Blatt 03 - 5. Physikalisches Institut
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Fortgeschrittene Atomphysik I WS 2013/2014 Prof. Dr. Tilman Pfau 5. Physikalisches Institut Übungsblatt 3 Besprechung: 20./21. November 2013 Aufgabe 1: Wasserstoff im elektrischen Feld 35(2,3,2,4,6,4,6,4,4) Punkte (Stark Effekt) In dieser Aufgabe soll das Wasserstoffatom in einem homogenen elektrischen Feld E = Ee z behandelt werden. Wir betrachten hier das Wasserstoffatom ohne Fein- und Hyperfein-Struktur, also die p2 Ze2 aus der Schrödinger-Theorie bekannte Lösung zum Hamilton-Operator H0 = 2m − 4π , bei der 0r die Eigenzustände |ψH0 i und die Eigenenergien En durch die Quantenzahlen n, l, m bestimmt sind. Das elektrische Feld soll zuerst als kleine Störung H1 gegenüber dem ungestörten System betrachtet werden. Im späteren Aufgabenteil soll dann die nicht-störungstheoretische Behandlung des Gesamtsystems HGes = H0 + H1 durchgeführt werden. a) Geben Sie den Hamiltonoperator H1 für die Störung durch das elektrische Feld an und zeigen Sie, dass [H1 , Lz ] = 0 gilt. b) Da |ψH0 i durch die Quantenzahlen n, l und ml beschrieben wird, führen wir als neue Schreibweise der Basiszustände |ψH0 i = |nlml i ein. Zeigen Sie, dass 00 n l ml0 |H1 | nlml 6= 0 nur für ml0 = ml und l0 = l ± 1 gelten kann. c) Geben Sie die normierten Wellenfunktionen |nlml i für den Grundzustand n = 1 und die 4 angeregten Zustände zu n = 2 an. d) Berechnen Sie für den n = 1 Zustand die durch H1 verursachte Energiekorrektur in erster Ordnung Störungstheorie. e) Für n = 2 sind die ungestörten Zustände entartet. Bestimmen Sie die für die Störungstheorie richtigen Zustände nullter Ordnung und berechnen Sie dann die Energiekorrekturen in erster Ordnung. f) Berechnen Sie zusätzlich die Energiekorrektur zweiter Ordnung für den Zustand |100i. Hinweis: Berücksichtigen Sie in der Korrektur nur den energetisch am nächsten liegenden Zustand. Im Folgenden soll nun der Fall betrachtet werden, dass das elektrische Feld nicht mehr lediglich als Störung angesehen werden kann. Es sollen wiederum nur die Zustände zu n = 1 und n = 2 betrachtet werden. In der auf diese Zustände beschränkten Basis lautet der Gesamthamiltonoperator HGes = H0 + H1 = 1 h100| HGes |100i h100| HGes |200i h100| HGes |210i h100| HGes |211i h100| HGes |21 − 1i h200| HGes |100i h200| HGes |200i h200| HGes |210i h200| HGes |211i h200| HGes |21 − 1i h210| HGes |100i h210| HGes |200i h210| HGes |210i h210| HGes |211i h210| HGes |21 − 1i h211| HGes |100i h211| HGes |200i h211| HGes |210i h211| HGes |211i h211| HGes |21 − 1i h21 − 1| HGes |100i h21 − 1| HGes |200i h21 − 1| HGes |210i h21 − 1| HGes |211i h21 − 1| HGes |21 − 1i g) Bestimmen Sie die Eigenenergien des Systems für den Fall, dass das elektrische Feld weiterhin in z-Richtung angelegt ist. Tragen Sie die Eigenenergien gegen die E-Feldstärke auf. Hinweis: Die Verwendung eines Mathematikprogrammes ist erlaubt und erwünscht. h) Das elektrische Feld sei nun in x-Richtung angelegt (E = Ee x ), wir wählen aber weiterhin die Quantisierungsachse entlang der z-Richtung. Bestimmen Sie die Eigenenergien und tragen Sie diese gegen die E-Feldstärke auf. i) Das elektrische Feld sei wiederum in z-Richtung angelegt, jedoch seien nun die Basiszustände um 90° gedreht. Für die gedrehten Zustände gilt hierbei: 0 Y00 → Y00 0 cos2 θ √1 sin θ √1 sin2 2θ 0.5 Y1−1 0.5 Y1−1 Y1−1 2 2 2 θ=90° 1 0 = − √1 sin θ √1 sin θ √1 Y10 Y10 cos θ 0 Y10 = − √2 2 2 2 0 Y11 Y11 Y11 0.5 − √12 0.5 − √12 sin θ cos2 2θ sin2 2θ Bestimmen Sie die Eigenenergien des in der Basis der gedrehten Zustände dargestellten Gesamthamiltonoperators und tragen Sie diese gegen die Feldstärke auf. Aufgabe 2: Lebensdauer des 2S Zustands von Was20(4,4,6,6) Punkte serstoff im elektrischen Feld In dieser Aufgabe betrachten wir das Wasserstoffatom inklusive Feinstruktur und Lamb-Shift im externen E-Feld. Nach Berücksichtigung dieser Effekte liegt das 22 S1/2 -Niveau des Wasserstoffs um δLamb = 1.058 GHz höher als das 22 P1/2 -Niveau. Ohne äußeres elektrisches Feld haben die 22 S1/2 -Zustände eine natürliche Lebensdauer von 1/8 s und zerfallen durch einen dipol-verbotenen 2-Photonen-Prozess in das Grundniveau 12 S1/2 . Die 22 P1/2 -Zustände hingegen haben eine sehr kurze Lebensdauer, weil sie über ein einzelnes Photon in das Grundniveau zerfallen können. Das Einschalten eines elektrischen Feldes E verkürzt die Lebensdauer der 22 S1/2 Zustände, weil ihnen die 22 P1/2 -Zustände beigemischt werden. Diese Änderung der Lebensdauer als Funktion der externen Feldstärke soll im Folgenden berechnet werden. a) Die Lebensdauer τ eines angeregten Zustands |n0 , l0 , ml0 i in der ungekoppelten n, l, ml -Basis ist durch den Einstein-A-Koeffizient In der Dipolnäherung lautet dieser D bestimmt. E2 0 0 ω3 −1 τ = Γ = A = 3πε0 ~c3 n, l, ml d̂ n , l , ml0 . Berechnen Sie hiermit die Lebensdauer der angeregten Zustände |n, l, ml i = |2, 0, 0i und |2, 1, 0i für Zerfälle nach |1, 0, 0i. Benutzen Sie als Übergangskreisfrequenz ω = 1.54 · 1016 s− 1. Hinweis 1 : Der Dipoloperator d̂ ist durch d̂ = e · r̂ gegeben. Hinweis 2 : Es ist sinnvoll, die Dipolmatrixelemente in der n, l, ml -Basis zu berechnen, da die Wellenfunktionen im Ortsraum in dieser Basis bekannt sind. b) Stellen Sie die Feinstrukturzustände der 22 S1/2 und 22 P1/2 Niveaus in der n, l, ml , ms -Basis dar, um die Ergebnisse aus dem vorherigen Aufgabenteil anwenden zu können. c) Durch ein externes elektrisches Feld E = Ee z wird dem 22 S1/2 Niveau ein Anteil des 22 P1/2 Niveaus beigemischt. Benutzen Sie die nicht-entartete Störungstheorie erster Ordnung, um diese 2 Beimischung für die beiden Zustände 22 S1/2 , mJ = ±1/2 zu berechnen. Die Störung ist dabei durch HE-Feld = −d̂ · E = E · e · r̂ · cos θ gegeben. Warum dürfen Sie hier die nichtentartete Störungstheorie verwenden? d) Durch diese Beimischung wird der Zerfall der 22 S1/2 Zustände in die 12 S1/2 Grundzustände beschleunigt. Berechnen Sie die neue Lebensdauer der 22 S1/2 , mJ = ±1/2 Zustände als Funktion der E-Feldstärke. 3
