Analytische Geometrie der Ebene 3.¨Ubungsblatt

Analytische Geometrie der Ebene
3.Übungsblatt
1. Sei P der Schnittpunkt der Geraden d1 : 2x − 5y − 1 = 0, d2 : x + 4y − 7 = 0. Sei M der
Punkt auf der Strecke [AB], welcher diese im Verhältnis k = 2/3 teilt, wobei A(4, −3),
B(−1, 2). Bestimmt die Gleichung der Geraden durch die Punkte M und P . Schreibt
verschiedene Gleichungen der Geraden.
2. Schreibt die Parametergleichungen der Geraden, die von P1 und P2 bestimmt wird, wobei:
(a) P1 (3, −2),P2 (5, 1);
(b) P1 (4, 1),P2 (4, 3).
3. Schreibt die Parametergleichungen der Geraden bestimmt durch den Punkt P (−5, 2) und
dem Richtungsvektor v̄(2, 3).
4. Sind d1 :
x=3−t
und d2 :
y = 1 + 2t
x = −1 + 3t
die Parametergleichungen derselben
y = 9 − 6t
Geraden?
5. Schreibt die vektorielle Gleichung der Geraden bestimmt durch die Punkte P1 und P2 ,
wobei
(a) P1 (3, −2);P2 (−5, 3);
(b) P1 (0, 3);P2 (4, 3).
6. Schreibt die Gleichung der Geraden durch den Schnittpunkt von d1 : 3x − 2y + 5 = 0 mit
d2 : 4x + 3y − 1 = 0, welche Oy im Punkt A schneidet, wobei OA = 3.
7. Gegeben ist das Dreieck mit den Ecken A(−1, 3), B(2, −1), C(3, 6). Bestimmt:
(a) die Gleichung der Geraden AC;
(b) die Gleichung der Parallelen durch B zu AC;
(c) die Gleichung der Seitenhalbierenden aus C.
8. Bestimmt die Gleichungen der Seiten des Dreiecks ABC und die Koordinaten der Seitenmitten, wenn die Ecken A(5, 0), B(1, 2), C(−3, −2) sind.
9. Die Seite [AB] eines Dreiecks ABC liegt auf der Geraden d : 3x + 2y − 16 = 0. Bestimmt die Koordinaten der Ecken der Dreiecks, wenn bekannt ist, dass die Abszissen der
Ecken A und B gleich 2, beziehungsweise 6 sind und der Schwerpunkt G der Dreiecks die
Koordinaten (−1, 0) hat.
10. Gegeben sind die Punkte A(− 45 , 2), B( 25 , 4), C(1, 5). Bestimmt die Gleichung der Geraden
AB und überprüft, dass die Punkte A, B und C kollinear sind.
11. Sei A ein beliebiger Punkt, der sich auf Ox bewegt und B ein Punkt auf Oy, so dass
1
1
+
= k. Dann gehen alle Geraden AB durch einen festen Punkt.
OA OB
x−1 y−2
=
. Schreibt die Gleichung der Geraden d in Form
−1
3
der Abschnittsgleichung. Bestimmt die Gleichungen der Geraden, die symmetrisch zu der
Geraden d in bezug auf die Ox-Achse, auf die Oy-Achse und auf den Ursprung sind.
12. Gegeben ist die Gerade d :
13. Gegeben ist die Gerade d1 : −x + 2y − 1 = 0. Schreibt die Gleichung ihrer in bezug auf
die Gerade d2 : x − y = 0 symmetrischen Geraden und die Gleichung ihrer in bezug auf
den Punkt A(−2, 5) symmetrischen Geraden.
14. Gegeben ist die Gerade d : 2x + 3y + 4 = 0. Bestimmt die Gleichung der Geraden d1 ,
durch den Punkt M0 (2, 1), in den folgenden Fällen:
(a) d1 k d;
(b) d1 ⊥ d;
π
(c) d bildet mit d1 einen Winkel ϕ = .
4
15. Gegeben sind die Geraden d1 : 4x + 3y − 5 = 0, d2 : x − 3y + 10 = 0, d3 : x − 2 = 0,
welches die Trägergeraden der Seiten [AB], [BC] und [AC] des Dreiecks ABC sind.
(a) Bestimmt die Koordinaten der Ecken der Dreiecks ABC;
(b) Schreibt die Gleichungen der Seitenhalbierenden des Dreiecks ABC;
(c) SChreibt die Gleichungen der Höhen des Dreicks ABC.
16. Es sei D(−5, 13). Bestimmt die Koordinaten des Punktes, welches symmetrisch zu D ist
in bezug auf die Gerade d : 2x − 3y − 3 = 0.
17. Gegeben ist das Geradenbüschel (1 − t)x + (2 − t)y + t − 3 = 0, t ∈ R und x + y − 1 = 0.
Bestimmt:
(a) die Spitze des Büschels;
(b) die Gerade des Büschels, die die Achsen Ox und Oy in M , beziehungsweise in N
schneidet, so dass OM 2 · ON 2 = 4(OM 2 + ON 2 ).
18. Man betrachtet das Büschel mit der Spitze M0 (5, 0). Eine beliebige Gerade des Büschels
schneidet die Gerade d1 : y − 2 = 0 und d2 : y − 3 = 0 in M1 beziehungsweise in M2 .
Zeigt, dass die Parallele durch M1 zu der Geraden OM2 einen festen Punkt hat.