
erzeugt werden
2. Den Betrag der resultierenden Feldstärke in diesem Mittelpunkt.
Q2+
a/2
b
a
E1
a
30 b
30
Q1+
E3
E2
b
a
Q3-
Lösung Marinescu S 10
Klausur Grundlagen der Elektrotechnik h_da, SS007, Prof. Dr. Hoppe
9
Auswahl 2:
An einem Plattenkondensator mit drei quer geschichteten Dielektrika, deren relative
Dielektrizitätskonstanten r1 = 6,5 , r2 = 1 und r3 = 4 betragen, liegt eine Spannung von
20kV an. Randstörungen des Feldes bleiben unberücksichtigt. Die Schichtdicken betragen
l1 = 1,5cm, l2 = 2cm und l3= 2,5 cm.
 Berechnen Sie die Feldstärke E1 im Dielektrikum mit r1
 Berechnen Sie die Teilspannungen U1, U2 und U3, die zwischen den
Grenzschichten der Dielektrika anliegen. Kontrollieren sie das Ergebnis mit der
Gesamtspannung U.
1
2
Lösung
l1 l2
Weißgerber (Klausurrechnen)
S 61
3
l3
U = U1+U2+U3
U= E1l1+ E2l2+ E3l3
Da
D=D1=D2=D3
gilt
E11= E22= E33
Damit gilt
E2 
1

E und E3  1 E1
2 1
3


 
U  E1 l1  l2 1  l3 1 



2
3
U
U
U
E1 



 l1 l2 l3 
 l1
l 
1
1 
l2
 3 
l1  l2  l3  1      r1  
2
3 

 1  2  3 
  r1  r 2  r 3 
20kV

 108kV / m
1,5cm 2cm 2,5cm 
6,5 



1
4 
 6,5
U1  E1l1  108kV / m *1,5cm  1,62kV
1
E l  6,5 *108kV / m *2cm  14kV
2 1 2

6,5
U 3  E3l3  1 E1l3 
*108kV / m *2,5cm  4,38kV
3
4
U 2  E 2 l2 
U  U1  U 2  U 3  20kV q.e.d .
Klausur Grundlagen der Elektrotechnik h_da, SS007, Prof. Dr. Hoppe
10
Klausur Grundlagen der Elektrotechnik h_da, SS007, Prof. Dr. Hoppe
11
4. Aufgabe: Gleichstromnetzwerke
Gegeben ist die folgende Schaltung:
R4
I4
U
Iq1
Iq2
R3
R1
R2
Wir haben ein Spannungsquelle mit der Quellspannung U = 12V sowie 2 Stromquellen, die die Ströme Iq1 =
4,0A und Iq2 = 2,0A liefern. Die Widerstände sind R1 = 25, R2 = 40, R3 = 20 und R4 = 10. Wie groß ist
der Strom I4? Verwenden Sie das Knotenpotenzialverfahren!
Lösung: Hagmann Übungsbuch S 45
Klausur Grundlagen der Elektrotechnik h_da, SS007, Prof. Dr. Hoppe
12