¨Ubungen zur Physik II

Universität Regensburg
Naturwissenschaftliche Fakultät II – Physik
Prof. Dr. Max Maier
Florian Klappenberger
D-93053 Regensburg
Universitätsstrasse 31
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Übungen zur Physik II
SS 2004
Blatt 01
Aufgabe 1: Elektrodynamik und Gravitation
1
· |qr1q22 | für die Kraft, die zwei geladene Teilchen
Das Coulomb-Gesetz |FC | = 4π
0
aufeinander ausüben, hat formal die gleiche Struktur wie das Gravitationsgesetz
2
|FG | = γ · m1rm
. Worin liegt der qualitative Unterschied beider Kräfte?
2
a) Berechnen Sie die elektrostatische Kraft und die Gravitationskraft, die zwei
Elektronen im Abstand 1 cm aufeinander ausüben.
b) Welche Masse müssten die Elektronen haben, damit die Gravitationskraft
zwischen ihnen betragsmäßig gleich der elektrostatischen Abstoßung wäre?
Zahlenwerte:
1
me = 9,1 · 10−31 kg; 4π
= 9 · 109 Nm2 C−2 ; e = −1,6022 · 10−19 C;
0
γ = 6,67 · 10−11 m3 kg−1 s−2 .
Aufgabe 2: Elektrische Feldstärke
Gegeben sind drei Punktladungen q1 = 2 µC, q2 = 1 µC und q3 = −4 µC an den
Orten P1 = (3, 1), P2 = (-1, 2) und P3 = (1, 0).
a) Konstruieren Sie den Feldstärkevektor E im Punkt P4 = (2, 3) in einer
Skizze!
b) Welche Größe und Richtung besitzt das elektrische Feld E im Punkt P4 =
(2, 3)?
Alle Orte sind in m angegeben.
Aufgabe 3: Vektorrechnung
Gegeben sind folgende drei Vektoren in kartesischen Koordinaten: a = (4, 3, 0), b
= (0, 4, 1) und c = (1, 0, 0).
1
a) Berechnen Sie folgende Ausdrücke:
a+b
a = |a|
a·b
a×b
(a × b) · c
a · (a × b)
a · (a + b)
b) Bestimmen Sie ea , den Einheitsvektor in Richtung a sowie γ, den Winkel
zwischen a und b.
Hausaufgabe : Drei Punktladungen
a) Welche Kraft wirkt auf jede der drei Ladungen in der oben gezeichneten
Ladungsanordnung? Unter welchen Bedingungen verschwindet die Kraft auf
eine der Ladungen q1 bzw. q2 ? Wie hängt diese Bedingung vom Abstand d
zwischen den Ladungen ab?
b) Wie groß ist die Arbeit, die man aufwenden muss, um die Ladung q2 unendlich weit von den beiden übrigen Ladungen zu entfernen?
2
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Übungen zur Physik II
SS 2004 Blatt 2
Aufgabe 1: Ladung eines Rings
Ein Ring mit Radius R trage eine
homogene positive Linienladungsdichte λ.
Betrachten Sie analog zu nebenstehender
Abbildung einen beliebigen Punkt P in der
Ringebene innerhalb des Rings.
a) Wie ist das Verhältnis der Ladungen q1 und q2 der gekennzeichneten (kleinen)
Ringabschnitte mit den Bogenlängen s1 und s2? Welche der beiden Ladungen
erzeugt ein stärkeres elektrisches Feld im Punkt P?
b) In welche Richtungen zeigen die beiden Felder im Punkt P? In welche Richtung
weist dort das gesamte elektrische Feld?
c) Beantworten Sie nun dieselben Fragen für den Fall, dass der Punkt P innerhalb
einer Kugelschale mit homogener positiver Flächenladungsdichte σ liegt und s1
und s2 (kleine) Flächenelemente sind.
Aufgabe 2: Verschieben einer Punktladung
Die Punktladung q2 befinde sich am Ort 1 (0,y1) im Feld der
Punktladung q1 am Ort (0,0). Die Ladung q2 werde einmal
entlang der Strecke k1 und einmal längs des Halbkreisbogens
k2 zum Ort 2 (0,y2) verschoben. Gesucht ist jeweils der Betrag
r r
r r
r
r
der geleisteten Arbeit q 2 ∫ E (r ) ⋅ dr . Das Integral ∫ E (r ) ⋅ dr
k
k
stellt ein Kurvenintegral dar, das man löst, indem man die
Kurve k in Parameterdarstellung angibt und über den
Parameter t integriert. Die Gleichung eines Kreises mit dem
Mittelpunkt M = (0,m) und dem Radius R in Parameterform
lautet:
x = R cos(t), y = m + R sin(t);
a) Zeigen Sie, dass diese Gleichungen einen Kreis beschreiben und bestimmen Sie R und m
für den Halbkreis k2.
b) Bestimmen Sie das Kurvenintegral über den Weg k2. Drücken Sie dazu dx und dy durch
dt aus und geben Sie den Wert der oberen und unteren Grenze t1 und t2 an.
c) Zeigen Sie durch Rechnung, dass die Arbeit A unabhängig von der Wahl des Weges ist.
Hausaufgabe: Elektrisches Dipolmoment
a) Skizzieren Sie die Dipolmomente der folgenden vier Ladungsverteilungen und geben
Sie jeweils den Betrag und die Richtung des gesamten Dipolmoments an.
b) Wie groß ist in einem homogenen elektrischen Feld die gesamte Kraft und das
gesamte Drehmoment auf die Ladungsverteilung IV?
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Markus Limmer
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Übungen zur Physik II
SS 2004
Blatt 5
Aufgabe 1: Ein Isolator wird fallengelassen
Ein Plattenkondensator (mit Platten, die b = 20cm breit und L = 50cm lang sind,
und im Abstand d = 1mm gehalten werden) ist senkrecht – so wie in der Abbildung
gezeigt – aufgestellt. Die Spannung U zwischen beiden Platten wird konstant gehalten.
Nun wird ein Isolator von unten in den Kondensator hineingehalten. Dieser besitzt eine
Masse von m = 200g und hat eine Dielektrizitätskonstante von = 10. Wie groß muß
für x = 15cm die Spannung gewählt werden, damit der Isolator nicht zu Boden fällt?
Die Beschleunigung an der Erdoberfläche beträgt g = 9, 81ms−2 und die Dielektrizitätskonstante des Vakuums ist 0 = 8, 8544 · 10−12 N−1 m−2 C2 .
Anleitung: Berechnen Sie zunächst die Kapazität C(x) und anschließend die von der
Batterie zu- bzw. abgeführte Energie WB (x). Daraus erhält man die elektrische Kraft
B (x)
.
mittels F = − dWdx
d
b
L
x
1
Aufgabe 2: Polarisation
Ein vereinfachtes Atommodell besteht aus einer negativ geladenen Kugelschale (Gesamtladung -q) der Masse ms , die durch eine Feder mit der Federkostanten k an einen
Atomkern der Masse mk ms und der Ladung +q gebunden ist, wobei bei Abwesenheit eines elektrischen Feldes das Dipolmoment verschwindet. Zeigen Sie, dass unter
~
dem Einfluß eines räumlich konstanten elektrischen Feldes E(t)
= E~0 · cos(ωt) das
Atom ein Dipolmoment p~(t) = 0 · α(ω) · E~0 · cos(ωt) entwickelt und berechnen Sie
insbesondere die Polarisierbarkeit α(ω)! Skizzieren Sie α(ω)!
Aufgabe 3: Drehmoment und potentielle Energie bei Dipolen im E-Feld
Ein Dipol mit Dipolmoment p = 0.5e·1nm befinde sich in einem homogenen elektrischen
V
. Berechnen Sie den Betrag des Drehmoments, das der
Feld der Stärke E = 4 · 104 m
Dipol erfährt und seine potentielle Energie, falls er
a) parallel zum Feld ausgerichtet ist,
b) senkrecht zum Feld steht,
c) einen Winkel von θ = 30◦ mit dem Feld einschließt.
Hausaufgabe: Plattenkondensator mit inhomogenem Dielektrikum
Ein Plattenkondesator (Plattenfläche F, Plattenabstand d) sei ganz mit einem inhomogenen Dielektrikum gefüllt. Die Dielektrizitätskonstante läßt sich beschreiben durch
= ¯ + az.
Dabei steht die z-Achse senkrecht auf den Kondensatorplatten. Berechnen Sie die Kapazität C des Plattenkondensators.
Zahlenwerte: F=10cm2 , d=2 mm, ¯ = 5, a=5cm−1
2
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SS 2004
Blatt 6
Aufgabe 1: Kirchhoffsche Regeln
Gegeben sei das folgende Netzwerk:
R3
U2
I2
R2
U1
I1
R1
I3
Dabei ist: U1 = 3 V, U2 = 6 V, R1 = 10 Ω, R2 = 20 Ω und R3 = 15 Ω. Bestimmen
Sie die Stromstärken I1 , I2 und I3 , sowie die Spannung U3 am Widerstand R3 .
Aufgabe 2: Elektrolyse
Eine Metallkugel mit Radius R = 1 cm soll in einer Kupfervitriollösung (Cu SO4 )
verkupfert werden. Die molare Masse von Kupfer ist M = 63, 54 g, seine Dichte
beträgt ρ = 8, 93 g/cm3 .
a) Welche Elektrode muss an der Kugel angelegt werden?
b) Wieviel Kupfer wird nach dem Faradayschen Gesetz in einer Minute abgeschieden, wenn ein Strom von I = 1A fließt?
c) Wie lange muß der Galvanisierungsprozess laufen, damit eine Kupferschicht
von d = 0, 1 mm Stärke abgeschieden wird?
1
Hausaufgabe: Kombination von Widerständen
Bestimmen Sie den Gesamtwiderstand für folgende Anordnungen von Einzelwiderständen:
a)
R1
R1
R2
R2
b)
R1
R2
R3
R4
c)
35 Ω
40 Ω
20 Ω
30 Ω
50 Ω
25 Ω
25 Ω
40 Ω
20 Ω
50 Ω
45 Ω
2
45 Ω
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SS 2004
Blatt 07
Aufgabe 1: Rotierende geladene Scheibe
Eine dünne Scheibe vom Radius R aus nichtleitendem Material wird mit einer homogenen Flächenladungsdichte σ belegt. Anschließend wird sie in konstante Drehbewegung versetzt (Winkelgeschwindigkeit ω
, die Drehachse steht senkrecht zur
Scheibenebene und geht durch den Scheibenmittelpunkt).
a) Berechnen Sie das Magnetfeld B, das die Scheibe an ihrem Mittelpunkt erI
)
zeugt. (Tip: Magnetfeld im Mittelpunkt eines Kreisstromes I: B = µ0 2r
b) Wie groß ist das magnetische Dipolmoment m der Scheibe?
0 , angelegt, das mit ω
Nun wird ein Magnetfeld B
den Winkel Φ einschließt.
c) Geben Sie den Betrag des Drehmoments M an, das auf die rotierende Scheibe
ausgeübt wird.
d) Benennen Sie den Typ von Bewegung, welche die Scheibe ausführt, wenn die
Drehachse eine ”freie Achse” ist. (Begründung!)
Aufgabe 2: Glühlampe
Eine Glühlampe ist über zwei Kupferdrähte (Gesamtlänge l = 10 m ; Durchmesser
d = 0, 7 mm) mit einer Gleichspannungsquelle verbunden. Zur Zeit t = 0 wird die
Spannungsquelle eingeschaltet, so dass ein Strom von I = 1 A fließt. Die Dichte
von Kupfer beträgt ρ = 8, 92g/cm3 und die Ladungsträgerdichte n = 5 · 1028 m−3 .
Ein Kupferatom hat die Masse mCu = 105, 5 · 10−27 kg, ein Elektron hat die Masse
me = 9, 1096 · 10−31 kg.
a) Auf wie viele Kupferatome NCu kommt im Mittel ein Ladungsträger?
b) Berechnen Sie die Zeit t, nach der das erste Elektron aus der Spannungsquelle
durch den Glühfaden der Lampe fließt.
c) Welche Zeit T muss der Strom fließen, bis Me = 1 Gramm Elektronen durch
den Querschnitt des Drahtes gewandert ist?
1
Hausaufgabe: Nickelgalvanik
Ein Zylinder von D = 12 cm Durchmesser und L = 60 cm Länge soll in einem
Nickelsalzbad galvanisch mit einer d = 0, 1 mm dicken Nickelschicht überzogen
werden. Die Stromdichte soll jM = 0, 25 A/cm2 nicht übersteigen, damit die
Schicht gleichmäßig wird.
a) Welcher Maximalstrom IM ist möglich?
b) Wie groß ist das elektrochemische Äquivalent A für Nickelionen?
c) Welche Zeit t muss der Zylinder im Bad bleiben, wenn der Strom IM fließt?
Zahlenwerte:
1
,
Avogadro-Konstante NA = 6, 022 · 1023 mol
Masse eines Nickelions mN i2+ = 97, 46 · 10−27 kg,
Elementarladung e = 1, 6022 · 10−19 C,
Dichte von Nickel ρN i = 8, 7 g/cm3
2
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SS 2004
Blatt 8
Aufgabe 1: Achterbahn der Elektronen
Aus dem Kontakt A treten Elektronen der Masse m∗ mit der Geschwindigkeit ~v senkrecht in eine dünne Ladungsträgerschicht ein. Diese Elektronen können am Detektor B
registriert werden, falls sie dorthin gelangen. Man darf annehmen, daß die Elektronen
auf ihrem Weg nicht gestreut und an der Grenzfläche des Films verlustfrei reflektiert
werden.
a) In welche Richtung muß ein homogenes Magnetfeld angelegt werden (aus der
Zeichnungsebene heraus oder hinein?), damit die Elektronen von Kontakt A zum
Detektor B gelangen können?
b) Geben Sie alle möglichen Magnetfeldwerte Bifoc an, für die Elektronen vom Punkt
A auf den Detektor B treffen! Fährt man das Magnetfeld langsam hoch, registriert
man also eine Reihe aufeinander folgender Maxima in der Anzahl der registrierten
Elektronen. Sind diese Maxima gleich hoch?
c) Man kann dieses Experiment auch mit positiv geladenen Löchern“ in GaAs
”
durchführen: Die effektive Masse dieser Defektelektronen ist m∗ = 0, 51 me , der
Abstand der Kontakte betrage a = 1 µm und Bifoc = 0, 1 T. Die Bahn der Löcher
zwischen Kontakt und Detektor sei dabei ein Halbkreis. Wie groß ist die kinetische
Energie der Löcher?
1
Aufgabe 2: Die Helmholtz-Spule
Oft müssen Experimente durchgeführt werden, bei denen das Erdmagnetfeld störend
wirken könnte. Zur Abschirmung muß man das Erdmagnetfeld durch ein möglichst
homogenes, entgegengesetztes Magnetfeld kompensieren.
Solche Magnetfelder können mit sog. Helmholtz-Spulen erzeugt werden, die – vereinfacht dargestellt – folgendermaßen konstruiert sind: Zwei gleich große Drahtringe aus
Kupfer mit Radius R werden koaxial in einem Abstand d gegenübergestellt. Durch
beide Drähte fließt ein Strom I~ gleicher Stärke, so wie in der Skizze gezeigt.
~ auf der z-Achse zwischen den Spulen. Bei welchem
Berechnen Sie das Magnetfeld B
axialen Abstand d der Ringe, treten in der Mitte zwischen den Spulen die geringsten
Inhomogenitäten auf?
Hinweis: Verwenden Sie das Biot-Savart-Gesetz und fordern Sie, daß die ersten beiden
~ nach z in der Mitte zwischen den beiden Spulen verschwinden!
Ableitungen von B
[Falls die Zeit knapp wird, verwenden Sie den Ausdruck für das Magnetfeld, der in der
Vorlesung berechnet wurde.]
2
Hausaufgabe: Elektronen auf der schiefen Bahn
Ein Elektronenstrahl bewegt sich entlang der x-Achse. Jedes Elektron hat eine kinetische Energie von Wei = 10 eV. Im Bereich zwischen x = 0 cm und x = 5 cm befindet
sich ein elektrisches Feld der Stärke E = 100 V/m, das in die negative y-Richtung zeigt.
a) Welche Zeit T befinden sich die Elektronen im elektrischen Feld? Berechnen Sie
die Geschwindigkeit v und die kinetische Energie Wef der Elektronen beim Verlasssen des Feldes!
b) An der Stelle x = L = 1 m ist ein Leuchtschirm aufgestellt (siehe Abb.). Berechnen Sie die Koordinaten (xA , yA , zA ) des Auftreffpunktes der Elektronen auf dem
Schirm!
c) Dem elektrischen Feld E wird nun zusätzlich ein magnetisches Feld B auf der
Strecke s zwischen x = 0 cm und x = 5 cm überlagert. Welche Richtung und welchen Betrag muß das Magnetfeld haben, damit der Elektronenstrahl den Schirm
wieder im Mittelpunkt (also bei (1 m, 0, 0)) trifft?
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SS 2004
Blatt 10
Aufgabe 1: Paralleler Schwingkreis
Für den Strom I in einem seriellen RLC-Schwingkreis gilt folgende Differentialgleichung:
1
R
I = 0.
I¨ + I˙ +
L
LC
Im hier gezeigten parallelen Schwingkreis ist das Dämpfungsglied der Widerstand R ,
der jetzt parallel statt seriell zur LC-Kombination geschaltet ist.
C
R'
L
a) Bestimmen Sie die entsprechende Differentialgleichung für die Spannung U dieses
Parallelschwingkreises und den Strom IR durch den Widerstand R .
b) Für welches R sind die Gleichungen für die Ströme I und IR formal identisch?
c) Was bedeutet ”kleine Dämpfung beim Parallelschwingkreis für den Widerstand
R ? Machen Sie einen Lösungsansatz ähnlich dem für den Serienschwingkreis und
geben Sie die Lösung für kleine Dämpfung an. Verwenden Sie die Anfangsbedingungen
U(t = 0) = U0
dU = 0.
dt t=0
und
1
Aufgabe 2: Gekoppelte Schwingkreise
Zwei Schwingkreise (linke Skizze) mit gleich großen Widerständen R + R und Induktivitäten L seien durch eine gemeinsame Kapazität C und durch einen gemeinsamen
Widerstand R = R/2 gekoppelt.
I1
I2
C'
L
R
R
C
I
C'
L
R'
R
C
R
L
a) Finden Sie durch Anwendung der Kirchhoffschen Regeln die beiden gekoppelten
Differentialgleichungen für die Teilladungen Q1 und Q2 des Kondensators, die mit
den Strömen I1 (linke Masche) und I2 (rechte Masche) verknüpft sind.
b) Die beiden Fundamentalschwingungen I + und I − erhält man durch Addition und
Subtraktion der beiden Differentialgleichungen. Stellen Sie die resultierenden Gleichungen auf und überlegen Sie sich, wie Sie diese lösen könnten.
c) Wodurch unterscheiden sich die gekoppelten Schwingkreise der linken und der
rechten Abbildung für den Fall, dass die Kopplung gegen Null geht, d. h. links
R → 0 und C → ∞ und rechts C → ∞.
Hausaufgabe: Hoch- und Tiefpass
Die in den Abbildungen dargestellten Wechselstromschaltungen werden als Hoch- bzw.
Tiefpassfilter verwendet. Eine Spannungsquelle erzeuge zwischen den Eingangskontakten
(in der Zeichnung links) eine Wechselspannung mit der Amplitude U und der Kreisfrequenz ω.
C
L
U, w
C
U, w
Ua
L
Ua
a) Berechnen Sie die Amplituden der an C und L abfallenden Wechselspannungen
UC und UL aus den Wechselstromwiderständen in Abhängigkeit von ω und U.
b) Welche Spannungsverhältnisse Ua /U ergeben sich für die Grenzfälle ω ω0 =
√ −1
LC und ω ω0 ?
c) Skizzieren Sie für den Tiefpass und für den Hochpass die Spannungsamplitude Ua
als Funktion von ω.
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