Geraden in der Ebene und die Zerlegung von Graphen

Seminararbeit im Seminar zu Reiner Mathematik
Geraden in der Ebene und die Zerlegung
von Graphen
Johanna Mayr
20.11.2013
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung
1.1 Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Graphentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
5
2 Geraden in der Ebene
2.1 Der Satz von Sylvester-Gallai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Folgerung aus dem Satz von Sylvester-Gallai . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Verallgemeinerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7
8
9
3 Die
3.1
3.2
3.3
Zerlegung von Graphen
10
Die Folgerung für Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Zerlegung von Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Zerlegung in vollständig bipartite Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
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1 Einführung
Diese Seminararbeit beschäftigt sich mit dem Satz von Sylvester-Gallai für Geraden in
der Ebene, und Folgerungen daraus, sowohl für Geraden als auch für Graphen und in
einer Verallgemeinerung.
Im Folgenden wird ein Überblick über die Axiome der Geometrie und über die verwendeten Begriffe aus der Graphentheorie gegeben, bevor die Sätze und ihre Beweise dargelegt
werden.
Als inhaltliche Grundlagen für die graphentheoretische Einführung und die Sätze mitsamt Beweisen habe ich das Kapitel 10 Geraden in der Ebene und die Zerlegung von
”
Graphen“ aus dem BUCH der Beweise“ von Martin Aigner und Günter M. Zieg”
ler (Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2010, 3. Auflage) verwendet, die geometrische
Einführung beruht auf David Hilberts Grundlagen der Geometrie“ (B. G. Teubner,
”
Stuttgart, 11. Auflage, 1972).
1.1 Geometrie
David Hilbert hat in seinen Grundlagen der Geometrie“ fünf verschiedene Gruppen von
”
Axiomen definiert: die Axiome der Verknüpfung oder Inzidenzaxiome, die der Anordnung, der Kongruenz, der Parallelen und der Stetigkeit.
Da sich diese Seminararbeit mit den Elementen der ebenen Geometrie beschäftigt, werden aber nur die für Punkte und Geraden relevanten Axiome erwähnt.
(I) Inzidenzaxiome
(i) Zu zwei Punkten A und B gibt es immer eine Gerade, die mit jedem der
beiden Punkte zusammengehört.
(ii) Zu zwei Punkten A, B gibt es nicht mehr als eine Gerade, die mit jedem der
beiden Punkte zusammengehört.
(iii) Auf einer Gerade gibt es immer mindestens zwei Punkte. Es gibt wenigstens
drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen.
(II) Axiome der Anordnung
(i) Wenn B zwischen den Punkten A und C liegt, so sind A, B, C drei verschiedene Punkte einer Geraden und B liegt auch zwischen C und A.
(ii) Zu zwei Punkten A und C gibt es stets wenigstens einen Punkt B auf der
Geraden AC, sodass B zwischen A und C liegt.
(iii) Unter 3 beliebigen Punkten einer Geraden gibt es nicht mehr als einen, der
zwischen den beiden anderen liegt.
(III) Axiome der Kongruenz
3
(i) Wenn A, B zwei Punkte auf einer Geraden g und ferner A0 ein Punkt auf
einer beliebigen Geraden g 0 ist, so kann man auf einer gegebenen Seite der
Geraden g 0 von A0 stets einen Punkt B 0 finden, sodass die Strecke AB mit
der Strecke A0 B 0 kongruent ist, also AB ≡ A0 B 0 .
(ii) Wenn zwei Strecken zu einer dritten Strecke kongruent sind, sind sie auch
untereinander kongruent.
(iii) Es seien AB und BC zwei Strecken ohne gemeinsame Punkte (mit Ausnahme
von B) auf einer Geraden und A0 B 0 und B 0 C 0 zwei Strecken auf derselben
oder einer anderen Gerade. Wenn gilt AB ≡ A0 B 0 und BC ≡ B 0 C 0 , dann
gilt auch AC ≡ A0 C 0 .
(iv) Jeder Winkel kann in einer gegebenen Ebene nach einer gegebenen Seite an
einen gegebenen Halbstrahl auf eine eindeutig bestimmte Weise angetragen
werden.
(v) Wenn für zwei Dreiecke ABC und A0 B 0 C 0 gelten, dass AB ≡ A0 B 0 sowie AC ≡ A0 C 0 und ](BAC) ≡ ](B 0 A0 C 0 ), dann gilt auch ](ABC) ≡
](A0 B 0 C 0 ).
(IV) Euklidisches Axiom: Sei g eine beliebige Gerade, A ein Punkt außerhalb von g,
dann gibt es in der durch A und g beschriebenen Ebene höchstens eine Gerade,
die durch A läuft und g nicht schneidet.
⇔ Wenn 2 Geraden g, h in einer Ebene eine 3. Gerade f derselben Ebene nicht
treffen, so treffen sie auch einander nicht.
(V) Axiome der Stetigkeit
(i) Axiom des Messens (oder Archimedisches Axiom): Sind AB und CD irgendwelche Strecken, so gibt es eine Anzahl n, sodass das n-malige HintereinanderAbtragen der Strecke CD von A aus auf den durch B gehenden Halbstrahl
über den Punkt B hinausführt.
(ii) Axiom der linearen Vollständigkeit: Das System der Punkte einer Geraden
mit seinen Anordnungs- und Kongruenzbeziehungen ist keiner solchen Erweiterung fähig, bei welcher die zwischen den vorigen Elementen bestehenden
Beziehungen sowie auch die aus den Axiomen I-III folgenden Grundeigenschaften der linearen Anordnung und Kongruenz sowie das Axiom des Messens erhalten bleiben.
Im Rahmen der Axiome werden einige Begriffe definiert.
(i) Eine Strecke AB oder BA ist das System der beiden Punkte A, B, die auf einer
Geraden g liegen. Die Punkte zwischen A und B liegen innerhalb der Strecke AB,
die Punkte A, B werden Endpunkte der Strecke genannt.
(ii) Ein Winkel ist ein System von zwei Halbstrahlen h, k in einer Ebene, die von
einem Punkt O ausgehen und zwei verschiedenen Geraden angehören; man schreibt
hierbei ](h, k). Die Halbstrahlen h, k nennt man Schenkel des Winkels, der Punkt
O wird Scheitel des Winkels genannt.
(iii) Zwei Winkel, die den Scheitel und einen Schenkel gemeinsam haben und deren
nicht gemeinsame Schenkel eine gerade Linie bilden, heißen Nebenwinkel. Ein Winkel, welcher zu einem seiner Nebenwinkel kongruent ist, heißt rechter Winkel.
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Aus den Axiomen folgen einige Sätze; manche, die auf den folgenden Seiten wichtig
sein könnten, werden nun (ohne Beweis) aufgezählt.
(i) 2 Geraden einer Ebene haben einen oder keinen Punkt gemeinsam.
(ii) Zu 2 Punkten A, C existiert mindestens ein Punkt B auf der Strecke AC, sodass
B zwischen A und C liegt.
(iii) Unter 3 beliebigen Punkten liegt immer einer zwischen den anderen beiden.
(iv) Sind n Punkt einer Geraden gegeben, so kann man diese immer mit P1 , P2 , P2 , . . . , Pn
durchnummerieren, sodass der mit P2 bezeichnete Punkt immer zwischen P1 auf
der einen Seite und P3 , P4 , . . . , Pn auf der anderen Seite liegt, weiters der Punkt P3
immer zwischen P1 , P2 einerseits und P4 , . . . , Pn andererseits liegt, und so weiter.
(v) Zwischen zwei Punkten einer Geraden gibt es unendlich viele Punkte.
(vi) Das Abtragen von Strecken und Winkeln ist eindeutig.
(vii) In jedem Dreieck liegt dem größeren Winkel die größere Seite gegenüber.
(viii) Die Summe der Winkel eines Dreiecks ergeben zwei rechte Winkel.
Sei l eine Gerade in einer Ebene, die durch 0 und durch einen Punkt P mit den Koordinaten (a, b) gehe. Wenn (x, y) die Koordinaten eines beliebigen Punktes Q von l sind,
dann kann die Gleichung der Geraden dargestellt werden als: bx − ay = 0 Wenn l0 eine
zu l parallele Gerade ist, die auf der x-Achse die Strecke c abschneidet, dann lautet die
Gleichung bx − ay − bc = 0 Jede Gerade in einer Ebene kann also durch eine lineare
Gleichung in den Koordinaten x, y dargestellt werden; umgekehrt stellt jede solche lineare Gleichung eine Gerade dar, wobei die Koeffizienten derselben in der betreffenden
Geometrie vorkommende Strecken sind.
Im R2 gilt folglich: Eine Teilmenge L ⊆ R2 ist eine Gerade, wenn ∃a1 , a2 , b ∈ R2 und
(a1 , a2 ) 6= (0, 0), sodass L = {(x1 , x2 ) ∈ R2 : a1 x1 + a2 x2 = b}
Wenn auf den folgenden Seiten die Notation P ∈ l verwendet wird, bedeutet dies, dass
der Punkt P auf der Gerade l liegt.
Wenn vom Abstand zwischen einem Punkt P und einer Geraden l die Rede ist, ist der
Abstand zwischen dem Punkt P und dem Punkt Q auf der Geraden gemeint, wobei der
Punkt Q der Schnittpunkt von g mit der Geraden ist, die durch P und normal auf g
steht. Die Notation d(P, l) bezeichnet diesen Abstand.
1.2 Graphentheorie
Nun werden Begriffe definiert, die weiter hinten verwendet werden und womöglich nicht
allen LeserInnen bekannt sind.
Ein Graph G ist ein Paar G = (V, E), wobei V die Menge der Ecken bzw. Knoten und
E die Menge der Kanten ist, wobei ∀e ∈ E gilt, dass e u, v ∈ V verbindet.
G 0 = (V 0 , E 0 ) ist Untergraph von G = (V, E), wenn V 0 ⊆ V und E 0 ⊆ E und wenn
∀e ∈ E, dass e dieselben Ecken in G0 wie in G verbindet.
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Ein vollständiger Graph ist ein Graph, dessen Knoten alle paarweise miteinander verbunden sind.
Kn ist der vollständige Graph mit n Ecken und n2 Kanten.
Eine Clique ist ein vollständiger Untergraph.
Eine unabhängige Menge in G ist eine Menge von Ecken, in der keine Ecke mit einer
anderen Ecke verbunden ist, sie bildet also einen Untergraph ohne Kanten.
Ein Graph G = (V,E) heißt bipartit, wenn seine Eckenmenge V = V1 ∪ V2 ist, wobei V1
und V2 unabhängige Eckenmengen sind.
Kn+m ist der vollständig bipartite Graph mit n + m Ecken, wobei n Ecken in V1 und m
Ecken in V2 liegen.
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2 Geraden in der Ebene
Hier werden Sätze über Geraden in der Ebene formuliert und bewiesen.
2.1 Der Satz von Sylvester-Gallai
Eine erste Version dieses Satzes wurde 1893 von James Joseph Sylvester publiziert, allerdings ohne korrektem Beweis. Dieser wurde erst später von Tibor Gallai gefunden.
Der folgende Beweis stammt von L. M. Kelley.
Satz 1 (Sylvester-Gallai). Für jede Anordnung von endlich vielen Punkten in der Ebene,
die nicht alle auf einer Geraden liegen, gibt es eine Gerade, die genau 2 Punkte enthält.
Beweis. Sei P die gegebene Menge der Punkte, sei L die Menge aller Geraden, die mind.
2 der Punkte aus P enthalten.
Bilde Paare (P, l) mit P ∈ P und l ∈ L, aber P 6∈ l.
Wähle das Paar (P0 , l0 ) aus, wobei P0 kleinsten Abstand zu l0 hat, d.h. von allen
Abständen zwischen allen Punkten und allen Geraden ist der Abstand zwischen P0 und
l0 der kleinste.
Annahme: l0 enthält mind. 3 Punkte P1 , P2 , P3 ∈ P.
Dann liegen zwei auf derselben Seite von Q, das heißt, entweder zwei links oder zwei
rechts von Q. Dabei liegt oBdA P1 zwischen Q und P2 , dabei können P1 und Q auch
zusammenfallen. Da zwei Punkte eine Gerade bestimmen, bestimmen P0 und P2 die
Gerade l1 .
Die Zeichung zeigt die Position der Geraden und Punkte zueinander. Dabei sieht man:
a0 = d(l1 , P1 ) < d(l0 , P0 ) = a, was aber der Auswahl von P0 widerspricht.
Somit ist der Beweis im Buch der Beweise“ fertig. Aber man kann den Widerspruch
”
auch ohne Zeichnung beweisen:
Wenn man die Strecken d0 und d verlängert, treffen sie sich in einem Punkt S außerhalb
des Dreiecks. Die Punkte P0 , S und Q0 (der Fußpunkt von Q auf der Geraden l1 ) bilden
ein Dreieck, die Punkte Q, P1 und S bilden ein weiteres, kleineres Dreieck. Dabei benenne
ich folgende Strecken: d = P0 S, d0 = Q0 S, c = QS, c0 = P1 S.
Es gilt: In einem Dreieck liegt dem größeren Winkel die größere Seite gegenüber.
Wenn Q = P1 gilt, dann treffen sich die Verlängerungen d und d0 im Punkt Q und es
gibt nur ein Dreieck. Da d dem größeren (rechten) Winkel gegenüberliegt, gilt d > d0 .
Ansonsten gibt es in dem großen und dem kleinen Dreieck je einen rechten Winkel,
diese sind in ihrem Dreieck jeweils die größten. Im größeren Dreieck liegt dem rechten
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Winkel die Seite a gegenüber, im kleineren Dreieck liegt dem rechten Winkel die Seite
c0 gegenüber, somit sind diese beiden Seiten größer als die anderen Seiten des jeweiligen
Dreiecks.
Somit folgt: d > d0 und c0 > c. Dann gilt: a = d − c > d − c0 > d0 − c0 = a0 .
Und somit steht hier nun wieder ein Widerspruch zur ursprünglichen Annahme.
Somit muss es eine Gerade geben, die genau 2 Punkte enthält.
Dieser Beweis verwendet nicht nur die Axiome der Geometrie, sondern auch metrische
Eigenschaften. Man kann den Satz aber auch ohne die Benutzung derselben beweisen,
wie es zum Beispiel Coxeter mithilfe der Eulerschen Polyederformel getan hat, aber das
ist Inhalt einer anderen Seminararbeit.
2.2 Folgerung aus dem Satz von Sylvester-Gallai
Die folgende Folgerung geht zurück auf Paul Erdös und Nicolaas G. de Bruijn.
Satz 2 (Folgerung). Sei P eine Menge von n ≥ 3 Punkten in der Ebene, die nicht alle
auf einer Geraden liegen. Dann besteht die Menge L der Geraden, die durch mind. 2
Punkte aus P gehen, aus mind. n Geraden.
Beweis. Der Beweis wird mittels Induktion geführt. Für |P| = 3 ist die Richtigkeit klar.
Sei |P| = n + 1. Dann existiert dank dem Satz von Sylvester-Gallai eine Gerade l0 ∈ L,
die genau 2 Punkte P, Q ∈ P enthält.
Man betrachte P 0 = P \ {Q}. Sei L0 die Menge der Geraden, die durch P 0 bestimmt
werden. Da Q und P die einzigen Punkte aus P sind, die auf l0 liegen, ist l0 nicht mehr
in L0 enthalten und somit folgt |L0 | < |L|.
Wenn die Punkte von P 0 nicht alle auf einer Geraden liegen, greift die Induktionsvoraussetzung und |L0 | ≥ n und somit folgt |L| ≥ n + 1.
Wenn die n Punkte von P 0 doch alle auf einer Geraden liegen, gibt es n Geraden zwischen
den Elementen aus P 0 und Q und somit wieder mind. n + 1 Geraden.
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2.3 Verallgemeinerung
Die Folgerung kann auch auf ein allgemeines System von Mengen und Elementen verallgemeinert werden.
Satz 3 (Verallgemeinerung). Sei X eine endliche Menge von n ≥ 3 Elementen und
seien A1 , . . . , Am echte Teilmengen von X, sodass jedes Paar von Elementen in X in
genau einer der Mengen Ai enthalten ist. Dann gilt m ≥ n.
Beweis. Sei x ∈ X beliebig, rx die Anzahl der Mengen Ai , die x enthalten. Dann folgt
aus den Voraussetzungen, dass 2 ≤ rx < m.
Dass 2 ≤ rx ist klar, aber wieso gilt rx < m? Angenommen, rx = m, das heißt, x liegt
in allen Teilmengen Ai . Dann gibt es ein Paar xi , xj , sodass das Paar x, xi in der Menge
Ai liegt, aber, da Ai eine echte Teilmenge von X ist, xj 6∈ Ai , somit liegt das Paar x, xj
in einer anderen Menge Aj . Wo liegt aber das Paar xi , xj ? Es kann nicht in Ai liegen,
aber auch nicht in Aj , da ansonsten das Paar x, xi in zwei Mengen enthalten wäre. Aber
auch in keinem anderen Ak kann das Paar liegen, da ja in allen Mengen x enthalten ist
und ansonsten ein Paar in mind. 2 Mengen enthalten wäre. Somit muss rx < m sein.
Wenn x 6∈ Ai , so folgt rx ≥ |Ai |, weil x sich mit den |Ai | Elementen, die in Ai enthalten
sind, verpartnern“ kann.
”
Annahme: m < n
Dann gilt: m · |Ai | < n · rx ⇔ m · n + m · |Ai | < n · rx + m · n ⇔ m(n − |Ai |) > n(m − rx )
P 1
P
P
P P
P 1
1
1
1=
n =
m =1
n·(m−rx ) >
m·(n−|Ai |) =
x∈X
x∈X Ai :x6∈Ai
Ai x:x6∈Ai
Ai
Dies ist aber ein Widerspruch.
Für diesen Satz gibt es auch einen anderen Beweis, der lineare Algebra verwendet.
Dabei werden Inzidenzmatrizen und positive Definitheit verwendet.
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3 Die Zerlegung von Graphen
3.1 Die Folgerung für Graphen
Die Folgerung aus dem Satz von Sylvester-Gallai aus dem vorigen Kapitel kann man
auch für Graphen beweisen.
Satz 4. Wenn der vollständige Graph Kn so in m kleinere Cliquen zerlegt wird, dass
jede Kante in genau einer der Cliquen liegt, dann ist m ≥ n.
Beweis. Man identifiziere X mit der Eckenmenge von Kn und die Mengen Ai mit den
Eckenmengen der Cliquen. Mit dem vorigen Satz folgt die Behauptung.
3.2 Zerlegung von Graphen
Mit dem vorigen Satz weiß man, dass es möglich ist, den vollständigen Graphen Kn in
m kleinere Cliquen zu zerlegen, sodass jede Kante in genau einer der Cliquen liegt.
Mit folgendem Algorithmus kann man den Graphen Kn in n − 1 vollständig bipartite
Graphen zerlegen:
(i) Die Ecken werden mit 1, . . . , n durchnummiert.
(ii) Alle Kanten, die 1 mit einer der anderen n − 1 Ecken werden aus dem Graphen
herausgenommen“, sie bilden den Graphen Hn−1 .
”
(iii) Alle Kanten, die 2 mit den Ecken 3, . . . , n verbinden, werden herausgenommen“
”
und bilden den Graphen Hn−2 .
..
.
(iv) Alle Kanten, die k mit den Ecken k+1, . . . , n verbinden, werden herausgenommen“
”
und bilden den Graphen Hn−k . Die so entstehenden Graphen sind alle bipartit, die
eine Eckenmenge enthält nur den Punkt k, die anderen Eckenmenge enthält die
restlichen Punkte k + 1, . . . , n.
(v) und so weiter, bis der Graph in n − 1 vollständig bipartite Graphen zerlegt wurde.
3.3 Zerlegung in vollständig bipartite Graphen
Nach dem obigen Algorithmus fragt man sich vielleicht, ob es nicht möglich wäre, eine
bessere“ Zerlegung zu finden, also den Graphen in weniger vollständig bipartite Graphen
”
zu zerlegen. Der folgende Satz beantwortet diese Frage. Der Beweis stammt von Helge
Tverberg.
Satz 5. Wenn man den Graphen Kn in vollständig bipartite Untergraphen H1 , . . . , Hm
zerlegt, sodass jede Kante in genau einem Hi liegt, dann ist m ≥ n − 1.
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Beweis. Man bezeichne die Ecken von Kn mit 1, . . . , n, seien Li , Ri die Eckenmengen
des vollständig bipartiten Graphen Hi , mit i = 1, . . . , n. Jeder Ecke i wird eine Variable
xi zugeordnet.
Weil H1 , . . . , Hm eine Zerlegung des Kn ist, gilt:
P
(xi · xj ) =
i<j
m
P
(
P
xa ·
k=1 a∈Lk
P
xb )
b∈Rk
Annahme: m < n − 1
Man betrachte das Gleichungssystem
n
X
xi = 0
i=1
X
xa = 0 für k = 1, . . . , m
a∈Lk
Da die Anzahl der Variablen = n > m + 1 = Anzahl der Gleichungen, existiert eine
nichttriviale Lösung c1 , . . . , cn .
Mit der obigen Gleichung gilt:
P
ci cj = 0
i<j
Daraus folgt:
0 = (c1 + . . . + cn )2 =
X
n
n
P
P
c2i + 2 ·
ci cj =
c2i > 0.
i=1
i<j
i=1
| {z }
=0
Dies führt aber zu einem Widerspruch.
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