Zufallsvariable - Johannes Gutenberg

Werbung
Methoden der
Psychologie
Prof. Dr. G. Meinhardt
2. Stock, Nordflügel
R. 02-429 (Persike)
R. 02-431 (Meinhardt)
Forschungsstatistik I
Sprechstunde jederzeit
nach Vereinbarung
Dr. Malte Persike
} [email protected]
WS 2008/2009
Fachbereich Sozialwissenschaften
Psychologisches Institut
Johannes Gutenberg Universität Mainz
Methoden der
Psychologie
Multiplikations
satz
Unabhängigkeit
Zufallsvariablen
Stochastische Unabhängigkeit
Wenn gilt:
P(B) = P(B | A)
Wechselseitigkeit
Gegenereignisse
werden die Ereignisse A und B stochastisch unabhängig
genannt, weil die Wahrscheinlichkeit des Auftretens des
Ereignisses B nicht vom Auftreten von A abhängt.
Setzen wir die rechte Seite der Gleichung in das
Multiplikationstheorem ein, erhalten wir:
P(A ∩ B) = P(B | A) P(A) = P(A) P(B)
Kurz:
P(A ∩ B) = P(A) P(B)
Multiplikationssatz für stoch. unabh. Ereignisse
Methoden der
Psychologie
Multiplikations
satz
Unabhängigkeit
Zufallsvariablen
Stochastische Unabhängigkeit
Wechselseitigkeit
Wir haben beim Multiplikationstheorem gesehen, dass
Wechselseitigkeit
Gegenereignisse
P(A ∩ B) = P(B | A) P(A) = P(A | B) P(B)
Und beim Multiplikationssatz, dass für ein von A stochastisch unabhängiges Ereignis B [also P(B) = P(B | A)] gilt:
P(A ∩ B) = P(A) P(B)
Einsetzen der zweiten Gleichung in die erste führt zu
P(A | B) P(B) = P(A) P(B)
also
P(A | B) = P(A)
Also: Ist B von A unabhängig, so ist es auch A von B.
Methoden der
Psychologie
Multiplikations
satz
Wechselseitigkeit
Gegenereignisse
Unabhängigkeit
Zufallsvariablen
Stochastische Unabhängigkeit
Verallgemeinerung des Multiplikationssatzes
Wenn die Ereignisse A1, A2, … Ak insgesamt unabhängig
sind, so gilt
P(A1∩A2∩… ∩Ak) = P(A1)·P(A2)·… ·P(Ak)
Achtung: Die Disjunktheit von Ereignissen hat mit der
stochastischen Unabhängigkeit nichts zu tun.
A und B sind disjunkt (A ∩ B = {∅}).
Wenn aber A eingetreten ist,
verändert sich
P(B) zu P(B) / P(S \ A),
wird also größer, solange A ≠ {∅}.
A
B
S
Methoden der
Psychologie
Multiplikations
satz
Unabhängigkeit
Zufallsvariablen
Stochastische Unabhängigkeit
Gegenereignisse
Nach de Morgans Gesetzen gilt:
Wechselseitigkeit
Gegenereignisse
A∪ B = A∩ B
A∩ B = A∪ B
Damit lässt sich zeigen, dass
– P ( A ∩ B ) = P ( A) ⋅ P ( B )
– P ( A ∩ B ) = P ( A) ⋅ P ( B )
A
B
– P ( A ∩ B ) = P ( A) ⋅ P ( B )
Wenn also die Ereignisse A und B stochastisch unabhängig
sind, so sind es auch ihre Gegenereignisse und alle
Paarungen daraus.
Methoden der
Psychologie
Zufallsvariable
Unabhängigkeit
Zufallsvariablen
Zufallsexperimente
Stichprobenraum, Messung und Realisation
Diskrete
Zufallsvariable
Grafische
Darstellung
Verteilungsformen
Beispiel: Anzahl korrekter Antworten im Mathekenntnistest
Stichprobenraum Ω
Alle Personen in
diesem Raum
Zufallsvariable Y(Ω)
Mögl. Werte: 0, 1, 2, …
Messung von Y(Ω)
Test einer Person im
Raum
Realisationen: y1, y1, …
Messwerte: 2, 0, 1, 1,
4, 3, …
Methoden der
Psychologie
Zufallsvariable
Unabhängigkeit
Zufallsvariablen
Zufallsvariablen
Definitionen
Diskrete
Zufallsvariable
– Die Ergebnisse eines Zufallsexperimentes werden
als Realisationen bezeichnet
Grafische
Darstellung
– Ist Y eine Funktion, die jeder möglichen
Realisation aus dem Stichprobenraum Ω eine
reelle Zahl zuordnet, so wird diese Variable als
Zufallsvariable bezeichnet.
Verteilungsformen
– Die Menge der möglichen Funktionswerte Y(Ω) ist
damit der Wertebereich von Y
– Die Zuweisung von Zahlen zu den Realisationen
von Y wird als Messung bezeichnet, die
gemessenen Realisationen häufig als Messwerte
Methoden der
Psychologie
Zufallsvariable
Unabhängigkeit
Zufallsvariablen
Zufallsvariablen
Notation
Diskrete
Zufallsvariable
Grafische
Darstellung
Verteilungsformen
– Zufallsvariablen werden mit Großbuchstaben
bezeichnet, häufig mit Y oder X.
– Realisationen von Zufallsvariablen werden mit
Kleinbuchstaben bezeichnet, z.B. y1, y2, …, yn
– Hinweis: Häufig werden sowohl die möglichen
Realisationen als auch die tatsächlichen
Realisationen aus n Messungen mit denselben
Kleinbuchstaben bezeichnet.
Beispiel beim Münzwurf: {y1 = 0; y2=1}
aber auch: y1=0, y2=0, y3=1, … yn=1
Methoden der
Psychologie
Zufallsvariable
Unabhängigkeit
Zufallsvariablen
Zufallsvariablen
Notation für Wahrscheinlichkeiten
Diskrete
Zufallsvariable
– Auf der Zufallsvariable können nun Ereignisse
definiert werden, z.B. a ≤ Y ≤ b oder Y = a.
Grafische
Darstellung
– Diesen Ereignissen können reelle Zahlen
zugewiesen werden, die die Kolmogoroff Axiome
erfüllen, z. B. P(a ≤ Y ≤ b) oder P(Y = a)
Verteilungsformen
– In der Wahrscheinlichkeitstheorie besonders
wichtig ist die Punktwahrscheinlichkeit, also
dass die Zufallsvariable Y eine bestimmte
Ausprägung annimmt: Y = y
– Die Wk für Y = y wird als P(Y = y) geschrieben
– Werte für diese Wk werden mit p bezeichnet
Methoden der
Psychologie
Zufallsvariable
Unabhängigkeit
Zufallsvariablen
Zufallsvariablen
Wahrscheinlichkeiten und Vererbung
Diskrete
Zufallsvariable
Grafische
Darstellung
Verteilungsformen
– Der Wertebereich Y(Ω) einer Zufallsvariablen ist
wieder ein Stichprobenraum
– Die Ergebnisse in diesem Raum haben dieselben
Wahrscheinlichkeiten P(y) wie die Ergebnisse
im ursprünglichen Stichprobenraum P(Y)
(„Vererbung“) und erfüllen auch die Kolmogoroff
Axiome
– Die Zuordnungsvorschrift, die den Ergebnissen im
Wertebereich die durch die Vererbung
vorgegebenen Wahrscheinlichkeiten zuordnet,
heißt Wahrscheinlichkeitsverteilung
(probability distribution) der Zufallsvariablen
Methoden der
Psychologie
Zufallsvariable
Unabhängigkeit
Zufallsvariablen
Diskrete Zufallsvariablen
Definition
Diskrete
Zufallsvariable
Grafische
Darstellung
Verteilungsformen
– Eine Zufallsvariable, die abzählbar viele Werte
annehmen kann (in endlich oder unendlich vielen
Ausprägungen), wird als diskrete
Zufallsvariable bezeichnet
– Das Ereignis, dass die diskrete Zufallsvariable Y
eine bestimmte (die i-te) Ausprägung annimmt,
wird bezeichnet als Y = yi
– Die Wk für Y = yi wird als P(Y = yi) geschrieben
– Werte für diese Wk werden mit pi bezeichnet
Methoden der
Psychologie
Zufallsvariable
Unabhängigkeit
Zufallsvariablen
Diskrete Zufallsvariablen
Übersicht
Diskrete
Zufallsvariable
Grafische
Darstellung
Verteilungsformen
?
Methoden der
Psychologie
Zufallsvariable
Unabhängigkeit
Zufallsvariablen
Diskrete Zufallsvariablen
Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit
Diskrete
Zufallsvariable
Grafische
Darstellung
Verteilungsformen
– Die empirische beobachtete Häufigkeit des
Auftretens einer Realisation Y = y in einem
Zufallsexperiment wird als h(Y = y) geschrieben.
– h(Y = y) wird auch als absolute Häufigkeit
bezeichnet.
– Die relative Häufigkeit f(Y=y) ist dann definiert
als der Quotient aus absoluter Häufigkeit und der
Anzahl n aller Versuche, also f(Y=y) = h(Y=y) / n
Methoden der
Psychologie
Zufallsvariable
Unabhängigkeit
Zufallsvariablen
Gesetz der großen Zahlen
Law of large numbers
Diskrete
Zufallsvariable
Grafische
Darstellung
Verteilungsformen
Bei unabhängigen Wiederholungen
eines Zufallsexperiments strebt die
mittlere relative Häufigkeit h(A) für
Das Auftreten eines Ereignisses A
gegen die Wahrscheinlichkeit P(A)
P ( A ) := lim h( A)
n→∞
Methoden der
Psychologie
Zufallsvariable
Unabhängigkeit
Diskrete Zufallsvariablen
Übersicht
Diskrete
Zufallsvariable
Grafische
Darstellung
Verteilungsformen
Zufallsvariablen
Methoden der
Psychologie
Zufallsvariable
Unabhängigkeit
Zufallsvariablen
Diskrete Zufallsvariablen
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Diskrete
Zufallsvariable
Die Verteilung der P(Y = yi) wird als diskrete
Wahrscheinlichkeitsverteilung bezeichnet.
Sie wird definiert als
Grafische
Darstellung
⎧ P(Y = yi ) = pi falls yi ∈ { y1 … yk }
f ( y) = ⎨
0 sonst
⎩
Verteilungsformen
Wert von Y
P(Y = yi)
y1
y2
p(y1) p(y2)
…
yi
p(yi)
…
yk
p(yk)
Methoden der
Psychologie
Zufallsvariable
Unabhängigkeit
Zufallsvariablen
Diskrete Zufallsvariablen
Verteilungsfunktion
Diskrete
Zufallsvariable
Grafische
Darstellung
Die Verteilung der P(Y ≤ ym) wird als Verteilungsfunktion
der Zufallsvariablen Y oder kumulierte Wahrscheinlichkeitsverteilung bezeichnet.
Sie wird definiert als
m
F ( y ) = P (Y ≤ ym ) = ∑ pi
i =1
Verteilungsformen
Wert von Y
P(Y ≤ yi)
y1
Y2
p(y1)
p(y1) + p(y2)
…
Ym
… p(y1) + p(y2) + … + p(ym)
Methoden der
Psychologie
Zufallsvariable
Unabhängigkeit
Zufallsvariablen
Diskrete Zufallsvariablen
Theoretische und empirische Wk-Verteilung
Diskrete
Zufallsvariable
– Die empirische relative Häufigkeitsverteilung der
f(y) und die Wahrscheinlichkeitsverteilung der P(y)
sind konzeptuell strikt zu trennen
Grafische
Darstellung
– Die empirische Verteilungsfunktion und die
Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen sind
ebenfalls konzeptuell strikt zu trennen
Verteilungsformen
– Die theoretischen Verteilungen bedürfen keiner
Daten, denn sie sind gegeben
– Die theoretischen Verteilungen bestimmen, was
für die empirischen Verteilungen zu erwarten ist
Herunterladen
Explore flashcards