Aufgaben und Lösungen - Institut für Experimentelle Physik

Nachklausur
Klassische und Relativistische
Mechanik (Bachelor Physik,
Bachelor Wirtschaftsphysik,
Physik Lehramt)
Othmar Marti, ([email protected])
Prüfungstermin 19.04.08, 09:00 bis 11:00
Name
Vorname Matrikel-Nummer Kennwort
Die Prüfungsresultate werden ab dem 23.4. vor dem Sekretariat Experimentelle
Physik, N25/540, bekanntgegeben. Sie können Ihre Klausur ab dem 23.4. am gleichen Ort einsehen. Damit Ihr Resultat, sobald vorhanden, per Aushang vor dem
Sekretariat bekanntgegeben werden kann, müssen Sie ein Kennwort (leserlich) angeben.
Aufgabe
Punkte
Vom Korrektor auszufüllen:
1
2
3
4
5
Aufgabe
Punkte
Note:
19.04.2008 Klausur
11
12
13
14
6
15
7
16
8
9
10
Σ
Prüfer:
1
c 2008
Ulm University, Othmar Marti
Klausur Name:
Matrikelnummer
2
1 Hinweise zur Bearbeitung der Klausur
Lesen Sie bitte die folgenden Hinweise vollständig und aufmerksam
durch, bevor Sie mit der Bearbeitung der Aufgaben beginnen!.
1. Als Hilfsmittel zur Bearbeitung der Klausur sind nur Schreibzeug, Taschenrechner und 4 Blätter (sechs Seiten, Grösse A4) mit eigener Hand in Handschrift verfasste Notizen zugelassen. Mobiltelefone müssen ausgeschaltet in einer geschlossenen Tasche oder einem geschlossenen Rucksack aufbewahrt werden!
2. Die Klausur umfasst:
a) 2 Blatt (Seiten 3-6) mit 16 Aufgaben.
b) 16 Blätter zum Lösen der Aufgaben 1 bis 16.
c) 1 Deckblatt bestehend aus einer Titelseite und dieser Hinweisseite.
3. Füllen Sie, bevor Sie mit der Bearbeitung der Aufgaben beginnen, das Deckblatt mit Name, Vorname und Matrikelnummer in leserlicher Druckschrift aus.
4. Jede Aufgabe ergibt zwischen 2 und 12 Punkte. Insgesamt gibt es 100 Punkte.
50 Punkte benötigen Sie zum Bestehen.
5. Benutzen Sie bei der Berechnung von Zahlenwerten die Konstanten aus der
Aufgabenstellung, soweit angegeben.
6. Schreiben Sie auf jedes Blatt leserlich Ihren Namen, Ihren Vornamen und Ihre Matrikelnummer sowie allenfalls eine Seitennummer. Schönschrift beim
Schreiben erleichtert die Korrektur. Unleserliche Teile der Klausur
werden nicht gewertet.
7. Verwenden Sie die beiliegenden mit den Aufgabennummern versehenen Blätter zum Lösen der Aufgaben. Sollte der Platz nicht reichen, fügen Sie bitte
zusätzliche Blätter an, die sie klar und eindeutig beschriften. Schreiben Sie
die zugehörigen Nebenrechnungen ebenfalls auf dieses Blatt. Streichen Sie
ungültige Lösungen deutlich durch. Wenn Sie nicht weiter wissen, beschreiben Sie, wie Sie wie Sie die Aufgabe lösen würden.
Viel Erfolg!
19.04.2008 Klausur
2
c 2008
Ulm University, Othmar Marti
Klausur Name:
Matrikelnummer
3
2 Aufgaben
1. Ein Auto fährt mit 23 km/h. Der Fahrer bremst. Das Auto fährt noch 1 m
weit. Nun fährt das Auto mit 36,8 km/h. Wie lange ist nun der Bremsweg?
(2 Punkte)
2. Ein oener Güterwagen rollt reibungslos unter einen vertikal einfallenden
Regenschauer, wobei eine beachtliche Menge Regen in den Wagen fällt und
sich dort ansammelt.
Beantworten Sie in Worten (ohne Gleichung):
a) Wie ändert sich die Geschwindigkeit des Wagens? (1 Punkt)
b) Wie ändert sich die Energie des Wagens? (1 Punkt)
c) Wie ändert sich die kinetische Energie des Wagens? (1 Punkt)
3. Eine bestimmte Energiemenge E0 (Menge Benzin) reicht, um ein Auto von
0 auf 50 km/h zu beschleunigen. Nun soll die Geschwindigkeit von 50 km/h
auf 100 km/h erhöht werden. Wie gross in Einheiten von E0 ist die dazu
benötigte Energiemenge?
(2 Punkte)
4. Eine Wissenschaftlerin A sitzt völlig von der Umwelt isoliert in einem Kasten, der sich gleichförmig und geradlinig durch den Raum bewegt. Wissenschaftlerin B sitzt genau so isoliert in einem Kasten, der sich gleichmässig
im Raum dreht.
Welche Antwort(en) ist/sind richtig?
a) B kann ihre Bewegung feststellen.
b) Beide können ihre Bewegung feststellen.
c) A kann ihre Bewegung feststellen.
d) Keine kann ihre Bewegung feststellen.
(2 Punkte)
5. Eine Strassenbahn rollt reibungsfrei auf einem grossen Kreis. Mit zwei Weichen wird sie auf einen zum grossen Kreis konzentrisch liegenden kleineren
Kreis umgelenkt. Wie ändert sich ihre Geschwindigkeit?
(2 Punkte)
6. Ein Komet verfolgt ein Raumschi, das sich entlang der x-Achse bewegt. Sei
vK die Geschwindigkeit, pK der Impuls und EK die Energie des Kometen, wie
sie aus dem Raumschi wahrgenommen werden. Wenn die Geschwindigkeit
des Raumschies erhöht wird, wie ändern sich vK ,pK und Ek ?
a) EK und pK werden kleiner, vK ändert sich nicht.
b) vK und pK werden kleiner, EK ändert sich nicht.
19.04.2008 Klausur
3
c 2008
Ulm University, Othmar Marti
Klausur Name:
Matrikelnummer
4
c) vK , pK und EK nehmen alle ab.
d) vK , pK und EK bleiben konstant.
e) vK und EK nehmen ab, pK ändert sich nicht.
(2 Punkte)
7. Der Erdmittelpunkt bendet sich 1,5 · 1011 m vom Sonnenmittelpunkt entfernt. Der Durchmesser der Sonne ist 109 mal so gross wie der Durchmesser
der Erde. Die mittlere Dichte der Erde beträgt 5515 mkg3 . Die mittlere Dichte
der Sonne ist 1410 mkg3 . Berechnen Sie den Abstand des Drehpunktes (Baryzentrum, Schwerpunkt des Gesamtsystems) des Systems Erde-Sonne vom
Sonnenmittelpunkt!
(10 Punkte)
8. Ein halbkugelförmiger Tropfen, Dichte ρ = 1200 mkg3 , Durchmesser der Kontaktäche 10−4 m2 , hafte aussen an einem Rad mit dem Durchmesser 0,1m.
Die Oberächenspannung zwischen dem Tröpfchen und dem Rad sei σT R =
. Bei welcher Winkelgeschwindigkeit des Rades verliert das Tröpfchen
0,05 N
m
die Haftung, wenn Luftwiderstand und andere Reibungsmechanismen vernachlässigt werden?
Tipp: Denken Sie beim Lösungsweg an den Tropfenzähler!
(Σ 8 Punkte)
9. Ein Tennisball wird aus 1 m Höhe fallen gelassen. Bei jedem Aufprall verliert
er die Hälfte seiner kinetischen Energie. Berechnen Sie die gesamte zurückgelegte Flugstrecke bis zum Stillstand.
(Σ 6 Punkte)
10. Wie lange dauert es, bis der Tennisball aus Aufgabe 9 zum Stillstand kommt?
(7 Punkte)
11. Ein Wagen fährt reibungsfrei auf dem Balken einer Wippe. Wenn die beiden
Kinder wippen (h (t) = h0 sin ω0 t für das linke Kind) fährt der Wagen hin
und her.
a) Geben sie die Bewegungsgleichung des Wagens an.
b) Wo bendet sich der Wagen, wenn die Wippe gerade am Umkehrpunkt
ist (eines der Kinder ist ganz oben)?
19.04.2008 Klausur
4
c 2008
Ulm University, Othmar Marti
Klausur Name:
Matrikelnummer
5
c) Nun wippen die Kinder gerade so, dass der Wagen den ganzen Wippbalken (Länge 2`) entlang fährt, ohne an einen der Kinder anzustossen.
Wie lautet der Zusammenhang zwischen der Wippfrequenz ω und der
Wippamplitude h0 ?
(12 Punkte)
12. Aus einer homogenen Scheibe mit Radius R und Masse M werden im Abstand a zum Zentrum der Scheibe drei Kreise mit Radius r ausgestanzt.
Wie gross ist dann das Trägheitsmoment
bezüglich der auf der Scheibe senkrecht
stehenden Achse durch das Zentrum?
(8 Punkte)
13. Ein Stein wird über dem Mittelpunkt eines zylindrischen Schachts mit Durchmesser d fallengelassen. Der Schacht führe lotrecht zum Erdmittelpunkt.
Nach welcher Strecke s schlägt der Stein aufgrund der Coriolisablenkung an
die Wand des Schachtes. Nehmen Sie an, dass die Falltiefe klein im Vergleich
zum Erdradius ist.
Berechnen Sie s für d = 20 cm am Äquator und am 48ten Breitengrad.
(12 Punkte)
14. Ein Rad eines Fahrrades habe die Masse m = 1kg und den Radius r =
40cm. Die Länge der (auf beiden Seiten gleichweit herausragenden) Achse sei
l = 16cm. Nun wird das Rad bei horizontaler Achse auf eine Kreisfrequenz
ω = 5 sec−1 beschleunigt und an einem Ende der Achse aufgehängt. Wie
gross ist die Präzessionsfrequenz? (Die Masse von Nabe und Speichen sei
vernachlässigt)
(8 Punkte)
15. Ein zylindrisches Gefäss ist bis zur Höhe H mit Wasser gefüllt (H = 2m). Es
hat in der Höhe h1 = 40cm über dem Boden eine Önung, aus der waagrecht
ein Wasserstrahl austritt.
a) Welche Strecke s liegt der Auftrepunkt P vom Gefäss entfernt?
b) In welcher Höhe h2 muss man eine zweite Önung anbringen, damit
sich beide Wasserstrahlen im Punkt P treen?
(8 Punkte)
16. Das Prol einer Flugzeugtragäche sei so beschaen, dass die Tragächenoberseite eine um 10 % grössere Fläche besitze, als die Tragächenunterseite.
Bei welcher Geschwindigkeit hebt ein Flugzeug der Masse m = 1000kg ab,
wenn die Unterseite der Tragäche 10m2 misst. Nehmen Sie an, die Bedingungen unter denen die Bernoulli-Gleichung gültig ist, seien erfüllt.
(8 Punkte)
19.04.2008 Klausur
5
c 2008
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Klausur Name:
P
Matrikelnummer
6
Punkte : 100
Gleichungen und Konstanten
P∞
(k−1)2i+1
ln k
i=0 (2i+1)(k+1)2i+1 = 2
P∞
ki
i=0 i!
P∞ q 1
i=1
2i
P∞
i=1 (−1)
P∞
i=0
= ek
√
=
√
(2+ 2)
i+1 ki
i
k −i =
2
2
= ln k
k
k−1
G = 6,6742 · 10−11 ms2kg
Gravitationskonstante
kg
ρ = 1,3 m
3
Dichte von Luft
g = 9,81 sm2
Betrag des Feldvektors der Gravitation
3
19.04.2008 Klausur
6
c 2008
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Klausur Name:
Matrikelnummer
7
Aufgabe 1
19.04.2008 Klausur
7
c 2008
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Klausur Name:
Matrikelnummer
8
Aufgabe 2
19.04.2008 Klausur
8
c 2008
Ulm University, Othmar Marti
Klausur Name:
Matrikelnummer
9
Aufgabe 3
19.04.2008 Klausur
9
c 2008
Ulm University, Othmar Marti
Klausur Name:
Matrikelnummer
10
Aufgabe 4
19.04.2008 Klausur
10
c 2008
Ulm University, Othmar Marti
Klausur Name:
Matrikelnummer
11
Aufgabe 5
19.04.2008 Klausur
11
c 2008
Ulm University, Othmar Marti
Klausur Name:
Matrikelnummer
12
Aufgabe 6
19.04.2008 Klausur
12
c 2008
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Klausur Name:
Matrikelnummer
13
Aufgabe 7
19.04.2008 Klausur
13
c 2008
Ulm University, Othmar Marti
Klausur Name:
Matrikelnummer
14
Aufgabe 8
19.04.2008 Klausur
14
c 2008
Ulm University, Othmar Marti
Klausur Name:
Matrikelnummer
15
Aufgabe 9
19.04.2008 Klausur
15
c 2008
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Klausur Name:
Matrikelnummer
16
Aufgabe 10
19.04.2008 Klausur
16
c 2008
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Klausur Name:
Matrikelnummer
17
Aufgabe 11
19.04.2008 Klausur
17
c 2008
Ulm University, Othmar Marti
Klausur Name:
Matrikelnummer
18
Aufgabe 12
19.04.2008 Klausur
18
c 2008
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Klausur Name:
Matrikelnummer
19
Aufgabe 13
19.04.2008 Klausur
19
c 2008
Ulm University, Othmar Marti
Klausur Name:
Matrikelnummer
20
Aufgabe 14
19.04.2008 Klausur
20
c 2008
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Klausur Name:
Matrikelnummer
21
Aufgabe 15
19.04.2008 Klausur
21
c 2008
Ulm University, Othmar Marti
Klausur Name:
Matrikelnummer
22
Aufgabe 16
19.04.2008 Klausur
22
c 2008
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Klausur Name:
Matrikelnummer
23
3 Lösungen
1.
36,8km/h
= 1,6 ⇒ 1,62 = 2,56 ⇒ Bremsweg ≈ 2,56m
23km/h
(2 Punkte)
2.
a) Wie ändert sich die Geschwindigkeit des Wagens?- Abnahme
(1 Punkt)
b) Wie ändert sich die Energie des Wagens? konstant, keine
Änderung
(1 Punkt)
c) Wie ändert sich die kinetische Energie des Wagens? Abnahme
(1 Punkt)
3. 3E0 da E ∝ v 2
(2 Punkte)
4. Lösung: a) (B bendet sich nicht in einem Inertialsystem)
(2 Punkte)
5. Energieerhaltung (r2 < r1 )
1
v2
1 v2
Ekin (r1 ) = mv12 + I 12 = 1
2
2 r1
2
I
m+ 2
r1
1 2 1 v22
v22
I
Ekin (r2 ) = mv2 + I 2 =
m+ 2
2
2 r2
2
r2
Wenn I = 0 dann bleibt die kinetische Energie erhalten und v1 = v2
Wenn I > 0 nimmt die Geschwindigkeit ab: v2 < v1 (2 Punkte)
6. Lösung c)
Aus Epstein: Denksport Physik: Der Komet bewegt sich schnell, aber seine Geschwindigkeit ist sehr viel kleiner als die Lichtgeschwindigkeit. Der
Astronaut könnte schneller sein als der Komet oder auch nicht. Je schneller er düst, desto langsamer iegt der Komet - relativ zum Astronauten.
Wenn er schneller düst, nimmt er den Kometen langsamer wahr (und wenn
er schnell genug düsen kann, könnte er sogar den Kometen als rückwärts
iegend beobachten). Wenn die beobachtete Geschwindigkeit des Kometen
abnimmt, nimmt auch sein beobachteter Impuls und seine beobachtete kinetische Energie ab. Impuls und Energie eines Hiebs nehmen ab, wenn man vor
dem Stoÿ zurückweicht - so wie unser Astronaut versucht, sich vom Kometen
wegzumanövrieren.
(2 Punkte)
19.04.2008 Klausur
23
c 2008
Ulm University, Othmar Marti
Klausur Name:
Matrikelnummer
24
7. Der Erdmittelpunkt bendet sich 1,5 · 1011 m vom Sonnenmittelpunkt entfernt. Der Durchmesser der Sonne ist 109 mal so gross wie der Durchmesser
der Erde. Die mittlere Dichte der Erde beträgt 5515 mkg3 . Die mittlere Dichte
der Sonne ist 1410 mkg3 . Berechnen Sie den Abstand des Drehpunktes (Baryzentrum) des Systems Erde-Sonne vom Sonnenmittelpunkt!
rD = Abstand Sonne-Baryzentrum
rSE = Abstand Sonne-Erde
Hebelgesetz:
rD · ms = (rSE − rD ) · mE
rD (ms + mE ) = rSE · mE
mE
rD =
rSE
mS + mE
Durchmesser: Ds der Sonne, DE der Erde
DS = 109DE
⇒
VS = 1093 VE
mS
ρS
mE
mE = VE · ρE ⇒ VE =
ρE
mS = VS · ρS ⇒ Vs =
also
mS
mE
ρS
ρS
= 1093
⇒ ms = 1093 mE ·
= 1295029mE ·
= 331095,35mE
ρS
ρE
ρE
ρE
also
rD =
mE
mE rSE
rSE
rSE =
=
= 453040m
mS + mE
mE + 331095,35mE
331096,35
(Σ 10 Punkte)
8. Sei d der Durchmesser, r = d/2 der Radius des Tropfens. R sei der Radius
des Rades
Masse des Tropfens
2
1
mT = ρT · V = πr3 ρT = πd3 ρT
3
12
Länge der Kontaktlinie:
a=π·d
19.04.2008 Klausur
24
c 2008
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Klausur Name:
Matrikelnummer
25
Linienspannung der Kontaktlinie (analog zum Tropfenzähler)
FKL = πdσT R
Die Fliehkraft (bewegtes Bezugssystem):
F = mω 2 R =
π 3 2
d ω RρT
12
muss durch
FKL = πdσT R
aufgebracht werden, also
π 3
d ρT Rω 2 = πdσT R
12
12σT R
ω2 = 2
d ρT R
1 · 0,05N
= −8
10 · 100 · 0,05mkg
1
ω = 103
s
12 · 0,05 N
m
=
kg
10−8 m2 · 1200 m
3 · 0,05m
1
=106 · 2
s
(Σ 8 Punkte)
9.
Epot = E0 = mgh
(n)
Ekin (n + 1)) = Ekin
2
daraus
h(n + 1) =
h(n)
2
zurückgelegte Strecke
∞
X
h
h
h
h
h+2· +2· +2· =h+
2
4
8
2n
n=0
= 3h
=3m
(siehe auch Binärzahlen)
(6 Punkte)
19.04.2008 Klausur
25
c 2008
Ulm University, Othmar Marti
Klausur Name:
Matrikelnummer
10. Gleichung für den freien Fall: s = g2 t2 . Daraus bekommt man t =
26
q
2s
g
s
2h
g
s
s
2h
h
=2
t1 = 2
2g
g
s
s
2h
h
t2 = 2
=2
4g
2g
t0 =
s
s
s
∞
∞ r
X
√
2h
2h
2h
hX
1
+2
=
+2 2
t=
n
g
2 g
g
g n=1 2n
n=1
s
s
s
√ √
i
√
2h
2h 2 + 2 2
2h h
=
+2
=
1+2 2+2
g
g
2
g
s
h
√
= 2,60655s
= 3 2+4
g
s
(Σ 7 Punkte)
11.
a) Hangabtriebskraft auf Wagen
FHA =
h0 sin (ω0 t)
h (t)
· mg =
mg
`
`
ist gleich der Trägheitskraft
FT = mẍ
b) Ansatz zur Lösung
x (t) = x0 sin (ωt)
mẍ = −mx0 ω 2 sin (ωt) =
h0 sin (ω0 t)
mg
`
Daraus:
ω = ω0
h0
−x0 ω02 = g
`
Wagen ist am Umkehrpunkt beim Kind, das oben ist. (Vorzeichen ergeben sich aus dem angewandten Koordinatensystem)
19.04.2008 Klausur
26
c 2008
Ulm University, Othmar Marti
Klausur Name:
Matrikelnummer
c) Hier ist −x0 = l also ω02 =
h0 g
`2
27
.
(Σ 12 Punkte)
12. I = 12 M R2 : Trägheitsmoment der Scheibe ohne Löcher
I ∗ : Trägheitsmoment der Scheibe mit Löcher
Ir Trägheitsmoment einer der Scheiben, die in den Löchern waren, bezüglich
der Drehachse durch das Zentrum der grossen Scheibe.
Es gilt: I = I ∗ + 3Ir
wobei mit Steinerschen Satz: Ir = 21 mr2 +ma2 Trägheitsmoment einer kleinen
Kreisscheibe mit der Masse m, Radius r im Abstand a von z
M Masse der Scheibe ohne Löcher
ρπr2 h
r 2
M , h=Dicke der Scheibe
m = ρπR
2h M =
R
Ir = M
r 2
R
1
2
r 2 + a2
h
2 2 2
I ∗ = I−3Ir = 12 M R2 −3M Rr 2 12 r2 + a2 = 21 M R2 · 1 − 6 rRa4 1 +
i
h 2
4
r2 a2 + r2
R2
3 2r2 a2 +r4
R
M 2 − 3 R2
= M 2 − 2 R2
1
2
r 2
a
i
=
(Σ 8 Punkte)
13. Fc = 2m (~v × ω
~)
~v in Richtung Erdmittelpunkt
θ ist die geographische Breite
→
Fc = 2mvω cos θ in Ostrichtung
Freier Fall vz = gt
ac = 2gtω cos θ
⇒ Zweimal integrieren ergibt
1
x = ω cos θgt3
3
Durchmesser des Schachts d = 2x
2
d = ω cos θgt3
3
Fallstrecke und Fallzeit
r
2
d = ω cos θg
3
19.04.2008 Klausur
r
t=
2s
g
3
s
2s
g
27
=
4 2
ω cos2 θg 2
9
c 2008
2s
g
3
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Klausur Name:
Matrikelnummer
r
s=
Mit ω =
2π
24∗3600s
· 10−5 1s
3
28
9
d2 g
32 ω 2 cos2 θ
= 7.2722 · 10−5 1s (mit 24 h gerechnet, eigentlich aber ω =
für einen Sternentag von 23h56')
s = 359m am 48ten Breitengrad
s = 273m am Äquator
7,292462
(Σ 12 Punkte)
14.
~
dL
~ ×L
~ = T~
=Ω
dt
Ω = ϕ̊ =
T
L
L = Iω = mr2 ω
`
T = · mg
2
ϕ̇ =
ellg
`mg
= 2 =Ω
2
2mr ω
2r ω
0,16m · 9,81 sm2
1
Ω=
1 = 0,981
2
2
s
2 · 0,4 m · 5 s
(Σ 8 Punkte)
15.
a) Austrittgeschwindigkeit des Wassers bei h: (aus Energieerhaltung)
p
m
2 · g (H − h) = 5,6
s
q
Fallzeit von h bis P : t = 2hg = 0,286s
q
p
p
→ Entfernung vom Gefäss s = v·t = 2 · g (H − h)· 2h
4 · h (H − h)
=
g
v=
s(h1 ) = 1,6m
b) Aus der Formel s (h) =
(Symmetrie)
p
4h (H − h) erkennt man die Höhe h2 = 1,6m
(Σ 8 Punkte)
19.04.2008 Klausur
28
c 2008
Ulm University, Othmar Marti
Klausur Name:
Matrikelnummer
29
16. Bernoulli: 12 ρv 2 + p = const.
voben = 1.1vunten
2
2
⇒Druckdierenz ∆p = 21 ρ (voben
− vunten
) = 21 ρ · 0,21v 2
2
Ausserdem ∆p =
m·g
A
=
1000kg· 9,81m
s2
10m2
= 981P a
⇒ 21 ρ · 0,21 v 2 = 981P a ⇒ v = 84,8 ms
bei ρ = 1,3 mkg3
(Σ 8 Punkte)
19.04.2008 Klausur
29
c 2008
Ulm University, Othmar Marti